Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM BỘ MÔN TOÁN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ TOÁN CAO CẤP Dành cho sinh viên tất cả các ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017 Mục lục Chươ[.]
Đại số tuyến tính
Ma trận và các phép toán cơ bản của ma trận
Ma trận là bảng số hình chữ nhật và được sử dụng để lưu trữ thông tin và làm việc với chúng Ma trận có rất nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, trong đời sống, trong kinh tế, kỹ thuật, vật lý, cơ học, công nghệ thông tin, thuyết mật mã, Chẳng hạn, một công ty kinh doanh 3 mặt hàng gồm áo, quần và kính Công ty có hai cửa hàng A và
B Giả sử số lượng hàng bán được trong 1 tháng là: cửa hàng A: 100 áo, 120 quần, 300 kính và cửa hàng B: 125 áo, 100 quần, 250 kính Sắp xếp dữ liệu này ở dạng bảng: áo quần kính
Ta có thể viết lại bảng trên dưới dạngT1 = 100 120 300
! Khi đóT1 ở trên chính là một ma trận.
1.1.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận Định nghĩa 1.1.1 Một bảng số gồm m×n phần tử được xếp thành m hàng, n cột được gọi là một ma trận cỡ m×n, ký hiệu
Ký hiệu rút gọn: A = (a ij ) m × n, trong đó a ij biểu thị phần tử ở hàng i, cột j của ma trận A (với i= 1,2, m;j = 1,2, n).
Khi m=n, ta có một ma trận vuông với nhàng, ncột gọi là ma trận vuông cấpn.
Các phần tửa11, a22, , ann gọi là các phần tử chéo Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính của ma trận.
là một ma trận cỡ 3×2.Ta có thể viếtA= (aij)3 × 2 với a 11 = 1;a 12 = 0;a 21 =−1;a 22 = 1;a 31 = 2;a 32 = 3.
Chú ý 1.1.3 Ta chỉ xét các ma trận thực, tức là các ma trận với aij ∈R. Định nghĩa 1.1.4 Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính đều bằng không Có 2 loại ma trận tam giác, ma trận tam giác trên (ma trận A), ma trận tam giác dưới (ma trận B).
Định nghĩa 1.1.5 Ma trận đường chéo là ma trận có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không.
Định nghĩa 1.1.6 Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.
Ma trận đơn vị được ký hiệu là: I (hoặc E)
Định nghĩa 1.1.7 Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng không.
Ma trận không được ký hiệu là O.
là ma trận không cỡ3×2. Định nghĩa 1.1.9 Ma trận bậc thang là ma trận thoả mãn điều kiện sau đây:
(1) Nếu có hàng không (tức là tất cả các phần tử đều bằng không) thì các hàng khác không luôn ở trên các hàng không.
(2) Trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên.
Ví dụ 1.1.10 Trong các ma trận sau đâu là ma trận bậc thang?
Giải: Các ma trận A, B, C là ma trận bậc thang. Định nghĩa 1.1.11 Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử ở cùng vị trí bằng nhau, tức là: A = (aij)m × n;B = (bj)m × n và aij =bij,∀i, j Ký hiệu hai ma trận bằng nhau là: A=B.
1.1.2 Các phép toán cơ bản của ma trận a Phép cộng hai ma trận Định nghĩa 1.1.13 Cho hai ma trận A= (a ij );B = (b ij )có cùng cỡm×n, tổng của chúng, kí hiệu A+B là một ma trận cũng có cỡ là m×n và được xác định bởi phép cộng các phần tử tương ứng ở cùng vị trí Tức là,
Tính chất 1.1.15 Phép cộng ma trận có các tính chất sau
(4) A+ (−A) = (−A) +A = 0. b Phép nhân ma trận với một số Định nghĩa 1.1.16 Cho A= (aij)là một ma trận cỡ m×n, clà một hằng số tùy ý, thì tích của ma trận A và hằng số c là một ma trận cA cũng có cỡ là m×n và được xác định bằng cách đem số đó nhân với từng phần tử của ma trận Tức là, cA=c(a ij ) = (ca ij )
Tính chất 1.1.18 Phép nhân ma trận với một số có các tính chất sau:
Khi đó ta định nghĩa phép trừ hai ma trận: NếuA vàB là hai ma trận có cùng cỡ thì
A−B =A+ (−B). c Phép nhân hai ma trận Định nghĩa 1.1.20 Cho A là một ma trận cỡ m×p và B là một ma trận cỡ p×n thì tích hai ma trậnC =A.B là một ma trận cỡm×n và mỗi phần tửcij của ma trận tích được tính bởi công thức cij =ai1b1j+ai2b2j +ã ã ã+ainbnj Xp k=1 aikbkj, i= 1, , m, j= 1, , n.
Ví dụ 1.1.22 Một cửa hàng kinh doanh 3 mặt hàng: áo, quần, kính Giả sử số lượng hàng bán được trong một tháng là: 100 áo, 120 quần, 300 kính Ta sắp xếp số liệu trên dưới dạng ma trận
Giả sử tháng thứ hai bán được:T 2 = 130 80 240
! ãKhi đú, lượng hàng bỏn được trong hai tháng:T =T1+T2 = 230 200 540
Giả sử tiền lãi trong tháng 1: áo 15 ngàn, quần 30 ngàn, kính 10 ngànL1
Vậy lợi nhuận trong tháng 1 của cửa hàng là:
Giả sử tiền lãi trong tháng 2: áo 25 ngàn, quần 35 ngàn, kính 17 ngànL2
Vậy lợi nhuận trong hai tháng của cửa hàng là:
Chú ý 1.1.23 (1) Trong nhiều trường hợp ta có thể tính được AB nhưng lại không tính được BA Ta chỉ thực hiện được cả tích AB và BA khi số cột của ma trận này bằng số hàng của ma trận kia và ngược lại Đặc biệt khi Avà B đều là ma trận vuông cấp n thì ta tính được cả tích AB và BA.
(2) Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là AB chưa chắc bằng BA.
(3) Có những ma trậnA6= 0, B 6= 0 nhưng AB = 0.
Ví dụ 1.1.24 Cho hai ma trận A = 1 2
! ã Khi đú, ta cú tớch hai ma trận là AB = 0 0
Tính chất 1.1.25 Phép nhân hai ma trận có tính chất sau:
(1) Tính chất kết hợp: A(BC) = (AB)C.
(2) Tính chất phân phối với phép cộng:
(4) Với mọi A là ma trận vuông cấp n, I là ma trận đơn vị cùng cấp thì:
=A k (quy ướcA 0 =I). d Phép chuyển vị ma trận Định nghĩa 1.1.26 Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij) cỡ m×n là ma trận
A T có cỡ n×m thu được từ ma trậnA bằng cách đổi hàng thành cột Tức là, cột thứ i của ma trận A T là hàng thứ i của ma trận A với mọi i Phép toán biến ma trận A thành ma trận chuyển vịA T được gọi là phép chuyển vị ma trận.
Ví dụ 1.1.27 Cho ma trậnA = 1 2 3
Tính chất 1.1.28 Phép chuyển vị có tính chất sau:
Định thức của ma trận vuông cấp n
1.2.1 Định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp n Định nghĩa 1.2.1 Xét ma trận vuông cấp n
a i1 a i2 a ij a in an1 an2 anj ann
Ma trận con ứng với phần tửaij là ma trận thu được từ Abằng cách bỏ đi hàng icột j của ma trận Avà được ký hiệu làMij Như vậyMij là một ma trận vuông cấp n−1.
Ví dụ 1.2.2 Cho ma trận vuông cấp 3 A
Khi đó, các ma trận con củaA là
! Định nghĩa 1.2.3 Định thức của ma trận vuôngA cấpn,ký hiệu làdetA(hoặc|A|), được định nghĩa dần dần như sau:
A là ma trận vuông cấp 1: A= (a11) thì detA=a11.
A là ma trận vuông cấp 2: A= a11 a12 a21 a22
! thì detA= (−1) 1+1 a11detM11+ (−1) 1+2 a12detM12. Một cách tổng quát với A là ma trận vuông cấp n thì: detA = (−1) 1+1 a11detM11+ (−1) 1+2 a12detM12+ã ã ã+ (−1) 1+n a1ndetM1n.
Chú ý rằnga 11 , a 12 , , a 1n là các phần tử cùng nằm ở hàng 1 của ma trậnA. Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n.
Ví dụ 1.2.4 Tính định thức
1.2.2 Các tính chất của định thức
Do tính chất 1.2.5, mọi tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức cũng đúng khi phát biểu về cột.
Tính chất 1.2.6 Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.
Tính chất 1.2.7 * Khai triển định thức theo hàngi detA = (−1) i+1 a i1 detM i1 + (−1) i+2 a i2 detM i2 +ã ã ã+ (−1) i+n a in detM in
* Khai triển định thức theo cột j detA= (−1) 1+j a1jdetM1j+ (−1) 2+j a2jdetM2j+ã ã ã+ (−1) n+j anjdetMnj.
Tính chất 1.2.8 Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.
Hệ quả 1.2.9 Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.
Tính chất 1.2.10 Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì bằng không.
Hệ quả 1.2.11 - Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không.
- Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn là số không thì bằng không.
Chú ý 1.2.12 Ký hiệu α1, α2, , αn là n hàng (n cột) của một định thức Tổ hợp tuyến tính của n hàng (cột) của định thức được định nghĩa như sau:
Xn i=1 xiαi =x1α1+x2α2+ã ã ã+xnαn, trong đó (xi), i= 1,2, , nlà các hệ số thực.
Tính chất 1.2.13 Nếu một định thức có một hàng (cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác thì định thức ấy bằng không.
Tính chất 1.2.14 Nếu ta cộng thêm vào một hàng (cột) một tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác thì được một định thức mới bằng định thức cũ.
Chẳng hạn: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13+ka11 a21 a22 a23+ka21 a31 a32 a33+ka31
Tính chất 1.2.15 Khi tất cả các phần tử của một hàng (cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức được phân tích thành tổng của hai định thức.
Tính chất 1.2.16 Các định thức có dạng tam giác bằng tích các phần tử chéo. a 11 0 0 a21 a22 0 a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n
Tính chất 1.2.18 Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n Khi đó detAB = detA.detB.
Xét ma trận vuông A cấp n
a Tính định thức bằng phương pháp khai triển
- Khai triển định thức theo hàngi detA = (−1) i+1 a i1 detM i1 + (−1) i+2 a i2 detM i2 +ã ã ã+ (−1) i+n a in detM in
- Khai triển định thức theo cột j detA= (−1) 1+j a 1j detM 1j + (−1) 2+j a 2j detM 2j +ã ã ã+ (−1) n+j a nj detM nj
Chú ý 1.2.20 Trong thực hành tính định thức, cho phép ta có thể lựa chọn hàng hay cột có nhiều số 0 nhất để khai triển, tính định thức sẽ nhanh gọn.
Ví dụ 1.2.21 Cho ma trậnA
(a) Tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo hàng 3. detA= (−1) 3+1 7.
(b) Tính định thức bằng cách khai triển theo cột 2. detA= (−1) 1+2 2.
=−2.(−78) + 5.(−12) + 8.18 = 240. b Tính định thức bằng phương pháp biến đổi sơ cấp
* Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của định thức
- Nhân các phần tử của một hàng với một số k thì định thức nhân thêm với k;
- Đổi chỗ hai hàng của một định thức thì định thức đổi dấu;
- Cộng k lần hàng r vào hàngs thì định thức không đổi.
Chú ý 1.2.22 (1) Nhân một hàng với một số k nghĩa là nhân tất cả các phần tử của hàng đó vớik.
(2) Cộng k lần hàng r vào hàng s nghĩa là cộng k lần mỗi phần tử ở hàng r với phần tử cùng cột với nó ở hàngs và đặt vào hàngs.
* Các bước tính định thức
Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa định thức đã cho về dạng tam giác.
Bước 2: Dựa vào Tính chất 1.2.16 tính định thức có dạng tam giác đó.
Ví dụ 1.2.23 Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp
Ví dụ 1.2.24 Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp
Chú ý 1.2.25 Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp theo cột của định thức và sử dụng để tính định thức. c) Tính định thức cấp ba (Quy tắc Xariut) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Ma trận nghịch đảo
1.3.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.3.1 Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông A − 1 cấp n sao cho A.A − 1 =A − 1 A=I thì ta nói ma trận A là ma trận khả đảo vàA − 1 là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
! là ma trận nghịch đảo của ma trậnA.
=I nên ma trậnA − 1 là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
Chú ý 1.3.3 Khi ma trận A có ma trận nghịch đảo ta nói A là ma trận không suy biến. Định lí 1.3.4 Ma trận vuôngAcấpncó ma trận nghịch đảo khi và chỉ khidetA6= 0 và ma trận nghịch đảo đó là duy nhất xác định bởi công thức
Trong đócij là phần phụ đại số của phần tử aij của ma trậnA xác định bởi cij = (−1) i+j detMij. Như vậy A không suy biến khi detA6= 0.
1.3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo a Phương pháp dùng ma trận phụ hợp
Phương pháp dùng ma trận phụ hợp là phương pháp sử dụng công thức trong định lý 1.3.4 và để tìm ma trận nghịch đảo cần thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tính detA, nếu detA 6= 0 chuyển sang bước 2;
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp C = (cij) với cij = (−1) i+j detMij;
Bước 3: Tìm ma trận nghịch đảo theo công thức
Ví dụ 1.3.5 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận sau A
Ta có detA= 1 6= 0⇒A có nghịch đảo c11
ã b Phương pháp khử Gauss–Jordan
* Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận.
+ Đổi chỗ hai hàng của ma trận.
+ Nhân một hàng với một hằng số k6= 0.
+ Cộng k lần hàng r vào hàng s.
* Phương pháp khử Gauss–Jordan: Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Lập ma trận khối (A, I) tức là viết ma trậnI bên phải A.
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa ma trận khối (A, I) về ma trận khối (I, B).
Ví dụ 1.3.6 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận ở Ví dụ 1.3.5
1.3.3 Các tính chất của ma trận nghịch đảo Định lí 1.3.7 Giả sử A và B là hai ma trận vuông cấp n khả đảo Khi đó AB cũng khả đảo và
(AB) − 1 =B − 1 A − 1 Định lí 1.3.8 Nếu A là ma trận vuông cấp n khả đảo và có nghịch đảoA − 1 thì
(3) ∀k6= 0 ta có kA cũng khả đảo và (kA) − 1 = 1 kA − 1
1.3.4 Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận Định nghĩa 1.3.9 Phương trình ma trận là phương trình có dạng AX = B hoặc
XA=B, trong đó: A, B là các ma trận đã biết, A là ma trận vuông cấp n NếuA là ma trận vuông cấpn códetA 6= 0 thì:
(1) Phương trình AX =B có nghiệm làX =A − 1 B.
(2) Phương trình XA=B có nghiệm làX − 1
* Cách giải phương trình (1) và (2)
Bước 1: Tìm ma trận nghịch đảo A − 1
Bước 2: Thực hiện phép nhân hai ma trậnX =A − 1 B đối với phương trìnhAX =B hoặc X − 1 đối với phương trình XA=B.
Ví dụ 1.3.10 Giải phương trình(a)AX =B (b) XA=B với
Theo ví dụ trên ta đã tìm được
Hạng của ma trận
1.4.1 Định nghĩa và ví dụ về hạng của ma trận Định nghĩa 1.4.1 Xét ma trận A= (a ij ) m × n
Cho plà số nguyên dương thoả mãnp≤min(m, n) Ma trận vuông cấp psuy ra từ A bằng cách bỏ đim−phàng, n−pcột gọi là ma trận con cấp p của ma trậnA Định thức của ma trận con đó được gọi là định thức con cấp pcủa ma trận A.
Ví dụ 1.4.2 Xét ma trận cỡ3×4
Các định thức con cấp 3 của A là:
Các định thức con cấp 2 của A là:
Các định thức con cấp 1 của A là:
−3 =−3; . Định nghĩa 1.4.3 Cho ma trận A= (aij)m × n.Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A), là cấp của định thức con khác không cấp cao nhất của A.
Hạng của ma trận không được quy định là bằng không.
Ví dụ 1.4.4 Ở Ví dụ 1.4.2, các định thức con cấp 3 đều bằng không nhưng có định thức con cấp 2 khác không Vậyr(A) = 2.
Chú ý 1.4.5 Vì định thức của một ma trận bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó nênr(A) =r(A T ).
1.4.2 Cách tìm hạng của ma trận a Phương pháp dùng định nghĩa
Bước 1: Tìm số nguyên dương p thoả mãn p≤min(m, n).
Bước 2: Tính tất cả các định thức con cấpptừ cao xuống thấp cho tới khi gặp định thức con khác không thì dừng lại.
Bước 3: Kết luận hạng của ma trận chính là cấp của định thức con khác không đó.
Nhận xét 1.4.6 Phương pháp này chỉ nên áp dụng đối với những ma trận cỡ nhỏ. b Phương pháp khử Gauss–Jordan.
Ví dụ 1.4.7 Trong các ma trận sau đâu là ma trận bậc thang? Tìm hạng của các ma trận đó.
Giải: Các ma trậnA, B, C là ma trận bậc thang r(A) = 2 vì mọi định thức cấp 3 đều bằng không, tồn tại định thức khác không cấp cao nhất là 2 Ma trậnB có định thức khác không cấp cao nhất là cấp 3
Một cách tổng quát ta hoàn toàn có thể chứng minh được định lý sau. Định lí 1.4.8 Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của ma trận đó.
* Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận
(1) Đổi chỗ hai hàng của ma trận;
(2) Nhân một hàng với một hằng sốk 6= 0;
(3) Cộng k lần hàng r vào hàng s. Định lí 1.4.9 Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của một ma trận không làm thay đổi tính bằng không hay khác không của các định thức con của ma trận nên không làm thay đổi hạng của ma trận.
* Nội dung phương pháp khử Gauss–Jordan
Vậy với một ma trậnAbất kì thì đều có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa nó về dạng ma trận bậc thang B, dựa vào định lý 1.4.9 thì r(A) = r(B), mà hạng của ma trận B được tính bằng số hàng khác không của nó (theo định lý 1.4.8), do đó để tìm hạng của ma trậnA bất kì ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa ma trận A về dạng ma trận bậc thang B.
Bước 2: Kết luận r(A) = số hàng khác không của ma trận B.
Ví dụ 1.4.10 Tìm hạng của ma trận sau.
Ví dụ 1.4.11 Xác định α để hạng của ma trận sau là nhỏ nhất
Ta thấy r(A)≥2và minr(A) = 2 khi α= 0.
Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 1.5.1 Hãy tìm số gà và chó trong bài toán sau.
Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn.
Nếu đặt số gà là x, số chó lày,(x >0, y >0) khi đó ta thu được hệ phương trình sau
Hệ trên có là hệ phương trình tuyến tính không? Bạn đọc dễ dàng giải được hệ phương trình trên để trả lời câu hỏi của bài toán ban đầu.
Ví dụ 1.5.2 (1) Phương trình tuyến tính tổng quát trong R 2 có dạng ax+by =c, trong đó a, b, c thuộc tập số thựcR.
(2) Phương trình tuyến tính tổng quát trong R 3 có dạng ax+by+cz = d, trong đó a, b, c, d là các hệ số thuộc tập số thực R. Định nghĩa 1.5.3 Một phương trình tuyến tính n biến x1, x2, xn là một phương trỡnh cú thể viết dưới dạng a1x1+a2x2+ã ã ã+anxn=b trong đú a1, a2, , an và b là các hằng số thuộc tập số thực R.
Ví dụ 1.5.4 Các phương trình nào sau đây là phương trình tuyến tính?
4y−z = 0; Định nghĩa 1.5.5 Nghiệm của một phương trỡnh tuyến tớnha1x1+a2x2+ã+anxn =b là một bộ số thực(s 1 , s 2 , s n )thỏa mãn phương trình đó, tức là khi thayx 1 =s 1 , x 2 s2, , xn =sn vào phương trình tuyến tính ta được một đẳng thức luôn đúng.
1.5.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 1.5.6 Một hệ phương trình tuyến tính là một hệ gồm các phương trình đều là phương trình tuyến tính với cùng các biến Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình tuyến tính vớin ẩn có dạng
(1.1) trong đó x1, x2, , xn là các ẩn aij là các hệ số của phương trình thứ i của ẩn xj;bi là vế phải của phương trình thứi.
Khi m =n ta có một hệ vuông với n phương trình n ẩn.
Khi cácbi = 0∀i, hệ phương trình đó gọi là hệ thuần nhất. Định nghĩa 1.5.7 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là một bộ số thực α (α1, α2, , αn)thỏa mãn mọi phương trình trong hệ.Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là tập hợp gồm tất cả các nghiệm của hệ Giải hệ phương trình tuyến tính là đi tìm nghiệm của nó.
Ví dụ 1.5.8 Ta có hệ
(x1−5x2+ 4x3 = 1 3x1+x2−6x3 = 3 là một hệ 2 phương trình 3 ẩn và hệ (x1−x2 = 1
5x1+ 6x2 = 8 là hệ 2 phương trình 2 ẩn.
1.5.2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
Ta gọi A là ma trận hệ số; A¯ là ma trận bổ sung; b là ma trận vế phải; x là ma trận ẩn của hệ phương trình tuyến tính (1.1).
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính (1.1)là:Ax=b.
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là: Ax= 0.
Ví dụ 1.5.9 Giải hệ phương trình sau
x1 + x2 + x3 = 3 2x1 + 3x2 + x3 = 5 x1 − x2 − 2x3 = −5 Giải.Ta có dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên là
Ta có det A=−56= 0 Ta tính các phần phụ đại số của các phần tử trong ma trậnA như sau: c11
. Nghiệm của phương trình đã cho là
. Vậy hệ phương trình tuyến tính ban đầu có nghiệm duy nhấtx1 = 0;x2 = 1;x3 = 2.
Nhận xét 1.5.10 Trong trường hợp hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số là ma trận vuông và định thức của ma trận đó khác không thì ta có thể tìm nghiệm của hệ bằng cách giải phương trình ma trận tương ứng.
1.5.3 Cách giải hệ phương trình tuyến tính a Phương pháp khử Gauss–Jordan Định nghĩa 1.5.11 Hai hệ phương trình được gọi làtương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. Định lí 1.5.12 Các phép biến đổi sau đây là các phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình:
(1) Đổi chỗ hai phương trình của hệ;
(2) Nhân một phương trình của hệ với một hằng số k 6= 0;
(3) Cộng k lần một phương trình vào một phương trình khác.
Ví dụ 1.5.13 Giải hệ phương trình sau
Ta xem xét sự tương ứng giữa các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình và các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận bổ sung qua bảng đối chiếu sau:
Nhân PT (1.3) với −2rồi cộng vào PT (1.4) Nhân hàng 1 với −2rồi cộng vào hàng 2; Nhân PT (1.3) với −3rồi cộng vào PT (1.5) Nhân hàng 1 với −3rồi cộng vào hàng 3
Nhân PT (1.4’) với −4 ; Nhân hàng 2 với -4,
Nhân PT (1.5’) với 3rồi cộng lại đặt ở vị trí Nhân hàng 3 với 3 rồi cộng lại đặt ở vị phương trình thứ 3, ta được trí hàng 3 có
Nhìn vào bảng trên ta có nhận xét sau:
(1) Có sự tương ứng giữa các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình tuyến tính với các phép biến đổi sơ cấp theo hàng ở ma trận bổ sung, chẳng hạn:
- Phép đổi chỗ hai hàng ứng với phép đổi vị trí hai phương trình trong hệ.
- Phép nhân 1 hàng với một số khác không ứng với phép nhân hai vế của một phương trình trong hệ với một số khác không.
- Phép cộng bội k của một hàng vào một hàng khác ứng với phép cộng bội k của một phương trình vào một phương trình khác.
Nói cách khác các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình thực chất chỉ biến đổi trên bộ hệ số của các phương trình.
Do đó thay cho việc biến đổi trên hệ phương trình có ẩn cồng kềnh như trên ta có thể biến đổi trên ma trận bổ sung của hệ mà không làm thay đổi nghiệm của hệ.
(2) Ma trận bậc thang (II) thu được chính là ma trận bổ sung của hệ phương trình (I) ở cột bên trái Mà hệ này giải rất đơn giản bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên.
(3) Khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss–Jordan, ta chỉ sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng, không sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo cột.
Quay lại Ví dụ 1.5.13 ở trên, từ x3 = −9 thay vào PT (1.4) ta có x2 =−3, thay x2, x3 vào PT(1.3) cóx1 = 7.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
. Định nghĩa 1.5.14 Ma trận A vàB được gọi là tương đương theo hàng nếu sử dụng liên tiếp các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa ma trậnA về ma trậnB. Định lí 1.5.15 Ma trận A và B được gọi là tương đương theo hàng nếu và chỉ nếu chúng có thể biến đổi về cùng một ma trận bậc thang bởi các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận gọi là các phép biến đổi tương đương trên ma trận.
• Các bước giải hệ phương trình tuyến tính bằng khử Gauss–Jordan.
Khi các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của ma trận được áp dụng vào ma trận bổ sung của một hệ phương trình tuyến tính đưa ma trận này về dạng bậc thang thì ma trận bổ sung ban đầu tương đương với ma trận bậc thang thu được và hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ phương trình nhận ma trận bậc thang làm ma trận bổ sung, hệ này giải rất đơn giản bằng phương pháp thế ngược Do vậy để giải một hệ phương trình tuyến tính bất kì ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Lập ma trận bổ sung A.¯
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng đưa A¯về dạng bậc thang B. Bước 3: Kết luận.
Hệ phương trình ban đầu tương đương với hệ phương trình mà nhận ma trận bậc thangB làm ma trận bổ sung Giải hệ này bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên.
Ví dụ 1.5.16 Giải hệ phương trình sau:
Ví dụ 1.5.17 Giải hệ phương trình
Hệ phương trình đã cho tương tương với hệ
⇒ hệ đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 1.5.18 Giải hệ phương trình
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm có dạng
(1) Ví dụ 1.5.16, hệ có nghiệm duy nhất và có r(A) = r( ¯A) = 3 = số ẩn.
(2) Ví dụ 1.5.17, hệ phương trình đã cho vô nghiệm và có r(A) = 26= 3 =r( ¯A).
(3) Ví dụ 1.5.18, hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và có r(A) = r( ¯A) = 3 x0) mà hàmf(x)dần tới một số xác địnhB, thì sốB gọi làgiới hạn phải củaf(x)tạix 0 Ký hiệuf(x 0 +0) = lim x → x + 0 f(x) = B.
Vậy f(x) chỉ có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi tồn tại giới hạn trái A và tồn tại giới hạn phải B và A=B.
Ví dụ 2.1.15 Tìm giới hạn của hàm số y= |x| x +x khi x→0.
Giải:Ta có y (1 +x khi x >0 x−1 khi x