Kntt c3 b6 p2 cac he thuc luong trong tam giac

CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC a Tính Sin .A b Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoản

❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Đình Trung FB: Trung Nguyen

❷ Giáo viên phản biện: Bùi Thành Vinh FB: Vinh Chauthao

4 CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

a) Tính Sin A

b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.

Giải (H.3.16)

a) Áp dụng Định lí côsin, ta có:

2 2 2 142 152 132

b c a A

bc

Do đó sinA 1 cos 2 A0,8

Ta có

1 sin 84

2

S  bc A

Áp dụng Công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai như sau:

Tam giác ABC có nửa chu vi là:

13 14 15

21

a b c

Khi đó S ABC  p p a p b p c(  )(  )(  )  21 (21 13) (21 14) (21 15)       21 8 7 6 84    Công viên Hòa Bình ( Hà Nội) có dạng hình ngũ giác

ABCDE như Hình 3.17 Dùng chế độ tính khoảng cách giữa

hai điểm của Google Maps, một người xác định được các

khoảng cách như trong hình vẽ Theo số liệu đó, em hãy tính

diện tích của công viên Hòa Bình

3.5 Cho tam giác ABC có a6,b5,c Tính cos , , 8. A S r

Lời giải

Ta có

2 2 2 52 82 62 53 cos

b c a A

bc

Nửa chu vi là

6 5 8 19

a b c

P      

Áp dụng công thức Heron ta có:

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 6

Ví dụ 6. Cho tam giác có

Vận dụng 3.

19 19 19 19 3 399

S  p p a p b p c               

     

Do

3 399

38

S

p

3.6 Cho tam giác ABC có a10,A45 , B 70  Tính , , R b c

Lời giải

Áp dụng định lý sin ta có

10

Ta có

sin 10.sin 70

13, 289

b





Vì

sin sin 45

A





3.7 Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết A 15 , B 130 , c6.

Lời giải

Ta có A B C  180  C 180  A B  35

Áp dụng định lý sin ta có:

sin 6sin15

2,71 sin sin 35

sin 6sin130 sin sin sin

8,01 sin sin 35

a

C

b

C











Diện tích của tam giác là:

.sin 2, 71.6.sin130 6, 228

3.8 Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng ,A đi theo hướng

70

S E với vận tốc 70 km/h Đi được 90 phút thì động cơ

của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận

tốc 8 km/h Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo

đậu được vào một hòn đảo

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu

Lời giải

a) Theo giả thiết ta có: AB105km BC, 16km,

 70 , 20  160

Khoảng cách từ A tới đảo tàu neo đậu bằng đoạn AC.

Áp dụng định lý côsin ta có:

AC  AB BC  AB BC B

105 16 2.105.16.cos160 120,16km

b) Ta có

2

AB AC BC

AB AC

Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là hướng Đông

3.9 Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten

cao 5 m Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so

với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột

ăng-ten, với các góc tương ứng

là 50 và 40 so với phương nằm ngang

(H.3.18)

a) Tính các góc của tam giác ABC

b) Tính chiều cao của tòa nhà

Lời giải

a) Ta có BAC   50 40   ,10

ABC   BAD   ACB   ABC BAC  

b) Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có

.sin 5.sin 40

18,51

AC





Xét tam giác ACD vuông tại D có

.sin 40 11,9

Vậy chiều cao của tòa nhà là: 11,9 7 18,9   m

3.10 Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được

Đảo Yến Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo

chiều ta ngắm được) Đảo Yến nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình

Lời giải

Gọi ,A B là hai vị trí ngoài cùng mà ta quan sát khi nhìn từ bãi biển

Từ một điểm C trên bãi biển dùng giác kế ta xác định được góc ACB 

Lấy điểm D trên bãi biển sao cho , ,A C D thẳng hàng và có độ dài đoạn CD a mét Ta xác định được ADB

Từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD và ABC ta xác định được bề rộng AB của hòn đảo

3.11 Để tránh núi, đường giao thông hiện tại

phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19

Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi,

người ta dự định làm đường hầm xuyên núi,

nối thẳng từ A tới D Hỏi độ dài đường mới

sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Lời giải

Dựng CE BF vuông góc với , AD

Xét tam giác CDEvuông tại E có D C   45

.sin 45 6 2

Xét tam giác ABFvuông tại F có B  15

.sin15 2 6 2 2

Mặt khác EF BC6km

6 4 2 2 6 16,56

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9, 44 km so với đường cũ.

Cách 2: Nối BD hoặc AC từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD và ABD ta sẽ tìm được AD.

Em có biết?

Heron (Heron of Alexandria) là một nhà phát minh, nhà toán học

Hy Lạp, sống vào khoảng thế kỉ I Mặc dù cỗ máy với động cơ

hơi nước đầu tiên trên thế giới ra đời ở thế kỉ XVIII – một sự kiện

quan trọng góp phần tạo nên cuộc cách mạng công nghiệp lần

thứ nhất, nhưng chính Heron là người đầu tiên mô tả một mô

hình đơn giản cho phép biến hơi nước thành chuyển động quay

Trong toán học, Heron mô tả cách tính diện tích của các đa giác

đều từ 3 tới 12 cạnh, diện tích một số mặt và thể tích một số hình

trong không gian

Câu 1: Cho tam giác ABC có a8,b10, góc C bằng 600 Độ dài cạnh clà?

A c3 21. B c7 2. C c2 11. D c2 21.

Lời giải

Ta có: c2a2b2 2 cosa b C82102 2.8.10.cos600 84 c2 21

Câu 2: Cho ABCcó b6,c8,Aˆ 600 Độ dài cạnh a là:

Lời giải

Ta có: a2 b2c2 2 cosbc A36 64 2.6.8.cos60  0 52 a2 13

Câu 3: Cho ABC có B60 ,0 a8,c5. Độ dài cạnh b bằng:

Lời giải

Ta có: b2 a2c2 2 cosac B8252 2.8.5.cos600 49 b7

Câu 4: Cho ABC có AB 9;BC 8;B 60  0 Tính độ dài AC

Lời giải

Theo định lý cosin có: AC2 BA2BC2 2BA BC .cosABC 73  AC 73

Vậy AC  73.

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB2,AC1 và A 60 0 Tính độ dài cạnh BC

Lời giải

Theo định lý cosin ta có: BC  AB2AC2 2AB AC. .cos 600

2 1 2.2.1

2

3



Câu 6: Tam giác ABC có a8,c3,B60 0 Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có: b2 a2 c2 2accosB 82 32  2.8.3.cos600 49  b 7

Câu 7: Tam giác ABCcó C 150 ,0 BC 3,AC2 Tính cạnh AB?

Lời giải

Theo định lí cosin trong ABC ta có:



2  2 2 2 cos

AB CA CB CA CB C  13 AB 13.

Câu 8: Cho tam giác ABC, biết a24,b13,c15. Tính góc A?

Lời giải

Ta có:

0

b c a

bc

Câu 9: Cho tam giác ABC, biết a13,b14,c15. Tính góc B?

Lời giải

Ta có:

0

a c b

ac

Câu 10: Tam giác ABC có AB 9 cm, BC 15cm, AC 12cm Khi đó đường trung tuyến AM của

tam giác có độ dài là

A 10 cm B 9 cm C 7,5 cm D 8 cm

Lời giải

Ta có

2

AB AC BC

9 12 15 225



2

AM

Câu 11: Cho tam giác ABC có AB3,BC5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài

AC.

9

2. D 10

Lời giải

13

A

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có:

 

Câu 12: Cho tam giác ABC có góc BAC   và cạnh 60 BC  3 Tính bán kính của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC

Lời giải

Ta có:

3

2

2

Câu 13: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm, góc A   , 60 B   Độ dài cạnh 45 BC

là

A 2 6 B 2 2 3 C 2 3 2 D 6

Lời giải

Ta có sin sin

3 4

2 2 6 2

2

BC

Câu 14: Cho ABC có AB 5;A 40

 ;B 60

 Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?

Lời giải

C 180   A B 180    40  60  80

Áp dụng định lý sin:

5 sin sin 40 3,3 sin sin sin sin 80

Câu 15: Tam giác ABC có a 16,8; B  56 13'0 ; C  710 Cạnh cbằng bao nhiêu?

A 29,9. B 14,1. C 17,5. D 19,9.

Lời giải

Ta có: Trong tam giác ABC: A B C   1800 A 1800 710 56 13' 52 47'0  0

Mặt khác

0 0

19,9.

c

A B  C  A C   A  

Câu 16: Tam giác ABC có A 68 12'0 , B  34 44'0 , AB 117. Tính AC?

Lời giải

Ta có: Trong tam giác ABC: A B C  1800 C 1800 68 12' 34 44' 77 4'0  0  0

Mặt khác

0 0

68.

AC

Câu 17: Cho ABC có a6,b8,c10. Diện tích S của tam giác trên là:

Lời giải

Ta có: Nửa chu vi ABC: 2

a b c

p  

Áp dụng công thức Hê-rông: S  p p a p b p c(  )(  )(  )  12(12 6)(12 8)(12 10) 24   

Câu 18: Cho ABC có a4,c5,B150 0 Diện tích của tam giác là:

Lời giải

Ta có:

0

ABC

S  a c B 

Câu 19: Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có:

a b c

p      

Suy ra: S  p p a p b p c(  )(  )(  ) 21(21 13)(21 14)(21 15) 84   

Câu 20: Cho các điểm A(1; 2), ( 2;3), (0;4). B  C Diện tích ABC bằng bao nhiêu?

A

13

.

13 4

Lời giải

Ta có: AB ( 3;5) AB 34



Mặt khác

AB AC BC

Suy ra:

13

2

S  p p AB p AC p BC   

Câu 21: Cho tam giác ABC có A(1; 1), (3; 3), (6;0). B  C Diện tích ABC là

Lời giải

Ta có: AB(2; 2)  AB2 2







Mặt khác  AB BC.  0 ABBC

Suy ra:

2

ABC

S  AB BC

Câu 22: Cho tam giác ABC Biết AB 2; BC 3 và ABC   Tính chu vi và diện tích tam giác60

ABC.

A 5 7và

3

2. B 5 7và

3 3

2 . C 5 7 và

3 3

2 . D 5 19và

3

2.

Lời giải

J

K I

C B

A

Ta có: AC2 AB2BC2 2.AB BC. .c osABC  4 9 2.2.3.c os60 13 6 7 

Suy ra AC  7

Chu vi tam giác ABC là AB AC BC    2 3 7

Diện tích tam giác ABC là



.sin 2.3.sin 60

ABC

S  AB BC ABC  

Câu 23: Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình

tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (AB 4,3cm; BC 3, 7cm; CA 7,5 cm) Bán kính của chiếc đĩa này bằng

A 5,74cm B 6,01cm. C 5,85cm. D 4,57cm.

Lời giải

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

4,3 3, 7 7,5 31

AB BC CA

cm.

Diện tích tam giác ABC là: S p p AB p BC p CA         5, 2

cm 2

Mà

5, 73

AB BC CA AB BC CA

cm.

Câu 24: Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp Chọn hai điểm A, B trên mặt đất

sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Ta đo được AB = 24m, CAD  630; CBD  480 Chiều cao

h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?

A 61,4 m B 18,5 m C 60 m D 18 m.

Lời giải

Ta có CAD 630 BAD 1170 ADB1800 1170480 150

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:  





.sin

BD

Tam giác BCD vuông tại C nên có:

sinCBD CD CD BD.sinCBD

BD

Vậy



0

.sin sin 24.sin117 sin 48

61, 4 sin15

sin

ADB