PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

Khi đó học sinh được đặt vào các tình huống có các vấn đề thực tiễn phong phú của một bài toán hay một mô hình hóa toán học thích hợp, từ đó vận dụng kỹ năng và kiến thức toán để giải qu

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THU THẢO

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ

CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2020

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THU THẢO

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÀM SỐ

Bằng tình cảm trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin được gửi lời cảm

ơn tới PGS TS Nguyễn Danh Nam –Trưởng phòng Khoa học Công nghệ và Hợp tác quốc tế, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn gia đình, nhà trường, các thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp, các

em học sinh trường THPT Vân Cốc (huyện Phúc Thọ – thành phố Hà Nội) đã luôn ủng hộ, động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp và những bạn quan tâm tới vấn đề này để luận văn được hoàn thiện tốt hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 09 tháng 11 năm 2020

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Thảo

iii

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.2: Thống kê về ý kiến của giáo viên trong dạy học Toán

Bảng 2.2 Tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa của giáo viên Bảng 3.1: Thống kê ý kiến của HS (Trường THPT Vân Cốc)

Bảng 3.1 Phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC)

Bảng 3.2 Phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC)

Bảng 3.3 Phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra

iv

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Quá trình mô hình hóa của Pollak

Sơ đồ 1.2 Quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006

Sơ đồ 1.4 Quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán

Sơ đồ 1.6 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa

Sơ đồ 1.7 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa

v

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1 Thống kê về mong muốn của học sinh được biết thêm những ứng dụng thực tế của những kiến thức Toán học

Biểu đồ 1.2 Thống kê của học sinh về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những

mô hình có kiến thức toán học trong thực tiễn

Biểu đồ 1.3 Thống kê đánh giá của học sinh về mức độ thường xuyên đưa các bài toán MHH, có yếu tố toán học trong thực tiễn của giáo viên

Biểu đồ 1.4 Thống kê ý kiến của học sinh về mối liên hệ giữa toán học và các môn học khác

Biểu đồ 1.5 Thống kê ý kiến của học sinh về tầm quan trọng của toán học Biểu

đồ 1.6 Biểu đồ thống kê ý kiến của học sinh về mức độ khô khan của môn Toán Biểu đồ 1.7 Thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường mối liên hệ toán học và thực tiễn

Biểu đồ 1.8 Thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống

Biểu đồ 1.9 Thống kê ý kiến của giáo viên về tầm quan trọng của việc đưa MHH toán học nhằm phát triển năng lực cho học sinh

Biểu đồ 1.10 Thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên đưa MHH hóa toán học nhằm phát triển năng lực cho học sinh

Biểu đồ 1.11 Thống kê về mức độ thường xuyên của việc sử dụng công nghệ thông tin giúp học sinh hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn

Biểu đồ 1.12 Thống kê về tầm quan trọng của MHH toán học trong dạy học Toán ở trường phổ thông

vi

Biểu đồ 1.13 Các chủ đề toán học nào dưới đây có thể sử dụng phương pháp mô hình hóa trong thiết kế các hoạt động dạy học

Biểu đồ 3.1 Phân bố tần số điểm bài kiểm tra

Biểu đồ 3.2 Phân bố tần số điểm của bài kiểm tra lớp thực nghiệm

Biểu đồ 3.3 Phân bố tần số điểm của bài kiểm tra lớp đối chứng

Hình 2.5 Hình ảnh mô phỏng trong bài toán 2.3

Hình 2.6 Mô hình bìa cứng được cắt trong bài toán 2.4 Hình 2.7 Một số hình ảnh thực tế có dạng hình hộp

Hình 2.8 Đồ thị hàm số mũ

Hình 2.9 Mô hình minh họa cho viên đá khối cầu ví dụ 2.1 Hình 2.10 Hình ảnh mô phỏng mặt cắt trong ví dụ 2.1 Hình 2.11 Hình ảnh mô phỏng máy sấy

viii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ iv

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 3

3 Mục đích nghiên cứu 5

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 6

5.1 Đối tượng nghiên cứu 6

5.2 Khách thể nghiên cứu 6

5.3 Phạm vi nghiên cứu 6

6 Mẫu khảo sát 6

7 Vấn đề nghiên cứu 6

8 Giả thuyết khoa học 6

9 Phương pháp nghiên cứu 7

10 Cấu trúc của luận văn 7

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 8

1.1 Cơ sở lí luận 8

1.1.1 Khái niệm mô hình, mô hình hóa 8

ix

1.1.2 Quy trình mô hình hóa toán học 10

1.1.3 Năng lực và cấp độ mô hình hóa toán học 25

1.2 Cơ sở thực tiễn 38

1.2.1 Tổng quan dạy học mô hình hóa toán học một số quốc gia trên thế giới 38 1.2.2 Thực trạng dạy học mô hình hóa ở trường phổ thông 39

Kết luận chương 1 49

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 50 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC 50

NỘI DUNG HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12 50

2.1 Thiết kế hoạt động mô hình hóa trong dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12 50

2.1.1 Hoạt động 1: Chủ đề đồ thị hàm số 50

2.1.2 Hoạt động 2: Chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 57

2.1.3 Hoạt động 3: Hàm số mũ 64

2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12 69

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số 69

2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng biểu diễn mô hình dưới dạng biểu đồ, đồ thị với số liệu thực tế 75

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học 80

Kết luận chương 2 82

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 83

x

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 83

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 83

3.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 83

3.2.1 Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm 83

3.2.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 84

3.2.3 Nội dung kiểm tra đánh giá 84

3.2.4 Tổ chức thực nghiệm 84

3.3 Đánh giá về kết quả thực nghiệm 85

3.3.1 Một số nhận xét chung 85

3.3.2 Phân tích định tính 86

3.3.3 Phân tích định lượng 88

Kết luận chương 3 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 PHỤ LỤC

sự thay đổi quan trọng vai trò của người học và người dạy, đổi mới phương pháp dạy học, nội dung dạy học với mục đích nâng cao chất lượng giảng dạy Trong dạy học theo truyền thống, người dạy chủ yếu cung cấp kiến thức cho người học bằng hình thức thuyết trình, đọc, diễn giảng độc thoại thì hiện nay người dạy đóng vai trò là người định hướng, người hướng dẫn cho người học tìm hiểu và khám phá kiến thức mới Với sự thay đổi này, người học chủ động tiếp nhận và lĩnh hội tri thức, tích cực khám phá, rèn luyện bản thân để từ đó người học có khả năng nghiên cứu, tìm và giải quyết vấn đề, vận dụng vào thực tiễn Cùng với

sự thay đổi về vai trò của người học và người dạy cũng là sự đổi mới trong phương pháp dạy học phù hợp

“…Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học Học đi đôi với hành, lí luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội…” nội dung này đã được nêu rõ trong nghị quyết số 29

– NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung Ương khóa XI [5]

Trong chương trình môn Toán 2018 đã đặc biệt chú trọng tính ứng dụng của Toán học vào thực tiễn, gắn với xu thế phát triển kinh tế - xã hội Do vậy, việc phát triển năng lực mô hình hóa là cần thiết đối với học sinh hiện nay, đặc biệt là phát triển năng lực mô hình hóa toán học Năng lực này được thể hiện qua việc xác định được mô hình hóa toán học cho từng tình huống xuất hiện

2

trong bài toán thực tiễn, giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập [4] Khi đó học sinh được đặt vào các tình huống có các vấn đề thực tiễn phong phú của một bài toán hay một mô hình hóa toán học thích hợp,

từ đó vận dụng kỹ năng và kiến thức toán để giải quyết vấn đề trong tình huống

Phương pháp dạy học đổi mới, dạy học thông qua các hoạt động trải nghiệm, những hoạt động mà ở đó học sinh vận dụng kỹ năng và kiến thức để giải quyết các vấn đề, tạo động lực cho người học tìm tòi, khám phá, từ đó phát triển năng lực của học sinh Một trong những năng lực mà được nhiều quốc gia trên thế giới cũng như Việt Nam đang được chú trọng trong chương trình môn Toán phổ thông là năng lực mô hình hóa Năng lực này được hình thành thông qua quá trình học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống có tính thực tiễn được xây dựng trên các công cụ và ngôn ngữ toán học Mô hình hóa giúp học sinh nhận biết và hiểu được ý nghĩa, vai trò của toán học đối với đời sống thực tế, phát triển khả năng phân tích suy luận và giải quyết các vấn đề toán học, phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ các kiến thức toán với các môn học khác Mô hình hóa trong dạy học Toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ Toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin Quá trình này đòi hỏi học sinh cần có các

kĩ năng và thao tác tư duy Toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa [18]

Sự cần thiết để thúc đẩy mô hình hóa toán học trong nhà trường ngày càng được chấp nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục hướng thực tế được TS Nguyễn Thị Tân An đề cập trong nghiên cứu của mình[1]

Nội dung hàm số trong chương trình môn Toán lớp 12 là nội dung quan trọng trong chương trình phổ thông, chiếm khối lượng kiến thức lớn trong các

đề thi đại học Đây cũng là một chủ đề khó, nhiều vấn đề liên quan, chưa gây

3

được nhiều hứng thú với học sinh Bên cạnh đó, nội dung hàm số có nhiều ứng dụng vào thực tiễn mà học sinh chưa khám phá được Nó có đặc tính biểu thị quan hệ biến thiên phụ thuộc giữa các đại lượng – đây cũng là quan hệ phổ biến phản ánh bản chất của hầu hết các hiện tượng khoa học cũng như trong tự nhiên

xã hội Hàm số không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn được dùng như một công cụ để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn, trong vật lý, kinh tế, địa lí,… Trong chương trình giáo dục phổ thông, hàm số được xuất hiện trước hết với tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán liên quan như phương trình, bất phương trình,… chính vì vai trò quan trọng của

nó mà hàm số là một chủ đề xuyên suốt trong chương trình môn toán ở trường phổ thông Tuy nhiên hiện nay việc tổ chức dạy học khái niệm hàm số ở trường phổ thông còn chưa thực sự hiệu quả, học sinh còn khó vận dụng các khái niệm hàm số trong những tình huống thực tiễn Để nâng cao chất lượng giảng dạy, cũng như tạo động lực và hứng thú cho học sinh, giáo viên cần có các biện pháp phát triển năng lực người học Trong đó, việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh nhằm vận dụng các kiến thức hàm số vào thực tế đời sống

là cần thiết

Từ những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung hàm số chương trình lớp 12” cho luận văn của mình

2 Lịch sử nghiên cứu

Mô hình hóa toán học từ lâu được so sánh giống như một chiếc cầu nối gắn kết việc học toán của học sinh với thế giới thực tiễn Vấn đề này đã được nghiên cứu rộng rãi ở trên thế giới, đặc biệt trên các nước có nền giáo dục phát triển

Mô hình hóa trong giáo dục toán chính thức xuất hiện đầu tiên tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968 Tại đây các nhà giáo dục toán đã đưa ra nhiều

4

vấn đề liên quan đến mô hình hóa Tại sao phải dạy toán để có ích? Tại sao nhiều học sinh không thể sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết các vấn đề thực tế mặc dù đạt được kết quả xuất sắc về môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho học sinh có thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống [10]

Theo tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) nghiên cứu nhiều khía cạnh về

mô hình và mô hình hóa toán học: phương pháp, quy trình, năng lực mô hình hóa toán học, thiết kế các hoạt động mô hình hóa toán học cho học sinh Nghiên cứu đề cập mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học như hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, công thức Tác giả đưa ra các bài tập và ví dụ ở nhiều mức độ khác khau, chúng được lồng ghép vào thực tiễn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để mô tả tình huống thực tế Từ đó, tác giả xây dựng được nhiều bài toán về hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số mũ, xác suất thống kê,…[10], [11], [17], [18], [19]

Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2014) đã trình bày cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của quá trình toán học hóa giúp học sinh có thể định hướng khi đứng trước một tình huống toán học hóa, giáo viên có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học [2]

Khái niệm mô hình hóa toán học và vấn đề vận dụng mô hình hóa trong dạy học Toán học bậc trung học phổ thông ở Việt Nam đã được tác giả Lê Thị Hoài Châu đưa ra năm 2015 Hai phương diện được thực hiện: (i) Phân tích sự lựa chọn của chương trình và sách giáo khoa môn Toán trung học phổ thông đối với việc tính đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học hàm số, phương trình, bất phương trình (ii) Nghiên cứu thực trạng, đánh giá năng lực của học sinh phổ

5

thông trong việc sử dụng các kiến thức toán đã học vào giải quyết các vấn đề của thực tiễn Từ đó, tác giả đã thiết kế được các tình huống dạy học bằng mô hình hóa và dạy học mô hình hóa trong dạy học các nội dung hệ bất phương trình hai ẩn, khái niệm đạo hàm và khái niệm tích phân [7]

Ngoài ra, tác giả Phạm Thị Diệu Thùy và Dương Thị Hà cũng đã nghiên cứu về phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học giải toán bằng cách lập phương trình Nghiên cứu đưa ra mối quan

hệ giữa giải toán bằng cách lập phương trình và mô hình hóa toán học[21]

Việc vận dụng mô hình hóa còn được đưa vào trong dạy học môn toán ở tiểu học Nghiên cứu này chỉ ra rằng các hoạt động mô hình hóa toán học sẽ giúp học sinh phát triển các thao tác tư duy và kĩ năng giải quyết vấn đề Hai tác giả cũng đưa ra nhiều ví dụ về dạy học mô hình hóa: bài toán diện tích tam giác, diện tích hình thang…[9]

Như vậy, mô hình hóa và mô hình hóa toán học đã được nghiên cứu phổ biến trên cả thế giới và trong nước Đảng và nhà nước cũng đã và đang triển khai rộng rãi mô hình hóa toán học trên cả nước thông qua việc ban hành thông

tư 32 [4] Mô hình hóa toán học đang ngày càng được chú trọng, không chỉ giáo viên áp dụng mô hình hóa toán học vào bài giảng của mình mà học sinh cũng đang tìm tòi, khám phá các bài toán thông qua thực tiễn

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hàm

số trong chương trình lớp 12 ở trường trung học phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống lí thuyết về mô hình hóa và mô hình hóa toán học

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu: Nội dung hàm số lớp 12

5.2 Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 12 ban cơ bản trường THPT Vân Cốc 5.3 Phạm vi nghiên cứu: Chương trình môn Toán ở trường trung học phổ

thông

6 Mẫu khảo sát

Học sinh lớp 12A8, 12A6 trường THPT Vân Cốc – Hà Nội (78 học sinh)

7 Vấn đề nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết mô hình hóa và mô hình hóa toán học

- Tìm hiểu về năng lực mô hình hóa toán học và phát triển mô hình hóa toán học ở trường trung học phổ thông

- Thiết kế một số biện pháp dạy học nội dung hàm số lớp 12 theo phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở trường trung học phổ thông

8 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và vận dụng được các biện pháp sư phạm theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình môn Toán lớp 12 thì sẽ góp phần phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

7

9 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số văn bản, tài liệu

liên quan đến phương pháp dạy học; các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận dạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát những biểu hiện của

học sinh (về nhận thức, thái độ, hành vi) trong hoạt động học, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi trước về phương pháp dạy học tích hợp Lập các phiếu điều tra và tiến hành điều tra về tình hình dạy - học của giáo viên, học sinh về dạy học phát triển mô hình hóa toán học với sinh học trong dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường trung

học phổ thông Vân Cốc – Hà Nội để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài

- Phương pháp thống kê toán học: Phân tích và xử lý các số liệu sau khi

điều tra

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua nội dung hàm số trong chương trình lớp 12

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

8

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Khái niệm mô hình, mô hình hóa

1.1.1.1 Mô hình và mô hình hóa

Mô hình được hiểu như một vật có điểm điểm đặc trưng của vật thực tế, được dùng để thay thế cho vật thực tế đó Thông qua mô hình, ta có thể khám phá đối tượng mà không cần dùng đến vật thật Mô hình là một hình mẫu dùng

để minh họa, mô tả hình dáng, cấu trúc, phương thức hoạt động của sự vật, hiện tượng hay một khái niệm

Theo Swetz và Hartzler, mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật hiện tượng, một

hệ thống hay một khái niệm Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ mô hình theo ý nghĩa vật lý [31]

Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của của quá trình tư duy, ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa các đối tượng cụ thể hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa

Mô hình hóa được biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế Mô hình hóa còn giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác nhau Đây chính là môi trường

để học sinh khám phá các kiến thức toán học [10]

9

Tóm lại, mô hình được dùng để mô tả một đối tượng thực tiễn nào đó, song mô hình không thể thay thế cho vật mẫu Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề nào đó xuất phát từ tình huống thực tiễn

1.1.1.2 Mô hình hóa toán học

Từ những năm 70 của thế kỉ trước, Aristides C Barreto đã đề xuất ý tưởng đưa mô hình và mô hình hóa vào trong dạy học Mô hình hóa toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học (các đồ thị, phương trình,

hệ phương trình, hàm số, các kí hiệu toán học, …) để biểu diễn và mô tả đặc điểm của một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu[23] Edwards và Hamson (2001) đưa ra khái niệm mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [10] Nói cách khác, mô hình hóa toán học chính là quá trình giải quyết vấn đề thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Vấn đề của tình huống thực tiễn được chuyển đổi sang vấn đề toán học phù hợp và ngược lại

Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), mô hình toán học là sự giải thích ngôn ngữ toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định

mà người ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn

đề bằng ngôn ngữ toán học trong mô hình đó, rồi kiểm tra và đánh kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [8]

Như vậy, có thể nói mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng các công

cụ toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ toán học Quá trình chuyển đổi giữa tình huống thực tiễn và tình

1.1.2 Quy trình mô hình hóa toán học

1.1.2.1 Quy trình mô hình hóa

Năm 1970, Pollak đã đưa ra sơ đồ mô hình hóa đầu tiên về sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa [29]

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak

Từ sơ đồ ta thấy, tình huống thực tiễn ban đầu được phiên dịch sang tình huống toán học dựa trên ngôn ngữ toán học, rồi giải bài toán trong mô hình đó,

và quay lại áp dụng kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu Chiều các mũi tên biểu thị cho sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học nhiều lần

Theo Swetz và Hartzler, quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [31]

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố

trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán

học Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng

11

Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình

huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận

Ví dụ 1.1: Một sợi dây thẳng nằm ngang có chiều dài là L m( ), được chia thành hai phần Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình tròn Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được nhỏ nhất ?

Lời giải

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố

trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn

- Từ đề bài ta vẽ hình minh hoạ tương ứng

Hình 1.1 Hình mô phỏng trong ví dụ 1.1

- Trọng tâm của bài toán: Tổng diện tích hình tam giác và hình tròn phụ thuộc vào việc tính toán phần dây bị cắt đi để tạo thành tam giác đều

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán

học Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng

- Bài toán quy về việc tính toán phần dây để cắt đi sao cho tổng diện tích các hình được tạo thành nhỏ nhất

12

Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình

huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình

Gọi x là độ dài của cạnh hình tam giác đều

Chiều dài phần dây làm thành tam giác là 3x

Chiều dài phần dây làm thành hình tròn là L- 3x 3

æ - ö÷ç

p

= + thỏa mãn yêu cầu bài toán

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận

- Từ kết quả bài toán, học sinh hiểu được cách cắt đi phần dây có độ dài như thế nào để thu được các hình trang trí thỏa mãn theo yêu cầu đã định

- Trong thực tế việc tính toán để cắt phần dây và gấp thành các hình theo yêu cầu còn phụ thuộc vào việc sử dụng chúng để làm việc gì, loại dây to hay nhỏ, việc vận chuyển chúng như thế nào, hay không gian để đặt các hình trang trí đó…

Quy trình mô hình hóa và giải quyết vấn đề có những đặc điểm tương tự nhau, hỗ trợ các học sinh rèn luyện thông qua các phương pháp để phát triển hướng dẫn tư duy của học sinh và thúc đẩy các quá trình siêu nhận thức Quy

13

trình này là vòng tuần hoàn khép kín vì nó được dùng để mô tả thế thới thực tiễn

và kết quả của nó lại được dùng để giải thích các vấn đề trong thực tiễn; học sinh thường phải quay lại các giai đoạn trước để kiểm tra thông tin hoặc tinh chỉnh các chiến lược Swetz và Hartzler minh họa quy trình trên theo sơ đồ sau[31]:

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991

Chúng ta có thể mô tả mô quá trình mô hình hóa một tình huống nào đó xảy ra với ba giai đoạn: giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn nghiên cứu trên

mô hình và giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình

- Giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn cần đến trí tưởng tưởng, trực

giác của học sinh Nhờ trí tưởng và trực giác học sinh xây dựng mô hình dựa trên các đặc điểm đặc trưng của đối tượng Mô hình này có thể là mô hình vật chất hoặc liên tưởng tới những mô hình đã có sẵn Hay nói cách khác, giai đoạn xây dựng mô hình là giai đoạn đi tìm hình mẫu đại diện cho đối tượng

- Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình, giai đoạn này mô hình phát hiện

được ở giai đoạn trước trở thành đối tượng nghiên cứu bằng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau Đó là quá trình nghiên cứu mô hình có phù hợp với đối tượng ban đầu hay không và đến giai đoạn tiếp theo

14

- Giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình, giai đoạn này kết quả thu

được dựa trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu ban đầu để đối chiếu, dựa vào đó để điều chỉnh mô hình phù hợp với đối tượng

Hầu hết các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Bloom và Leib (2006) bao gồm

7 bước mô tả quá trình giải quyết nhiệm vụ mô hình hóa Đặc điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn

và mô hình thực bởi Bloom cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình hóa[24]

Sơ đồ 1.3 Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006

Các giai đoạn được thể hiện theo sơ đồ trên như sau:

Giai đoạn 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống, khám phá và thiết lập mục tiêu giải quyết cho tình huống

Giai đoạn 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô hình thực của tình huống, lựa chọn các biến quan trọng để mô tả tình huống Giai đoạn 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán, hay thiết lập mô hình bằng công cụ và ngôn ngữ toán học, mô tả mối quan hệ giữa các biến số

15

Giai đoạn 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán, phân tích các mối quan hệ giữa các biến để rút ra kết luận

Giai đoạn 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Giai đoạn 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2;

Giai đoạn 7: Trình bày cách giải quyết

Năm 2007, Stillman, Galbraith, Brown đưa ra sơ đồ mô hình hóa mở rộng với sự cải tiến chi tiết của sơ đồ Bên cạnh việc mô tả quá trình mô hình hóa, Stillman và các cộng sự nhấn mạnh tính chất phản ánh quá trình thông qua mũi tên hai chiều, đồng thời chú ý đến các hoạt động nhận thức của học sinh xảy ra trong suốt quá trình [30]

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Stillman, 2007

Trong đó: Các mục từ A đến G là các bước của quá trình mô hình hóa, các mũi tên thể hiện sự chuyển đổi giữa các bước (1) Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống (2) Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán (3) Giải toán (4) Giải thích kết quả toán (5) So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí (6) Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận) (7) Lặp lại quá trình (nếu

mô hình không được chấp nhận)

16

Như vậy, hầu hết các quy trình mô hình hóa toán học đều gồm 4 yếu tố chính là: toán học hóa, làm việc với toán, chuyển đổi và phản ánh Các yếu tố này mô tả các hoạt động mà học sinh sẽ thực hiện trong suốt quá trình mô hình hóa

1.1.2.2 Quy trình mô hình hóa toán học

Quy trình mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn

Sơ đồ 1.5 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán

Quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây [10]:

- Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực

tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương ứng

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải

quyết bài toán đã được toán học hóa Để giải được bài toán, học sinh cần phải có

17

phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình

huống thực tiễn ban đầu Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn

- Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa

ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới Ở bước này, có thể xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn Khi

đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng và kết quả thu được

Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tìm hiểu nguyên nhân và hạn chế Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp

Ví dụ 1.2: Từ một tấm bìa có hình dạng là nửa hình tròn bán kính 1m Hãy cắt

18

Gọi các điểm A, B, O, D như hình vẽ Diện tích hình chữ nhật là

Bước 2 (Giải bài toán):

Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả):

Trong thực tế hình dạng miếng bìa sử dụng cắt có thể là một hình khác mà khi tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật sẽ gặp khó khăn hơn

x  S max 1

2 2

x 

2 2

AB 

45

19

Nói tóm lại, quy trình mô hình hóa toán học được lặp đi lặp lại, được coi

là khép kín và được dùng để mô tả các vấn đề thực tiễn và kết quả của bài toán

mô hình hóa được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình mô hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trường phổ thông [13] Cơ chế điều chỉnh này được thể hiện qua mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn:

Sơ đồ 1.6 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa

Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau[27]:

- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn

đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế;

- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;

- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình MHH;

20

- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực

tế cũng như tính toán đến sự phức tạp của nó;

- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến

mô hình cho phù hợp với thực tiễn;

- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn;

- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng

Theo tác giả, Nguyễn Danh Nam đưa ra quy trình 7 bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán như sau[10]:

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, phân tích, đơn giản hóa vấn đề,

xây dựng giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng, các giả thuyết đã nêu

ra ở bước 1

- Bước 3: Xây dựng bài toán dựa trên các ngôn ngữ toán học để mô tả

tình huống thực tế

- Bước 4: Sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học để giải bài toán

- Bước 5: Tìm ra được lời giải của bài toán, hiểu ý nghĩa của mô hình

toán học đối với tình huống thực tiễn

- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình, kiểm tra tính hợp lý và tính tối ưu của

mô hình đã xây dựng

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng

mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

Sơ đồ 1.7 Các bước tổ chức hoạt động mô hình hóa

21

Ở đề tài này, tôi vận dụng vào phạm vi và đối tượng giáo viên và học sinh trung học phổ thông, và giới hạn trong nội dung dạy học hàm số, tôi cụ thể hóa

các hoạt động thực hiện MHH toán học theo các bước như sau

Giai đoạn 1: Toán học hóa

Học sinh hiểu được vấn đề thực tiễn, xác định các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và thể hiện vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Xác định các khái niệm, các biến số, mối liên hệ giữa các biến, từ đó biểu diễn vấn

đề dưới ngôn ngữ toán học Quá trình này là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học

Giai đoạn 2: Giải bài toán

Học sinh lựa chọn, sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để xây dựng và giải quyết bài toán, có thể sử dụng sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

Giai đoạn 3: Thông hiểu bài toán

Học sinh hiểu lời giải của bài toán đã được chuyển đổi từ tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu) và hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán

22

trong hoàn cảnh thực tiễn, trong đó cần nhận ra những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống thực tiễn

Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế

Xem lại các giả thuyết, các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán Giai đoạn này yêu cầu học sinh phải có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống

Ví dụ 1.3: (Bài toán ô cửa) Một ô cửa sổ có hình dạng của một hình chữ nhật và

một hình bán nguyệt có đường kính bằng chiều rộng hình chữ nhật (Xem hình vẽ) Nếu chu vi cửa sổ là 20 feet, xác định kích thước của cửa sổ để nhận được nhiều ánh sáng nhất? (chú thích 1 feet = 0,3048m)

Hình 1.3 Hình ô cửa

Bước 1 ( Toán học hóa, tìm hiểu bài toán thực tiễn) Giáo viên hướng dẫn học

sinh đưa bài toán để cửa sổ nhận được nhiều ánh sáng nhất ta cần thiết kế cửa sổ

đó sao cho nó có diện tích lớn nhất, với chu vi cửa sổ đã cho là 20 feet Học sinh

đi tính diện tích hình chữ nhật và hình bán nguyệt Gọi chiều rộng của hình chữ

nhật là x, chiều dài là y (x, y > 0) Khi đó, bán kính đường tròn là

2

x

r 

23

Bước 2: (Giải bài toán) Ta có chu vi của cửa sổ là tổng chu vi của nửa đường

tròn (hình bán nguyệt) và chu vi hình chữ nhật Theo giả thiết, ta có phương

Bước 3: (Thông hiểu) Học sinh dựa vào kiến thức đã học đi tìm giá trị lớn nhất

của hàm số S x   x2 10x Dựa vào kiến thức hàm số lớp 12, học sinh đi tìm giá trị lớn nhất của S x  bằng cách tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta được

max 25

S  khi x 5 Từ đó, suy ra 5

54

y  

Bước 4: (Đối chiếu) Ở bước này, giáo viên cần làm rõ khả năng ứng dụng bài

toán vào thực tế Vấn đề tìm được là kích thước cửa sổ lớn nhất để nhận được ánh sáng nhiều nhất

Ví dụ 1.4: (Bài toán cái phễu) Với một tấm nhôm hình tròn, bạn Thương muốn

biến nó thành một cái phễu hình nón Khi đó Thương phải cắt đi hình quạt tròn

AOB rồi dán hai bán kính OA OB , lại với nhau như hình vẽ bên dưới (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể) Gọi x là số đo góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất

Lời giải

Bước 1: Toán học hóa, tìm hiểu bài toán thực tiễn

Vẽ hình minh hoạ tương ứng

Hình 1.4 Hình ảnh mô phỏng cái phễu

24

Phần không gian để chứa nguyên vật liệu là thể tích của phễu Bài toán trở thành xác định số đo phần cắt để thể tích phễu lớn nhất

Bước 2: Giải bài toán

Gọi y là chiều dài cung tròn của tấm nhôm tạo thành hình nón

Ta có bán kính đáy của hình nón tạo thành là 2

Bước 3: Thông hiểu

Từ kết quả số đo phần cung bị cắt của tấm nhôm, học sinh hiểu được chiếc phễu được tạo thành có thể tích lớn nhất từ đó sẽ chứa được nhiều nguyên vật liệu hơn

Bước 4: Đối chiếu

25

Việc trải nghiệm thông qua mô hình khối nón có thể tạo ra nhiều vật dụng khác nhau như: Nón lá; phễu ; nón trang trí sinh nhật – lễ hội, vỏ kem Ốc quế,… Tùy thuộc vào cách cắt dán và các nguyên vật liệu để làm ra chúng có thể tạo ra các sản phẩm có các kích thước theo yêu cầu của thị trường

1.1.3 Năng lực và cấp độ mô hình hóa toán học

1.1.3.1 Khái niệm năng lực và năng lực mô hình hóa toán học

Năng lực là một khái niệm thuộc một phạm trù tâm lí học Nhiều chuyên gia trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xã hội học, giáo dục học, triết học, tâm lí học hay kinh tế học đã cố gắng đưa ra định nghĩa năng lực Hiện nay, khái niệm

về “năng lực” vẫn còn chưa thống nhất trên phạm vi thế giới

Năng lực là tổ hợp các thuộc tính mang tính cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả [22]

Năng lực còn là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng, thái độ để thực hiện một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống

đa dạng của cuộc sống” [13]

Năng lực trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 là

“thuộc tính cá nhân được hình thành phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập rèn luyện, cho phép con người huy động tập hợp các kiến thức, kĩ năng

và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong điều kiện cụ thể”[3]

Theo chương trình PISA năm 2015 cho rằng: năng lực toán học là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế

Năng lực tư duy và suy luận toán học là năng lực được hình thành khi

chúng ta đặt các câu hỏi đặc trưng như “có hay không ?, nếu như vậy, có bao nhiêu? và biết loại câu trả lời để có thể giải đáp được những câu hỏi như vậy Ngoài ra, chúng ta cần hiểu và xác định được phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán như định nghĩa mệnh đề, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ,

Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề yêu cầu học sinh cần xác định

được vấn đề và giải quyết nhiều dạng bài toán theo nhiều cách khác nhau Qua

đó, học sinh hình thành kỹ năng phân tích được tình huống, phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề Dựa trên các thông tin thu thập được, học sinh phải lựa chọn phương pháp, đề xuất giải pháp phù hợp với tình huống, vấn đề cần giải quyết Để làm được điều đó một cách tốt nhất, trước tiên học sinh cần lập kế hoạch để giải quyết vấn đề, thực hiện kế hoạch độc lập, sáng tạo, hợp tác dựa trên các giả thuyết đã đề ra

Năng lực mô hình hóa toán học là năng lực gắn liền với cấu trúc mô hình

hóa, tức là chuyển đổi tình huống “thực tiễn” dưới dạng toán học, xây dựng mô hình toán học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các công cụ toán học.; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”

27

Năng lực lập luận toán học, học sinh cần biết cách chứng minh toán học,

trình bày các lập luận toán học Phân biệt chúng khác với các loại suy luận như thế nào, theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau

Từ đó, học sinh hình thành các kỹ năng lập luận toán học của mình

Năng lực giao tiếp toán học là sự bộc lộ mình về những vấn đề của toán

học, hiểu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy

Năng lực trình bày toán học chính là khả năng mã hóa, chuyển đổi, giải

thích và phân biệt các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh toán học

Năng lực sử dụng các công cụ, kí hiệu, các yếu tố kỹ thuật là sử dụng các

ký hiệu và hình thức, chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu và công thức

Năng lực sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học là khả năng sử

dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau, có thể giúp cho hoạt động toán diễn ra tốt nhất

Theo Niss (2001), có tám thành tố của năng lực toán học và chia làm hai cụm Cụm thứ nhất gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học Tám năng lực này tập trung vào những gì cần thiết để các nhân có thể học tập và ứng dụng toán học Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau [28]

Sơ đồ 1.8 Các thành tố của năng lực toán học theo Niss (2001)

28

Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa, năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước theo Bloom và Jensen [25] Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán nhằm giải quyết các vấn đề Toán học được đặt ra Các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học:

(1) Đơn giản giả thuyết;

(7) Biểu diễn mô hình thích hợp;

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Bên cạnh đó, năng lực toán học hóa tình huống là khả năng áp dụng những hiểu biết toán học để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học