Đáp án đề cương môn CAD/CAM

Đáp án đề cương môn CAD/CAM

- CAD được sử dụng rộng khắp trong nhiều lĩnh vực công nghiệp, bao gồm công nghiệp ô

tô, tàu thủy, hàng không, kiến trúc, y học, nha khoa…

- CAD cũng được sử dụng để sản xuất phim hoạt hình, hoặc các hiệu ứng đặc biết trong lĩnh vực phim ảnh và quảng cáo

Câu 2: đầu ra của công nghệ CAD là:

Sản phẩm hay còn gọi là đầu ra của CAD sẽ là các file bản vẽ điện tử chứa các dữ liệu về hình học để phục vụ cho việc in ấn bản vẽ hoặc phục vụ việc tạo ra dữ liệu cho qúa trình gia công chế tạo

• CAD không chỉ bao gồm vấn đề mô tả hình học tương tự như các bản vẽ kỹ thuật vẽ bằng tay, đầu ra của CAD còn phải chuyển tải thêm các thông tin khác như vật liệu, kích thước và dung sai

*Lợi ích của CAD:

1.Tăng năng suất thiết kế

– Automation of repeated tasks.(Tự động hóa các nhiệm vụ lặp đi lặp lại).– Insert standard parts (e.g fasteners) from database

2 Hỗ trợ việc sửa đổi thiết kế dễ dàng

3 Nâng cao chất lượng và độ chính xác bản vẽ

4 cải thiện được trao đổi thông tin

_Giữa các nhóm (kỹ sư) thiết kế.chế tạo và nhà cung cấp

_với các ứng dụng khác như: CAM, FEM, CAE

_ Marketting,trình bày sản phẩm

5 Tạo ra cơ sở dữ liệu phục vụ cho quá trình gia công chế tạo sau này

Câu 3: Quy trình chung khi mô hình hóa bằng công nghệ CAD

Engineering sketch

Khởi động Thiết lập

Câu 4(CAD)::Bạn hiểu thế nào về CAM? Các bước trong CAM theo nghĩa rộng? Nêu ứng

dụng của CAM mà bạn biết

+ Bạn hiểu thế nào về CAM?

CAM (Computer-aided Manufacturing)

Gia công, chế tạo, sản xuất có sự trợ giúp của máy tính

+ Các bước trong CAM theo nghĩa rộng?, ứng dụng:

Làm mờ

Tạo dòng, bán kính, đường viền, vạt góc….

Xây dựng khối cơ bản

Cắt bỏ và khoan lỗ Hoạt động đại số (cộng,

trừ…)

Ghi chú kích

thước

Xuất ra Xác minh

lại

CAM là sử dụng hệ thống máy tính để lập kế hoạch sản xuất , quản lý, và điều khiển hoạt động của một nhà máy sản xuất bắng cách trực tiếp hoặc gián tiếp tác động lên các trang thiết bị máy móc trong nhà máy.

+ Nêu ứng dụng của CAM mà bạn biết.

Mô hình CAD -> Tạo hình khuôn và phân khuôn ->Tạo đường chạy dao và công ảo nhờ CAM -> Gia công thật trên máy phay CNC

Câu 5: Bạn hiểu thế nào về sự tích hợp của CAD/CAM? Cấu thành của một hệ thống CAD/CAM tích hợp?

CAD (computer- aided Design) – thiết kế có sự trợ giúp máy tính

CAM (computer- aided Manufacturing) - gia công, chế tạo, sản xuất có sự trợ giúp máy tính

- Thiết kế và chế tạo có sự trợ giúp máy tính CAD-CAM thường được gắn liền với nhau

- Sự kết hợp các thành phần, bộ phận khác nhau, làm việc phối hợp chặt chẽ với nhau thành một thể thống nhất cho một mục đích chung

-Các thông tin điều hành hoạt động từng bộ phận phải đầy đủ, chính xác, và được truyền đúng thời điểm đến đúng bộ phận cần thiết để bộ phận đó biết phải làm gì phục vụ cho mục tiêu chung, hệ thống thông tin máy tính đảm nhiệm chức năng này

*Cấu thành của một hệ thống CAD/CAM

Câu 7: Hãy phân biệt sự khác nhau giữa đồ họa vec-tơ và đồ họa mành Các hệ thống CAD

sử dụng kỹ thuật đồ họa nào

Đồ họa véc-tơ( vector graphic):

- Sử dụng các đối tượng hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, đường cong, hoặc đa giác, đường tròn, elip dựa vào công thức toán học để biểu diễn hình học

- Đồ họa vector dựa trên các hình ảnh được tạo bởi các vector được định nghĩa bằng các điểm điều khiển, mỗi điểm đều có tọa độ x và y trên mặt phẳng làm việc và hướng của vector

-Ảnh vector khi zoom to không bị nứt nét hoặc nhòe và không ảnh hưởng đến kích thướt của file

dữ liệu ( vì thông tin đc lưu dưới dạng cấu trúc chứ không phải điểm ảnh như đồ họa mành)

Đồ họa mành (raster graphics)

- Còn gọi là ảnh bitmap, tập hợp một ma trận điểm biểu diễn trong khung lưới pixel, và các điểmảnh trong một hình chữ nhật, ảnh có thể nhìn thấy thông qua các thiết bị như màn hình, giấy hoặccác phương tiện biểu diễn hình ảnh khác

- Ảnh vector chứa trong các file ảnh với rất nhiều định dạng khác nhau như bmp,jpeg,tga,tif,…

* Ưu điểm đồ họa vector so với đồ họa mành

+ Dung lượng file vector nhỏ hơn đồ họa mành

+ Khi zoom to lớn, độ nét, độ trơn tru của các đối tượng như đường thẳng, cung tròn vẫn giữ nguyên

+ Dễ dàng chỉnh sửa đc ảnh ( di chuyển, tỉ lệ, xoay và tô màu)

+ Phối cảnh 3D, tô bóng ảnh vector cho hình ảnh chân thật hơn

>>> Các phần mềm CAD đều dùng đồ họa vector

Câu 8:Cho một đoạn thẳng đi qua hai điểm A(0,0) và B(10,5), Hãy dùng thuật toán DDA để

tính tọa độ của 9 điểm trung gian còn lại mà đường thẳng đi qua.

Thuật toán đồ họa DDA được dùng để nội suy tuyến tính và biểu diễn đoạn thẳng cho bởi điểm đầu và điểm cuối.

Thuật toán DDA như sau:xét đường thẳng có hệ số góc m dương và m<1 Chọn dx=1, lúc đó cácgiá trị của y được tính một cách tuần tự liên tiếp:

Yk+1 = Yk +mNếu m >1, đảo ngược vai tr của x thành y, chọn dy=1, khi đó

V m < 1 nên chọn gia số dx =1 và áp dụng công thức yk+1 = yk +m

(Ta có thể lập bảng tính, cho x lần lượt tăng 1 đơn vị và tính lần lượt yk)

Bài 9 :Hiệu ứng bậc thang là gì, cách khử hiệu ứng bậc thang? Bạn hãy cho biết các phần mềm đồ họa nào có hoặc không khử hiệu ứng bậc thang.(CAD)

Trả lời:

- Hiệu ứng bậc thang sinh ra khi vẽ dường nghiêng bằng phương pháp đồ họa mành, các thuật toán nội suy và điểm hóa vị trí các pixel( khung lưới hay còn gọi là điểm ảnh có dạng hình chữ nhật)

- Cách khử hiệu ứng bậc thang: để khử hiệu ứng bậc thang, người ta dựa vào lý thuyết lấy mẫu và làm mờ một số pixel ở vùng biên tiếp giáp giữa màu nền và màu của đường

Giả sử khi zoom to một đoạn thẳng, độ rộng của nét cũng thay đổi

Câu 10: Vì sao CAD đưa ra hệ tọa độ người dùng? Bạn hãy cho ví dụ minh họa về việc sử dụng hệ tọa độ người dùng.

Bài 11: Hãy cho ví dụ về cấu trúc cây nhị phân trong mô tả hình học khối rắn cấu trúc CSG ?(CAD)

Mô tả hình học khối rắn cấu trúc CSG về cấu trúc cây nhị phân là sử dụng các khối cơ sở cộng với phép toán đại số boolean để tạo ra vật thể

Ví dụ 1:

Câu 12: Cho một khối rắn bất kỳ, yêu cầu bạn phân tích cấu trúc cây nhị phân của nó

Nhưng bài này thực chất là thầy sẽ cho một vật hình thể như nhưng hình dưới và thầy sẽ bảo mình phân tích cây nhị phân như thế nào để ra được hình thầy cho(ví dụ như hình dưới)

Câu 13 : Vì sao phải trao đổi dữ liệu giữa các phần mềm CAD? Các tiêu chuẩn trao đổi dữ liệu và các định dạng file (file format) thông dụng để chuyển đổi dữ liệu mà bạn biết.

• Để các phần mềm CAD khác nhau có thể giao tiếp

và trao đổi dữ liệu hình học lẫn nhau, việc này đòi

hỏi phải sử dụng các chương trình biên dịch giữa

các phần mềm với nhau ⇒ sự phức tạp

⇒ Các phần mềm CAD hiện nay sử dụng các

chương trình tiền xử lý (preprocessor) để chuyển

dữ liệu CAD của mình thành các file trung hòa

(neural file) và ngược lại cũng có thể chuyển các

file trung hòa thành dạng dữ liệu CAD của mình

+)Các tiêu chuẩn trao đổi dữ liệu :

Initial Graphics Exchange Specification (IGES :

Đặc điểm kỹ thuật đồ họa ban đầu trao đổi (IGES) là một định dạng tập tin trong đó xác định một định dạng nhà cung cấp dữ liệu trung lập cho phép việc trao đổi kỹ thuật số của thông tin giữa các máy tính-hỗ trợ thiết kế (CAD).• Tiêu đề chính thức của IGES là kỹ

thuật số Đại diện choTruyền thông định nghĩa dữ liệu sản phẩm, xuất bản lần đầuTháng Một năm 1980 bởi Cục Tiêu chuẩn Quốc gia Hoa Kỳ như NBSIR80-1978 Nhiều tài liệu (như phiên bản đầu của quốc phòngTiêu chuẩn MIL-PRF-28.000 [1] và MIL-STD-1840 [2]) gọi nó làASME Y14.26M, việc chỉ định ủy ban ANSIphê duyệt IGES Phiên bản 1.0.• Sử dụng IGES, một người sử dụng CAD có thể trao đổi các mô hình dữ liệu sản phẩm trongdưới hình thức sơ đồ mạch, wireframe, freeform bề mặt hoặc rắnmô hình đại diện Các ứng dụng được hỗ trợ bởi IGESbản vẽ kỹ thuật truyền thống, các mô hình để phân tích, và cácsản xuất các chức năng.

Lịch sử hình thành :

• Dự án IGES đã được bắt đầu vào năm 1979 bởi một nhómCAD người sử dụng

và các nhà cung cấp, bao gồm Boeing,General Electric, Xerox, Computervision vàApplicon, với sự hỗ trợ của các quốc giaPhòng tiêu chuẩn (bây giờ được gọi làNIST) vàBộ Quốc phòng Mỹ (DoD) tênđã được chọn lựa cẩn thận để tránh bất

kỳ đề nghị của mộttiêu chuẩn cơ sở dữ liệu mà có thể cạnh tranh với cácsở hữu cơ

sở dữ liệu sau đó được sử dụng khác nhauCAD nhà cung cấp

+) các định dạng file (file format) thông dụng :

1 3dxml – Dassault Systemes graphic representation

2 ART – ArtCAM model

3 ASC – BRL-CAD Geometry File (old ASCII format)

4 ASM – Solidedge Assembly, Pro/ENGINEER Assembly

5 BIN, BIM – Data Design System DDS-CAD

6 CATDrawing – CATIA V5 Drawing document

7 CATPart – CATIA V5 Part document

8 CATProduct – CATIA V5 Assembly document

9 CATProcess – CATIA V5 Manufacturing document

10 DWG – AutoCAD and Open Design Alliance

applications

11 DFT – Solidedge Draft

12 DGK – Delcam Geometry

13 DMT – Delcam Machining Triangles

14 DXF – ASCII Drawing Interchange file format –

AutoCAD

15 DWF – AutoDesk's Web Design Format; AutoCAD &

Revit can publish to this format; similar in concept to

PDF files; AutoDesk Design Review is the reader

16 FM – FeatureCAM Part File

17 GLM – KernelCAD model

18 IAM – Autodesk Inventor Assembly file

19 IDW – Autodesk Inventor Drawing file

20 IGES– Initial Graphics Exchange Specification

21 IPN – Autodesk Inventor Presentation file

22 IPT – Autodesk Inventor Part file

23 model– CATIA V4 part document

24 PAR – Solidedge Part

25 PRT – NX (recently known as Unigraphics),

Pro/ENGINEER Part, CADKEY Part

31 SLDPRT – SolidWorks 3D part model

32.STEP– Standard for the Exchange of Product model data

33.STL– Stereo Lithographic data format used by various CAD

systems and stereo lithographic printing machines

34 TCW – TurboCAD for Windows 2D and 3D drawing

35 UNV – I-DEAS I-DEAS (Integrated Design and Engineering Analysis

Software)

36.WRL– Similar to STL, but includes color Used by various CAD

systems and 3D printing rapid prototyping machines Also used for

VRML models on the web

Câu 14: Nêu và cho ví dụ bằng hình vẽ các kỹ thuật mô hình hóa hình học mà bạn biết?

Các kỹ thuật mô hình hóa hình học

(geometric modeling techniques)

Mô hình khung dây:

• Mô hình chỉ được biểu diễn bằng các cạnh viền

• Mô hình này thường xuất hiện trong các phần mềm CAD thế hệ đầu

• Khó quan sát và dễ nhầm lẫn đối với các chi tiết phức tạp

Bao gồm: 1 Mô hình mặt sơ cấp (primitive)

2 Mô hình mặt cơ bản (basic surface)

3 Mô hình mặt phức tạp (advanced surface).

4 Mô hình mặt ghép từ các ô lưới tam giác hoặc tứ giác (facets)

Mô hình khối rắn:

• Phần lớn các phần mềm CAD sử dụng 2

phương pháp mô hình hóa khối rắn:

1 Mô hình khối rắn theo phép đại số Boole

(CSG – Contructive solid geometry)

2 Mô hình khối rắn theo mặt biên kín

(Boundary representation)

3 Mô hình Hybrid (dùng cả CSG và B-rep)

Đường cong Bzier khác đường Spline ở những điểm nào? Phân tích các tính chất của đường cong Bezier

• Đường cong Bezier là là đường cong xấp xỉ các điểm cho trước chứ không đi qua chính xác cácđiểm này như cách của các đường con nội suy

• _Cho phép người thiết kế mềm dẻo hơn

các tính chất của đường cong Bezier:

1 Đi qua điểm điều khiển đầu và cuối

2 Tiếp tuyến với hai đoạn thẳng nối hai điểm đầu tiên và cuối cùng

• Nằm hoàn toàn trong đa giác tạo bởi các đỉnh của các điểm điều khiển

Đường cong Bezier thay đổi theo vị trí một điểm điều khiển cục bộ

• Đường cong Bezier thiếu sự điểu khiển cục bộ (tức là có sự điều khiển toàn cục)

• Bậc của đường cong Bezier phụ thuộc vào số điểm điều khiển

Để giữ bậc của đường cong thấp, có thể liên kết nhiều phân đoạn lại với nhau

Câu 15 Để xây dựng một bề mặt hoặc khối rắn tròn xoay, bạn thực hiện các bước nào?Cho ví dụ minh họa bằng hình ảnh cụ thể.

Để tạo khối tròn xoay ta dung lệnh revolve( vẽ minh họa trên Pro)

- Tạo một file trong môi trường part để vẽ chi tiết

- Chọn lệnh revolve trên thanh công cụ

Trên thanh công chụ chọn biểu tượng thích hợp đễ vẽ 2D cho chi tiết cần tạo.( ví dụ chọnbiểu tượng hình vuông để vẽ 2D của chi tiết cần tạo)

Ghi kích thước trên mặt phẳng 2D của chi tiết

- Bấm done khi tạo 2D xong

- Chấp nhận góc xoay 360 độ Bấm done để hoàn thành khối tròn xoay

Câu 16(CAD):: Để xây dựng một bề mặt hoặc khối rắn bằng phương pháp đùn (extrude), bạn thực hiện các bước nào? Cho ví dụ minh họa bằng hình ảnh cụ thể.

- Sau khi khởi động Pro/ Engineer và tạo thư mục mới -> Tạo file mới -> Insert -> Extrude-> Chọn mặt phẳng vẽ (Placement) rồi chọ define -> Vẽ một hình theo yêu cầu ->Ok

->Chọn chiều cao cần đùn (có thể là Cut) -> Ok.( VD tự cho)

-Bài 17 : Bạn hiểu thế nào về phép quét hình theo đường dẫn, các bước thực hiện? Cho ví

dụ minh họa bằng hình ảnh cụ thể.

BÀI làm:

Cho phép tạo khối bằng cách thực hiện chạy một biên dạng kín sketch theo một đường dẫn sketch được đặt tại điểm đầu của đường dẫn và vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại điểm mút đó.Tạo khối và mặt cong bằng cách quet biên dạng 2D theo một đườngdẫn.

B.các bước thực hiện:

Câu 18 : Ưu nhược điểm của mô hình mặt? Theo bạn mô hình mặt ứng dụng nhiều ở lĩnh vực hoặc trường hợp nào?Vì sao?

Ưu nhược điểm của mô hình mặt

4 Xác định được giao của các bề mặt

5 Có thể thực hiện các phép tính toán về diện tích

6 Có thể dùng làm dữ liệu để lập trình CAM thực hiện gia công

phay mặt cong đó bằng máy CNC

• Nhược điểm

1 Chỉ mô tả lớp biên của đối tượng, không có thuộc tính bên

trong

2 Nếu dùng mô hình mặt để vẽ tất cả các mặt bao của vật thể

rồi tạo thành khối rắn thì tốn nhiều thời gian hơn so với sử

dụng mô hình khối rắn

1. Phức tạp hơn mô hình khung dây, lượng dữ liệu lớn hơn

• mô hình mặt ứng dụng nhiều ở lĩnh vực hoặc trường hợp nào? Vì sao?

Mô hình mặt được sử dụng phổ biến trong thiết kế các

sản phẩm thuộc ngành hàng không và ô-tô

• Mô hình được biểu diễn bằng các bề mặt, và mặt được

biểu diễn bằng các cạnh (edges) và các đỉnh (vertex)

vì :mô hình mặt có thể vẽ được những hình cong phức tạp,mô hình phức tạp mà khi dùng các mô hình khác người ta không thể vẽ được

Bài 19 :Bạn hiểu thế nào về mô hình khối rắn CSG (theo đại số Boole)? Đặc tính và ứng dụng của CSG

Bài làm:

Vật thể được xây dựng trên cơ sở phối hợp các khối rắn cơ bản như hộp ,cầu ,tứ diện,xuyên,chem.,côn…

Các phép toán đại số boole như phép hội,phép giao,phép trừ(-)

được dùng để thao tác loại mô hình này

Câu 20:Bạn hiểu thế nào về mô hình khối rắn theo mặt biên kín (B-rep)? ưu nhược

điểm của B-rep, vì sao?

Mô hinh khối rắn theo mặt biên kín: Vật thể được xây dựng từ tập hợp các mặt biên tạo thành một không gian kín.

• Các đối tượng tạo nên B-rep bao gồm:

Các đối tượng hình học: điểm, đường cong, đường thẳng, bề mặt.

Các đối tượng topology: đỉnh, cạnh, mặt.

Ưu điểm của B-rep

• Dễ dàng biểu diễn được các mô hình khối rắn phức tạp thân xe hoặc vỏ máy bay

mà chúng không thể tạo ra bằng các phối hợp các khối rắn cơ bản như cách của CSG.

• Dễ dàng chuyển đổi mô hình khối rắn B-rep sang mô hình khung dây vì biên của B-rep có định nghĩa tương tự như khung dây.

• Các thuật toán của B-rep tin cậy và mạnh hơn các thuật toán dựa trên CSG.

Nhược điểm của B-rep

• Đoi hỏi nhiều không gian nhớ thì nó phải chứa các phương trình tường minh biểu diễn lớp biên.

• Dong dài và phức tạp hơn CSG.

• B-rep xấp xỉ (gần đúng) (Faceted B-rep) tạo từ các mặt phẳng không thích hợp cho việc chế tạo.

Lí do: B-rep cũng sử dụng các phép toán đại số Boole, ngoài ra còn sử dụng các phép đùn (extrusion ) hoặc quét (sweeping), vát cạnh (chamfer), bo góc (fillet), tạo mặt nghiêng (drafting), xoắn (tweaking ), tạo vỏ mỏng (shelling)… nên dễ xây dựng các mô hình phức tạp.

21.Ưu và nhược điểm của mô hình khối rắn so với các mô hình khác? Tại sao người ta thường sử dụng mô hình khối rắn hơn là

mô hình mặt? còn bạn thì sao?

Bài 21.Các thiết bị nhập xuất dữ liệu phổ biến trên máy CNC?Bạn hiểu thế nào là giao tiếp DNC trên máy công cụ, ưu điểm của nó ra sao?

Bài làm:

A.Thiết bị nhập xuất dữ liệu phổ biến trên máy CNC là:Nhiều năm trước là một băng giấy độc lỗ có 8 hàng lỗ.hiện nay dùng phổ biến tăng dần theo thứ tự băng từ ,đĩa từ và PCMCIACard.Các máy CNC điều sử dụng bàn phím mã chuẩn ASCII phương pháp Direct

Numerical Control (DNC) sử dụng máy tính PC hoặc một server computer và một phần mềm giao tiếp (communication software) B.giao tiếp DNC trên máy công cụ LÀ:Direct numerical control

(DNC), là một thuật ngữ trong ngành chế tạo máy có sử dụng các máy CNC kết thành mạng lưới.Chương trình gia công được truyền từ một máy tính chủ đến một hay nhiều máy CNC để gia công.

c.ƯU điểm:

• thực hiện được các chương trình gia công phức tạp có nhiều dòng lệnh.

Nếu một mấy tính nối với nhiều máy CNC khác nhau,máy tính đó có thể chia sẽ và phân bổ các chương trình gia công đến các máy CNC khi có yêu cầu.

Tất cả các dữ liệu về tham số và file chương trình gia công chứa trong máy CNC đều có thể truyền ngược về máy tính chủ.

22.Cho trước một mô hình khối rắn, hãy nêu các cách khác nhau để xây dựng được mô hình khối rắn đó? Theo bạn cách nào tiện lợi hơn (nhanh hơn), vì sao?

Câu 23: Các dạng phương trình đường cong và các phương pháp biểu diễn hình học đường cong? Dạng phương trình nào và phép biểu diễn nào được sử dụng phổ biến trong CAD, vì sao?

Trả lời:

* Các dạng phương trình đường cong

1 Phương trình tường minh; y =f(x,y,z)

2 Phương trình ẩn: f(x,y) =0 (xét đường cong 2D)

3 Phương trình tham số: x=x(t), y=y(t), z=z(t)

Về mặt lý thuyết có thể sử dụng bất kỳ dạng toán học nào của đườngcong để mô

tả đường cong trong công nghệ CAD Dạng phương trình tham số được dùng nhiều nhất.Vì Hình dáng các đường cong thì không phụ thuộc vào việc nó nằm trên hệ toạ độ nào Do đó nếu biểu diễn tham số thì tham số được xem như toạ độ cục bộ trên đường cong, không phụ thuộc vào hệ toạ độ Hay nói cách khác chính tham số thể hiện quan hệ giữa các điểm dữ liệu của đường cong và hình dáng của đường cong

Mỗi dạng có một số thuận lợi và khó khăn trong một số trường hợp:

- Dạng nào nào dễ xác định một điểm có nằm trên đường cong không?

- Dạng nào cho phép nhanh chóng xác định tọa độ các điểm trên đường cong?

* Các phương pháp biểu diễn hình học đường cong

1 Biểu diễn bằng ma trận các điểm (chuỗi điểm)

2 Sử dụng các phương tŕnh giải tích dạng đa thức bậc n

Hàm đa thức rất thuận lợi cho việc tính toán bằng máy tính, dễ dàng vi phân hay tích phân

Câu 24: Cho trước tọa độ 2 điểm cụ thể và hai véc-tơ tiếp tuyến, hãy viết phương trình đường cong tham số bậc 3 dạng ma trận?

Câu 25: Đường cong tham số bậc 3 khác đường Spline ở điểm nào?

Đường cong tham số bậc 3 có dạng:

P(t) là một điểm trên đường cong

x(t) = a3xt3 + a2xt2+ a1xt + a0x

y(t) = a3yt3 + a2yt2+ a1yt + a0y

z(t) = a3zt3 + a2zt2+ a1zt + a0z

phương trình trên có 4 hệ số a cần xác định, và xác định qua 2 điều kiện biên

- qua 2 điểm cho trước( 2 pt)

- Các vec-tớ tiếp tuyến tại điểm đầu và điểm cuối xác định (2 phương trình)

Cách vẽ :