Chuyen de ham tri tuyet doi toan 12 khgev

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁNGIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI Các bài toán về hàm trị tuyệt đối đã bắt đầu xuất hiện trong đề tham k

Trang 1

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

Các bài toán về hàm trị tuyệt đối đã bắt đầu xuất hiện trong đề tham khảo năm 2018 của

bộ và sau đó cũng đã trở thành trào lưu trên các diễn đàn, các nhóm, đồng thời xuất hiệnnhiều hơn trong các đề thi thử với các dạng và mức độ khác nhau Một số có thể chưa phùhợp với kì thi THPT Quốc Gia, nhưng tuy nhiên trong chuyên đề lần này tôi và các bạn sẽcùng nhau bắt tay giải quyết một số dạng toán tiêu biểu đó Cũng nói thêm để hoàn thànhchuyên đề này tôi rất cảm ơn bên Vted đã có những đề thi vô cùng hay, các bài toán ở đây

đề bài hầu hết được lấy từ Vted và lời giải được thực hiện bởi những người bạn của tôi –Ngô Nguyên Quỳnh và Nguyễn Hải Linh Mặt khác cũng vì công việc và thời gian không

có nhiều nên tôi không để đưa thêm nhiều dạng hay khác xuất hiện trong một số đề thicủa các thầy trên mạng được, mong bạn đọc bỏ qua Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địachỉ sau:

NGUYỄN MINH TUẤN – K14 ĐẠI HỌC FPT

Email: tuangenk@gmail.com

Nào bây giờ chúng ta cùng bắt đầu nhé!

I MỞ ĐẦU

Bài toán mở đầu

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

So sánh các số ff 0 ,f 1 ,  2 ta có min0;2 f x   2,max 20;2  ta có :

min x 3x 3 mmax x 3x 3   1 m1Đây chỉ là các điều kiện cần của m, ta thử lại như sau

 Với m1 thì với x 2 ta sẽ có y f 2 1 3 

 Với m1 thì với x 1 ta sẽ có y f 2 1 3 

 Với m0 thì với yf x   nên không thể có giá trị lớn nhất là 3.2

Vậy S   1;1 nên có tất cả 2 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

chung thì đây là một câu vận dụng cao cần phải có kiến thức về bất đẳng thức trị tuyệt đốicũng như những phép biến đổi có liên quan

Trang 2

Bất đẳng thức trị tuyệt đối.

Cho 2 số thực a,b khi đó ta có ab a ba b

Dấu “=” thứ nhất khi a,b cùng dấu, dấu “=” thứ 2 khi a,b trái dấu

I CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN TỚI CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trước khi đi vào các bài toán ta cần nhớ những kiến thức sau

 Số điểm cực trị của hàm số f x bẳng tổng số điểm cực trị của hàm số   f x và số 

lần đổi dấu của hàm số f x  

 Số điểm cực trị của hàm số f mx n bằng    2a1, trong đó a là số điểm cực trị lớnhơn  n

m của hàm số f x 

 Số điểm cực trị của hàm số f x bằng   2a1, trong đó a là số điểm cực trị dươngcủa hàm số

 Cho hàm số có dạng y ax2bx c mx, tìm điều kiện của tham số m để giá trị 

cực tiểu của hàm số đạt giá trị lớn nhất, khi đó ta có    

Vậy số điểm cực trị của hàm số y ax 3bx2cx d bằng 2 1 3.  Chọn đáp án A

Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên m  20;20để hàm số y x 2 2x m 2x có ba1điểm cực trị

Nếu x2 2x m 0có hai nghiệm phân biệt x1x2    1 m0 m 1

2 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor

Trang 3

+) Với 0m1 rõ ràng không có số nguyên nào

+) Với m0 ta có bảng xét dấu của y như hình vẽ dưới đây

Lúc này hàm số có 3 điểm cực trị Vậy m  19, ,1  Chọn đáp án C

ax bx  c có 4nghiệm đơn Vậy hàm số y ax 4bx2 có c 4 3 7  cực trị

Ta có m 1 0  m1 khi đó f x có ba điểm cực trị Vậy yêu cầu bài tóan lúc này tương 

đương với f x  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức   0

m 12 2m 3 0 m 22 0 m 2



Trang 4

Câu 5: Cho hàm số y x 4 2m 1x22m 3.Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham

Nếu m 0 x4 m 2x2 2m  nên hàm số đã cho có tối đa ba điểm cực trị (loại).0, x

Nếu m 0 x4 m 2x2 2m 0 x2m x m.Vậy điều kiện là hàm số

y x  m x  m có ba điểm cực trị   m 2  0 m 2 m3, ,19  Có 17 số nguyên thoả mãn

Chọn đáp án B

Trang 5

Trang 6

Hàm số có đúng 1 cực trị x 1(loại).

Với m 5ta có bằng xét dấu của ynhư sau

Hàm số có 3 điểm cực trị x x x 1; 5;x x 2

Vậy m  2018, , 6  Có 2013 số nguyên thỏa mãn Chọn đáp án C

Trang 7

Yêu cầu đề bài tương đương với    0 2 0  4 0 4

Trang 8

có 4 nghiệm thực phân biệt Lập bảng biến thiên của hàm số y3x4 4x3 12x2ta có giá trị cần tìm 5 m 0 0m 5 m1;2;3;4 có 4 số nguyên thỏa mãn

nhiêu số nguyên m  10;10 để hàm số y f x m    có 7 điểm cực trị

nào dưới đây đúng ?

Lời giải

Trang 9

yêu cầu bài toán tương đương hàm số y x 3 2m1x23mx 5có 2 điểm cực trị

dương, tức 3x 2 2 2 m1x3m có 2 nghiệm dương phân biệt, tức0

S

m m

Trang 10

ta có 3 2 a 1 a1là số điểm cực trị dương của hàm số y f x  

vậy yêu cầu tương đương với: f x có đúng 1 điểm cực trị dương    f x   có 2 nghiệm0thỏa mãn x1 0 x2 m0

Câu 25: Cho hàm số f x  ax4bx3cx2dx e a b c d e , , , ,   và a0

Biết ff10,f 0 0,  1 0 Số điểm cực trị của hàm số y f x  bằng

f x

f x f f

ff

ff f

10 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa của toán học nằm ở

x

2 4

y

Trang 11

m m

Do đó hàm số y f x  có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình f x  có tổng số   0

m m

Trang 12

hàm số f x m  luôn có 1 điểm cực trị x 0

0.0

2 0

1 00

2 0

m m m

Hàm số f x  x4 4x2mcó 3 điểm cực trị Vậy hàm số f x có 7 cực trị khi và chỉ khi  

phương trình f x  có 4 nghiệm phân biệt, tức  0

Yêu cầu bài tóan tương đương với f x có đúng 2 điểm cực trị dương, tức   x22mx 5 0

Câu 31: Cho hàm số f x có đạo hàm   f x   x12x m 2 3m 43x3 ,5   x

Có bao nhiêu số nguyên mđể hàm số y f x   có 3 điểm cực trị

tự do của nó – Georg Cantor

Trang 13

10

11

m

m S

Câu 34: Cho hàm số f x  x3 2m1x2m2x1 Có bao nhiêu số nguyên

 5;5

m  để hàm số y f x  có năm điểm cực trị

Trang 14

Lời giải

Hàm số y f x  có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y f x  có hai điểm cực trị dương Điều này tương đương với f x  0 g x 3x2 2 2 m1x m   có hai 2 0nghiệm phân biệt x1x2thỏa mãn

m g

Vậy m2,3,4,5 có 4 số nguyên thỏa mãn Chọn đáp án A

Vậy để hàm số có 3 điểm cực trị trước tiên ta phải có m3và lúc này bảng xét dấu của y

như sau: Điều này chứng tỏ với m3là giá trị cần tìm, các số nguyên là m4, ,19 có

Số điểm cực trị của hàm số e f x  bằng số điểm cực trị của hàm số f x 

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với f x   0 x3 3x2m có ba nghiệm phân 0biệt  m m  4 0 0m4 Chọn đáp án D

Lời giải

Trang 15

yêu cầu bài tóan tương đương hàm số f x  x3 mx có hai điểm cực trị và phương 1trình f x  có ba nghiệm thực phân biệt ta có   0

  cho kết quả tương tự

Câu 39: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  x3 2x2 x3 2 ,x với mọi x . Hàm

số y f1 2018 x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

A 9 B 2022 C 11 D 2018

Lời giải

Có f x  x x3  2 x 2 x 2  Do đó hàm số f x có 4 điểm cực trị là 

x x x Lập bảng biến thiên của hàm số f x suy ra   f x  có tối đa 5   0

nghiệm phân biệt Do đó hàm số yf x  có tối đa 4 5 9  điểm cực trị

Mặt khác số điểm cực trị của hàm số y f1 2018 x bằng số điểm cực trị của hàm số

 

y f x Do đó hàm số y f1 2018 x có tối đa 9 điểm cực trị Chọn đáp án A

Trang 16

II CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI MIN MAX CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

A CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN TỚI CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bất đẳng thức trị tuyệt đối.

Cho 2 số thực a,b khi đó ta có ab a ba b

Dấu “=” thứ nhất khi a,b cùng dấu, dấu “=” thứ 2 khi a,b trái dấu

Tính chất hàm trị tuyệt đối max , 

2

a b a b

a b    Phương pháp chung

 Bước 1: Xét hàm số y f x  , trên a b ; 

Tính đạo hàm: y'f x'  Giải phương trình f x  và tìm các nghiệm '  0 a thuộc i a b ; 

 Bước 2: Giải phương trình f x  và tìm các nghiệm   0 b thuộc đoạn j a b ; 

 Bước 3: Tính các giá trị: f a  ; f b  ; f a i ; f b So sánh và kết luận. j

Trang 17

x m m y

Trang 18

x m m y

nhỏ nhất của hàm số trên đoạn0;2 Có bao nhiêu số nguyên a  3;3 , sao cho M 2 m

Trang 19

nhỏ nhất Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trang 20

minu0;maxu 0 minf x  ( Thỏa mãn )0.

Vậym  3; ;7 có 11 số nguyên thỏa mãn

của hàm số y fsinx1 2  Giá trị biểu thứcM m bằng?

Lời giải

Đặt tsinx 1 0;2 ,  khi đóy fsinx1 2  f t 2t2 3 2t

Trang 21

miny maxy 0 10 10( loại)

đoạn2;3 Khi đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức a4b

Trang 22

M Dấu bằng xảy ra

x ax a y

Trang 23

1;3 Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thứca2b bằng?

a a

So sánh 2 trường hợp suy ra minM 2 đặt tạia2 b1

Cách 2 Theo giả thiết Mf1  1 a b M , f 1   1 a b M, f 3  9 3a b

Trang 24

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 1;3 có giá trị nhỏ nhất bằng 2 đạt tại

hàm số y f2sinx1m không vượt quá 10?

Vậya  29, ,11 Có tất cả 41 số nguyên thỏa mãn

bộ số ba số thựca b c , ,  2;1 thì f a f b f c là độ dài ba cạnh của một tam giác? ,  ,  

   

2;1 2;12minf x maxf x , ta có      

Trang 25

bộ ba số thựca b c , ,  2;1 thì f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn? ,  ,  

Trang 26

Cho hàm số f x 2x3 9x212x m Có bao nhiêu số nguyênm  20;20để với mọi

bộ ba số thựca b c , ,  2;1 thìf a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn. ,  ,  

Khi M đạt giá trị nhỏ nhất thì Tloga1b có giá trị là ?

2

Lời giải

Xét hàm số h x  x3ax2b

Gọi m,n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của h x  trên đoạn 3;2

Trang 27

m n

a m

b n

Vậy VT 2 VP Dấu “=” xảy ta khi và chỉ khi x y 1

Khi đó P 24 có tất cả 8 ước số nguyên dương

Trang 28

III ĐỌC THÊM - ỨNG DỤNG TOÁN CAO CẤP TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

A ĐA THỨC CHEBYSHEV

Đa thức Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev, là một dãy

đa thức trực giao (tiếng Anh: orthogonal polynomials), và có liên quan đến công thức deMoivre (de Moivre's formula) Có thể xác định dãy đa thức này bằng công thức truy hồi,giống như số Fibonacci và số Lucas Có hai loại: đa thức Chebyshev loại I (ký hiệu là Tn)

và đa thức Chebyshev loại II (ký hiệu là Un) Chữ T được dùng để ký hiệu vì, trong tiếngPháp tên của Chebyshev viết là Tchebycheff và trong tiếng Đức là Tschebyscheff Chữ n

ký hiệu cho bậc của đa thức Đa thức Chebyshev ý tưởng đơn giản (cũng như bản chất củanó) chỉ là biểu diễn cos nx là đa thức bậc n theo   cosx Trong bài viết này ta sẽ cùng tìmhiểu định nghĩa các tính chất và ứng dụng của nó

I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT ĐA THỨC CHEBYSHEV

T x T x x

T x xT x T x

Gọi là các đa thức Chebyshev loại I

Các đa thức T x , n ∈ N xác định như sau: n     

Gọi là các đa thức Chebyshev loại II

2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC LOẠI I

Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, được sử dụng rất nhiều trong việc giải quyếtcác bài toán đa thức Sau đây xin được nêu một số tính chất quan trọng (việc chứng minhrất dễ dàng)

 Tính chất 1:   x  1,1,ta có T x n  cos( arccos )n x

Các điểm x gọi là điểm luân phiên Chebyshev k

Trang 29

II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Một trong những dấu hiệu để nhận biết bài toán đa thức có sử dụng tính chất của đa thứcChebyshev hay không đó là miền giá trị của đa thức Các bài toán trên miền 1;1 đều

gợi ra cách giải bằng phương pháp sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev Sau đây taxét lớp các bài toán về đa thức có sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev

Bài 1: Cho hàm số y4x3a3x2ax Tìm a để y1 khi x1.

a

a a y

Trang 30

học sinh sẽ thấy lời giải mất tự nhiên ở việc là tại sao ta chỉ xét giá trị của hàm số tại cácgiá trị của x là  1

a b c I

a b c y

Trang 31

Trang 32

Mặt khác, từ giả thiết thì M 1, do đó phải có M 1 và xảy ra dấu bằng trong bất đẳng

thức trên tức a c 0,b3 Ngược lại, khi a c 0,b3 thì y 4x3 3x Đặt x c os 

với  0; thì  y cos3 rõ ràng thỏa mãn y 1 khi x1.

Trang 33

Vậy M 1 Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi         

f đôi một cùng dấu Điều đó tương đương với:

2

ff f

a b

Như vậy ta có điều phải chứng minh là a b c  4h.

Bài 6: Cho f x  ax2bx c thỏa mãn điều kiện  ff1 1, f 0 1,  1 1.

Trang 34

Bằng quy nạp ta chứng minh được: f x  a aT x0 1  a T x2 2  a T x n n 

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của cách biểu diễn này

Trang 35

1

10

a b c d

m d

Chú ý: f x g x là xét dự trên cơ sở cos2x, cos3x. ,  

điều kiện 1 x P2 n1 x    1, x  1,1 Chứng minh rằng 

j

j x

Trang 36

Hoàn toàn tương tự ta cũng có P n1 x    n x, [ 1, )x n

Xétx n x x Khi đó ta có 1 1 2 1 12sin arccos 1 sin 

Tóm lại ta đã chứng minh được rằng P n1 x    n x,  1,1

Bài 11: Cho đa thức lượng giác P t  a1sint a 2sin2 t a nsin nt Thỏa mãn điều

n j j

Và g' 0 P x Ta chứng minh rằng ' 0 g' 0  n .Thật vậy, g x là đa thức lượng giác 

chứa thuần sin như trong Bài 9 và

Trang 37

Nên theo kết quả của bài 3 thì  

sin

g x g

g

x , sin  1

x x

Ta nhận được g' 0  n

Từ đó ta có P x' 0 n Nhưng x được chọn tùy ý nên suy ra 0 P x'  n  x

a a

x x x

Đặt    1 22  n

n a

a a

f x

x x x Nhận xét rằng f x liên tục và  f x nghịch biến trong khoảng 

0, nên tồn tại duy nhấtR0sao cho f R  1.

Trang 38

n j j

c .Do hàm số  lny x lõm trong khoảng 0,

Tiêu đề	Chuyên đề hàm trị tuyệt đối Toán 12 khgev
Trường học	Đại Học FPT
Chuyên ngành	Lý Thuyết Hàm Số và Hàm Trị Tuyệt Đối
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2018

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	3,32 MB