8 bài 6 hệ thức lượng trong tam giác

c Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam thay vì hương đông nam thì có thể dụng Định lí Pythagore Pi-ta-go để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?... Khám pháT

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Tháp Rùa nằm trong lòng hồ Hoàn Kiếm ở Thủ đô Hà Nội

Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với

những dụng cụ đơn giản, dễ

chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa Em có biết vì sao?

BÀI 6: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (4 Tiết)

NỘI DUNG BÀI HỌC01

Tiết 1

1 Định lí côsin

HĐ1

Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng

đông với vận tốc 20 km/h Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông

nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực

tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu

cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hương đông

nam) thì có thể dụng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo

trong câu b hay không?

a) Hình vẽ thể hiển sơ đồ đường đi của tàu, tàu xuất phát từ cảng Vân Phong (điểm A), đi theo hướng từ A đến B, sau đó từ B chuyển hướng đi

C (hướng đông nam) Thời gian đi từ B đến C là 0,5 giờ.

Giải

AB = 20

B C =

10

b) Khoảng cách từ C đến A khoảng 28 cm, thì thực tế tàu cách cảng Vân Phong 28 km.

c) Có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) vì nếu tàu chuyển hướng sang nam thì góc ABC là góc vuông, ta có thể áp dụng định lí Pythagore (Pi-ta-go)

Có hay không, một kiểu định lí Pythagore cho

tam giác tùy ý?

Ghi nhớ

• Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là

các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng;

• a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện

với đỉnh A, B, C;

• p là nửa chu vi;

• S là diện tích;

• R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp

và nội tiếp tam giác

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ2.

Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A

a) Tính a2 theo BD2 và CD2

b) Tính a2 theo b, c và DA

c) Tính DA theo c và cos A

d) Chứng minh a2 = b2 + c2 - 2b.c.cos A

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông BDC:

a2 = BD2 + CD2

b) a2 = DB2 + DC2 = c2 - DA2 + (DA + b)2 = c2 + 2.b.DA + b2

c) DA = c cos α = c (-cosA) = -c.cosA

d) Theo b ta có: a = c2 + 2.b.DA + b2 (1), thay DA = - c cosA vào (1) được:

a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A

Giải

Kết quả câu d còn đúng không khi góc A là góc

Em hãy nhận xét mối quan hệ giữa

độ dài cạnh BC với độ dài các

cạnh BA, AC và côsin của góc A.

Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí Cosin hay không?

Định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lí Côsin, khi góc A = 90o.

Đọc Ví dụ 1 và cho biết: Tam giác ABC đã biết các yếu tố nào?

Để tính được BC ta dùng định lí côsin như thế nào?

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có = 120o và AB = 5, AC = 8 Tính độ dài

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB AC cos120 o = 5 2 + 8 2 - 2.5.8 = 129

Vậy BC =

Khám phá

Từ định lí cosin, hãy viết các công thức tính cosA, cosB, cosC theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC

Luyện tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và = 45o Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có:

Suy ra BC =

Giải

Luyện tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và = 45o Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Giải Suy ra

Suy ra

Trải nghiệm

Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số

đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của định lí cosin tại đỉnh A đối với tam giác đó

Hoạt động nhóm 4

Vận dụng 1: Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được

đề cập trong HĐ1b

AB = 20

B C =

10

Do tàu đi theo hướng đông đến

B rồi chuyển hướng đông nam đến C nên góc

Giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có:

AC2 = AB2 + BC2 - 2.AB.BC.cos 135o

= 202 + 102 - 2.20.10 ≈ 782,8 AC ≈ 28

Tiết 2

2 Định lí sin

HĐ3 Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sinA

Thảo luận nhóm 4 hoàn thành HĐ3.

b) Xét tam giác BMC vuông tại C có:

(do sin A = sinM vì ) ⇒ 𝑅= 2 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝑎

a) Xét tam giác BMC vuông tại C có:

2 𝑠𝑖𝑛 𝐴

Định lí sin Trong tam giác ABC: = = = 2R

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có = 135o, = 15o và b = 12

Tính a, c, R và số đo góc B

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và = 80o Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

Theo định lí sin, ta có:

Suy ra

Do , nên Theo định lí sin, ta có: a = sin A 2R

Giải

3 Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó gọi là giải tam giác

Ví dụ 3 Giải tam giác ABC, biết c = 14, = 60o , = 40 o

Giải

Ta có = 180 o - ( + ) = 80 o

Áp dụng định lí sin, ta có: = =

3 Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó gọi là giải tam giác

Ví dụ 3 Giải tam giác ABC, biết c = 14, = 60o , = 40 o

Giải

Suy ra a = 12,31; b = 9,14

Luyện tập 3: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, = 87o.

Giải Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA = 322 + 452 - 2 32 45.cos87o

a 54

Áp dụng định lí sin, ta có: = = = 2R

36o; 57o

Nếu tam giác bất kì biết một cạnh và một góc thì có tính

được các yếu tố còn lại không? Ta có thể giải tam giác

trong các trường hợp nào?

Áp dụng các định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

 Biết hai cạnh và góc xen giữa.

 Biết ba cạnh

 Biết một cạnh và hai góc kề.

Chú ý

Ví dụ 4

Trở lại tình huống mở đầu, ta có thể tính được khoảng cách từ điểm A trên bờ hồ đến Tháp Rùa như thế nào?

• Bước 1: Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí A và một

cọc tiêu tại vị trí B nào đó Đo AB.

• Bước 2: Đo góc A, tạo bởi hai hướng ngắm Tháp Rùa

và hướng cọc tiêu B, đỉnh tại A.

• Bước 3: Đo góc B, tạo bởi hai hướng ngắm Tháp Rùa

và hướng cọc tiêu A.

• Bước 4: Gọi C là vị trí Tháp Rùa

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài AC.

Vận dụng 2: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi,

ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo

Gợi ý • Bước 1: Từ một vị trí ở vùng quan sát, ngắm hai

đỉnh núi và đo góc giữa hai hướng ngắm đó

• Bước 2: Tương tự Ví dụ 4, tính khoảng cách từ

vị trí vừa ngắm tới các đỉnh núi

• Bước 3: Dùng định lí côsin để tính toán

Tiết 3

4 Công thức tính diện tích tam giác

Em nhắc lại công thức tính diện tích tam giác ABC khi biết chiều cao và độ dài cạnh đáy tương ứng.

ha

a

S = ha.a

Còn công thức nào khác tính diện tích tam giác không?

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn

nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và

diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích 3 tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Diện tích tam giác ABC:

Giải

Công thức tính diện tích tam giác ABC: S = pr =

HĐ5

Cho tam giác ABC với đường cao BD

a) Biểu thị BD theo AB và sin A

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A

Đặt BD trong tam giác vuông nào để tính được

theo AB và sin A?

a) BD = AB.sin Ab)

Công thức tính diện tích tam giác ABC: S = bcsinA = casinB = absinC

Ví dụ 5 Tính diện tích S của tam giác ABC có c = 4, b = 6, = 150o

Giải

Ta có: S = bcsinA = 6 4 sin150o = 6

Luyện tập 4: Tính diện tích của tam giác ABC có b = 2, = 30o, = 45o.

Thảo luận nhóm 4, hoàn thành Luyện tập 4.

Giải Áp dụng định lí sin, ta có:

Ta có:

Diện tích tam giác ABC:

Chú ý Do sin A = nên từ công thức S = bcsinA, ta có:

Công thức tính diện tích tam giác ABC: S =

Thảo luận theo nhóm 4: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Giải sin A có thể tính theo độ dài của các cạnh tam giác ABC.

Theo định lí côsin, ta có:

Mà Tính diện tích S theo các cạnh của tam giác ABC

Công thức Heron Trong tam giác ABC: S =

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.

a) Tính sinA b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.

a) Áp dụng định lí côsin, ta có:

cosA = = = 0,6

Do đó sinA = = 0,8

Giải

Công thức Heron Trong tam giác ABC: S =

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.

a) Tính sinA b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.

Giải b) Cách 1: S = bcsinA = 84.

Cách 2: Tam giác ABC có nửa chu vi là: p = = = 21

Áp dụng công thức Heron, ta có:

SABC = = = 84

Vận dụng 3 : Công viên Hòa Bình (Hà Nội)

có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình

3.17 Dùng chế độ tính khoảng cách giữa

hai điểm của Google Maps, một người xác

định được các khoảng cách như trong hình

vẽ Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích

Diện tích hình ngũ giác ABCDE có mối

quan hệ như thế nào với diện tích tam giác

ABE, BDE, BCD?

Chia lớp làm 3 tổ, HS mỗi tổ sẽ hoạt động theo nhóm 4, tính:

 Tổ 1: Tính diện tích tam giác ABE.

 Tổ 2: Tính diện tích tam giác BDE.

 Tổ 3: Tính diện tích tam giác BCD

Bài 3.6 (SGK - tr42)

Cho tam giác ABC có a = 10, = 45o, = 70o Tính R, b, c

=

Giải

Bài 3.7 (SGK - tr42)

Giải tam giác ABC và tính

diện tích của tam giác đó,

biết = 15o, = 130o, c = 6

Giải

VẬN DỤNG

Bài 3.8 (SGK - tr42)

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70oE với vận tốc 70 km/h Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8km/h Sau 2 giờ

kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

Sau 90 phút, tàu cá chạy từ A đến B với vận tốc

70 km/h, nên AB = 105 km.

Sau 2 giờ, tàu trôi từ B đến C với vận tốc 8 km/h, suy ra BC = 16 km Vì từ A đến B tàu chạy theo hướng S70 o E và từ B đến C tàu trôi theo hướng S0 o E, nên = 180 o - 70 o = 110 o

Giải

a) Theo định lí côsin, ta có AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2AB BC cos ≈ 12 430 ⋅BC⋅cos⁡ ≈ 12 430 ⋅BC⋅cos⁡ ≈ 12 430.

Suy ra khoảng cách từ cảng A đến vị trí neo đậu C bằng AC ≈ 111,5( km).

b) Gọi hướng từ cảng đến vị trí neo đậu là hướng Khi đó, do nên

Áp dụng định lí sin cho tam giác , ta có:

Suy ra Vậy hướng từ cảng tới đảo nơi tàu neo đậu là

Bài 3.9 (SGK - tr43)

Trên nóc một tòa nhà có một ăng-ten cao 5m

Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50 o và 40 o

so với phương nằm ngang.

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Bài 3.11 (SGK - tr43)

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19 Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định là đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D Hỏi

độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilomet so với đường cũ?

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta được:

AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB BC cos = 8 2 + 6 2 - 2.8.6.cos105 o 124,8466 Suy ra AC 11,1735 (km)

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta được:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACD, ta được:

AD 2 = AC 2 + CD 2 - 2 AC.CD.cos = 11,1735 2 + 12 2 - 2 11,1735 12 cos 91 ⋅BC⋅cos⁡ ≈ 12 430 ⋅BC⋅cos⁡ ≈ 12 430 ⋅BC⋅cos⁡ ≈ 12 430 o ≈ 273,5272.

Suy ra AD ≈ 16,5387 km.

Bởi vậy, đường mới sẽ giảm so với đường cũ: (12 + 6 + 8) -16,5387 = 9,4613 (km).

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

 Ghi nhớ kiến thức trong bài

 Hoàn thành các bài tập trong SBT, bài 3.10 (SGK – tr 43)

 Chuẩn bị bài mới “Bài tập cuối chương III”.

 GV chia HS thành 4 tổ, yêu cầu mỗi tổ sẽ hệ thống lại

kiến thức của chương theo một sơ đồ ngắn gọn

CẢM ƠN CẢ LỚP ĐÃ CHÚ Ý

THEO DÕI BÀI GIẢNG!