CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ doc

CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ a.Định lý Cho chuỗi số... Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy mà biết được chuỗi b.. Định nghĩa được gọi là hội tụ tuyệt đối.. I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI tt hội

= 1

n n

∑∞

= 1

n n

= 1

n n

u

∑

∑∞= ≤ ∞=

1

u u

, trong đó Nếu chuỗi hội tụ thì

cũng hội tụ và

I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI

III CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ

a.Định lý

Cho chuỗi số

Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy

mà biết được chuỗi

b Định nghĩa

được gọi là hội tụ tuyệt đối

cũng hội tụ hay phân kỳ

∑∞

= 1

n n

= 1

n n

u

hội tụ thì chuỗi

∗ Nếu chuỗi

∑∞

= 1

n n

= 1

n n

u

hội tụ mà phân kỳ thì chuỗi

∗ Nếu chuỗi

Chú ý:

∑∞

= 1

n n

u được gọi là bán hội tụ

hội tụ hay phân kỳ thì lúc

∑∞

= 1

n n

u

∑∞

= 1

n n

u

này chuỗi

= 1 2

2

sin

n

2 2

sin

n n

n ≤

∑∞

= 1 2

1

= 1 2

2

sin

n

∑∞

= 1 2

2

sin

n

VD1: Xét chuỗi

Ta có:

Mà chuỗi hội tụ nên

Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối

I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)

hội tụ

3 1

3 ) 1

(

n

n n

n

∑∞

= −

3

3 )

1

(

n

un = − n⋅ n

3 1

3

3











+

⋅

=

+

n

n u

u

n

n

∑∞

= 1

n n

u

∑∞

= 1

n n

u

VD2: Xét chuỗi

Đặt

Ta có:

Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi phân kỳ nên chuỗi cũng phân kỳ

I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)

n n

n

n n  





+ −

−

∑∞

=1( 1 ) . 3 2 2 1

n n

u = ( − 1 ) ⋅   3 2 + − 2 1  

3

2 2

3 2 1   →





+ −

= n n

u

n

n

∑∞

= 1

n n

u

∑∞

= 1

n n

u

VD3: Xét chuỗi

Đặt

Ta có:

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi hội tụ nên chuỗi cũng hội tụ

I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)

n

n

n . tg 1 . sin 1 )

1

(

1

∑∞= −

n n

un = ( − 1 )n ⋅ tg 1 ⋅ sin 1

2 3

1 1

1

~

n n

n

un ⋅ =

∑∞

= 1 2

3

1

= 1

n n

u

∑∞

= 1

n n

u

VD4: Xét chuỗi

Đặt

Ta có:

Mà hội tụ nên

Vậy hội tụ tuyệt đối

I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)

hội tụ

) )

1 (

n

n u u

u u

u

0

>

n

u

0 ,

) 1

(

∑∞

n u u

với được gọi là chuỗi đan dấu

II CHUỖI ĐAN DẤU

Xét chuỗi đan dấu

b Tiêu chuẩn Leibnitz

∗ Nếu dãy un đơn điệu giảm và lim = 0

∞

∗ Chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Leibnitz được gọi

là chuỗi Leibnitz

đan dấu trên hội tụ

thì chuỗi

∑∞= − ⋅

2 ( 1 ) ln 1

n

n

n n

n n

un = ln 1

0

lim =

∞

∑∞

= −

1

) 1

(

n u

VD1: Xét chuỗi

Nhận xét

đơn điệu giảm và Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz hội tụ và còn được gọi là chuỗi Leibnitz

II CHUỖI ĐAN DẤU (tt)

Đây là chuỗi đan dấu với dương và

= 1( − 1 ) ⋅ 2 + + 1

n

n

n n

n

1

)

+ +

=

x x

x x

f

1

;

0 )

1 (

1 )

2

>

∀

<

+ +

+

−

=

x x

x x

f

1

2 + +

=

n n

n

un

∑∞

1

) 1

(

n u

VD2: Xét chuỗi

Nhận xét: Đây là chuỗi đan dấu

Ta có:

Vậy là dãy số dương giảm và

hội tụ

II CHUỖI ĐAN DẤU (tt)

Xét hàm

un→ 0 nên chuỗi đan dấu