Bài 50 Chương 4 Đại Số 7 A Lý thuyết 1 Biểu thức đại số Những biểu thức bao gồm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa không chỉ trên những số mà còn có thể trên những chữ được gọi là[.]
Trang 1Bài 50: Chương 4 Đại Số 7
A Lý thuyết
1 Biểu thức đại số
Những biểu thức bao gồm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa không chỉ trên những số mà còn có thể trên những chữ được gọi là biểu thức đại số
Ví dụ:
2 Giá trị của một biểu thức đại số
- Để tính giá trị của một biểu thức đại số ta thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc)
+ Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ)
Ví dụ: Các đơn thức x, -y, 3x2y , 10xy5 là những đơn thức thu gọn, có hệ số lần lượt là 1, -1, 3, 10 và có phần biến lần lượt là x, y, x2y, xy5
Chú ý:
+ Ta cũng coi một số là đơn thức thu gọn
Trang 2+ Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần Thông thường, khi viết các đơn thức thu gọn ta viết hệ số trước, phần biến sau và các biến được viết theo thứ tự bảng chữ cái.
Bậc của một đơn thức
+ Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó
+ Số thực khác 0 là đơn thức bậc không
+ Số 0 được coi là đơn thức không có bậc
Nhân hai đơn thức
Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau
4 Đa thức
- Đa thức là một tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó
- Đưa đa thức về dạng thu gọn (không còn hai hạng tử nào đồng dạng)
+ Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau
+ Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó
Chú ý:
+ Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc
+ Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó
5 Cộng, trừ đa thức
- Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm như sau:
+ Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
+ Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
+ Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng
+ Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
Trang 36 Đa thức một biến
- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến
+ Một số được coi là một đơn thức một biến
+ Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó
7 Cộng, trừ đa thức một biến
- Để cộng (hay trừ) các đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang”
+ Cách 2: Sắp xếp các hạng từ của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột)
8 Nghiệm của đa thức một biến
- Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một
nghiệm của đa thức đó
+ Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, …hoặc không có nghiệm
+ Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm, …
9 Bài tập vận dụng
Bài 1: Hãy viết biểu thức đại số biểu thị
a) Tổng của hai lần x và ba lần y
b) Hiệu của x và y
c) Tích của tổng x và y với hiệu x và y
Hiển thị lời giải
a) Biểu thức đại số biểu thị tổng của hai lần x và ba lần y là: 2x + 3y
b) Biểu thức đại số biểu thị hiệu của x và y là: x - y
c) Biểu thức đại số biểu thị tích của tổng x và y với hiệu x và y là: (x + y)(x - y)
Trang 4Bài 2: Một doanh nhân gửi tiết kiệm vào ngân hàng là a (đồng) Biết lãi suất của ngân hàng hàng tháng là x% Viết biểu thức đại số biểu thị số tiền của doanh nhân này sau 1 tháng, 2 tháng, 1 năm (12 tháng).
Hiển thị lời giải
Sau 1 tháng, với lãi suất là x%, doanh nhân có số tiền lãi là: a.x% (đồng)
Khi đó, số tiền của doanh nhân có sau 1 tháng là: a + ax% = a(1 + x%) (đồng)Sang tháng thứ 2, doanh nhân nhận được số tiền lãi là: a(1 + x%).x% (đồng)
Khi đó, số tiền doanh nhân nhận được sau hai tháng là:
a(1 + x%) + a(1 + x%)x% = a(1 + x%)2 (đồng)
Cứ làm như vậy, ta có số tiền của doanh nhân có sau 1 năm là: a(1 + x%)12 (đồng)Bài 3: Tính giá trị của biểu thức x3 - 2x + 1 tại x = 1; x = -2; x = 1/2
Hiển thị lời giải
Giá trị của biểu thức x3 - 2x + 1 tại x = 1 là 13 - 2.1 + 1 = 0
Giá trị của biểu thức x3 - 2x + 1 tại x = -2 là (-2)3 - 2(-2) + 1 = - 3
Giá trị của biểu thức x3 - 2x + 1 tại x = 1/2 là
Bài 4:
a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 1; y = 3
b) Tính giá trị của biểu thức x5y2 + 2y2 tại x = 1; y = 2
Hiển thị lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 1; y = 3 là:
Trang 5b) Tính giá trị của biểu thức x5y2 + 2y2 tại x = 1; y = 2 là: 15.22 + 2.(2)2 = 4 + 8 =12
Bài 5: Trong các biểu thức dưới đây, chỉ ra đâu là đơn thức? Nếu là đơn thức, hãy chỉ ra đâu là hệ số, đâu là phần biến của mỗi đơn thức đó
Hiển thị lời giải
Các biểu thức a) và d) là đơn thức vì chúng gồm tích của số và biến
a) Phần số là 1/2, phần biến là x2
d) Phần số là -5 , phần biến là xy2z
Các biểu thức còn lại là b) và c) không phải là đơn thức
Bài 6: Hãy viết các đơn thức bậc ba với biến x, y và có giá trị bằng 2 tại x = 1; y = -1
Hiển thị lời giải
Đơn thức với biến x, y có dạng: k.xtys với k khác 0 và t + s = 3; t, s ≥ 1 (vì đa thức này bậc ba)
Trang 6b) Rút gọn biểu thức sau: (2xy)2.(-3x) + ((1/3)x2)(4xy2)Hiển thị lời giải
Bài 8: Tính
Hiển thị lời giải
Trang 7Bài 9: Tìm bậc của đa thức
Hiển thị lời giải
Trang 8Bài 10: Tính giá trị của các đa thức
Hiển thị lời giải
Trang 9Bài 11: Tìm đa thức M biết
a) M - (2x3 - 4xy + 6y2) = x2 + 3xy - y2
b) (2x2 - 4xy + y2) + M = 0
c) (2x2 - 7xy + 3y2) - 2M = 4x2 - 5xy + 9y2Hiển thị lời giải
a) Ta có: M - (2x3 - 4xy + 6y2) = x2 + 3xy - y2
⇒ M = (2x3 - 4xy + 6y2) + (x2 + 3xy - y2)
M = 2x3 + x2 + 5y2 - xy
b) Ta có: (2x2 - 4xy + y2) + M = 0
⇒ M = -2x2 + 4xy - y2
Trang 10c) Ta có: (2x2 - 7xy + 3y2) - 2M = 4x2 - 5xy + 9y2
⇒ 2M = (2x2 - 7xy + 3y2) - (4x2 - 5xy + 9y2)
⇒ 2M = -2x2 - 2xy - 6y2
⇒ M = -x2 - xy - 3y2
Bài 12: Tính giá trị của các đa thức sau
a) 2x3 + y2 + 2xy - 3y3 + 2x3 + 3y3 - 3x3 tại x = 4; y = 5
b) x6y6 - x4y4 + x2y - xy + 1 tại x = 1; y = -1
Hiển thị lời giải
Bài 13: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biếna) 2x3 - x5 + 3x4 + x2 - (1/2)x3 + 3x5 - 2x2 - x4 + 1
Trang 11b) x7 - 3x4 + 2x3 - x2 - x4 - x + x7 - x3 + 5Hiển thị lời giải
Bài 14: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x + x2 + x3 + x4 + + x99 + x100 tại x = -1b) x2 + x4 + x6 + + x98 + x100 tại x = -1Hiển thị lời giải
Trang 12Bài 15: Cho đa thức P(x) = -9x3 + 5x4 + 8x2 -15x3 - 4x2 - x4 + 15 - 7x3Tính P(1), P(0), P(-1)
Hiển thị lời giải
Trước hết ta thu gọn đa thức:
Khi đó ta có:
Trang 13Bài 16: Cho đa thức
Trang 14Do đó: P(x) = x2 + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm
b) Vì y4 ≥ 0 nên 2y4 + 5 > 0
Do đó: Q(y) = 2y4 + 5 > 0 nên đa thức Q(x) vô nghiệm
Bài 18: Tìm nghiệm của đa thức
a) x2 - 2003x - 2004 = 0
b) 2005x2 - 2004x - 1 = 0
Hiển thị lời giải
a) Đa thức x2 - 2003x - 2004 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004Khi đó ta có: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004)
= 1 + 2003 - 2004 = 0
Nên đa thức x2 - 2003x - 2004 có nghiệm x = -1
b) Đa thức 2005x2 - 2004x - 1 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1Khi đó ta có: a + b + c = 2005 + (-2004) + (-1)
Trang 16Câu 3: Bậc của đa thức x3y2 - xy5 + 7xy - 9 là
Trang 17Câu 5: Chọn câu sai
A Đơn thức x2yz(x2 )2y3 có phần hệ số là 1 và phần biến số là x6y4z
B Đơn thức (a là hằng số) có phần hệ số là a/2 và phần biến số là xy2z
C Đơn thức có phần hệ số là 4 và phần biến số là x2y2z
D Đơn thức (a là hằng số) có phần hệ số là a2 và phần biến số là x2y2z
Đáp án cần chọn là: D
Hiển thị đáp án
Trang 19Hiển thị đáp án
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9: Cho các biểu thức đại số:
9.1: Các đơn thức trong các biểu thức trên là:
Trang 21Hiển thị đáp án Lời giải:
Trang 23Vậy tổng của hai đa thức A và B là: -5x2y - 9xy2 + 3
Đáp án cần chọn là: A
Câu 11: Cho P(x) = 5x2 + 5x - 4; Q(x) = 2x2 - 3x + 1;R(x) = 4x2 - x-3Tính 2P(x) + Q(x) - R(x)
Trang 28f(1) = a4.14 + a3.13 + a2.12 + a1.1 + a0
= a4 + a3 + a2 + a1 + a0
f(-1) = a4.(-1)4 + a3.(-1)3 + a2.(-1)2 + a1.(-1) + a0
= a4 - a3 + a2 - a1 + a0
Trang 29Vì f(1) = f(-1) nên ta có:
a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a3 + a2 - a1 + a0
⇔ a3 + a1 = -a3 - a1
⇔ 2a3 + 2a1 = 0
⇔ a3 + a1 = 0
⇔ a3 = -a1 (1)
f(2) = a4.24 + a3.23 + a2.22 + a1.2 + a0
= 16a4 + 8a3 + 4a2 + 2a1 + a0
f(-2) = a4.(-2)4 + a3.(-2)3 + a2.(-2)2 + a1.(-2) + a0
= 16a4 - 8a3 + 4a2 - 2a1 + a0
Vì f(2) = f(-2) nên ta có:
16a4 + 8a3 + 4a2 + 2a1 + a0 = 16a4 - 8a3 + 4a2 - 2a1 + a0
⇒ 8a3 + 2a1 = -8a3 - 2a1
Trang 30Hiển thị đáp án
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 21: Cho hai đa thức A = 5xyz - 5x2y + 8xy + 5-2xy2 - 3x2y - 4xy;
B = 3x2y + 2xyz - xy2 + 9xy-6x2y - xyz-7
22.1: Tìm A - B rồi tìm bậc của các đa thức thu được
A A - B = -5x2y - xy2 + 4xyz - 5xy + 12 có bậc là 5
Trang 31B A - B = -5x2y - xy2 + 4xyz - 5xy - 2 có bậc là 3
C A - B = -5x2y - xy2 + 4xyz - 5xy + 12 có bậc là 3
D A - B = -5x2y - xy2 + 4xyz - 5xy - 2 có bậc là 5
Hiển thị đáp án
Lời giải:
+ Thu gọn các đa thức A,B ta có:
A = 5xyz - 5x2y + 8xy + 5-2xy2 - 3x2y - 4xy
= (-5x2y - 3x2y) - 2xy2 + 5xyz + (8xy - 4xy) + 5
= -8x2y - 2xy2 + 5xyz + 4xy + 5
B = 3x2y + 2xyz - xy2 + 9xy-6x2y - xyz-7
= (3x2y - 6x2y)-xy2 + (2xyz - xyz) + 9xy - 7
= -3x2y - xy2 + xyz + 9xy - 7
⇒ A - B = -8x2y - 2xy2 + 5xyz + 4xy + 5-(-3x2y - xy2 + xyz + 9xy - 7)
= -8x2y - 2xy2 + 5xyz + 4xy + 5 + 3x2y + xy2 - xyz - 9xy + 7
= (-8x2y + 3x2y) + (-2xy2 + xy2) + (5xyz - xyz) + (4xy - 9xy) + (5 + 7)
= -5x2y - xy2 + 4xyz - 5xy + 12
Vậy đa thức A - B có bậc là 3
Đáp án cần chọn là: C
21.2: Tính A + B tại x = 1; y = 2; z = -2
Trang 32Hiển thị đáp án
Lời giải:
Theo câu trước ta có:
A = -8x2y - 2xy2 + 5xyz + 4xy + 5
B = -3x2y - xy2 + xyz + 9xy - 7
⇒ A + B = (-8x2y - 2xy2 + 5xyz + 4xy + 5) + (-3x2y - xy2 + xyz + 9xy - 7)
= -8x2y - 2xy2 + 5xyz + 4xy + 5-3x2y - xy2 + xyz + 9xy - 7
= (-8x2y - 3x2y) + (-2xy2 - xy2) + (5xyz + xyz) + (4xy + 9xy) + (5 - 7)
= -11x2y - 3xy2 + 6xyz + 13xy - 2
Thay x = 1; y = 2; z = -2 vào đa thức A + B ta được:
Trang 33+ Ta có: x6 ≥ 0; x4 ≥ 0; x2 ≥ 0 với mọi x nên
f(x) = 2x6 + 3x4 + x2 + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x
Do đó không tồn tại x để f(x) = 0
Vậy đa thức f(x) không có nghiệm
Vậy cả A,B đều đúng
Đáp án cần chọn là: D
Câu 23: Cho P(x) = -3x2 + 2x + 1; Q(x) = -3x2 + x - 2
Trang 34Hiển thị đáp án
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: A
Trang 36Đáp án cần chọn là: C
Câu 24: Lớp 6A có số học sinh giỏi kì I bằng 2/7 số học sinh còn lại Học kì II có thêm 5 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi kì II bằng 1/2 số học sinh còn lại.Tính số học sinh của lớp 6A