421-Article Text-1822-1-10-20221018.Pdf

THIẾT KẾ VI MÔ TƠ TỊNH TIẾN KIỂU TĨNH ĐIỆN DỰA TRÊN CÔNG NGHỆ VI CƠ ĐIỆN TỬ MEMS Journal of Science and Technique – ISSN 1859 0209 24 NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA VỎ TRỤ FGM TRÊN CƠ SỞ[.]

NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG

CỦA VỎ TRỤ FGM TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG

TRƯỢT BẬC CAO KIỂU QUASI-3D

Trần Ngọc Đoàn1,*, Vũ Quốc Trụ 1 , Trần Văn Hùng 1

1Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn

Tóm tắt

Bài báo trình bày cơ sở lý thuyết tính toán vỏ trụ FGM sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D, trong đó chuyển vị mặt được phân tích thành đa thức bậc 3, chuyển

vị ngang - đa thức bậc 2 theo chiều dày vỏ Quy luật phân bố thể tích thành phần vật liệu vỏ

là hàm lũy thừa theo chiều dày Mô hình toán học của bài toán và chương trình tính toán được kiểm chứng thông qua so sánh với kết quả đã công bố Sử dụng chương trình tính toán được xây dựng, các tác giả thực hiện nghiên cứu ảnh hưởng của một số tham số: Chiều dày

vỏ, hệ số phân bố vật liệu lên trạng thái ứng suất - biến dạng của vỏ chịu tác dụng của áp lực ngoài

Từ khóa: Vỏ trụ; vật liệu FGM; trạng thái ứng suất-biến dạng; lý thuyết biến dạng trượt bậc cao;

ứng suất pháp ngang

1 Đặt vấn đề

Mặc dù được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật, nhưng vật liệu composite lớp thông thường có nhược điểm chính là tập trung ứng suất tại bề mặt phân chia giữa các lớp vật liệu Điều này dẫn đến phá hủy kết cấu dưới hình thức tách lớp, sự đứt gãy và phân tách vật liệu nền [1] Do đó, vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally graded materials - FGM) được tạo ra để khắc phục nhược điểm này FGM là vật liệu composite tiên tiến được làm từ hai hoặc nhiều pha cấu thành với sự thay đổi liên tục, trơn tru của các tính chất vật liệu từ bề mặt này sang bề mặt khác, vì vậy loại bỏ tập trung ứng suất trong các vật liệu composite lớp thông thường Khái niệm về FGM đã được các nhà khoa học vật liệu Nhật Bản đưa ra vào năm 1984 [2] Với các đặc tính vượt trội, vật liệu FGM được ứng dụng rộng rãi, nhất là trong ngành hàng không vũ trụ, điện hạt nhân, y học… Hiện nay, tính toán kết cấu làm từ vật liệu FGM được nhiều nhà khoa học trong nước và quốc tế quan tâm nghiên cứu Các mô hình tính toán được sử dụng trong phân tích tấm, vỏ làm từ vật liệu FGM đã được xây dựng như: Lý thuyết tấm cổ điển (classical plate theory - CPT), còn được biết tới với tên gọi lý thuyết Kirchoff [3],

lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (first-order shear deformation theory - FSDT) được phát triển bởi Mindlin [4], lý thuyết biến dạng trược bậc ba (third-order shear deformation theory - TSDT) của Reddy [5], lý thuyết biến dạng trượt bậc cao

* Email: ngocdoanmai@gmail.com

order shear deformation theories - HSDT), lý thuyết đàn hồi ba chiều Trong đó, lý thuyết biến dạng trượt bậc cao ít được các nhà nghiên cứu sử dụng vì tính phức tạp và cồng kềnh của mô hình tính toán Do đó, việc tiếp tục nghiên cứu phát triển, xây dựng

mô hình tính toán theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D cho kết cấu tấm

vỏ FGM là cần thiết và có tính khoa học

2 Cơ sở lý thuyết

Xét vỏ trụ FGM có độ dày 2h với các tham số hình học được trình bày trên hình 1 Giả thiết vỏ trụ FGM chịu tác dụng của tải trọng hướng kính q( , )  trên bề mặt ngoài, trong đó  x R/

Hình 1 Các tham số hình học của vỏ trụ, hệ trục tọa độ và tải trọng

Biến thiên tham số vật liệu theo chiều dày được xác định bởi công thức:

trong đó, chỉ số m, c biểu thị cho kim loại và gốm Quy luật phân bố tỉ lệ thể tích theo

chiều dày vỏ FGM được nghiên cứu ở đây là quy luật lũy thừa: 1

m

z V

h



  

1

V  V , phía trong là gốm, phía ngoài là kim loại,  - hệ số lũy thừa

Chuyển vị của vỏ trụ được phân tích dưới dạng tổng sau [6, 7]:

trong đó: u v w tương ứng là chuyển vị thẳng trong mặt trung bình; 0, 0, 0 u v w - các 1, ,1 1 góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình; u v w - các chuyển vị thẳng bậc cao; 2, 2, 2

3, 3

u v - thành phần chuyển vị góc bậc cao Việc phân tích trường chuyển vị dưới dạng

tổng (2) cho phép nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng của vỏ trụ có tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt bậc cao và ứng suất pháp ngang

Biến dạng của vỏ trụ FGM được xác định theo các công thức sau [1]:

w

       

           

       

        

        

 

(3)

Ứng suất vỏ được xác định từ định luật Hooke [1]:

trong đó, A iij( 1, 2,3, j1, 2,3), A44, A55, A66 là các hằng số đàn hồi quy đổi của vật liệu làm vỏ và được xác định như sau [8]:

( ) ( )

1 ( ) 1 2 ( )







Áp dụng nguyên lý biến phân Lagrange, ta có [1]:

         



Thay (2), (3) và (4) vào (5), thực hiện các phép biến đổi đơn giản, ta nhận được hệ phương trình cân bằng sau:

*

*

0, 2

z

z

Q





 

*

*

0,

M RQ





 

 





(6)

Trong hệ phương trình (6), ta sử dụng các kí hiệu lực suy rộng sau:

h

h h

h

z

z

R z

R

     

     

   

   









 

 

 

 





           

           

Hệ phương trình cân bằng (6) có thể viết lại dưới dạng chuyển vị:

0,

0,

,

1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9 , 10, 11

trong đó, các hệ số K phụ thuộc vào thông số vật liệu và hình học của vỏ trụ FGM Do tính chất cồng kềnh của các biểu thức xác định hệ số K, nên trong khuôn khổ bài báo này không trình bày biểu thức xác định các hệ số đó

Các điều kiện biên ở một số trường hợp hay gặp trong thực tế tính toán được cho dưới dạng sau:

- Đối với điều kiện biên ngàm chặt, ta có:

Tại  0, /L R: u i 0,v i 0,w j 0, i0,1, 2,3; j0,1, 2 

Tại    1, 2: u i 0,v i 0,w j 0, i0,1, 2,3; j0,1, 2 

- Đối với điều kiện biên tự do, ta có:

Tại  0, /L R: N N Q M M S 0,

N* N* Q* M* M* 0

Tại    1, 2: N N Q M M S 0,

N* N* Q* M* M* 0

- Đối với điều kiện biên gối tựa, ta có:

0, /L R: N M N M 0,v i 0,w j 0, i 0,1, 2,3, j 0,1, 2

1, 2: N M N M 0,v i 0,w j 0, i 0,1, 2,3, j 0,1, 2

Việc giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng (7) cùng các điều kiện biên tương ứng bằng phân tích theo chuỗi lượng giác đơn kết hợp với phép biến đổi Laplace được trình bày chi tiết trong [7, 9] Sau khi xác định được các chuyển vị u , i

 0, 1, 2, 3

i

v i , w j j0, 1, 2, từ các phương trình hình học (3) ta tìm được các biến dạng ,  , z, , z và z Tiếp theo, sử dụng ba biểu thức ,  và  của (4) để xác định các ứng suất màng , ,  Các thành phần ứng suất còn lại được tìm dựa trên phương trình cân bằng của lý thuyết đàn hồi không gian:

2 2

1

1

z

z

h

z

z

h z

z

h

z

dz

dz

z

dz

























 

      

     

     

        

       



       

     







3 Tính toán số và thảo luận

3.1 Tính toán kiểm chứng

Trong mục này, để làm ví dụ phân tích kiểm chứng, ta sử dụng các thông số đầu vào theo [8], cụ thể như sau: Bán kính R0,1905 (m), chiều dài L0,381 (m), chiều dày vỏ trụ 2h0, 000501 (m); vỏ chịu tác dụng của áp lực phân bố đều bên ngoài

3

0 10

q  (Pa); các thông số vật liệu tại nhiệt độ 300K như sau: Mặt trong vỏ là gốm (ZrO2) với c 0,2980, E c 168, 60 GPa , còn mặt ngoài là thép không gỉ (SUS304) với m 0,3178, E m 207,79 GPa  Dưới tác dụng của tải trọng đối xứng trục nêu trên, các thành phần của trường chuyển vị và trạng thái ứng suất - biến dạng chỉ là hàm số của

 Ngoài ra, các thành phần chuyển vị theo hướng vòng cung v đồng nhất bằng 0 k

Trong trường hợp vỏ đồng chất, vật liệu vỏ là thép (SUS304) hoặc gốm (ZrO2), kết quả tính toán độ võng tại  L/ 2R đối với vỏ trụ kín ngàm hai đầu được trình bày trong bảng 1 Kết quả tính toán được so sánh với [8] - sử dụng mô hình phần tử hữu hạn bán giải tích (semi-analytical finite element model) và [10] - lý thuyết Donnell Phân tích kết quả nhận được cho thấy, tính toán theo mô hình quasi-3D gần như trùng khớp với mô hình phần tử hữu hạn bán giải tích sử dụng 120 phần tử

Trong bảng 2 trình bày kết quả tính toán toán độ võng tại  L/ 2R đối với vỏ trụ FGM theo lý thuyết quasi-3D, mô hình phần tử hữu hạn bán giải tích [8], lý thuyết Donnell [10] với các giá trị  khác nhau Phân tích kết quả cho thấy giá trị độ võng vỏ FGM tại vị trí giữa theo lý thuyết quasi-3D và mô hình phần tử hữu hạn bán giải tích hầu như trùng khớp với nhau và so với lý thuyết Donnell có sai lệch nhỏ, khẳng định tính chính xác của mô hình toán học và phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong bài báo

Bảng 1 Độ võng w m  của vỏ trụ đồng chất

Vật liệu Donnell [8], 90 Elements [8], 120 Elements Quasi-3D

SUS304 -3,134.10 -7 -3,150.10 -7 -3,149.10 -7 -3,149.10 -7

ZrO 2 -3,927.10 -7 -3,946.10 -7 -3,944.10 -7 -3,944.10 -7

Bảng 2 Độ võng w m  của vỏ trụ FGM

 Donnell [8], 90 Elements [8], 120 Elements Quasi-3D

10 -3,839.10 -7 -3,859.10 -7 -3,857.10 -7 -3.856.10 -7

5 -3,769.10 -7 -3,789.10 -7 -3,787.10 -7 -3.786.10 -7

1 -3,488.10 -7 -3,506.10 -7 -3,504.10 -7 -3.504.10 -7

0,25 -3,267.10 -7 -3,284.10 -7 -3,282.10 -7 -3.282.10 -7

0,125 -3,207.10 -7 -3,223.10 -7 -3,221.10 -7 -3.221.10 -7

Đồ thị biến thiên độ võng và các ứng suất pháp của vỏ theo chiều dài trong trường hợp  1 được trình bày trên hình 2, 3 Đồ thị biến thiên ứng suất pháp 11, 22, 33

và ứng suất cắt 13 theo chiều dày vỏ tại biên và ở giữa vỏ được trình bày trên hình 4, 5

Hình 2 Độ võng w m  của vỏ theo chiều dài Hình 3 Phân bố của ứng suất   11, 22, 33

theo chiều dài vỏ

Hình 4 Phân bố của ứng suất

11, 22, 33, 13

    tại biên ngàm ( 0)

Hình 5 Phân bố của ứng suất

11, 22, 33, 13

    ở giữa vỏ ( L/ 2R )

Phân tích kết quả nhận được trên các đồ thị, ta thấy tại vị trí biên ngàm giá trị của ứng suất pháp ngang 33 (bị bỏ qua trong hầu hết các lý thuyết tấm, vỏ) có giá trị xấp xỉ bằng 44,6% so với ứng suất pháp cực đại Tại vị trí giữa vỏ (xa biên) ứng suất pháp ngang 33 và ứng suất cắt 13 là rất nhỏ so với các ứng suất khác Điều này hoàn toàn phù hợp với các giả thuyết sử dụng trong lý thuyết tấm, vỏ cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất [1]

3.2 Khảo sát ảnh hưởng của chiều dày vỏ

Để tiện so sánh, ta chọn trường hợp cơ sở là trường hợp tính toán ứng với các tham số như trong mục 3.1 và 1 Thực hiện thay đổi chiều dày vỏ, sao cho độ dày tương đối của vỏ 2 /h R lần lượt nhận các giá trị 1/ 380 (trường hợp cơ sở), 1/ 200,

1/ 100, 1/ 50 và 1/ 20 Kết quả tính toán các ứng suất pháp và độ võng của vỏ trụ FGM tại biên ngàm và vị trí giữa vỏ được trình bày trong bảng 3

Phân tích kết quả tính toán cho thấy, chiều dày vỏ có ảnh hưởng lớn đến sự phân

bố của các ứng suất Tại giữa vỏ, các ứng suất pháp  11, 22 tăng gần như tỉ lệ nghịch với sự tăng của độ dày vỏ Tại vùng biên, ứng suất pháp ngang 33 có giá trị vào khoảng 42,0 ÷ 44,6% so với ứng suất pháp cực đại Ở giữa vỏ, ứng suất pháp ngang 33

rất nhỏ so với các ứng suất khác đối với vỏ mỏng; khi chiều dày vỏ tăng lên, tỉ lệ

33/ 22

  cũng tăng lên tới giá trị bằng 4,5% trong trường hợp 2 /h R1/ 20

Bảng 3 Giá trị ứng suất pháp và độ võng của vỏ trụ FGM với các độ dày khác nhau 2h

R

Tại biên ngàm Tại vị trí giữa vỏ  L/ 2R

11/ q0

 22/ q0 33/ q0 11/ q0 22/ q0 33/ q0 8 

10

w  m

1/20 -49,21 -20,89 -20,66 -6,05 -22,15 -1 -1,87 1/50 -120,29 -51,06 -51,81 -16,34 -55,66 -1 -4,64 1/100 -237,30 -100,73 -103,77 -33,29 -111,29 -1 -9,25 1/200 -469,55 -199,32 -207,70 -67,66 -222,59 -1 -18,45 1/380 -885,98 -376,09 -395,06 -130,13 -423,20 -1 -35,04

3.3 Khảo sát ảnh hưởng của hệ số phân bố vật liệu

Về cơ bản ta giữ nguyên các tham số hình học vỏ, tải trọng như trong mục 3.1, chỉ khác độ dày tương đối của vỏ bằng 2 /h R1/ 38, thực hiện thay đổi hệ số phân bố vật liệu  trong khoảng từ 0,02 đến 50 Kết quả tính toán các ứng suất pháp và độ võng của

vỏ trụ FGM tại biên ngàm và vị trí giữa vỏ được trình bày trong bảng 4

Phân tích ứng suất và độ võng của vỏ tại vị trí giữa ta thấy, khi  tăng (pha kim loại giảm, pha gốm tăng) ứng suất và độ võng cũng tăng theo, độ chênh lệch về giá trị của chúng tương ứng với min và max xấp xỉ khoảng 20% Tại vùng biên, các ứng suất đạt giá trị lớn hơn trong các trường hợp vật liệu phân bố theo hàm lũy thừa với số mũ lớn và trong mọi trường hợp giá trị ứng suất pháp ngang đều xấp xỉ khoảng 40 ÷ 46% so với ứng suất pháp cực đại

Bảng 4 Giá trị ứng suất pháp và độ võng của vỏ trụ FGM với các hệ số  khác nhau

 Tại biên ngàm Tại vị trí giữa vỏ  L/ 2R

11/ q0

 22/ q0 33/ q0 11/ q0 22/ q0 33/ q0 8 

10

w  m

0,02 -100,05 -46,08 -42,84 -11,12 -38,17 -1 -3,19 0,1 -93,67 -41,72 -42,13 -11,26 -38,71 -1 -3,24 0,2 -89,92 -39,11 -41,45 -11,42 -39,31 -1 -3,28

4 Kết luận

Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết và mô phỏng số, có thể rút ra một số kết luận chủ yếu sau:

- Bài báo đã trình bày cơ sở lý thuyết và phân tích số trong tính toán vỏ trụ FGM dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D Độ tin cậy của phương pháp nghiên cứu và chương trình tính toán được khẳng định thông qua so sánh với kết quả nghiên cứu đã công bố trên tạp chí quốc tế uy tín

- Tại vị trí biên, ứng suất pháp ngang nhận được trong công trình này là có giá trị tương đối lớn, xấp xỉ khoảng 40 ÷ 46% so với ứng suất pháp cực đại Vì vậy, để đánh giá độ bền kết cấu với độ chính xác cao tại những vùng biên ngàm (hoặc vùng có sự thay đổi đột ngột về tham số kết cấu) cần sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D

- Chiều dày vỏ có ảnh hưởng lớn đến phân bố của các ứng suất Khi nghiên cứu

vỏ có độ dày trung bình hoặc vỏ dày, cần sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D

Tài liệu tham khảo

1 Reddy J.N (2004) Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis CRC Press

2 Koizumi M (1997) FGM activities in Japan Composites Part B: Engineering, 28 (1), 1-4

3 Kirchhoff V.G (1850) Uber das gleichgewicht und die bewegung einer elastischen scheibe Journal Fur Die Reine und Angewandte Mathematik, 40, 51-88

4 Mindlin R.D (1951) Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of

isotropic, elastic plates Journal of Applied Mechanics, 18 (1), 31-38

5 Reddy J.N (1984) A simple higher-order theory for laminated composite plates Journal of Applied Mechanics, 51, 745-752

6 Firsanov V.V., Doan T.N (2014) Natural Oscillations of General Shells Based on

Nonclassical Theory Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 43(5), 349-357

7 Firsanov V.V., Doan T.N (2015) Investigation of the statics and free vibrations of

cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal, 6(2), 135-166

8 Santos H., Cristóvão M Mota Soares, Carlos A Mota Soares, Reddy J.N (2009) A semi-analytical finite element model for the analysis of cylindrical shells made of functionally

graded materials Composite Structures, 9, 427-432

9 Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Данг Нгок Тхань (2011) Операционный метод исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек

на основе энергетически согласованной теории Вестник МАИ, 18(2), 186-199

10 Ng T.Y., Lam K.Y., Liew K.M., Reddy J.N (2001) Dynamic stability analysis of

functionally graded cylindrical shells under periodic axial loading International Journal of Solids and Structures, 38, 1295-1309

INVESTIGATING THE STRESS-STRAIN STATE OF FGM

CYLINDRICAL SHELLS BASED ON THE QUASI-3D HIGHER-ORDER

SHEAR DEFORMATION THEORY

Abstract: This paper presents the theoretical basic to study FGM cylindrical shells by

using the quasi-3D higher-order shear deformation theory The displacement field accounts for

a cubic variation of the inplane displacements and a quadratic variation of the transverse displacement through the thickness The material volume distribution of the shell is given in a form of a power function of thickness The mathematical model and the computational program are validated through a comparison with previous results Based on the mathematical model and the computational program, the paper presents the effect of several parameters, including the thickness and the coefficient of material distribution on the stress-strain state of a shell subjected to external load

Keywords: Cylindrical shell; FGM material; stress-strain state; higher-order shear

deformation theory; normal transverse stress

Ngày nhận bài: 11/01/2019; Ngày nhận bản sửa lần cuối: 15/8/2019; Ngày duyệt đăng: 28/8/2019

