Bài báo cáo Thống kê Dự báo Bài Báo Cáo Mô Hình Toán Học Trần Nam Hưng1* Corresponding author(s) E mail(s) hungb1906052@student ctu edu vn; Tóm tắt nội dung Bài báo cáo sưu tầm một số bài toán xây dựn[.]
Trang 1Bài Báo Cáo Mô Hình Toán Học
Trần Nam Hưng1*
Corresponding author(s) E-mail(s):
hungb1906052@student.ctu.edu.vn;
Tóm tắt nội dung Bài báo cáo sưu tầm một số bài toán xây dựng mô hình thực tế
và sử dụng các phương pháp toán học để giải quyết cho kết quả.
Keywords: Mô hình toán học
1
Trang 21 Bài toán ứng dụng đạo hàm
Bài toán:Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm
đó ở hai thị trường khác nhau Biết hàm tổng chi phíT C(Q1, Q2) = 35 + 40Q, (Q = Q1+Q2)và nhu cầu của hai thị trường lần lượt làQ1= 24−0.2P1, Q2=
10 − 0.05P2Hãy xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa Biết rằng giá bán tại hai thị trường là như nhau Bài giải: Từ hai hàm cầu thuậnQ1 = 24 − 0.2P1 và Q2 = 10 − 0.05P2
Ta suy ra hai hàm cầu đảo
P1= 120 − 5Q1 P2= 200 − 20Q2
Từ đây ta tính được hàm doanh thu
T R(Q1, Q2) = P1Q1+ P2Q2
= (1120 − 5Q1)Q1+ (200 − 20Q2)Q2
= 120Q1−5Q2
1+ 200Q2−20Q2
2
Hàm lợi nhuận
π(Q1, Q2) = T R(Q1, Q2) − T C(Q1, Q2)
= 120Q1−5Q21+ 200Q2−20Q22−35 − 40(Q1+ Q2)
= 80Q1−5Q21+ 160Q2−20Q22−35 Theo giả thiết ta cóP1= P2
⇔120 − 5Q1= 200 − 20Q2⇔ −Q1+ 4Q2= 16
Ta cần tìm(Q1, Q2)sao choπ(Q1, Q2)đạt giá trị lớn nhất thỏa mãn điều kiệng(Q1, Q2) = −Q1+ 4Q2= 16
Lập hàm Lagrange
f (Q1, Q2, λ) = 80Q1−5Q21+ 160Q2−20Q22+ λ(16 + Q1−4Q2) Đạo hàm riêng cấp 1 của hàmf
f′
Q 1(Q1; Q2; λ) = 80 − 10Q1+ λ
f′
Q 2(Q1; Q2; λ) = 160 − 40Q2−4λ
f′ (Q1; Q2; λ) = 16 + Q1−4Q2
Trang 3Ta xét hệ phương trình
f′
Q 1(Q1; Q2; λ) = 0
f′
Q 2(Q1; Q2; λ) = 0
f′
λ(Q1; Q2; λ) = 0
⇔
80 − 10Q1+ λ = 0
160 − 40Q2−4λ = 0
16 + Q1−4Q2= 0
⇔
10Q1−λ = 80 40Q2+ 4λ = 160 Q1+ 4Q2= 16
Từ đây ta có nghiệm(Q1, Q2, λ) = 32
5,28
5, 16 Vậy hàm số có một điểm dừngM (32
5,28
5)
Đạo hàm riêng cấp 2 của hàmf
f′
Q 1 Q 1(Q1; Q2; λ) = 10
fQ′1Q2(Q1; Q2; λ) = fQ′2Q1(Q1; Q2; λ) = 0
f′
Q 2 Q 2(Q1; Q2; λ) = −40 Đạo hàm riêng cấp 1 củag
g′
Q 1(Q1, Q2) = −1
g′Q2(Q1, Q2) = 4
Xét tại điểm dừngM (325,285)vàλ = −16
Ta có
g1= g′
Q 1
32
5 ,
28 5
= −1 g2= g′
Q 2
32
5 ,
28 5
= 4 f11= f′′
Q 1 Q 2
32
5 ,
28
5 , −16
= −10 f22= f′′
Q 2 Q 2
32
5 ,
28
5 , −16
= −40 f12= f21= f′′
Q 1 Q 2
32
5 ,
28
5 , −16
= 0 Lập ma trận Hess tại điểm dừngM (325,285)vàλ = −16
H =
0 g1 g2 g1 f11 f12 g2 f21 f22
=
0 −1 4
−1 −10 0
4 0 −40
Trang 4Ta có định thức của ma trận Hess
det(H) =
0 −1 4
−1 −10 0
= (−1)3(−1)
−1 0
4 −40
+ (−1)4·4
−1 −10
= 200 > 0
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M (32
5,28
5), nghĩa là sản lượng Q1 = 32
5, Q2= 285 và giá bán tương ứngP1= P2= 88thì công ty đạt được lợi nhuận tối đaπmax= 576
Trang 52 Bài toán xây dựng hàm sinh
Bài toán:Có bao nhiêu cách xếp một giỏ bao gồm ntrái cây thỏa mãn các điều kiện sau
❼ Số trái táo phải là số chẵn
❼ Số trái chuối phải chia hết cho 5
❼ Chỉ có thể có nhiều nhất là 4 quả cam
❼ Chỉ có thể có nhiều nhất 1 quả đào
Bài giải: Trước hết ta tìm hàm sinh cho số cách chọn quả táo Vì có 1 cách chọn 0 quả táo, có 0 cách chọn 1 quả táo (vì số táo phải là số chẵn), có
1 cách chọn 2 quả táo, có 0 cách chọn 3 quả táo, Như vậy ta xây dựng hàm sinh cho số cách chọn táo là
A(x) = 1 + x2+ x4+ · · · = 1
1 − x2 Tương tự, ta có 1 cách chọn 0 trái chuối (vì trái chuối phải chia hết cho 5), ta có 0 cách chọn số táo là 1,2,3,4 và có 1 cách chọn số táo là 5, Vậy hàm sinh cho số cách chọn chuối là
B(x) = 1 + x5+ x10+ · · · = 1
1 − x5 Tiếp theo, ta có thể chọn 0 quả cam bằng 1 cách, 1 quả cam bằng 1 cách, Nhưng ta không thể chọn nhiều hơn 4 quả cam Vì vậy hàm sinh cho số cách chọn quả cam là
C(x) = 1 + x + x2+ x3+ x4=1 − x
5
1 − x Tương tự cho cách chọn đào, ta có hàm sinh
D(x) = 1 + x = 1 − x
2
1 − x
Vì các cách chọn trái cây là rời nhau nên khi ta chọn các loại quả thì hàm sinh sẽ được tính bằng công thức
A(x) · B(x) · C(x) · D(x)
Ta có
1
1 − x2 · 1
1 − x5 ·1 − x5
1 − x ·
1 − x2
1 − x =
1 (1 − x)2 =
∞ X n=0 (n + 1)xn
Vậy số cách xếp giỏ trái cây gồmntrái cây thì đơn giản bằngn + 1 cách
Trang 63 Bài toán ứng dụng xích Markov
Bài toán:Giả sử rằng một người có thể đang trong bốn trạng thái như sau:
❼ Giàu có (R)
❼ Bình thường (A)
❼ Nghèo (P)
❼ Mắc nợ (D)
1 Nếu giả sử một người có xuất thân bình thường Khi đó xác suất để người
đó trở nên giàu có sau 1,2,3 thời kỳ là bao nhiêu?
2 Vectơ trạng thái ổn định được liên kết với xích Markov này là gì?
Biết các xác suất chuyển như sau
❼ Nếu người đó đang giàu có, thì trong thời gian tới người đó sẽ
– Bình thường: 0.75
– Nghèo: 0.2
– Mắc nợ: 0.05
❼ Nếu người đó đang bình thường, thì trong thời gian tới người đó sẽ – Giàu có: 0.05
– Bình thường: 0.2
– Mắc nợ: 0.45
❼ Nếu người đó đang nghèo, thì trong thời gian tới người đó sẽ
– Bình thường: 0.4
– Nghèo: 0.2
– Mắc nợ: 0.45
❼ Nếu người đó đang mắc nợ thì trong thời gian tới người đó sẽ
– Bình thường: 0.15
– Nghèo: 0.3
– Mắc nợ: 0.55
Ta có xích Markov tương ứng và ma trận trạng thái như sau
Trang 70.2 0.3
0.55
0.75 0.2
0.05 0.05 0.3
0.45
0.1
0.4
0.2
0.15 0.3
Rich
Average Poor
In Debt
P =
0 75 2 05 05 2 3 45 1 4 3 2
0 15 3 55
Bài Giải:
(1) Ta mô phỏng trạng thái người đó bình thường đang là1 và các trạng thái khác được mã hóa là0
π(0) = (0, 1, 0, 0) Khi đó, qua 1 thời kỳ, người đó có trạng thái giàu có là phần tử đầu tiên của phép tính sau đây
π(1)= π(0)·P = (0, 1, 0, 0) ·
0 75 2 05 05 2 3 45 1 4 3 2
0 15 3 55
= (0.05, 0.2, 0.3, 0.45)
Vậy sau 1 thời kỳ, xác suất để người đó từ xuất thân bình thường trở nên giàu có là 5%
Trang 8Mặt khác,
π(2)= π(0)·P2= (0, 1, 0, 0) ·
0 75 2 05 05 2 3 45 1 4 3 2
0 15 3 55
2
= (0, 1, 0, 0) ·
0.0575 0.2375 0.3 0.405 0.04 0.265 0.295 0.4 0.05 0.305 0.29 0.355 0.0375 0.2325 0.3 0.43
= (0.04, 0.265, 0.295, 0.4) Vậy sau 2 thời kỳ, xác suất để người đó từ xuất thân bình thường trở nên giàu có là 4%
Tương tự ta cũng có
π(3)= π(0)·P3= (0, 1, 0, 0)·
0 75 2 05 05 2 3 45 1 4 3 2
0 15 3 55
3
= (0.04275, 0.211, 0.296, 0.4025)
Vậy sau 3 thời kỳ, xác suất để người đó từ xuất thân bình thường trở nên giàu có là 4.28%
(2) Ta có hệ phương trình
0.05πA+ 0.1πP = πR 0.75πR+ 0.2πA+ 0.4πP+ 0.15πD= πA 0.2πR+ 0.3πA+ 0.2πP+ 0.55πD= πP 0.05πR+ 0.45πA+ 0.2πP+ 0.55πD= πD
πR+ πA+ πP+ πD= 1
(1)
Khi đó ta có nghiệm các xác suất là
(πR, πA, πP, πD) =
53
1241,
326
1241,
367
1241,
495 1241
Vectơ trạng thái ổn định được liên kết với xích Markov này là 53
1241,1241326,1241367,1241495 Tức là về lâu dài, tỷ lệ người giàu sẽ ổn định ở mức 4.27%, người bình thường 26.27%, người nghèo 29.57% và người đang mắc nợ
là 39.89%
Trang 94 Bài toán ứng dụng phương trình vi phân
Bài toán: Một vuông nuôi tôm ước tính thể tích đạt 10000m3 nước đang trong tình trạng ngập mặn nặng với nồng độ muối3g/m3 Để giảm tình trạng ngập mặn của vuông, người ta tiến hành bơm nước vào vuông với tốc độ 150m3/h từ nguồn nước gần đó có nồng độ muối là 0.2g/m3 Giả sử nước trong vuông và nước bơm vào được trộn đều tức thì và cho chảy ra ngoài với tốc độ100m3/h, thì nồng độ muối trong vuông tôm sau một ngày thực hiện biện pháp giảm mặn trên là bao nhiêu?
Bài Giải
Giả sử Q(t)(đơn vị: gram) là khối lượng muối hiện trong vuông tại thời điểmt
Khi đó,C(t) = Q(t)
10000 + 50t là nồng độ muối trong vuông tại thời điểmt
Ta cóQ′
(t) = vin−vout= 150 × 0.2 − 100 × C(t) = 30 − 100 × Q(t)
10000 + 50t
Từ đây ta có phương trình vi phân Bernoulli có dạng
Q′ (t) + 2
200 + tQ(t) = 30 Phương trình có nghiệm tổng quát sau
Q(t) = e−R 200+t2 dt
Z 30eR200+t2 dt dt + C
⇔Q(t) = e−2 ln(200+t)
30
Z
e2 ln(200+t)+ C
⇔Q(t) = 1
(200 + t)2
30
Z (200 + t)2dt + C
⇔Q(t) = 1
(200 + t)2
30(200 + t)
3
⇔Q(t) = 10(200 + t) + C
(200 + t)2
Theo giả thiết, Q(0) = 10000 × 3 = 30000nên 30000 = 10 × 200 + C
2002
Từ đây ta tính đượcC = 112 × 107
Thay vào ta được nồng độ muối trong vuông
C(t) = Q(t)
10000 + 50t = 0.2 +
112 × 107 50(200 + t)3 Nồng độ muối trong vuông sau một ngày (24h) là
C(24) = 0.2 + 112 × 10
7
50(200 + 24)3 = 2.19g/m3
Trang 105 Bài toán ứng dụng giải ma trận
Giả sử ba người ký hiệu là P1, P2, P3 được đưa vào một xã hội khép kín đơn
giản sản xuất ba loại hàng hóaz1, z2, z3 Mỗi người bán và mua của nhau Tất
cả sản phẩm của họ đều do họ tiêu thụ, không có hàng hóa nào khác xâm
nhập vào hệ thống (“mô hình khép kín”) Tỷ lệ sản phẩm tiêu thụ của mỗi P1,
P2, P3 được cho trong bảng sau:
z 1 z 2 z 3
P1 0.6 0.2 0.3 P2 0.1 0.7 0.2 P3 0.3 0.1 0.5
Để đảm bảo rằng xã hội này tồn tại, những người P1, P2, P3 phải có thu
nhập theo tỷ lệ là bao nhiêu, giả sử mức tiêu dùng của mỗi người bằng với
thu nhập của họ?
Bài giải:
Ta ký hiệux1, x2, x3là thu nhập của P1, P2, P3 Khi đó số tiền P1 chi cho
z1, z2, z3là0.6x1+0.2x2+0.3x3 Ta có phương trình0.6x1+0.2x2+0.3x3= x1,
tương tự đối với những người khác Ta có hệ phương trình tuyến tính
0.6x1+ 0.2x2+ 0.3x3= x1 0.1x1+ 0.7x2+ 0.2x3= x2 0.3x1+ 0.1x2+ 0.5x3= x3
Hệ này có thể được viết lại dưới dạng phương trìnhAx= x, trong đó
A=
0.6 0.2 0.3 0.1 0.7 0.2 0.3 0.1 0.5
vàx= (x1, x2, x3)⊤
Hơn nữa, thu nhập là số không âm, tức làxi≥0vớii = 1, 2, 3(ký hiệu là
x ≥ O) Chúng ta có thể viết lại phương trình này thành dạng tương đương
(A − I)x = O:
A=
−0.4 0.2 0.3 0
0.1 −0.3 0.2 0
0.3 0.1 −0.5 0
−→
1 −3 2
−4 2 3
3 1 −5
−→
1 −3 2
0 −10 11
0 −10 11
−→
10 0 −13
0 −10 11
Một nghiệm tùy ý của hệ có dạngx = t(13, 11, 10)⊤
và nó là x ≥ Ovới
t ≥ 0 Do đó, để đảm bảo rằng xã hội này tồn tại, những người P1, P2, P3
phải có thu nhập của họ theo tỷ lệ lần lượt là13 : 11 : 10
Trang 116 Bài toán ứng dụng hồi quy tuyến tính
Bài toán:Cho bảng dữ liệu dưới đây giữa hai đại lượngxvày
y 11.18 14.78 117.89 23.52 28.56
Xây dựng mô hình hồi quyy = axebx
Bài giải:Ta biến đổi biểu thức trên như sau
y = axebx⇔logy
x
= bx + log(a)
ĐặtY = log(yx), X = x, A = b,vàB = log(a) Từ đây ta có mô hình tuyến tínhY = AX + B
Lập bảng
n Xi= xi yi Yi= log(yi
x i) X2
i XiYi
P
11.5 195.93 12.2608 26.85 28.4924
Giải hệ phương trình
(
AX + B = Y
AX2+ BX = XY ⇔
(
11.5A + 5B = 12.2608 26.85A + 11.5B = 28.4924 ⇔
(
A = 0.7314
B = 0.76994
Từ đó
(
a = eB = 2.15964
b = A = 0.7314 Vậy mô hình cần tìm lày = 2.15964xe0.7314x
Trang 12Tài liệu
[1] I Podlubny, Fractional Differential Equations, Academie Press, New York, 1999
[2] Đinh Ngọc Quý (2018), Giáo trình Phương pháp tính, NXB Đại học Cần Thơ, 2018