chương 1 biến cố và xác suất của biến cố

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN  Định nghĩa Nếu phép thử có tất cả n kết cục đồng khả năng và chúnglập thành một hệ đầy đủ, trong đó có m kết cục thuận lợicho biến cố A thì

Chương 1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

 Bài 1 Phép thử và biến cố

 Bài 2 Một số định nghĩa xác suất

 Bài 3 Các công thức tính xác suất

NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP

 Chỉnh hợp:

 Chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho là một nhóm cóthứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đãcho (k ≤ n)

NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP

 Chỉnh hợp lặp:

 Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đã cho là mộtnhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã chotrong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, …, k lần

NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP

 Hoán vị: Mỗi cách sắp sếp các phần tử của một tập

hợp gồm n phần tử khác nhau gọi là một hoán vị của n phần tử ấy.

 Ví dụ 3: Một bàn có 3 chỗ ngồi Có bao nhiêu cách

sắp xếp 3 sinh viên vào bàn đó?

 Số các hoán vị của n phần tử:

n

P  n!

 Ví dụ 4: Một nhóm sinh viên gồm 6 nữ, 4 nam Hỏi

có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên? Có bao nhiêu cách chọn 2 sinh viên nữ và 1 sinh viên nam?

 Số các tổ hợp chập k của n:

k n

 Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc

không xảy ra sau phép thử, ký hiệu là A, B, C… hay

A1, A2,…

2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Quan hệ kéo theo

 Quan hệ tương đương

2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Quan hệ kéo theo:

Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy rathì B cũng xảy ra sau phép thử, ký hiệu:

 Quan hệ tương đương:

Biến cố A được gọi là tương đương với biến cố B nếu Akéo theo B và B cũng kéo theo A ký hiệu: A = B

 Các biến cố xung khắc từng đôi:

n biến cố được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cốbất kỳ trong n biến cố đó xung khắc với nhau

2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

 Hiệu của hai biến cố:

Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi vàchỉ khi biến cố A xảy ra nhưng biến cố B không xảy rasau phép thử

BÀI 2 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

 1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

 2 Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê)

 3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

1 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO

QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN

 Định nghĩa

Nếu phép thử có tất cả n kết cục đồng khả năng và chúnglập thành một hệ đầy đủ, trong đó có m kết cục thuận lợicho biến cố A thì xác suất của biến cố A được kí hiệu vàxác định như sau:

Tính chất:

m P(A)

n



0 P(A) 1P(V) 0, P(U) 1P(A) 1 P(A)

 

1 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO

QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN

 Ví dụ 1: Một hộp có 6 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống hệt nhau về hình dáng và kích thước Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 quả cầu Tính xác suất lấy được:

 Cả 3 quả cầu lấy ra đều là cầu trắng

 Lấy được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen

 Các quả cầu lấy ra không cùng một màu

1 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO

QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN

 Ví dụ 2: Một người gọi điện thoại nhưng quên mất

2 số cuối của số điện thoại cần gọi.

 Tính xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng

số cần gọi

 Nếu người đó nhớ thêm rằng 2 số đó là 2 số lẻ khácnhau thì xác suất là bao nhiêu?

1 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO

QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN

 Chú ý: Tỷ lệ phần tử mang đặc tính A trong một

tổng thể chính bằng xác suất lấy được một phần tử mang đặc tính A từ tổng thể đó.

2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO TẦN SUẤT

 Định nghĩa: Tiến hành n lần phép thử nào đó, thấy

có m lần xuất hiện biến cố A thì được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A.

2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO TẦN SUẤT

Tính chất:

0 P(A) 1P(V) 0, P(U) 1P(A) 1 P(A)

 

3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO TIÊN ĐỀ

Xác suất P là một hàm của biến cố thỏa mãn 3 tiên

đề sau đây:

 P(A) ≥ 0 với mọi biến cố A

 P(U) = 1

 Nếu các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi thì:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

BÀI 3 CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

 1 Xác suất có điều kiện

 2 Công thức tính xác suất của tích các biến cố

 3 Công thức tính xác suất của tổng các biến cố

 4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

 P(B) 0 

1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

 Ví dụ 1: Trong một hòm có 100 phiếu, trong đó có

20 phiếu trúng thưởng Hai người lần lượt bốc mỗi người một phiếu Tính xác suất người thứ hai bốc được phiếu trúng thưởng:

 Biết rằng người thứ nhất bốc được phiếu trúng thưởng

 Biết rằng người thứ nhất không bốc được phiếu trúngthưởng

1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

 Các tính chất:

 Chú ý:

Nếu P(A/B) = P(A) thì ta nói biến cố A độc lập với biến

cố B Ngược lại, ta nói biến cố A phụ thuộc biến cố B

0 P(A / B) 1 A, B P(U / B) 1, P(V / B) 0 P(A / B) 1 P(A / B)

 

1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

 Các biến cố độc lập từng đôi:

n biến cố được gọi là độc lập từng đôi nếu hai biến cố bất

kì trong n biến cố ấy độc lập với nhau

 Các biến cố độc lập trong toàn bộ (độc lập toàn phần):

n biến cố được gọi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cốcủa hệ ấy độc lập với tích của một số bất kì trong n – 1 biến cố còn lại

2 CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA

TÍCH CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 2: Có 3 người, mỗi người sản xuất 1 sản phẩm Xác

suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba sản xuất ra sản phẩm tốt lần lượt là 0,75; 0,82; 0,9 Tính xác suất:

a) Cả 3 người đều sản xuất ra sản phẩm tốt.

b) Chỉ có người thứ 2 không sản xuất ra sản phẩm tốt.

 Ví dụ 3: Một người đi mua hàng 3 lần với xác suất lần đầu

mua được hàng tốt là 0,8 Nếu lần trước mua được hàng tốt thì khả năng lần tiếp theo mua được hàng tốt là 0,88 còn nếu lần trước mua phải hàng xấu thì khả năng lần tiếp theo mua được hàng tốt là 0,6 Tính xác suất:

a) Cả 3 lần người đó đều mua được hàng tốt.

b) Chỉ có lần thứ 2 người đó không mua được hàng tốt.

2 CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA

TÍCH CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 4: Một người quên chữ số cuối cùng của số điện

thoại cần gọi nên đã chọn ngẫu nhiên chữ số để bấm Tính xác suất để người đó đến lần thứ 3 mới chọn được đúng số.

 Ví dụ 5: Một công ty tuyển nhân viên vào làm bằng cách tổ

chức 3 vòng thi Vòng 1 chọn 88% thí sinh, vòng 2 chọn 65% thí sinh đã đỗ vòng 1, vòng 3 chọn 75% thí sinh đã đỗ vòng 2 Giả sử khả năng của các thí sinh như nhau.

a) Tính xác suất cho một thí sinh dự thi được nhận vào công ty b) Nếu thí sinh trên dự thi và bị loại, hỏi khả năng thí sinh đó bị loại ở vòng 2 là bao nhiêu?

 Nếu là các biến cố xung khắc từng đôi thì:

 Ta có thể đưa từ công thức tính xác suất của tổng cácbiến cố thành tính xác suất của tích các biến cố:

 Ví dụ 7: Có 3 người, mỗi người bắn 1 viên đạn, khả năng

bắn trúng bia của người thứ nhất, thứ 2, thứ 3 lần lượt là0,8; 0,9; 0,7

a) Tính xác suất có đúng 1 người bắn trúng bia.

b) Nếu có đúng 1 người bắn trúng bia, hỏi khả năng đó là người thứ nhất bằng bao nhiêu?

 Bộ phận 1 bị hỏng.

 Có một bộ phận bị hỏng

3 CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA

TỔNG CÁC BIẾN CỐ

 Ví dụ 9: Có 2 hộp sản phẩm: Hộp 1 có 5 sản phẩm

loại I, 4 sản phẩm loại II, 3 sản phẩm loại III; hộp 2

có 6 sản phẩm loại I, 4 sản phẩm loại II, 5 sản phẩm loại III Từ mỗi hộp lấy ra 1 sản phẩm Tính xác suất:

a) Hai sản phẩm lấy ra cùng loại

b) Hai sản phẩm lấy ra khác loại

c) Biết rằng trong 2 sản phẩm lấy ra có 1 sản phẩm loại I,hỏi khả năng đó là sản phẩm của hộp 1 bằng bao nhiêu?

a) Chỉ đỗ 1 môn.

b) Không đỗ môn nào.

 Ví dụ 12: Khả năng gặp rủi ro khi đầu tư vào các dự án I,

II tương ứng là 10%; 8% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu

tư vào cả 2 dự án là 5% Nếu đầu tư vào cả 2 dự án Tínhxác suất:

a) Ít nhất 1 dự án gặp rủi ro.

b) Chỉ dự án I gặp rủi ro.

c) Không có dự án nào gặp rủi ro.

a) Không có dự án nào gặp rủi ro.

b) Có 1 dự án gặp rủi ro

c) Nếu có 1 dự án gặp rủi ro, hỏi khả năng đó là dự án Bbằng bao nhiêu?

4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ,

CÔNG THỨC BAYES

một hệ đầy đủ các biến cố B là một biến cố xảy ra trong cùng phép thử với các biến cố đó Khi đó:

 Công thức Bayes: Với giả thiết như trên, thêm điều

kiện biến cố B đã xảy ra, ta có:

P(B)

   i 1, n

4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ,

CÔNG THỨC BAYES

 Ví dụ 14: Hai máy cùng chế tạo một loại sản phẩm, khả

năng chế tạo ra chính phẩm của máy 1 là 0,9; của máy 2 là 0,8 Chọn một máy rồi cho máy đó chế tạo 1 sản phẩm.

a) Tính xác suất để sản phẩm được chế tạo ra là chính phẩm b) Nếu sản phẩm được chế tạo ra là chính phẩm, tính xác suất

để đó là sản phẩm do máy 1 chế tạo.

 Ví dụ 15: Có 2 lô hàng: lô 1 có 6 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm

xấu, lô 2 có 7 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên 1 lô hàng rồi từ lô đó lấy ra 2 sản phẩm.

a) Tính xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt.

b) Nếu 2 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt, hỏi khả năng chúng là sản phẩm của lô 1 bằng bao nhiêu?

4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ,

CÔNG THỨC BAYES

 Ví dụ 16: Cho 2 lô hàng như Ví dụ 15 Do sơ suất, người ta

đánh rơi 2 sản phẩm từ lô 1 sang lô 2 Sau đó từ lô 2 người

ta lấy ra 1 sản phẩm.

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt, tính xác suất 2 sản phẩm của lô 1 bị rơi sang lô 2 đều là sản phẩm tốt.

 Ví dụ 17: Cho 2 lô hàng như Ví dụ 15 Từ lô 1 lấy ra 2 sản

phẩm, lô 2 lấy ra 3 sản phẩm rồi từ 5 sản phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm.

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt Khả năng

đó là sản phẩm của lô 1 bằng bao nhiêu?

 Ví dụ 19: Một kho hàng chứa sản phẩm của 3 nhà máy 1,

2, 3 với tỷ lệ tương ứng là 40%, 25% và 35% Biết tỷ lệphế phẩm của nhà máy 1, 2, 3 lần lượt là 1%; 1,5%; 2%

a) Tính xác suất lấy được 1 phế phẩm của kho hàng đó.

b) Giả sử sản phẩm lấy ra từ kho hàng là phế phẩm, hỏi khả năng đó là sản phẩm của nhà máy nào là lớn nhất?

4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ,

CÔNG THỨC BAYES

 Ví dụ 20: Một lô hạt giống có 40% hạt giống loại 1 và 60%

hạt giống loại 2 Tỷ lệ không nảy mầm của hạt giống loại 1,

2 lần lượt là 5% và 6%.

a) Tính tỷ lệ hạt không nảy mầm của lô hạt giống đó.

b) Trong số hạt giống không nảy mầm của lô đó, hạt giống loại 1 chiếm bao nhiêu %?

 Ví dụ 21: Tỷ lệ người có thu nhập cao ở vùng A là 22%.

Trong số những người có thu nhập cao ở vùng đó, tỷ lệ người có tiền gửi tiết kiệm là 86%, còn trong số người không có thu nhập cao ở vùng đó, tỷ lệ này là 17% Hỏi trong số những người có tiền gửi tiết kiệm ở vùng đó, số người không có thu nhập cao chiếm bao nhiêu %?

4 CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ,

CÔNG THỨC BAYES

 Ví dụ 22: Ở một nhà máy giày, tỷ lệ các đôi giày

được sản xuất ở các ca sáng, chiều, tối lần lượt là 50%, 40% và 10% Tỷ lệ đôi giày bị lỗi trong các đôi giày được sản xuất ở các ca sáng, chiều, tối lần lượt

là 3%, 5%, 8% Kiểm tra ngẫu nhiên một đôi giày.

a) Tính xác suất đôi giày được kiểm tra bị lỗi

b) Nếu biết rằng đôi giày được kiểm tra không bị lỗi thìkhả năng nó được sản xuất ở ca nào là cao nhất?