Lý thuyết đồ thị

Lý thuyết đồ thị

Lý thuyết đồ thị

Trần Nam Hưng✯

Ngày 4 tháng 12 năm 2020

1 Một số khái niệm

Bộ G = (V , E) là đồ thị Trong đó,

V là đỉnh của đồ thị

E là cạnh của đồ thị

Khuyên là u = (x , x) (x là đỉnh có khuyên)

Cạnh bội hai cạnh phân biệt cùng nối với một

cặp đỉnh

Hai đỉnh kề nếu có cạnh nối với chúng

Hai cạnh kề nếu có chung một đỉnh

Bậc của đỉnh deg(x) là số cạnh tương ứng với

một đỉnh x

Bậc của đồ thị là tổng bậc của các đỉnh

Định lí 1 (Quan hệ giữa bậc và cạnh)

Cho đồ thị G = (V , E) Khi đó, bậc của đồ thị

G gấp 2 lần số cạnh của đồ thị

Hệ quả 1 (Tính chẵn của số đỉnh bậc chẵn)

Với mọi đồ thị, số các đỉnh bậc lẻ là số chẵn

✯hungb1906052@student.ctu.edu.vn

2 Một số dạng đồ thị

Định nghĩa 1 (Đơn đồ thị) Đồ thị không có cạnh bội và không có khuyên

Định nghĩa 2 (Đa đồ thị) Đồ thị tồn tại ít nhất một cạnh bội và không có khuyên

Định nghĩa 3 (Giả đồ thị) Đa đồ thị có khuyên

Định nghĩa 4 (Đồ thị đầy đủ) Đồ thị có mọi cặp đỉnh đều kề nhau Ký hiệu Kn

Định nghĩa 5 (Đồ thị k đầy đủ) Đồ thị có mỗi cặp đỉnh khác nhau có đúng k cạnh

Định nghĩa 6 (Đồ thị lưỡng phân) Đồ thị

G = (V1 ∪ V2, E), với V1, V2 là hai tập khác rỗng rời nhau, có mỗi cạnh là một đỉnh của V1 tương ứng với một đỉnh của V2

Định nghĩa 7 (Đồ thị lưỡng phân đầy đủ)

Đồ thị G = (V1∪ V2, E), với V1, V2 là hai tập khác rỗng rời nhau, có mỗi đỉnh của V1 đều liền

kề với một đỉnh của V2

đồ thị kết hợp nhau thành một đồ thị đầy đủ Định nghĩa 9 (Đồ thị con) Bỏ đi một số đỉnh cùng với các cạnh nối với các đỉnh đó

1

3 Sự đẳng cấu của đồ thị

Định nghĩa 10 (Đẳng cấu của hai đồ thị)

Hai đồ thị G1 = (V1, E) và G2 = (V2, E) đẳng

cấu nếu tồn tại song ánh f : V1 → V2 sao cho

nếu x , y liền kề trong V1 thì f(x) , f(y) liền kề

trong V2, ∀x , y ∈ V1

Định lí 2 (Bậc của ảnh) Nếu f là đẳng cấu

từ G1 vào G2 thì deg(x) = deg(f(x)) , ∀x ∈ V1

Chú ý Nếu G1 và G2 đẳng cấu thì

❼ Số đỉnh bằng nhau

❼ Số cạnh bằng nhau

❼ Số bậc hai đỉnh tương ứng bằng nhau

4 Đồ thị phẳng

Định nghĩa 11 (Đồ thị phẳng) Ta có thể

vẽ lại trên một mặt phẳng không có cạnh cắt

nhau

Định lí 3 (Công thức Euler) Cho G là đồ

thị phẳng liên thông với v đỉnh, e cạnh, r miền

Khi đó

v − e+ f = 2

Hệ quả 2 Đồ thị lưỡng phân đầy đủ K3,3 không

phải là đồ thị phẳng

Đồ thị đầy đủ K5 không phải là đồ thị phẳng

5 Tô màu đồ thị

Định nghĩa 12 (Sắc số) Màu tối thiểu để tô

màu các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau phải có

màu khác nhau

Định lí 4 Một chu trình độ dài lẻ thì s(G) = 3

Một chu trình độ dài chẵn thì s(G) = 2

G là đồ thị đầy đủ thì s(G) bằng số đỉnh của G

G là đồ thị phẳng thì s(G) ≤ 4

6 Chu trình EULER và HAMILTON

Định nghĩa 13 (Chu trình EULER) Chu trình đơn đi qua tất cả các cạnh của đồ thị Định nghĩa 14 (Đường đi EULER)

Đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị và mỗi cạnh đi qua đúng một lần

Định nghĩa 15 (Chu trình HAMILTON) Chu trình sơ cấp đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị

Định nghĩa 16 (Đường đi HAMILTON) Đường đi sơ cấp đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị

7 Nguyên lý DIRICHLET

Định lí 5 (Nguyên lý lồng chim bồ câu) Nếu có nhiều hơn n đối tượng cần xếp vào n cái hộp thì có ít nhất một hộp chứa nhiều hơn một đối tượng

2