hay
Trang 1BÀI 1 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
I LÝ THUYẾT
Định nghĩa
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi
x∈(a;b) ta có F’(x) = f(x)
Tính chất
1 ∫ [ f(x)±g(x)]dx=∫ f(x)dx±∫g(x)dx
2 ∫dx=x+C
3 ∫kf(x)dx=k∫ f(x)dx
Bảng công thức tìm nguyên hàm cơ bản
1 Hàm lũy thừa
+
dx x
1
1 α
α α
+
+
=
a dx b ax
1
) ( 1 )
(
1 α
α α
2 Hàm số mũ
a
a dx
a x x
a
a a dx
a ax b ax b
ln 1
∫e x dx=e x +C
a dx
e ax b 1 ax b
3 Hàm logarit
C x dx
a
dx b
+
a dx b
∫
∫
+
=
+
=
C x dx
x
C x xdx
tan cos
1
sin cos
∫
+ +
= +
+ +
= +
C b ax a
dx b ax
C b ax a dx b ax
) tan(
1 ) (
cos 1
) sin(
1 ) cos(
2
C x dx
sin
1
a
dx b
+
) ( sin
1
2
Vi phân
Công thức gốc: d y = y'dx
Công thức vi phân hay gặp nhất : x 1d(ax b)
a
Đánh giá:
Đưa vào vi phân lấy nguyên hàm, đưa ra khỏi vi phân lấy đạo hàm.
Để áp dụng được công thức: ẩn trong và ngoài vi phân phải
“đồng bộ” nhau.
Công thức kinh nghiệm.(sẽ được chứng minh trong quá trình dạy)
x a
x a
dx
arctan
1
2 2
Trang 2∫ +
−
+
=
x a a x a
dx
ln 2
1
2 2
a
dx
)
2 2
II BÀI TẬP MẪU
Mẫu 1: Nguyên hàm cơ bản áp dụng trực tiếp công thức
1
4
3
I =∫ + dx=∫ x + x+ dx= x + x + x C+
∫
3
3 ln 3
x
I =∫ x + − e + dx= x + − e + x C+
1
os
c x
•
3 2
5
sinx
3
x
x
2 3
x
∫
Mẫu 2: Vi phân cơ bản
1
(2 12) (2 12)
I =∫(2x 12) dx+ = ∫(2x 12) d x+ + = x+ +C
2
1
(4 11)
x
I =∫e + dx= ∫e + d x+ = + +C
(8 3) ln 8 3
4
I =∫ xdx= ∫ − x dx= x− x +C
I = x+πdx= x+π d x+π = x+π +C
(3 1) cot(3 1) 3
sin (3 1) sin (3 1)
Mẫu 2: Vi phân nâng cao
1
3ln
3ln (ln ) ln
x
x
2
2
3
I =∫ x x + dx=∫ x + d x + = x + +C
3
I =∫x x + dx= ∫ x + d x + = x + +C
Trang 3• 2 2 3
4
2
3
I =∫ x xdx=∫ x xdx= − ∫ xdc x= − c x C+
(2 tan 12) ln 2 tan 12
os (2 tan 12)
x
+ +
( cot ) (cot )
2 sin
x
x
+
II.BÀI TẬP
Bài 1.1 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
3
1
1
x
4 (2x 12) (2 12)
I =∫ + + x+ − dx
2 7
5 (2x 12)
I =∫ + dx I6=∫(2x 12)+ 2013 dx 7
(2x 12)
x-3
+
1 (2x 12)(2x-12)
+
∫
Bài 1.2 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
x
e +
1
e e
+
=
− +
5 6(e +e )x x
6 e (2x x e x )
7
2
x x
e
I =∫ + dx 8 2 122
1
x x
e
e
=∫
Bài 1.3 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1 sin(8 11)
I =∫ x+ dx 2 2
1 sin (3 11)
x
=
+
4
I = x+π dx
∫ I4 =∫x sin(x9 10+1995)dx
2
4
I = +π dx
11 cos (11 9)
x
=
+
Bài 1.4 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
2
I =∫ c x− x dx 3
1
=
∫ 4
1
=
1
=
− +
2 tan 2 sin 4
x
x
=∫
Bài 1.5 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
(2 12)
x
=
+
2
x x x
x
1 x
x
−
= ∫ ÷ 3
2
x x
x
+
2
x x
x
−
1 1
x
=
−
1
x x
=
+
∫
Trang 4Bài 1.6 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
I =∫ x x x x dx 2 3
( 1)
x
x
=
−
1 1
x x
x
+ +
=
−
1 ( 1)
x x
=
+
∫
( 3)
x
x
+
=
+
1 ( 1)
x x
=
+
I =∫x −x dx I8 =∫x 2 5− xdx
Bài 1.7 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1 2 3 5x x x
2
2 3 5 10
x
I =∫ + + dx 3 5 32
2
x x
x
+
1 (2 12)
x x
=
+
∫
1
cos (2 )
x π
=
−
tan 3 sin 6
x
x
I =∫ e − + x− dx I8 =∫(t anx cot )+ x dx
Bài 1.8 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
I =∫ e − + x+ dx 2 2
2 sin (12 2 )
x
=
−
2
I = x+π dx
∫ 2
4 tan 2
4 11
2 12
x
+
∫