Chúng đều là bài toán cực trị cực tiểu hoặc cực đại của một hàm tuyến tính trên một tập hợp được mô tả bởi một hệ thống hỗn hợp các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính.. 27 Hệ
Đại số tuyến tính
Ma trận
2.1 Các khái niệm cơ bản
- Khái niệm ma trận: Người ta gọi một bảng gồm m x n số thực được sắp xếp thành m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n
- Mỗi số nằm trong ma trận đƣợc gọi là các phần tử, phần tử nằm trong ô hàng i, cột j đƣợc ký hiệu là ai j
- a11, a22, …, amn được gọi là đường chéo chính của ma trận
- mn: Đƣợc gọi là cấp của ,a trận
- a11, a12, …, a1n đƣợc gọi là hàng thứ nhất của ma trận
Ma trận trên có thể viết dưới dạng tổng quát là: A = (ai j) m x n
- Khái niệm ma trận vuông: Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột ( m
- Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là ma trận không, ký hiệu là 0
- Ma trận đối: Cho ma trận A = (ai j) m x n thì ma trận – A = (-ai j) mxn gọi là ma trận đối của ma trận A
Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij) có kích thước m × n được ký hiệu là A^T; phần tử ở hàng i, cột j của A sẽ xuất hiện ở hàng j, cột i của A^T, nghĩa là A^T = (aji) Kết quả là A^T có kích thước n × m Quá trình đổi hàng thành cột (hoặc ngược lại) như vậy cho ta ma trận chuyển vị, giúp bảo toàn các phần tử và sắp xếp lại các chỉ số phục vụ các phép toán ma trận và ứng dụng như giải hệ phương trình, nhân ma trận, hay tối ưu hoá.
Ví dụ: Cho ma trận A =
- Ma trận bằng nhau: Cho ma trận A = (ai j) m x n; B = (bi j) m x n, ma trận A = B
- Ma trận tam giác: Là ma trận vuông có
2.2 Các phép tính ma trận a Phép nhân ma trận với một số
Cho ma trận A = (ai j) m x n và k R ; tích k.A là một ma trận cấp m x n xác định bởi: k.A = (k.ai j) m x n
Ví dụ: Cho ma trận A =
0.A = 0 b Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A = (a_{ij}) có kích thước m×n và B = (b_{ij}) có kích thước n×p (số cột của A bằng số hàng của B) Tích của A và B là ma trận C = AB có cấp m×p, trong đó mỗi phần tử C_{ij} được xác định bằng tổng tích của các phần tử theo hàng i của A và cột j của B: C_{ij} = ∑_{k=1}^{n} a_{ik} b_{k j}, với i = 1,…,m và j = 1,…,p.
Ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + +aip bpj
Để xác định phần tử ở dòng i và cột j của ma trận tích A × B, ta nhân các phần tử ở dòng i của ma trận A với các phần tử tương ứng ở cột j của ma trận B và cộng các tích lại Hay nói cách khác, phần tử tại vị trí (i, j) được cho bởi tổng các tích a(i,k) × b(k,j) khi k chạy từ 1 đến n, với n là số cột của A bằng số hàng của B Đây là cách chuẩn để tính ma trận tích dựa trên quy tắc nhân-nhân từ các phần tử của dòng và cột.
Ví dụ: cho ma trận A =
Phép nhân ma trận A và B chỉ thực hiện được khi số cột của A bằng số dòng của B Vì vậy, khi A.B thực hiện được thì B.A chưa chắc đã thực hiện được Trong trường hợp A, B là hai ma trận vuông cùng cấp, hoặc A là ma trận cấp m x n, B là ma trận cấp n x m thì A.B và B.A đều có thể thực hiện được, nhưng nói chung A.B ≠ B.A.
3, k(B.C) = (kB).C = B(kC) c Tổng hoặc hiệu của hai ma trận
Cho ma trận A = (ai j) m x n và B = (bi j) m x n là hai ma trận cùng cấp m x n:
A + B = (ai j + bi j) m x n tức là ( A + B+)i j = ai j + bi j
Nhƣ vậy muốn cộng 2 ma trận cuàng cấp, ta cộng các phần tử ở cùng vị trí của hai ma trận thành phần
Ví dụ: Cho ma trận A =
2.3 Các phép biến đổi ma trận.
- Đổi chỗ hai dòng hoặc cột
- Nhân tất cả các phần tử của một dòng (hoặc cột) với cùng một số khác không
- Cộng vào các phần tử của một dòng (cột) các phần tử tương ứng của một dòng (cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số nào đó
Mỗi ma trận cấp m×n có thể xem như một hệ gồm m vectơ dòng hoặc n vectơ cột, nên các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận thực chất là các biến đổi sơ cấp trên hệ vectơ dòng và hệ vectơ cột của ma trận đó.
Định thức
3.1 Cách xác định giá trị định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n: A
Trong ma trận A cấp n, nếu ta bỏ đi dòng i và cột j, ta được ma trận vuông cấp n-1 ký hiệu Mi j, được gọi là ma trận con tương ứng với aij Ma trận con Mi j chứa toàn bộ các phần tử của A trừ hàng i và cột j đã bị loại bỏ, nên Mi j thể hiện cấu trúc quanh phần tử aij Việc xác định Mi j là bước cơ bản trong tính định thức và hệ số cofactor của aij, đồng thời là cơ sở cho việc mở rộng định thức theo hàng hoặc theo cột Các khái niệm liên quan như cofactor Cij và expansion theo hàng hoặc theo cột đều dựa trên ma trận con Mi j.
Ví dụ: Cho ma trận A
12 nếu ta bỏ đi hàng 1 và cột 1 thì ta đƣợc M11 =
23 22 nếu bỏ đi hàng 2 cột 1 thì ta đƣợc M21 =
3.1.2 Định thức của ma trận vuông
Cho A là ma trận vuông, định thức của A ký hiệu là det (A) hay | A| đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
A là ma trận cấp 1: A = a 11 det(A) = a11
3.1.3 Các phương pháp tính định thức a Định thức cấp 2:
Các số hạng mang dấu cộng được tính bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính, sau đó nhân với tích hai phần tử nằm trên mỗi đường chéo song song với đường chéo chính sao cho có phần tử ở góc đối diện.
Định thức cấp 3 theo quy tắc Sarrus được tính bằng tổng các tích của các đường chéo chính và các đường chéo song song với đường chéo chính, trừ đi các tích tương ứng trên các đường chéo song song với đường chéo phụ; các số hạng mang dấu âm được tính bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo phụ và tích hai phần tử nằm trên mỗi đường chéo song song với đường chéo phụ với phần tử nằm ở góc đối diện Định thức cấp n được xử lý bằng các phương pháp tổng quát như mở rộng theo hàng hoặc theo cột, hoặc dùng các thuật toán số như phân tích LU để tính giá trị của ma trận có kích thước n.
* Phương pháp khai triển theo dòng, cột:
Trong ma trận vuông cấp n, phần bù đại số của phần tử a_{ij} được định nghĩa bằng cofactor C_{ij} = (-1)^{i+j} det(M_{ij}), với M_{ij} là ma trận con thu được sau khi loại bỏ hàng i và cột j từ A Phần bù đại số này đóng vai trò quan trọng trong các quá trình mở rộng định thức theo hàng hoặc theo cột và trong việc tính nghịch đảo ma trận.
Ví dụ: Cho ma trận A
Chú ý: Đối với tổng số mũ là chẵn thì kết quả để nguyên dấu, ngƣợc lại tổng số mũ là lẻ thì kết quả đổi dấu
- Định thức của A đƣợc tính theo một trong hai công thức sau:
|A| = ai1.Ai1 + ai2.Ai2 + +ain.Ain i 1 , n
Định thức của ma trận A cấp n có thể được tính bằng hai công thức khai triển theo dòng và theo cột Hai công thức này cho phép đưa việc tính định thức cấp cao về cấp thấp bằng cách nhân mỗi phần tử của một hàng hoặc một cột với định thức của các ma trận con tương ứng và cộng lại Cụ thể, khi khai triển theo một hàng (hoặc theo một cột) cố định, det(A) = ∑_k a_{ik} C_{ik} (hoặc det(A) = ∑_k a_{k j} C_{k j}), trong đó C_{ik} là cofactor của phần tử a_{ik} Nhờ đó ta có thể tính định thức cho ma trận n×n bằng các định thức con kích thước (n−1)×(n−1).
Ví dụ: Tính định thức sau: Khai triển theo hàng 3
* Biến đổi định thức về dạng tam giác:
Ví dụ: Cho định thức
3.2 Tính chất của định thức
Tính chất 1: det(A) = det(A t ) hay |A| = |A t |
Tính chất 2: Đổi chỗ hai dòng (cột) của định thơcs thì định thức đổi dấu
Tính chất 3: Một định thức có hai dòng (cột) nhƣ nhau thì bằng 0
Tính chất 4: Một định thức có các phần tử nằm cùng một dòng (cột) = 0 thì định thức = 0
Tính chất 5: Khi nhân các phần tử một dòng (cột) với cùng một số k thì đƣợc định thức mới gấp k lần định thức ban đầu
Tính chất 6: Một định thức có 2 dòng (cột) tỉ lệ thì = 0
Trong Tính chất 7, khi mọi phần tử của một hàng hoặc một cột đều có dạng tổng của hai số hạng, định thức của ma trận có thể được phân tích thành tổng của hai định thức riêng biệt Điều này có nghĩa là ta có thể tách ma trận thành hai phần tương ứng và tính định thức bằng tổng của hai định thức tương ứng, từ đó đơn giản hóa quá trình tính toán và tối ưu hóa việc phân tích ma trận có cấu trúc tổng.
Tính chất 8: Nếu định thức có chứa một dòng (cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (cột) khác thì định thức ấy = 0
Tính chất 9: Khi cộng bội k của dòng (cột) vào một dòng (cột) khác thì đƣợc định thƣca mới bằng định thức cũ.
Ma trận nghịch đảo
Cho A là ma trận vuông cấp n Ma trận nghịch đảo của ma trận A là ma trận A -1 với điều kiện |A| 0
4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo
Cách 1: Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Nếu A là ma trận vuông có det(A) 0 thì tồn tại A -1 và A -1 đƣợc tìm nhƣ sau:
+ Tìm ma trận các phần bù đại số ứng với các phần tử của A : C = (Ai j) + Tìm C t
Ví dụ: Cho ma trận A
1 hãy tìm ma trận nghịch đảo A -1 Giải: Để tồn tại A -1 thì |A| 0
Cách 2: Dựa vào các phép biến đổi về dòng của ma trận A
- Nhân các phần tử của 1 dòng với một số 0
- Cộng bội k của một dòng vào dòng khác
Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính là hệ có dạng
Trong đó: x1, x2, , xn là các ẩn số ai j và bi ( i = 1 , m ; j 1 , n ) là các hệ số
Hệ phương trình tuyến tính có thể viết gọn như sau:
Từ hệ phương trình tuyến tính (1) ta có thể lập được các ma trận sau đây
A là ma trận hệ số
B là ma trận hệ số tự do
A là ma trận hệ số mở rộng
hệ (1) có thể viết dưới dạng phương trình: A X = B
5.2.1 Các dạng hệ phương trình tuyến tính a Hệ thuần nhất:
Là hệ phương trình tuyến tính có các hệ số tự do b1 = b2 = …= bm=0
Dễ thấy rằng hệ thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm x 1 = x 2 = …= xm=0 b Hệ tam giác là hệ phương trình có dạng
Dễ dàng tìm nghiệm của hệ tam giác bằng cách xác định lần lƣợt xn, xn-1, ,xi theo thứ tự từ phương trình dưới cùng trở lên
Hệ tam giác có nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
Từ phương trình (3) ta có: x3 = -1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1, 2, -1) c Hệ hình thang
Là hệ phương trình tuyến tính có dạng:
Các ẩn x_n, x_{n-1}, , x_i được gọi là các ẩn chính, còn lại các ẩn gọi là ẩn tự do Khi ta chuyển tất cả các số hạng chứa ẩn tự do sang vế phải, ta được một dạng biểu diễn rõ ràng, trong đó các ẩn chính và ẩn tự do được phân tách thành hai nhóm.
Để giải hệ tuyến tính, gán cho mỗi ẩn tự do một giá trị tùy ý, ví dụ x_{s+1} = α_{s+1}, , x_n = α_n Khi đó hệ trên trở thành hệ tam giác đối với các ẩn chính, và từ đó có thể giải theo thứ tự ngược lại để thu được x_1 = α_1, x_2 = α_2, , x_s = α_s.
Như vậy, hệ được cho bởi các tham số α1, α2, , αs, αs+1, , αn là một hệ đã cho; vì αs+1, , αn được chọn tùy ý nên hệ có vô số nghiệm Hệ Crame là hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số là ma trận vuông không suy biến, tức là ma trận có định thức khác 0, từ đó cho nghiệm duy nhất.
Hệ Crame là hệ có dạng:
Có thể viết dưới dạng phương trình như sau: A.X = B
A là ma trận hệ số
B là ma trận hệ số tự do
Hệ Crame có nghiệm duy nhất
5.2.2 Phương pháp giải a Phương pháp Crame (chỉ dùng để giải hệ Crame)
Cho hệ Crame là hệ có dạng:
(cột J) dj (với j= 1 , n ) là định thức của ma trận hệ số sau khi thay cột thứ J bằng cột hệ số tự do
Hệ có nghiệm duy nhất: xj = ( j 1 , n ) d d j
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau
20= 1 vậy nghiệm của hệ phương trình là (2, -1, 1) b Giải hệ bằng phương pháp Gauss:
Đầu tiên, ta lập ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình Tiếp theo, sử dụng các phép biến đổi ma trận (phép biến đổi hàng) để đưa ma trận hệ số mở rộng về dạng ma trận tam giác hoặc hình thang Khi đạt được dạng tam giác hoặc hình thang, hệ phương trình tuyến tính sẽ được giải dễ dàng bằng phép thế ngược hoặc các kỹ thuật giải hệ tuyến tính tương ứng.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Giải: Ta lập ma trận hệ số mở rộng
Dùng phép biến đổi để đưa ma trận A về ma trận tam giác dưới bằng cách nhân 2 vào hàng 1 sau đó cộng xuống hàng 2 theo đúng vị trí
Tương tự ta lấy -3 nhân với hàng 1 và cộng xuống hàng 3
Lấy 1 nhân với hàng 1 sau đó cộng xuống hàng 4
Biến đổi làm sao để toàn bộ giá trị ở tam giác dưới về 0
Hệ phương trình chứa một phương trình vô nghiệm là:
Bài tập
Bài 1: Thực hiện phép tính a 3
Bài 2: Tính các định thức sau
Bài 3: Giải hệ phương trình a
Bài 4: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau a.
Bài 5: Giải hệ sau bằng phương pháp Crame: a
Bài 6: Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss a
Phương pháp đơn hình và Bài toán đối ngẫu
Các khái niệm, tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính
1.1 Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính
Nhân dịp Tết Trung thu, một xí nghiệp dự định sản xuất ba loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm và bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất ba loại bánh này, doanh nghiệp cần các nguyên liệu như đường, đậu, bột, trứng, mứt và lạp xưởng; lượng đường có thể chuẩn bị được là 500 kg, đậu là 300 kg, các nguyên liệu khác có thể bổ sung tùy ý Lợi nhuận bán mỗi chiếc bánh và lượng đường, đậu dùng cho từng loại bánh được cho trong bảng dữ liệu Mục tiêu là xác định cách phân bổ nguồn lực và lên kế hoạch sản xuất tối ưu để tối đa hóa lợi nhuận từ bán các loại bánh trong dịp Tết Trung thu.
Bánh đậu xanh Bánh thập cẩm Bánh dẻo Đường: 500kg 0,06kg 0,04kg 0,07kg Đậu: 300kg 0,08kg 0 0,04kg
Để tối ưu lợi nhuận và không bị động về đường và đậu, cần lập kế hoạch sản xuất cho từng loại bánh bao, xác định trước số lượng mỗi loại và khối lượng đường, đậu cùng các nguyên liệu khác Kế hoạch này giúp phân bổ nguồn nguyên liệu hợp lý để không thiếu hụt và vẫn đảm bảo sản phẩm được tiêu thụ hết, với giả định rằng bất cứ mức sản xuất nào cũng bán hết Mục tiêu là đạt tổng lãi lớn nhất bằng cách cân đối sản lượng với nguồn nguyên liệu có hạn và nhu cầu thị trường.
Gọix 1 ;x 2 ;x 3 lần lƣợt là số lƣợng bánh đậu xanh, thập cẩm, bánh dẻo cần làm
Ta có mô hình toán h c của bài toán:
Mô hình toán h c dư i dạng ma trận:
B 500 véc tơ số hạng tự do
x 1 ;x 2 ;x 3 x là véc tơ ẩn số
Một véc tơ x x 1 ;x 2 ;x 3 thỏa (2) và(3) gọi là 1 phương án của bài toán
Một phương án x x 1 ;x 2 ;x 3 thỏa (1) gọi là 1 phương án tối ưu của bài toán
Ví dụ 2: Marketing: Lựa chọn phương tiện thông tin – quảng cáo thiếp thị có hiệu quả
Để đạt hiệu quả quảng cáo tối đa trong ngân sách 1.600.000 đồng và các giới hạn thời lượng (radio tối thiểu 5 phút, TV tối đa 4 phút), với chi phí 80.000 đồng/phút cho radio và 400.000 đồng/phút cho TV, và theo phân tích cho thấy mỗi phút quảng cáo trên TV có hiệu quả gấp 6 lần trên radio, giải pháp tối ưu là phân bổ 5 phút trên phát thanh và 3 phút trên truyền hình Tổng chi phí là radio 5×80.000 = 400.000 đồng và TV 3×400.000 = 1.200.000 đồng, tổng cộng 1.600.000 đồng Hiệu quả tổng là 5 + 6×3 = 23 đơn vị, vì vậy công ty nên đặt quảng cáo 5 phút trên phát thanh và 3 phút trên truyền hình để tối ưu hóa hiệu quả.
Trong mô hình tối ưu hóa quảng cáo, công ty dự định đặt quảng cáo trên hai kênh là phát thanh (x1 phút) và truyền hình (x2 phút) Chi phí quảng cáo được tính bằng 80.000x1 + 400.000x2 đồng, và ngân sách cho chiến dịch được giới hạn bởi điều kiện 80.000x1 + 400.000x2 ≤ 1.600.000 đồng Do đó, x1 và x2 phải thỏa mãn x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 và tổng chi phí không vượt quá ngân sách; đây là khu vực khả thi của mô hình và là cơ sở để xác định thời lượng quảng cáo tối ưu trên từng kênh.
Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đƣa ra, ta phải có x1 ≥ 5, x2≤ 4 Đồng thời do x1, x2 là thời lƣợng nên x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Hiệu quả chung của quảng cáo là x1 + 6x2.
Nhƣ vậy chúng ta có bài toán:
Xác định x1, x 2 sao cho: x 1 + 6x 2 Max
Với các điều kiện: 80.000x1 + 400.000x2≤ 1.600.000đ x1 ≥ 5, x2≤ 4 và x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 bài toán có cấu trúc nhƣ trên gọi là bài toán QHTT
Ví dụ 3: Đầu tư tài chính: Lựa chọn danh mục đầu tƣ
Tình huống: Một công ty đầu tư dự định dùng quỹ đầu tư 500 tỷ đồng để mua một số cổ phiếu trên thị trường chứng khoán Công ty đưa ra các tiêu chí đầu tư rõ ràng, lên kế hoạch phân bổ danh mục và áp dụng chiến lược đa dạng hóa nhằm tối ưu lợi nhuận và kiểm soát rủi ro Quy trình đánh giá cổ phiếu kết hợp phân tích cơ bản và phân tích kỹ thuật, với ngưỡng rủi ro được thiết lập cũng như biên lợi nhuận kỳ vọng cho từng mục tiêu đầu tư Công ty đồng thời công bố các biện pháp quản trị thanh khoản, giám sát hiệu quả quỹ và các điều kiện giao dịch nhằm tăng tính minh bạch cho nhà đầu tư và đảm bảo sự bền vững của danh mục trên thị trường chứng khoán Việt Nam.
Trong chiến lược đầu tư, 23 giới hạn trên về số tiền mua từng loại chứng khoán được đặt ra nhằm đa dạng hóa danh mục và ngừa rủi ro Bảng dưới đây cung cấp số liệu về các giới hạn này cùng với lãi suất của các chứng khoán, giúp nhà đầu tư so sánh và lên kế hoạch phân bổ nguồn vốn một cách hiệu quả.
Loại chứng khoán Lãi suất (Trung bình) Giới hạn mua
Để ngăn ngừa rủi ro và tăng tính đa dạng của danh mục đầu tư, công ty quy định rằng khoản đầu tư vào cổ phiếu A và cổ phiếu C phải chiếm ít nhất 55% tổng số vốn đầu tư và cổ phiếu B phải chiếm ít nhất 15% tổng số tiền đầu tư thực hiện Xác định số tiền công ty sẽ mua từng loại cổ phiếu (một danh mục đầu tư) sao cho tổng số tiền đầu tư vào A, B và C không vượt quá ngân sách dự kiến, đồng thời đáp ứng yêu cầu đa dạng hóa và đạt mức lợi nhuận trung bình kỳ vọng cao nhất.
Mô hình hóa: Gọi xA, x B , x C , x D là các khoản tiền từ quỹ đầu tƣ dùng để mua các loại chứng khoán A, B, C, D Rõ ràng là xA, xB, xC, xD 0 Từ điều kiện về đa dạng hóa và về quy mô đầu tƣ ta thấy: xA 100.000, xB 300.000, xC 250.000, xD 320.000 xA + xC 0,55 (xA+ xB + xC + xD) xB 0,15 (xA+ xB + xC + xD) xA+ xB + xC + xD 500.000
Mức lãi tương ứng với danh mục (xA+ xB + xC + xD) là:
Với các điều kiện: xA + xC 0,55 (xA+ xB + xC + xD) xB 0,15 (xA+ xB + xC + xD) xA+ xB + xC + xD 500.000
Có 3 xí nghiệp may cùng có thể sản xuất áo vét và quần Do trình độ công nhân, tài tổ chức, mức trang bị kỹ thuật…khác nhau, nên hiệu quả của đồng vốn ở các
24 xí nghiệp cũng khác nhau Gỉa sử đầu tƣ 1000 vào mỗi xí nghiệp thì cuối kỳ ta có kết quả
Lƣợng vải và số giờ công cần thiết để sản xuất 1 áo hoặc 1 quần ( gọi là suất tiêu hao nguyên liệu và lao động) đƣợc cho ở bảng sau:
Tổng số vải và giờ công lao động có thể huy động đƣợc cho cả 3 xí nghiệp là 10.000m và 52.000 giờ công
Theo hợp đồng kinh doanh thì cuối kỳ phải có tối thiểu 1500 bộ quần áo Do đặc điểm hàng hóa, nếu lẻ bộ chỉ có quần là dễ bán
Hãy lập kế hoạch đầu tƣ vào mỗi xí nghiệp bao nhiêu vốn để :
- Hoàn thành kế hoạch sản phẩm.
- Không khó khăn về tiêu thụ
- Không bị động về vải và tiêu thụ.
- Tổng số vốn đầu tƣ nhỏ nhất là điều nổi bật cần quan tâm.
1)Gọi x 1 ;x 2 ;x 3 lần lƣợt là số đơn vị vốn đầu tƣ ( 1000 ) vào mỗi xí nghiệp
2)Tổng số áo của 3 XN: 35x 1 40x 2 43x 3 ,
3)Tổng số quần của 3 XN: 45x 1 42x 2 30x 3 , Để không khó khăn về tiêu thụ thì:
4)Tổng số bộ quần áo= Tổng số áo của 3 XN: 35x 1 40x 2 43x 3 ,
5) Tổng số mét vải của 3 xí nghiệp ( dùng để may áo và quần ):
6) Tổng số giờ công của 3 xí nghiệp:
7) Tổng số vốn đẩu tƣ( đơn vị: 1000 ): x 1 x 2 x 3
Mô hình toán học dưới dạng ma trận:
1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính và các dạng đặc biệt
1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính và các khái niệm a Bài toán quy hoạch tuyến tính
Mô hình bài toán đƣợc thiết lập từ các ví dụ trên tuy nhiên có khác nhau về nội dung phản ảnh nhưng xét về hình thức, về cấu trúc, chúng đều có tính chất tương tự Chúng đều là bài toán cực trị (cực tiểu hoặc cực đại) của một hàm tuyến tính trên một tập hợp được mô tả bởi một hệ thống hỗn hợp các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính Một cách tổng quát, mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng nhƣ sau:
Trong bài toán, I1, I2 và I3 là ba tập chỉ số rời nhau (không giao nhau) và được gộp thành I = I1 ∪ I2 ∪ I3 Với i ∈ I và j = 1,…,n, các hệ số a_{ij}, b_i, c_j được xem là hằng số (có thể là tham số của mô hình) Các biến x_j với j = 1,…,n là các ẩn số (biến quyết định) của bài toán Những khái niệm này xác định cấu trúc và phạm vi của bài toán tối ưu, cho phép liên kết giữa các tham số và các biến để hình thành bài toán dễ hiểu và tối ưu hóa.
Bài toán QHTT là một mô hình toán kinh tế với các biến nội sinh gồm z và x_j (j = 1, …, n) và các biến ngoại sinh gồm a_i_j (i ∈ I, j = 1, …, n), b_i và c_j Trong phần này, ta giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan để làm rõ cấu trúc và phạm vi phân tích của mô hình QHTT.
- Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu
- Hệ (1.2) đến (1.4) gọi là hệ ràng buộc (hệ điều kiện) của bài toán.
Với mỗi chỉ số i thuộc tập I, ta có một phương trình hoặc bất phương trình tương ứng và được gọi là ràng buộc thứ i Đối với ràng buộc thứ i, ta có một vector hàng t_i chứa các hệ số a_ij của các biến x_j xuất hiện trong ràng buộc đó Như vậy, mỗi ràng buộc được mô tả bằng một vector hệ số liên kết với các biến quyết định x_j, và các ràng buộc này hợp thành hệ ràng buộc của bài toán tối ưu tuyến tính.
Ta kí hiệu vectơ này là A_i* Khi một tập hợp ràng buộc có hệ vectơ A_i* tương ứng độc lập tuyến tính với nhau, ta gọi đó là các ràng buộc độc lập tuyến tính.
Giải 1 bài toán QHTT ta đi tìm phương án tối ưu hoặc chỉ ra bài toán không có phương án tối ưu
1.2.2 Các dạng đặc biệt a Bài toán dạng chính tắc
TH1: Nếu các ràng buộc của bài toán không có ràng buộc về dấu thì bài toán có dạng dưới đây gọi là bái toán QHTT dạng chính tắc: f(x) =
Trong bài toán ở dạng chuẩn, hệ ràng buộc được chia thành hai nhóm cơ bản: nhóm (1.6) gồm các ràng buộc dạng phương trình và nhóm ràng buộc bất phương trình (1.7) chỉ bao gồm các ràng buộc về dấu, tức là ràng buộc không âm đối với tất cả các biến.
Bài toán sau đây có dạng chính tắc:
TH 2: Các ràng buộc có dấu bất đẳng thức
1) Nếu gặp ràng buộc dạng: n i j j ij x b a
1 ta cộng thêm vào vế trái 1 ẩn phụ không âm x i 1 0 để biến về dạng phương trình: i n n j j ij x x b a
2) Nếu gặp ràng buộc dạng: n i j j ij x b a
1 ta cộng thêm vào vế trái 1 ẩn phụ không âm x i 1 0, với hệ số -1 để biến về dạng phương trình: i n n j j ij x x b a
Phương pháp đơn hình
2.1 Nội dung và cơ sở của phương pháp a Nội dung của phương pháp
Xuất phát từ một phương án cực biên, ta đánh giá phương án ấy và nếu nó chưa tối ưu thì di chuyển sang một phương án cực biên mới tốt hơn; quá trình này lặp lại cho đến khi đạt tối ưu hoặc ta kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn Số lượng phương án cực biên của một bài toán là hữu hạn, do đó sau một giới hạn số bước lặp, ta sẽ nhận được một trong hai kết quả: hoặc tìm được phương án cực biên tối ưu, hoặc khẳng định bài toán không giải được Đây là nội dung cơ bản và nền tảng của phương pháp đơn hình.
Để xây dựng nền tảng cho phương pháp đơn hình và hiện thực hóa các định hướng trong nội dung của nó, chúng ta cần phân tích mối quan hệ giữa nghiệm cực biến và nghiệm bất kỳ của bài toán Nhờ mối quan hệ này, ta có thể thiết lập một số định lý trung tâm, vừa đảm bảo cơ sở lý thuyết cho phương pháp đơn hình, vừa chỉ dẫn cách thực hiện phương pháp một cách có hệ thống.
* Quan hệ giữa phương án cực biên và phương án của bài toán
Xét bài toán dạng chính tắc: f(x) =
Trong bài toán, với i = 1 đến m và x_j ≥ 0 với j = 1 đến n, x^0 được xem là một phương án cực biên với cơ sở J0 Ta ký hiệu vectơ bao gồm các thành phần cơ sở của PACB là X_{J0} và ma trận các vectơ cơ sở là A_{J0} = [A_j : j ∈ J0].
Khi đó vì x k 0 = 0 ( k J 0 ), từ hệ phương trình Ax = b có thể viết A J 0 X J 0 = b
X_{J0} = A_{J0}^{-1} b; đây là biểu thức phân tích vector b theo cơ sở J0 Như vậy, các thành phần cơ sở của phương án cực biên chính là các hệ số phân tích của vector b theo cơ sở J0 Mặt khác, các vector phi cơ sở A_k với k ∈ J0 cũng có thể phân tích theo cơ sở J0 Gọi các hệ số phân tích của A_k là x_j^k, vector hệ phân tích tương ứng là X^k. -**Support Pollinations.AI:** -🌸 **Ad** 🌸Powered by Pollinations.AI free text APIs [Support our mission](https://pollinations.ai/redirect/kofi) to keep AI accessible for everyone.
Và ta có công thức xác định Xk = 1 J 0 A k (1.8)
Ta sẽ định nghĩa đại lƣợng Δk (k J 0 ) bằng công thức sau: Δk =
- ck (1.9) và gọi nó là ƣớc lƣợng của biến xk theo cơ sở J0
Ký hiệu cJ = (cj: j J0), khi đó có thể viết: Δk = (cJ, Xk) – ck, nói riêng thì Δj = 0 (j J0), tức là ƣớc lƣợng của biến cơ sở luôn = 0
Cho x = (x1, x2, , xn) là một nghiệm bất kỳ của bài toán, ta có thể áp dụng một chuỗi phép biến đổi phù hợp để chứng minh rằng x có một mối quan hệ xác định với một nghiệm tham chiếu x0 Qua các biến đổi này, tồn tại một ánh x từ x0 đến x sao cho x = F(x0) hoặc x0 = G(x), và các đặc trưng quan trọng của bài toán được bảo toàn trong quá trình biến đổi Mối quan hệ này cho phép ta khái quát mọi nghiệm và cung cấp cơ sở để so sánh, tối ưu hóa và kiểm tra tính nhất quán của các nghiệm trong không gian n chiều.
0 j J0 (1.10) Đồng thời trị số của hàm mục tiêu tương ứng với các phương án x 0 và x có mối quan hệ: f(x) = f(x 0 ) -
Ngược lại, nếu x = (x1, x 2 , ,x n ) ≥ 0 và thỏa mãn điều kiện (1.10) thì x là phương án của bài toán và khi này đối với x 0 và x ta vẫn có biểu thức (1.11)
* Các định lý cơ bản Định lý 2: Dấu hiệu tối ưu của phương án cực biên
Trong bài toán dạng chuẩn, với phương án cực biên x0 và cơ sở J0, nếu Δk ≤ 0 (với mọi k ∉ J0) khi bài toán là Min hoặc Δk ≥ 0 (với mọi k ∉ J0) khi bài toán là Max, thì x0 là phương án tối ưu Định lý 3: Dấu hiệu bài toán không giải được.
Nếu đối với phương án cực biên 0 với cơ sở J 0 của bài toán dạng chính tắc mà: Δ k > 0 mà x i k ≤ 0( k J 0 ) với bài toán có f( ) Min hoặc Δ k ≤ 0 màx i k > 0
Trong bài toán tối ưu, với mọi k thuộc tập J0, nếu bài toán có f(x) và các điều kiện liên quan khiến hàm mục tiêu không bị chặn trên tập phương án thì bài toán có thể không giải được Định lý 4 nêu Dấu hiệu điều chỉnh phương án cực biên, tức là nhận diện và xác định hướng di chuyển của nghiệm khi tối ưu nằm ở biên của tập khả thi Dấu hiệu này cho thấy cách điều chỉnh phương án để duy trì tính khả thi và tối ưu hóa, đồng thời giúp dự báo sự biến thiên của nghiệm khi tham số hoặc ràng buộc thay đổi Việc nắm bắt Dấu hiệu điều chỉnh phương án cực biên sẽ hỗ trợ xây dựng chiến lược tối ưu hóa hiệu quả và ổn định hơn.
Nếu đối với phương án cực biên 0 với cơ sở J 0 của bài toán dạng chính tắc mà: Δ k > 0 đều tồn tại i k > 0 với bài toán có f( ) Min hoặc Δ k < 0 đều tồn tại i k >
0 với bài toán có f( ) Ma thì có thể điều chỉnh PACB 0 để chuyển sang một phương án cực biên mới tốt hơn.
2.2 Thuật toán của phương pháp đơn hình a Nội dung của thuật toán đơn hình
Giả thiết bài toán cần giải ở dạng chính tắc; nếu chưa đúng dạng, ta sẽ áp dụng các phép biến đổi để đưa về dạng chính tắc Đồng thời, ta đã biết một nghiệm biên x0 và một cơ sở J0, điều này giúp định vị phương án tối ưu và xác định tập biến liên quan trong bài toán.
Để không làm mất tính tổng quát của bài toán, ta có thể giả sử J0 gồm đúng m vectơ đầu tiên, ký hiệu J0(1,2, ,m), tức là cơ sở được tạo thành bởi các vectơ A1,A2, ,An Thuật toán được mô tả qua các bước sau để xác định và điều chỉnh cơ sở: thiết lập J0 từ m vectơ đầu tiên; kiểm tra tính độc lập tuyến tính và sắp xếp các vectơ cho phù hợp; thực hiện các phép biến đổi cần thiết để tối ưu hóa cấu trúc cơ sở; và kết thúc bằng việc cung cấp cơ sở cuối cùng cùng với các kết quả liên quan.
Bước 1: Lập bảng đơn hình ứng với PACB 0
Bảng này ghi lại các số liệu liên quan tới x0 mà ta sẽ dùng trong quá trình giải bài toán, bao gồm hệ số phân tích của vector b và các vector điều kiện Ak theo cơ sở đã chọn Những thông tin này giúp xác định nhanh tham số x0 và kiểm tra tính phù hợp giữa vector b với tập vector điều kiện Ak khi biến đổi cơ sở, từ đó hỗ trợ quá trình giải bài toán một cách có hệ thống và tin cậy.
J 0 , các thành phần cơ sở của x 0 , hệ thống Δ j và các d liệu khác theo mẫu bảng dưới đây:
C1 C2 Cr Cm Cm+1 Cm+2 Ck Cs Cn x 1 x 2 x r x m x m+1 x m+2 x k x s x n
0 0 1 0 xrm+1xrm+2 xrk xrs xrn
0 0 0 1 xmm+1xmm+2 xmk xms xmn f(x) f(x 0 ) 0 0 0 0 Δm+1Δm+2 Δk Δs Δn
Sau khi lập xong bảng ta chuyển sang bước 2
Bước 2: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu của PACB
Dựa vào số liệu ghi ở ròng cuối của bảng đơn hình ( từ cột 4 trở đi)
Nếu Δk ≤ 0 ( k J 0 ) với bài toán có f(x) Min hoặc Δk ≥ 0 ( k J 0 ) với bài toán có f(x) Max thì x 0 là phương án tối ưu Ta có trị tối ưu là f(x 0 ) Quá trình giải kết thúc
Nếu tồn tại một Δk > 0 với bài toán có f(x) Min hoặc Δk < 0 với bài toán có f(x) Max thì x 0 không phải là PATƯ, chuyển sang bước 3
Bước 3: Kiểm tra tính không giải được của bài toán
Nếu tồn tại một Δk > 0 mà xi k ≤ 0 ( k J 0 ) với bài toán có f(x) Min hoặc Δk ≤
0 màxi k > 0 ( k J 0) với bài toán có f(x) Max thì bài toán sẽ không giả đƣợcvì trị số hàm mục tiêu không bị chặn
Nếu với mỗi Δk > 0 đều có ít nhất một xjk > 0 với bài toán có f(x) Min hoặc Δk
< 0 đều có ít nhất một xjk > 0 với bài toán có f(x) Max thì chuyển sang bước 4
Bước 4: Điều chỉnh PACB và lập bảng đơn hình
- Chọn vec tơ đƣa vào cơ sở:
Tìm Max của Δk với Δk > 0 nếu bài toán có f(x) Min, giả sử Max Δk = Δs vec tơ As đƣợc đƣa vào cơ sở
Tìm Min của Δk với Δk < 0 nếu bài toán có f(x) Max, giả sử MinΔk = Δs vec tơ
As đƣợc đƣa vào cơ sở
- Chọn vec tơ đƣa ra khỏi cơ sở
Quy tắc áp dụng chung cho cả hai trường hợp: Bài toán có f(x) Min và bài toán có f(x) Max
0 với r J0, xr s > 0), vec tơ Ar bị loại khỏi cơ sở, phần tử trục của phép biến đổi xrs, trong bảng đóng khung phần tử này
Lập một mẫu bảng đơn hình mới, ở vị trí xr ghi x s và ghi
Tính các dòng của bảng đơn hình mới (bắt đầu từ cột thứ 3 trở đi) theo quy tắc sau:
Để tính dòng ứng với vector đưa vào (ứng với xs) trong bảng mới, ta lấy dòng ứng với vector loại ra (ứng với xr) trong bảng cũ và chia cho phần tử trục Dòng này được gọi là dòng chuẩn.
+ Để tính dòng ứng với xj trong bảng mới, ta lấy dòng xj trong bảng cũ trừ đi dòng chuẩn sau khi nhân nó (dòng chuẩn) với xjs
+ Để tính dòng cuối cùng của bảng mới, ta lấy dòng cuối của bảng cũ trừ đi dòng chuẩn sau khi nhân nó (dòng chuẩn) với Δs
Kết quả của quá trình biến đổi sẽ cho ta bảng đơn hình ứng với phương án cực biên mới x1, tốt hơn x0 Sau bước điều chỉnh này, giá trị mục tiêu f(x) sẽ thay đổi một lượng Δs Đối với x1, ta quay trở lại bước tối ưu hoá tiếp theo để tiếp tục tìm kiếm phương án cực biên mới trong chu trình tối ưu hóa.
Trong bài toán tối ưu được giải bằng thuật toán đơn hình, quá trình lặp lại có thể kết thúc sau một số bước hạn chế hoặc đi đến kết luận bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chặn hoặc không tìm được phương án biến đổi tối ưu Trong quá trình tính toán, các bảng đơn hình được lập kế hoạch lần lượt nhằm thuận tiện cho việc biến đổi trên từng bước Các chú ý khi áp dụng thuật toán gồm kiểm tra điều kiện dừng, đảm bảo tính hợp lệ của các biến và đánh giá sự cải thiện của giá trị mục tiêu ở mỗi bảng để quyết định có tiếp tục hay dừng lại.
Trong quá trình giải bài toán tối ưu, việc ghi nhớ các dấu hiệu cho cả hai trường hợp f(x) → Min và f(x) → Max có thể gây phiền toái Vì vậy, ta có thể chỉ ghi nhớ một trường hợp duy nhất để đơn giản hóa quá trình nhận diện và xử lý bài toán, ví dụ ghi nhớ trường hợp f(x) → Min Việc tập trung vào một trường hợp tối ưu giúp giảm sự phức tạp và vẫn đảm bảo xác định đúng hướng đi của f(x) khi xét các bài toán tối ưu.
Để giải bài toán tối đa f(x), ta có thể chuyển sang bài toán tối thiểu với hàm g(x) = -f(x) Việc đổi dấu các hệ số trong hàm mục tiêu cho phép biến bài toán tối ưu tối đa thành bài toán tối thiểu tương ứng, và mối quan hệ f_max = -g_min được duy trì Vì vậy, giá trị tối đa của f tương đương với âm giá trị tối thiểu của g, giúp áp dụng các phương pháp tối ưu hóa dành cho bài toán tối thiểu để giải bài toán tối đa ban đầu một cách hiệu quả.
Bài toán đối ngẫu
Đối với mỗi bài toán QHT, được xem là bài toán gốc, chúng ta sẽ xây dựng một bài toán QHTT khác theo một tập quy tắc xác định Bài toán QHTT này được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán gốc Như vậy, luôn tồn tại một cặp bài toán QHTT được gọi là cặp bài toán đối ngẫu.
Trong một cặp bài toán, hai bài toán có mối quan hệ khăng khít với nhau; từ các thông tin thu được về một bài toán, ta có thể rút ra nhiều kết luận tương ứng cho bài toán còn lại Mối liên hệ này cho phép tối ưu hóa quá trình giải bài toán và đảm bảo tính nhất quán khi phân tích và so sánh các kết quả giữa hai phía.
3.2 Sơ đồ viết bài toán đối ngẫu a Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng
Xét bài toán dạng chính tắc (I) f(x) =
(i = 1 , m ) (1.6) xj 0 (j = 1 , n ) (1.7) ta sẽ gọi bài toán này là bài toán gốc Chú ý rằng hệ phương trình ràng buộc của bài toán còn có thể viết dưới rạng x j b n j j
Trong bài toán quy hoạch tuyến tính gốc (I), ta có dạng tối thiểu c^T x subject to Ax = b và x ≥ 0, trong đó A là ma trận hệ số và Aj là véc-tơ điều kiện tương ứng với hàng của A Dựa vào cấu trúc này, ta xây dựng bài toán đối ngẫu của bài toán gốc (I) với dạng tối đa hóa g(y) = b^T y (hay g(y) = Σ_i b_i y_i) dưới điều kiện A^T y ≤ c Mọi y thỏa điều kiện trên sẽ cho giá trị hữu hạn của dual và đồng thời giới hạn giá trị tối thiểu của primal, giúp đánh giá và tối ưu hóa quá trình giải bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán đối ngẫu cung cấp cách tiếp cận để xác định biên trên của giá trị tối ưu và nhạy cảm của lời giải trước sự biến động của b hoặc c.
Ký hiệu bài toán này là ( I ) Cặp bài toán (I, I ) gọi là cấp bài toán đối ngẫu không đối xứng
Phân tích cấu trúc của 2 bài toán, ta có thể rút ra nh ng nhận xét đồng thời là nh ng nguyên tắc thành lập bài toán đối ngẫu
- Nếu f( ) Min thì g(y) Ma và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có rạng
- Nếu f( ) Max thì g(y) Min và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có rạng
Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng với số biến số của bài toán kia; từ đó ta thấy mỗi ràng buộc của bài toán này tương ứng với một biến số của bài toán kia, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa hai bài toán ở khía cạnh ràng buộc và biến số.
- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia
- Ma trận điều kiên trong 2 bài toán là chuyển vị của nhau
- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc về dấu. b Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng
(i = 1 , m ) xj 0 (j = 1 , n ) Đƣa bài toán về dạng chính tắc, ký hiệu là ( II , ): f(x) =
( (i = 1 , m ) (1.6) x j 0 (j = 1 , n m ) Bài toán đối ngẫu của ( II , ) và cũng là đối ngẫu của (II) có dạng: g(y) =
Bài toán được ký hiệu là ( II ) Do đặc điểm cấu trúc của hai bài toán, ta gọi (II) và ( II ) là một cặp bài toán đối ngẫu đối xứng Hai bài toán này có n + m cặp ràng buộc đối ngẫu sau: x_j ≥ 0 và các điều kiện đối ngẫu liên quan tới y, c_j, m_i và các chỉ số ij.
43 c Sơ đồ viết bài toán đối ngẫu
Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu
(i I1) y i không có ràng buộc đâu (i I 1 ) b x a i n j j ij ( )
(i I3) y i ≤ 0 (i I 3 ) xj không có ràng buộc đâu (j J1) y c a i m i ij i
Qua lược đồ tổng quát của bài toán đối ngẫu, có thể rút ra những nhận xét hữu ích cho thực hành: nếu một biến không bị ràng buộc dấu ở bài toán gốc thì ràng buộc dấu ở bài toán đối ngẫu sẽ có dấu bằng hoặc ngược lại; nếu một biến có ràng buộc dấu ở bài toán gốc thì ràng buộc ở bài toán đối ngẫu sẽ mang tính bất đẳng thức và ngược lại Tuy nhiên, chiều của bất đẳng thức ở bài toán đối ngẫu được quyết định bởi việc mục tiêu phải đạt cực tiểu hay cực đại.
Ví dụ: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu: f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 3x5 Min
Bài toán đối ngẫu: g(y) = -15y1 + 8y2 + 9y3 + 24y4 Max
Các cặp ràng buộc đối ngẫu là: (1), (10); (2),(11); (3),(12); (4),(7); (5),(8); và (6),(9)
Ví dụ: Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán
T d Các tính chất và định nghĩa đối ngẫu
Trong cặp bài toán đối ngẫu được quan tâm, mối quan hệ chủ yếu là sự tồn tại của các phương án khả thi và nghiệm tối ưu cho mỗi bài toán, đồng thời là sự liên hệ giữa các nghiệm ấy để làm rõ cách hai bài toán hỗ trợ lẫn nhau trong quá trình tối ưu hóa.
Mối quan hệ đặc biệt giữa hai bài toán tối ưu được thể hiện qua các tính chất và định lý đối ngẫu Xét một cặp bài toán đối ngẫu ở mức tổng quát với các hàm mục tiêu liên quan, ta nhận thấy sự đối xứng và liên hệ chặt chẽ giữa nghiệm tối ưu của hai phía cũng như giữa giá trị tối ưu của bài toán này và bài toán kia Việc phân tích cặp đối ngẫu như vậy làm rõ cấu trúc của bài toán và cung cấp khuôn khổ để áp dụng các định lý đối ngẫu vào các trường hợp thực tế.
45 f(x) Min(Max) thì g(y) Max(Min)
Tính chất 1: Với mọi cặp phương án x và y của hai bài toán đối ngẫu ta luôn luôn có: f(x) ≤ (≥) g(y)
Trong Tính chất 2, nếu với hai phương án x* và y* ta luôn có f(x*) = g(y*), thì x* và y* tương ứng là hai phương án tối ưu Định lý đối ngẫu 1 cho rằng nếu một trong hai bài toán đối ngẫu có lời giải thì bài toán kia cũng có lời giải, và với mỗi cặp phương án tối ưu x* và y* ta luôn có f(x*) = g(y*) Định lý đối ngẫu 2 nêu điều kiện cần và đủ để hai phương án x và y của một cặp bài toán đối ngẫu tối ưu là: trong các ràng buộc đối ngẫu, nếu một ràng buộc thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực sự (lỏng) thì ràng buộc kia phải thỏa mãn với dấu bằng (chặt).
Bài 1: Giải bằng phương pháp đơn hình bài toán sau a f(x) = -4x 1 + x 2 + 5x 3 + 3x 5 Min
Bài 10: Cho các bài toán sau a f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 3x5 Min
1.Viết bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu
2 Tìm phương án tối ưu của bài toán trên rồi suy nghiệm cho bài toán đối ngẫu
3 Phương án tối ưu của bài toán trên có nghiệm duy nhất không ? Nếu không hãy tìm phương án tối ưu khác không phải là cực biên
Toán xác suất
Phép thử, các loại biến cố và xác suất của biến cố
Trong tự nhiên và xã hội, mọi hiện tượng đều gắn với một nhóm điều kiện cơ bản, và hiện tượng đó chỉ xảy ra khi toàn bộ nhóm điều kiện này được thực hiện đầy đủ Vì thế, để nghiên cứu một hiện tượng một cách hiệu quả, cần xác định và triển khai đúng nhóm điều kiện cơ bản gắn với nó.
Nói cách khác, mỗi hiện tượng tự nhiên chỉ xảy ra khi một tập hợp các điều kiện cơ bản liên quan đến hiện tượng đó được đáp ứng Việc đáp ứng các điều kiện này được gọi là phép thử Mỗi phép thử có thể cho ra nhiều kết quả khác nhau, được gọi là biến cố.
Trong xác suất, mỗi ví dụ dưới đây minh họa một phép thử ngẫu nhiên và các biến cố có thể xảy ra Ví dụ bật công tắc đèn là một phép thử; kết quả bóng đèn sáng hay không sáng là hai biến cố tương ứng với phép thử này Gieo một đồng xu cũng là một phép thử với hai biến cố có thể xảy ra: mặt sấp (biến cố A) và mặt ngửa (biến cố B) Bắn một viên đạn vào bia là một phép thử, với hai biến cố: viên đạn trúng đích hoặc không trúng đích Gieo một con xúc xắc khối lập phương là một phép thử có sáu khả năng xảy ra: mặt 1 chấm, mặt 2 chấm, , mặt 6 chấm Đấy là sáu biến cố.
Vậybiến cốchỉ có thể ảy ra khi phép thửđượcthựchiện
Phép thử ngẫu nhiên là một loại phép thử mà khi tiến hành, ta không thể dự đoán trước được kết quả sẽ là gì trong số các kết quả có thể xảy ra Mỗi lần thực hiện có thể cho ra một kết quả khác nhau và chỉ khi kết quả thực tế xuất hiện mới biết được trạng thái đúng đã xảy ra Các kết quả có xác suất khác nhau và được xác định bởi bản chất của phép thử, giúp mô tả và phân tích hiện tượng ngẫu nhiên một cách có hệ thống.
Phép thử trong lý thuyết được hiểu theo nghĩa rộng: không chỉ là thí nghiệm mà còn là sự quan sát, sự đo lường và thậm chí cả một quá trình sản xuất ra sản phẩm đều được xem là phép thử Mỗi hoạt động kiểm tra giả thuyết, kiểm chứng hiện tượng hay đánh giá quy trình đều đóng vai trò như một phép thử nhằm xác định tính đúng sai của giả thiết, tối ưu hóa kết quả và ứng dụng kiến thức vào thực tiễn Hiểu rõ khía cạnh đa dạng của phép thử giúp nâng cao độ tin cậy của kết luận khoa học và cải thiện chất lượng sản phẩm trong thực tế.
Trong thực tế, biến cố được chia thành ba loại chính: biến cố ngẫu nhiên, biến cố chắc chắn và biến cố không thể xảy ra Biến cố ngẫu nhiên là kết quả của một phép thử ngẫu nhiên và thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C…; biến cố chắc chắn là biến cố sẽ xảy ra ở mọi trường hợp của không gian mẫu (xác suất bằng 1); biến cố không thể xảy ra là biến cố không có khả năng xảy ra (xác suất bằng 0, rỗng).
Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi phép thử được thực hiện; đây là biến cố có xác suất bằng 1 và được ký hiệu là Ω Biến cố không thể có là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện; đây là biến cố có xác suất bằng 0 và được ký hiệu là ∅.
Ví dụ : a Để cốc nước ở nhiệt độ bình thường ( 2 00 c ) (phép thử), “nước đóng băng” là biến cố không thể có b.Gieo một xúc sắc (thựchiện phép thử) thì
Có các biến cố ngẫu nhiên như sau:
U: “ xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7” thì U là biến cốchắc chắn
V: “ xuất hiện mặt 7 chấm” thì V là biến cố không thể có
Trong thực tế, khi ta cho ví dụ về biến cố chắc chắn và biến cố không thể có, ta nhận thấy chúng luôn là những hiện tượng hiển nhiên hoặc vô lý trong khuôn khổ của một phép thử Biến cố chắc chắn là kết quả luôn xảy ra, còn biến cố không thể có là kết quả không thể xảy ra Việc nhận diện đúng hai khái niệm này giúp chúng ta xây dựng mô hình xác suất chính xác và diễn giải kết quả thí nghiệm một cách có hệ thống.
Trong thực tế, mọi biến cố đều thuộc một trong ba loại đã được nêu ở trên; tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên là loại biến cố gặp nhiều nhất mà chúng ta thường gặp Việc nhận diện và phân loại đúng các biến cố giúp hiểu rõ hiện tượng và hỗ trợ phân tích, mô hình hóa cũng như áp dụng hiệu quả vào các bài toán thực tế.
2.3 Xác suất của biến cố
Ta đã nhận thấy rằng biến cố ngẫu nhiên có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của một phép thử, và điều này thường không đoán trước Tuy nhiên, bằng trực giác và quan sát, ta nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có xác suất xuất hiện khác nhau Ví dụ, biến cố “xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu có xác suất xảy ra cao hơn nhiều so với biến cố “xuất hiện mặt một chấm” khi tung một con xúc xắc.
Trong quá trình lặp lại nhiều lần một phép thử ở cùng điều kiện, tính chất ngẫu nhiên của biến cố dần được hé lộ và khả năng xảy ra của biến cố đó được thể hiện qua các quy luật nhất định Từ đó ta có thể đo lường (định lượng) xác suất xuất hiện của một biến cố ngẫu nhiên Nói cách khác, khả năng xuất hiện của các biến cố ngẫu nhiên khác nhau, và để đánh giá khả năng này ta cần một công cụ, đó chính là xác suất.
Xác suất củamột biến cố là một con số đặc trưng khảnăng khách quan uấthiệnbiếncố đó khi thựchiện phép thử
Khả năng khách quan ở đây là do các điều kiện xảy ra của phép thử được xác định chứ không phụ thuộc ý muốn chủ quan của con người Bản chất xác suất của một biến cố là một số xác định Để tính xác suất của một biến cố, người ta xây dựng các định nghĩa về xác suất, và có nhiều định nghĩa khác nhau như định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê, định nghĩa hình học và định nghĩa theo tiên đề.
Định lý cộng xác suất
Từ định nghĩa xác suất, ta đã suy ra đƣợc tính chất cơ bản sau của xác suất: + Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì
+ Tổng quát, nếu A1, A2, , An là n biến cố xung khắc từng đôi thì
- Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ thì P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)
- Nếu A, B, C là ba biến cố bất kỳ thì
Ví dụ: Trong một lớp học, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi môn Toán là 10%, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi môn Anh là 9%, và tỉ lệ giỏi cả hai môn là 5% Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp Xác suất để học sinh đó không đạt điểm giỏi cả Toán lẫn Anh được tính bằng 1 − P(giỏi cả hai) = 1 − 0,05 = 0,95, tương ứng với 95%.
Giải: Gọi A là biến cố “Sinh viên đó đạt điểm giỏi môn Toán”, B là biến cố
“Sinh viên đó đạt điểm giỏi môn Anh” Theo giả thiết thì
P(A) = 0,01, P(B) = 0,09 và P(AB) = 0,05 gọi C là biến cố “Sinh viên đó không đạt điểm giỏi cả môn Toán lẫn môn Anh” thì C là biến cố “Sinh viên đó đạt điểm giỏi môn Toán hoặc môn Anh” hay
C = A B Theo định lý cộng xác suất (1.3), ta có
4 Định lý nh n xác suất a Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B đã xảy ra, ký hiệu
P( A | B) , đƣợc xác định bởi công thức: P( A | B) ) (
Ví dụ: Một hộp chứa 10 viên bi giống nhau, trong đó có 6 bi xanh và 4 bi trắng Người thứ 1 lấy ngẫu nhiên 1 bi (không trả lại vào hộp) Tiếp đó, người thứ 2 lấy 1 bi Tính xác suất để người thứ 2 lấy được bi xanh nếu biết người thứ 1 đã lấy được bi xanh?
Gọi A là biến cố “người thứ nhất lấy được bi xanh” và B là biến cố “người thứ hai lấy được bi xanh” Xác suất của B phụ thuộc vào việc A có xảy ra hay không, vì khi A xảy ra, số lượng bi xanh còn lại và cơ hội của người thứ hai thay đổi Do đó, xác suất B có thể được viết dưới dạng xác suất có điều kiện: P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) Mối quan hệ giữa A và B cho thấy B không độc lập với A và việc phân tích xác suất có điều kiện sẽ giúp ước lượng chính xác cơ hội người thứ hai nhận được bi xanh dựa trên diễn biến của người thứ nhất, đồng thời hỗ trợ các bài toán xác suất và tối ưu hóa quyết định dựa trên thông tin có được từ biến cố ban đầu.
+ Nếu A đã xảy ra thì xác suất của B là 5/9 ký hiệu P(B | A) = 5/9
+ Nếu A không xảy ra thì xác suất của B là 6/9, ký hiệu P ( B | A ) = 6/9
Trong xác suất, sự kiện A xảy ra hay không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của sự kiện B Xác suất của B khi A đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của B với điều kiện A đã xảy ra, ký hiệu P(B|A) Định lý nhân xác suất cho phép liên hệ xác suất giao của hai sự kiện với xác suất có điều kiện: P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Với A, B là 2 biến cố bất kỳ, ta có
Tổng quát với A1, A2, , An là n biến cố bất kỳ, ta có:
- Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau nếu và chỉ nếu P( AB) = P( A).P(B)
- Tổng quát nếu {A 1 , A 2 , , An} độc lập trong toàn thể thì
Ví dụ: Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên vào cùng một mục tiêu Xác suất xạ thủ 1 trúng đích là 0,7 và xạ thủ 2 trúng đích là 0,6 Để tính xác suất mục tiêu bị trúng ít nhất một viên, ta dùng công thức P = 1 - (1 - 0,7)(1 - 0,6) = 1 - 0,3 × 0,4 = 0,88 Như vậy, xác suất mục tiêu bị trúng đạn là 0,88 (88%).
Giải: Gọi A là biến cố “xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu” B là biến cố “xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu” H là biến cố “mục tiêu bị trúng đạn”
Lúc đó, P(A) = 0,7, P(B) = 0,6 và H = A B Theo công thức cộng xác suất,
Mặt khác, do hai biến cố A và B độc lập với nhau nên P(AB) = P(A).P(B) = 0,7.0,6
Suy ra, xác suất để mục tiêu bị trúng đạn là : P(H) = 0,7 + 0,6 – 0,42 = 0,88
Phép thử Bernoulli là thí nghiệm nơi biến cố A xảy ra với xác suất p và không xảy ra với xác suất q = 1 − p Khi lặp lại độc lập phép thử Bernoulli n lần, ta được một dãy các phép thử Bernoulli hay còn gọi là lược đồ Bernoulli (dãy Bernoulli), mô hình hai trạng thái thành công và thất bại với xác suất tương ứng p và q.
Ví dụ: tỷ lệ nảy mầm của một loại hạt giống là 75%, người ta gieo thí điểm 10 hạt Đó là dãy 10 phép thử Bernoulli
Bài toán đặt ra là tìm xác suất để trong n phép thử Bernoulli, biến cố A xuất hiện đúng k lần Định lý cho thấy xác suất này được ký hiệu P_n(k) và tính theo công thức: P_n(k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}, trong đó p là xác suất xảy ra biến cố A ở mỗi phép thử và C(n,k) (hay nCk) là số tổ hợp để chọn đúng k lần xảy ra từ n lần thử Khi biết p và n, công thức này cho phép xác định nhanh xác suất A xuất hiện đúng k lần trong toàn bộ n phép thử Bernoulli và là khung tham chiếu cho các bài toán phân phối nhị thức.
Xác suất thành công của mỗi thí nghiệm sinh học là 0,7 và năm thí nghiệm được thực hiện bởi một nhóm 5 sinh viên độc lập với nhau Xác suất có đúng 3 thí nghiệm thành công trong tổng 5 thí nghiệm là C(5,3) 0,7^3 0,3^2 = 0,3087 Xác suất có từ 2 đến 4 thí nghiệm thành công là C(5,2) 0,7^2 0,3^3 + C(5,3) 0,7^3 0,3^2 + C(5,4) 0,7^4 0,3 = 0,80115 Xác suất có ít nhất 1 thí nghiệm thành công là 1 - (0,3)^5 = 0,99757.
Giải: a Gọi A là biến cố “thí nghiệm thành công” Khi đó, P(A) = p = 0,7 Xác suất để có đúng 3 thí nghiệm thành công đƣợc tính theo công thức
P(3; 0, 7) = C3 (0, 7)3 (0, 3)2 = 0,3087 b Xác suất để có từ 2 đến 4 thí nghiệm thành công là
P(2, 4) = C2 (0, 7)2 (0, 3)3 + C5 (0, 7) (0, 3) + C5 (0, 7) (0, 3) = 0,80115 c.Gọi B là biến cố “có ít nhất 1 thí nghiệm thành công” Khi đó,
B là biến cố “không có thí nghiệm nào thành công”
Sản phẩm trong một nhà máy đƣợc đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm, số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân phối nhƣ sau:
Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu cả hai sản phẩm đều loại A thì kiện đó được nhận, ngược lại kiện đó bị loại Giả sử xác suất một sản phẩm là loại A là p0 và các sản phẩm độc lập, nên xác suất cả hai sản phẩm đều loại A cho một kiện là p = p0^2 Với 144 kiện được kiểm tra (trong rất nhiều kiện), số kiện được nhận tuân theo phân phối nhị thức với n = 144 và tham số thành công là p Do đó xác suất để có đúng 53 kiện nhận được là C(144, 53) p^53 (1 − p)^{91} Bạn có thể tính giá trị cụ thể khi biết p0 hoặc p.
Bài toán xác suất cho hai mục tiêu: (1) Tính xác suất có từ 52 đến 56 kiện nhận được; với n kiện được kiểm tra và mỗi kiện có xác suất thành công p, X ~ Binomial(n, p), nên P(52 ≤ X ≤ 56) = ∑_{k=52}^{56} C(n,k) p^k (1−p)^{n−k} (2) Tìm số kiện tối thiểu cần kiểm tra để xác suất có ít nhất một kiện được nhân không nhỏ hơn 95%; với độc lập và p là xác suất thành công của mỗi kiện, xác suất có tối thiểu một thành công trong n lần kiểm tra là 1 − (1−p)^n, nên 1 − (1−p)^n ≥ 0.95, tức là (1−p)^n ≤ 0.05, và n phải thỏa n ≥ log(0.05)/log(1−p); số nguyên tối thiểu là n = ⌈log(0.05)/log(1−p)⌉.
Bài giải Trước hết ta tìm xác suất p để một kiện nhận được
Gọi C là biến cố kiện hàng đƣợc nhận Ta cần tìm p = P(C)
Từ giả thiết ta suy ra có hai loại kiện hàng:
Gọi A1, A 2 lần lƣợt là các biến cố kiện hàng thuộc loại I, II khi đó A1, A 2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Theo giả thiết, từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu cả 2 sản phẩm thuộc loại A thì mới nhận kiện đó Do đó
Vậy xác suất để một kiện đƣợc nhận là p = 0,3622
Trong bài toán kiểm tra 144 kiện, X là số kiện nhận được trong 144 kiện được kiểm tra, nên X có phân phối nhị thức X ~ Binomial(n = 144, p = 0,3622) Với n lớn và p ở mức trung bình (không quá gần 0 hay 1), ta có thể xem X như một biến ngẫu nhiên xấp xỉ phân phối chuẩn: X ≈ N(μ, σ^2) với μ = np ≈ 52,1328 và σ^2 = np(1 − p) ≈ 33,2649 (tương ứng σ ≈ 5,767) Do đó, các ước lượng xác suất cho X hay các khoảng tin cậy có thể được thực hiện bằng phân phối chuẩn khi cần, với hiệu chỉnh liên tục nếu áp dụng.
X có phân phối chuẩn nhƣ sau:
2 = npq = 144 0 , 3622 ( 1 0 , 3622 ) = 5,7676 c.Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện đƣợc nhận không nhỏ hơn 95%?
Gọi n là số kiện cần kiểm tra và D là biến cố có ít nhất 1 kiện đƣợc nhận Yêu cầu bài toán là xác định n nhỏ nhất sao cho P(D) ≥ 0,95
Biến cố đối lập của D là D : không có kiện nào đƣợc nhận
Theo chứng minh trên, xác suất để một kiện đƣợc nhận là p = 0,3622 Do đó Theo công thức Bernoulli ta có:
Vậy kiểm tra ít nhất 7 kiện
6 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes a) Hệ đầy đủ các biến cố
Hệ các biến cố (B1, B 2 , …, Bn) đƣợc gọi là đầy đủ nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
- B1, B2, …, Bn là các biến cố xung khắc từng đôi một nghĩa là:
Hệ (B, B ) là một hệ đầy đủ, trong đó là một biến cố bất kỳ b) Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử (B1, B2, …, Bn) là hệ đầy đủ các biến cố với P(Bi) > 0 với mọi i = 1, 2, …, n Khi đó với bất kỳ biến cố A, ta có
Có 3 hộp giống nhau, mỗi hộp chứa số lượng sản phẩm và chính phẩm khác nhau: hộp thứ nhất có 10 sản phẩm, trong đó 6 chính phẩm; hộp thứ hai có 15 sản phẩm, trong đó 10 chính phẩm; hộp thứ ba có 20 sản phẩm, trong đó 15 chính phẩm Ta chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp được chọn lại chọn ngẫu nhiên một sản phẩm Xác suất lấy được chính phẩm là P = (1/3)[6/10 + 10/15 + 15/20] = (1/3)[3/5 + 2/3 + 3/4] = 121/180 ≈ 0,6722, tức khoảng 67,22%.
Ký hiệu Bk là biến cố: “Sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ k“, k = 1, 2, 3 và là biến cố: “Lấy đƣợc chính phẩm”
Khi đó B1, B 2 , …, Bn là hệ đầy đủ các biến cố và
Theo công thức xác suất đầy đủ
Vậy xác suất để lấy đƣợc chính phẩm là
Giả sử P(A) > 0 và B 1 , B 2 , …, B nlà hệ đầy đủ các biến cố với P(Bk) > 0 với mọi k = 1, 2, …, n Khi đó với mọi k = 1, 2, …, n, ta có
Trong dây chuyền này, máy thứ nhất chiếm 60% số chi tiết và máy thứ hai chiếm 40%; 90% chi tiết từ máy thứ nhất đạt chuẩn và 85% chi tiết từ máy thứ hai đạt chuẩn Khi lấy một sản phẩm bất kỳ và thấy nó đạt chuẩn, xác suất sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất là P(M1|Std) = [P(Std|M1)P(M1)] / [P(Std|M1)P(M1) + P(Std|M2)P(M2)] = (0.9×0.6) / [(0.9×0.6) + (0.85×0.4)] = 0.54/0.88 ≈ 0.6136, tức khoảng 61.36%.
Gọi A là chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn, B1 là chi tiết do máy thứ nhất sản xuất và B2 là chi tiết do máy thứ hai sản xuất Ta cần tính xác suất P(B1|A) — xác suất chi tiết được sản xuất bởi máy 1 khi đã xác định là đạt chuẩn — bằng cách áp dụng định lý Bayes cho hai nguồn cung cấp duy nhất Công thức tổng quát là P(B1|A) = [P(A|B1)·P(B1)] / [P(A|B1)·P(B1) + P(A|B2)·P(B2)] Để tính được P(B1|A), cần biết P(B1) và P(B2) (với P(B2)=1−P(B1)) cũng như P(A|B1) và P(A|B2) (xác suất một chi tiết đạt chuẩn khi được sản xuất bởi mỗi máy) Nếu có số liệu thực nghiệm về tỷ lệ đạt chuẩn của mỗi máy và tỷ lệ sản phẩm từ hai máy, có thể thay vào công thức để tính P(B1|A).
Theo điều kiện bài toán
7 Biến ngẫu nhiênvà quy luật ph n phối xác suất
Công thức Bernoull
Phép thử Bernoulli là thí nghiệm trong đó biến cố A xảy ra với xác suất p và không xảy ra với xác suất q = 1 − p Khi lặp lại phép thử Bernoulli n lần một cách độc lập, ta nhận được một dãy n phép thử Bernoulli hay còn gọi là lược đồ Bernoulli Đây là hệ thống nhị phân gồm hai trạng thái thành công (xảy ra) hoặc thất bại (không xảy ra), cho phép phân tích xác suất và mô hình hóa các kết quả của n lần thử dựa trên các tham số p và n.
Ví dụ: tỷ lệ nảy mầm của một loại hạt giống là 75%, người ta gieo thí điểm 10 hạt Đó là dãy 10 phép thử Bernoulli
Vấn đề bài toán đặt ra là tìm xác suất để trong n phép thử Bernoulli, biến cố A xuất hiện đúng k lần Định lý cho biết xác suất này, ký hiệu là Pn(k), được tính theo công thức Pn(k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n − k}, trong đó p là xác suất xảy ra biến cố A ở mỗi phép thử và các phép thử là độc lập; điều kiện 0 ≤ k ≤ n.
Xác suất thành công của mỗi thí nghiệm là 0,7 và năm thí nghiệm được thực hiện độc lập bởi một nhóm 5 sinh viên Trong 5 thí nghiệm, xác suất có đúng 3 thí nghiệm thành công là 0,3087; có từ 2 đến 4 thí nghiệm thành công là 0,80115; có ít nhất 1 thí nghiệm thành công là 0,99757.
Giải: a Gọi A là biến cố “thí nghiệm thành công” Khi đó, P(A) = p = 0,7 Xác suất để có đúng 3 thí nghiệm thành công đƣợc tính theo công thức
P(3; 0, 7) = C3 (0, 7)3 (0, 3)2 = 0,3087 b Xác suất để có từ 2 đến 4 thí nghiệm thành công là
P(2, 4) = C2 (0, 7)2 (0, 3)3 + C5 (0, 7) (0, 3) + C5 (0, 7) (0, 3) = 0,80115 c.Gọi B là biến cố “có ít nhất 1 thí nghiệm thành công” Khi đó,
B là biến cố “không có thí nghiệm nào thành công”
Sản phẩm trong một nhà máy đƣợc đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm, số sản phẩm loại A trong các hộp là X có phân phối nhƣ sau:
Khách hàng kiểm tra theo cách thức sau: từ mỗi kiện lấy ra hai sản phẩm; nếu cả hai sản phẩm đều loại A thì kiện đó được nhận, ngược lại bị loại Đoàn kiểm tra gồm 144 kiện (trong số nhiều kiện) Giả sử p là xác suất một sản phẩm thuộc loại A; xác suất để một kiện được nhận là p^2 Gọi X là số kiện được nhận trong 144 kiện, X tuân theo phân phối nhị phân với tham số q = p^2 và n = 144, tức X ~ Binomial(n = 144, q = p^2) Do đó xác suất có đúng 53 kiện được nhận là C(144, 53) (p^2)^{53} (1 - p^2)^{91} Nếu biết p, ta có thể tính giá trị cụ thể của xác suất này.
Trong bài toán xác suất này, phần b yêu cầu tính xác suất để số kiện nhận được nằm trong khoảng từ 52 đến 56 Giả sử mỗi kiện có xác suất p để được nhận và các kiện độc lập, với X ~ Binomial(n, p), xác suất P(52 ≤ X ≤ 56) được tính bằng tổng xác suất từ x = 52 đến x = 56: P(52 ≤ X ≤ 56) = ∑_{x=52}^{56} C(n, x) p^x (1 − p)^{n − x} Phần c yêu cầu tìm số kiện tối thiểu cần kiểm tra để xác suất có ít nhất một kiện được nhận không nhỏ hơn 95%, tức P(X ≥ 1) ≥ 0.95 Với X ~ Binomial(k, p), điều này tương đương với 1 − (1 − p)^k ≥ 0.95, nên k ≥ log(0.05)/log(1 − p) Để có giá trị cụ thể, cần biết p là xác suất một kiện được nhận.
Bài giải Trước hết ta tìm xác suất p để một kiện nhận được
Gọi C là biến cố kiện hàng đƣợc nhận Ta cần tìm p = P(C)
Từ giả thiết ta suy ra có hai loại kiện hàng:
Gọi A1, A 2 lần lƣợt là các biến cố kiện hàng thuộc loại I, II khi đó A1, A 2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Theo giả thiết, từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu cả 2 sản phẩm thuộc loại A thì mới nhận kiện đó Do đó
Vậy xác suất để một kiện đƣợc nhận là p = 0,3622
Trong bài toán này, ta kiểm tra 144 kiện Gọi X là số kiện được nhận trong 144 kiện được kiểm tra, X có phân phối nhị thức X ~ B(n,p) với n = 144 và p = 0,3622 Vì n tương đối lớn và p không quá gần 0 cũng không quá gần 1, ta có thể xem X như một biến ngẫu nhiên xấp xỉ phân phối chuẩn với tham số μ = np và σ^2 = np(1−p) Cụ thể, μ = 144 × 0,3622 ≈ 52,09 và σ^2 = 144 × 0,3622 × 0,6378 ≈ 33,26, nên σ ≈ 5,77 Do đó X xấp xỉ phân phối chuẩn X ≈ N(52,09, 33,26) hoặc X ≈ N(52,09, 5,77^2).
X có phân phối chuẩn nhƣ sau:
2 = npq = 144 0 , 3622 ( 1 0 , 3622 ) = 5,7676 c.Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện đƣợc nhận không nhỏ hơn 95%?
Gọi n là số kiện cần kiểm tra và D là biến cố có ít nhất 1 kiện đƣợc nhận Yêu cầu bài toán là xác định n nhỏ nhất sao cho P(D) ≥ 0,95
Biến cố đối lập của D là D : không có kiện nào đƣợc nhận
Theo chứng minh trên, xác suất để một kiện đƣợc nhận là p = 0,3622 Do đó Theo công thức Bernoulli ta có:
Vậy kiểm tra ít nhất 7 kiện
Công thức xác suất đầy đủ và Bayes
a) Hệ đầy đủ các biến cố
Hệ các biến cố (B1, B 2 , …, Bn) đƣợc gọi là đầy đủ nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
- B1, B2, …, Bn là các biến cố xung khắc từng đôi một nghĩa là:
Hệ (B, B ) là một hệ đầy đủ, trong đó là một biến cố bất kỳ b) Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử (B1, B2, …, Bn) là hệ đầy đủ các biến cố với P(Bi) > 0 với mọi i = 1, 2, …, n Khi đó với bất kỳ biến cố A, ta có
Ví dụ: Có 3 hộp giống nhau; hộp thứ nhất có 10 sản phẩm, trong đó 6 chính phẩm; hộp thứ hai có 15 sản phẩm, trong đó 10 chính phẩm; hộp thứ ba có 20 sản phẩm, trong đó 15 chính phẩm Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm Xác suất lấy được chính phẩm được tính bằng tổng xác suất chọn hộp nhân với xác suất chọn chính phẩm ở từng hộp: P = (1/3)*(6/10) + (1/3)*(10/15) + (1/3)*(15/20) = (1/3)*(3/5 + 2/3 + 3/4) = 121/180 ≈ 0.6722, tức khoảng 67.22%.
Ký hiệu Bk là biến cố: “Sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ k“, k = 1, 2, 3 và là biến cố: “Lấy đƣợc chính phẩm”
Khi đó B1, B 2 , …, Bn là hệ đầy đủ các biến cố và
Theo công thức xác suất đầy đủ
Vậy xác suất để lấy đƣợc chính phẩm là
Giả sử P(A) > 0 và B 1 , B 2 , …, B nlà hệ đầy đủ các biến cố với P(Bk) > 0 với mọi k = 1, 2, …, n Khi đó với mọi k = 1, 2, …, n, ta có
Gọi M1 là sự kiện sản phẩm được làm từ máy thứ nhất và M2 là sự kiện sản phẩm được làm từ máy thứ hai, với P(M1)=0,6 và P(M2)=0,4; P(Đạt chuẩn|M1)=0,9 và P(Đạt chuẩn|M2)=0,85 Xác suất có điều kiện để sản phẩm đạt chuẩn đến từ máy thứ nhất là P(M1|Đạt chuẩn) = [0,9×0,6] / [0,9×0,6 + 0,85×0,4] = 0,54 / 0,88 ≈ 0,6136, tức khoảng 61,36%.
Gọi A là biến cố: "Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn", B1 là biến cố: "Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất" và B2 là biến cố: "Chi tiết do máy thứ hai sản xuất" Ta cần tính xác suất P(B1|A) — xác suất một chi tiết do máy thứ nhất sản xuất khi biết rằng chi tiết đó đạt chuẩn Theo công thức xác suất có điều kiện, P(B1|A) = P(B1 ∩ A) / P(A) Để tính P(B1|A) ta cần biết P(B1 ∩ A) và P(A); nếu có dữ liệu về phân phối của các biến hoặc mối liên hệ giữa máy và việc đạt chuẩn, ta có thể tính được P(B1|A) Trong trường hợp B1 và A độc lập, P(B1|A) = P(B1).
Theo điều kiện bài toán
7 Biến ngẫu nhiênvà quy luật ph n phối xác suất
7.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiênvà quy luật ph n phối xác suất a) Khái niệm: Biến ngẫu nhiên là một đại lƣợng nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng nào đó
-Biến ngẫu nhiên thường biểu thị giá trị kết quả của một phép thử ngẫu nhiên
-Biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu là X, Y, Z…
Ví dụ - Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc thì X là một biến ngẫu nhiên
-Ðo ngẫu nhiên chiều cao của 1 sinh viên Gọi Y là chiều cao của sinh viên đó thì Ylà một bíến ngẫu nhiên b) Phân loại biến ngẫu nhiên:
-Biến ngẫu nhiên rời rạc
-Biến ngẫu nhiên liên tục
7.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng ph n phối xác suất Ðịnh nghĩa : Biến ngẫu nhiên đƣợc gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó là h u hạn hoặc đếm đƣợc
Ví dụ - Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc khi tung
-Số tai nạn giao thông trong một ngày ở một vùng
Bảng phân phối xác suất
Giả sử đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị là x1, x 2 , x n (x i < x j khi i < j) với các xác suất tương ứng là p1, p 2 , ,p n trong đó pi
= P(X = xj) thì bảng phân phối xác suất của X có dạng sau:
Bảng phân phối xác suất củabiến ngẫu nhi ên rờirạc
7.3 Hàm ph n bố xác suất a Định nghĩa: Cho X là đại lƣợng ngẫu nhiên và x là một số thực tùy ý thì
F(x) = P(X < x) gọi là hàm phân phối xác suất của X Thì hàm phân phối xác suất F(x) có dạng:
x x p x x p x p x p x x n i k i k i x Khi x Khi x Khi x Khi x Khi
1 b Tính chất của hàm phân phối xác suất
- Tính chất 3: F(x) là hàm không giảm trên toàn trục số c Công thức xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị trong một khoảng
Nếu đại lƣợng ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x) thì:
Trong xác suất, xác suất X thuộc khoảng [x1, x2) được cho bởi P(x1 ≤ X < x2) = F(x2) − F(x1) Đại lượng ngẫu nhiên liên tục là một đại lượng X có hàm phân phối xác suất (CDF) liên tục trên trục số thực, nghĩa là F(x) thay đổi một cách mượt mà theo mọi x Với đặc trưng này, X có xác suất ở một giá trị đơn lẻ bằng 0 và mọi xác suất đều được xác định bằng sự khác biệt giữa hai giá trị của F tại x1 và x2.
- Tính chất của đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì P(X = x0) = 0 x0 tùy ý cho trước
7.4 Hàm mật độ xác suất a Định nghĩa
Hàm mật đọ xác suất của đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục X đƣợc kí hiệu và xác định nhƣ sau: f(x) = F , ( x ) b Công thức về hàm mật độ
1 f(x)dx c Tính chất của hàm mật độ
8 Các tham sốđặc trưng của biến ngẫu nhiên
8.1 V ng toán (kỳ v ng toán) a Định nghĩa
- Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất
=1 Thì vọng toán của X đƣợc xác định và ký hiệu nhƣ sau:
Trong trường hợp các giá trị của X là tập hợp vô hạn thì:
Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liện tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì vọng toán của nó là:
x.f(x)dx Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liện tục với miền giá trị là: [ a, b] thì
- E(C) = C, với C là một hằng số
- E(CX) = C.E(X), với C là một hằng số
- E(XY) = E(X).E(Y) nếu X, Y độc lập c Ý nghĩa của vọng toán Đặc trƣng cho giá trị trung bình của đại lƣợng ngẫu nhiên
X là đại lượng ngẫu nhiên với vọng toán E(X) = a Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X kí hiệu là D(X)
- Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc X thì:
- Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x) thì:
- Nếu X là đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục với miền giá trị lá [a, b] thì:
- D(C) = C, với C là một hằng số
- D(CX) = C.E(X), với C là một hằng số
- D(XY) = D(X).D(Y) nếu X, Y độc lập c Ý nghĩa của phương sai
Phương sai của đại lượng ngẫu nhiến X đặc trưng cho mức độ phân tán của các giá trị của đại lƣợng ngẫu nhiên X xung quanh vọng toán của nó
8.3 Độ lệch chuẩn a Định nghĩa Đại lƣợng Ϭ(X) = D ( X ) đƣợc gọi là độ lệch tiêu chuẩn của đại lƣợng ngẫu nhiên X b Ý nghĩa Độ lệch chuẩn phản ảnh mức độ phân tán trung bình của đại lƣợng ngẫu nhiên so với vọng toán
Ví dụ: Tìm vọng toán và phương sai của số chấm xuất hiện khi gieo một con xuc sắc
Giải: Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo con xúc sắc thì X có bảng phân phối xác suất nhƣ sau:
Chúng ta có thể sử dụng cách tính:
9 Một số quy luật ph n phối xác suất thông dụng
9.1 Quy luật không - một a Định nghĩa
Xét n là đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập và đƣợc kí hiệu là N(0;1) với i = 1 , n Khi đó biến ngẫu nhiên đƣợc tính nhƣ sau:
2 ~ x 2 (n) b Các tha m số đặc trưng
9.2 Quy luật nhị thức- B(n,p) a Định nghĩa Đại lƣợng ngẫu nhiên X đƣợc gọi là có quy luật phân phối nhị thức với hai tham số n và p nếu X có bảng phân phối các xuất nhƣ sau:
Nhận xét: Bài toán xem như một chuỗi n phép thử Bernoulli, trong đó mỗi phép thử có cùng xác suất thành công p và các phép thử độc lập Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó; X tuân theo quy luật phân phối nhị thức, còn được gọi là phân phối Binomial Các tham số đặc trưng của phân phối nhị thức là n và p Hàm phân phối xác suất của X là P(X = x) = C(n, x) p^x (1-p)^{n-x}, với x thuộc tập {0,1, ,n} Giá trị kỳ vọng và phương sai lần lượt là E[X] = n p và Var(X) = n p (1-p) Ứng dụng của phân phối nhị thức bao gồm ước lượng số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử, đánh giá rủi ro và thực hiện kiểm định thống kê.
nguyên không p n Neu và p n nguyên không p n Neu p n m m ( 1 ) 1 ( 1 )
Ví dụ 1 tiến hành gieo 4 lần một đồng xu độc lập, xác suất xuất hiện mặt sấp mỗi lần bằng 0,5 Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện trong 4 lần gieo, X ~ Binomial(n=4, p=0,5) Bảng phân phối xác suất của X: P(X=0)=1/16, P(X=1)=4/16=1/4, P(X=2)=6/16=3/8, P(X=3)=4/16=1/4, P(X=4)=1/16 Kỳ vọng của X là E[X]=np=4×0,5=2, và phương sai Var(X)=np(1-p)=4×0,5×0,5=1.
Giải: Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 4 lần gieo, X tuân theo phân phối nhị thức với tham số n=4 và p=0,5 Mỗi lần gieo đồng xu là một phép thử độc lập nên 4 phép thử diễn ra độc lập và xác suất xuất hiện mặt sấp ở mỗi lần gieo bằng 0,5 Vì vậy X có phân phối nhị thức với tham số n=4 và p=0,5, và P(X=k) = C(4,k) (1/2)^k (1/2)^{4-k} = C(4,k)/16 cho k = 0,1,2,3,4.
Vậy bảng phân phối X là
Ví dụ 2: Một máy tính gồm 1.000 linh kiện A, 800 linh kiện B và 2.000 linh kiện
C Xác suất hỏng của 3 linh kiện đó lần lƣợt là 0,02%; 0,0125% và 0,005% Máy tính ngừng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1 Các linh kiện hỏng độc lập với nhau a Tính xác suất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng b Tịnh xác suất để máy tính ngừng hoạt động c Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngừng hoạt động
Xác suất 1 linh kiện hỏng 0,02% 0,0125% 0,005%
Gọi X là tổng số linh kiện A bị hỏng trong một máy tính Với X1 có phân phối nhị thức X1 ~ B(n1, p1), n1 = 1.000 và p1 = 0,02% (tương đương 0,0002) Vì n1 lớn và p1 rất nhỏ, có thể xem X1 là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson với tham số λ bằng n1 p1, tức λ = 0,2, nên X1 ~ Poisson(0,2).
- Tương tự, gọi X2, X3 lần lượt là các đại lượng ngẫu nhiên chỉ số linh kiện B, C bị hỏng trong một máy tính Khi đó X2, X 3 có phân phối Poisson nhƣ sau:
X 2 ~ P(2.000 x 0,005%) = P(0,1) a Xác suất có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng là:
0 e = 1 - e 0 , 1 = 0,0952 b Tính xác suất để máy tính ngừng hoạt động
Theo giả thiết, máy tính ngừng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều sơn 1, nghĩa là khi
Suy ra xác suất để máy tính ngừng hoạt động là
= 1 – 1,4 e 0 , 4 = 0,0615 = 6,15% c Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Khi đó máy tính ngừng hoạt động khi có thêm ít nhất 1 linh kiện hỏng n a, nghĩa là khi
Suy ra xác suất để máy tính ngừng hoạt động trong trường hợp này là
9.3 Quy luật ph n phối đều – U(a,b) a Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X đƣợc gọi là tuân theo luật phân phối đều liên tục trên [a;b] kí hiệu X ~ U(a;b), nếu X có hàm mật độ (a 0 ta có lim_{n→∞} P(|(1/n)∑_{i=1}^n Xi − μ| > ε) = 0 Nói cách khác, trung bình mẫu (1/n)∑ Xi hội tụ theo xác suất tới μ, nhờ điều kiện về phương sai bị giới hạn và tính độc lập của các biến ngẫu nhiên Đây là phiên bản của định lý lớn yếu (Weak Law of Large Numbers) cho các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng hữu hạn.
Chú ý: Các bài toán áp dụng định lý Becnulli đều có thể đƣa về áp dụng định lý Trêbƣsep
Ví dụ: Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử độc lập là 0,5 Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong 100 phép thử Vì X tuân theo phân phối nhị thức với n = 100 và p = 0,5, nên kỳ vọng μ = np = 50 và phương sai σ^2 = np(1−p) = 25 (độ lệch chuẩn σ = 5) Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có P(40 < X < 60) = P(|X−μ| < 10) ≥ 1 − σ^2/10^2 = 1 − 25/100 = 0,75 Do đó xác suất X nằm trong khoảng (40; 60) với 100 phép thử độc lập là ít nhất 0,75 (75%).
Giải: Gọi a là số lần xuất hiện biến cố A trong 100 lần thực hiện phép thử độc lập thì X ~ B(100; 0,5)
D(X) = n.p.q 0 0,5.0,5 = 25 Áp dụng bất đẳng thức Trêbƣsep ta có:
Bài tập
Bài 1: Gieo đồng thời 2 con xúc sắc giống nhau Tính xác suất để số chấm thu đƣợc bằng 6
Bài 2: Trong hộp có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đỏ cùng kích cỡ Rút hú họa ra 2 viên bi, tính xác suất để trong đó có a Hai viên trắng b Ít nhất 1 viên đỏ c Viên thứ hai đỏ
Bài 3: Đường day điện thoại ngầm nối một tổng đài với một trạm dài 1km.Tính xác suất để dây đứt tại nơi cách tổng đài không quá 100 m
Bài 4: Gieo 2 con xúc sắc giống nhau Tính xác suất để tổng số chấm thu đƣợc bằng 6, biết rằng tổng đó là một số chẵn
Bài 5: Rút từ bộ bài tú lơ khơ 52 con lần lƣợt ra 2 con bài.Tìm xác suất để con thứ 2 là át, biết rằng con thứ nhất đã là át
Bài 6: Hai cộc bài đƣợc lấy ra từ một bộ bài tú lơ khơ, cọc thứ nhất gồm 4 con át, cộc thứ hai gồm 4 con ka Rút ngẫu nhiên từ mỗi cọc bài ra một con bài, tính xác suất để a Cả hai con là con cơ b Có ít nhất 1 con cơ
Cũng câu hỏi nhƣ vậy nhƣng thay điều kiện đầu bài:trộn cọc bài và rút hú họa từ đó ra 2 con bài
Bài 7: Ba xạ thụ mỗi người bắn một viên đạn với xác suất bắn trúng của từng người tương ứng là 0,7; 0,8 và 0,9 Tính xác suất a Có hai người bắn trúng b Có ít nhất một người bắn trượt
Bài 8: Một gia đình có 6 con Tìm xác suất để gia đình đó có số con trai nhiều hơn số con gái
Bài 8: Một bác sỹ có xác suất ch a khỏi bệnh là 0,8 Có người nói rằng cứ 10 người đến ch a bệnh thì có chắc chắn 8 người khỏi bệnh; điều đó có đúng không
Bài 9 Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng là 1% Hỏi cỡ mẫu cần chọn ra là bao nhiêu (có hoàn lại) sao cho trong mẫu có ít nhất 1 phế phẩm vì xác suất lớn hơn 0,95?
Bài 10 Một thiết bị có 10 chi tiết đối với độ tin cậy (xác suất làm tốt trong khoản thời gian nào đó) của mỗi chi tiết là 0,9 Tìm xác suất để trong khoảng thời gian ấy có đúng 2 chi tiết làm việc tốt
Bài 11 Một phân xưởng có 3 máy sản xuất cùng loại sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm tương ứng 1%; 0,5% và 0,2% Biết rằng máy I sản xuất ra 35%, máy II là 45% và máy III là 20% sản phẩm Chọn hú họa ra một sản phẩm, tìm xác suất đó là phế phẩm
Bài 11: Có hai hộp đó, hộp I có 10 áo trong đó có 1 phế phẩm, hộp II có 8 áo trong đó có 2 phế phẩm Lấy hú họa 1 áo từ hộp I bỏ sang hộp II, sau đó từ hộp này chọn hú họa ra 2 áo Tìm xác suất để cả 2 áo đó đều là phế phẩm.
Bài 12 Một mạch điện gồm 2 bộ phận mắc nối tiếp, với xác suất làm việc tốt trong khoản thời gian nào đó của mỗi bộ phận là 0,95 và 0,98 Ở mỗi thời điểm trong khoản thời gian trên người ta thấy mạch điện ngừng làm việc (do bộ phận nào đó hỏng) Tìm xác suất để chỉ bộ phận thứ 2 hỏng
Bài 13 Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bênh là 83% Theo thống kê biết rằng nếu chuẩn đoán có bệnh thì đúng tới 90%, còn nếu chuẩn đoán không bệnh thì chỉ đúng 80%. a Tính xác suất chuẩn đoán đúng b Biết có một trường hợp chuẩn đoán đúng; tìm xác suất người được chuẩn đoán đúng có bệnh
Bài 14 Xếp ngẫu nhiên một bộ sách gồm 6 tập lên giá sách, tìm xác suất để bộ sách đƣợc xếp đúng thứ tự
Bài 15 Một xí nghiệp có 3 xe tải với xác suất hỏng trong ngày của mỗi xe tương ứng là 0,01; 0,005 và 0,002 Tìm xác suất để trong ngày a Có 2 xe bị hỏng b Có ít nhất một xe bị hỏng
Bài 16 Nước giải khát được chở từ Sài gòn đi vũng tàu Mỗi xe chở 1.000 chai bia sài gòn, 2.000 chai coca và 800 chai nước trái cây Xác suất để một chai mỗi loại bị bể trên đường đi tương ứng là 0,2%; 0,11% và 0,3% Nếu không quá một chai bị bể thì lái xe được hưởng a Tính xác suất có ít nhất 1 chai bia Sài Gòn bị bể b Tính xác suất để lái xe được hưởng c Lái xe phải chở ít nhất mấy chuyến để xác suất có ita nhất một chuyến được thưởng không nhỏ hơn 0,9?
Bài17: Sản phẩm trong một nhà máy đƣợc đóng thành từng kiện, mỗi kiện gồm
Có 14 sản phẩm, gồm 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B Khách hàng áp dụng phương pháp kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản phẩm; nếu số lượng sản phẩm loại A nhiều hơn số lượng sản phẩm loại B trong mẫu, kiện đó được nhận.
100 kiện (trong rất nhiều kiện) Tính xác suất để a Có 42 kiện đƣợc nhận b Có từ 40 đến 45 kiện đƣợc nhận c Có ít nhất 42 kiện đƣợc nhận
Bài 18 Trong ngày hội thi, mỗi chiến sĩ sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại súng và với khẩu súng chọn đƣợc sẽ bắn 100 viên đạn Nếu có từ 65 viên trở lên