Cac chuyen de nang cao dai so lop 9

Chứng minh D là nghiệm của phương trình 2 Vậy bài toán được chứng minh... Không giải phương trình hãy tính L ời giải Vì a là nghiệm của phương trình... RÚT G ỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁ

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO LỚP 9 (Li ệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038

Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2022

Website: tailieumontoan.com

ệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC

H ệ thống bài tập sử dụng trong chuyên đề

Tỉnh, huyện, thành phố Năm học Tỉnh, huyện, thành phố Năm học

Chuyên Bắc Ninh 2014; 2017 Chuyên Bắc Ninh 2014; 2017

Chuyên Bắc Giang 2018 Chuyên Bắc Giang 2018

Chuyên Bến Tre vòng 2 2019 Chuyên Bến Tre vòng 2 2019

Chuyên Bình Dương 2018 Chuyên Bình Dương 2018

Chuyên Cao Bằng vòng 2 2019 Chuyên Cao Bằng vòng 2 2019

Chuyên Gia Lai vòng 2 2019 Chuyên Gia Lai vòng 2 2019

Chuyên KonTum vòng 2 2019 Chuyên KonTum vòng 2 2019

Chuyên Quảng Ninh 2017; 2019 Chuyên Quảng Ninh 2017; 2019

Chuyên Hưng Yên 2017, 2018 Chuyên Hưng Yên 2017, 2018

chuyên Toán Ninh Bình 2017; 2019 Chuyên Ninh Bình, chuyên

Toán Ninh Bình

2017; 2019

Chuyên Thừa Thiên Huế 2017 Chuyên Thừa Thiên Huế 2017

Chuyên Toán Hà Nam 2019 Chuyên Toán Hà Nam 2019

Chuyên Lê Hồng Phong

Nam Định

2015, 2017, 2018 Chuyên Lê Hồng Phong Nam

Định

2015, 2017, 2018

Chuyên Toán Nam Định 2019 Chuyên Toán Nam Định 2019

Chuyên Thái Bình 2017; 2018; 2019 Chuyên Thái Bình 2017; 2018; 2019

Chuyên Tin Thái Nguyên 2019 Chuyên Tin Thái Nguyên 2019

Chuyên Lâm Đồng vòng 2 2019 – Chuyên Lâm Đồng vòng 2 2019

Chuyên Lâm Đồng vòng 2 2019 Chuyên Lâm Đồng vòng 2 201

Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015, 2016, 2017,

2018

Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015, 2016,

2017, 2018

Chuyên Toán Bến Tre 2018 Chuyên Toán Bến Tre 201

Chuyên Hưng Yên 2018; 2019 Chuyên Hưng Yên 2018; 2019

Chuyên Nam Định 2018 – 2019 Chuyên Nam Định 2018

Chuyên An Giang 2018 – 2019 Chuyên An Giang 2018

Chuyên Phú Yên vòng 2 2019 – 2020 Chuyên Phú Yên vòng 2 2019

Chuyên Quảng Ngãi 2019 – 2020 Chuyên Quảng Ngãi 2019

Chuyên Quảng Trị 2018 - 2019 Chuyên Quảng Trị 2018

Website: tailieumontoan.com

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

Chuyên Sơn La vòng 2 2019 - 2020 Chuyên Sơn La vòng 2 2019

Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010, 2014, 2017 Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010, 2014, 2017

Học sinh giỏi TP Bắc Giang 2016 Học sinh giỏi TP Bắc Giang 2016

Học sinh giỏi Hòa Bình 2010 Học sinh giỏi Hòa Bình 2010

Học sinh giỏi Tỉnh Điện

Biên

2018 Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên 2018

Học sinh giỏi Tỉnh Lạng

Sơn

2019; Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn 2019;

Học sinh giỏi Long An 2012 Học sinh giỏi Long An 2012

Học sinh giỏi Tỉnh Quảng

Bình

2018 Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình 2018

Học sinh giỏi Tỉnh Bình

Phước

2018 Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước 2018

Học sinh giỏi Tỉnh Lai

Châu

2018 Học sinh giỏi Tỉnh Lai Châu 2018

Học sinh giỏi Tỉnh Thái

Bình

2018 Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình 2018

Học sinh giỏi Tỉnh Thanh

Hóa

2013; 2016; 2017 Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa 2013

2016 2017

Học sinh giỏi Phú Thọ 2012 - 2013 Học sinh giỏi Phú Thọ 2012

Học sinh giỏi Hải Dương Học sinh giỏi Hải Dương

Học sinh giỏi Nam Định Học sinh giỏi Nam Định

Học sinh giỏi Tỉnh Sóc Trăng 2020

Học sinh giỏi Huyện Đan

2019 Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn 2019

Học sinh giỏi Huyện

2017 Học sinh giỏi Huyện Ba Đình 2017

Học sinh giỏi Huyện Bắc

2019 Học sinh giỏi Huyện Đức Cơ 2019

Học sinh giỏi Huyện Như

Học sinh giỏi Huyện Ba Vì 2019 Học sinh giỏi Huyện Ba Vì 2019

Học sinh giỏi Huyện Ba

Thước

2019 Học sinh giỏi Huyện Ba Thước 202019

Học sinh giỏi Huyện Đan

2019 Học sinh giỏi Huyện Mỹ Đức 2019

Học sinh giỏi Huyện Cầu

Giấy

2019 Học sinh giỏi Huyện Cầu Giấy 2019

Học sinh giỏi Huyện Quan

Sơn

2019 Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn 2019

Học sinh giỏi Huyện Cẩm

Thủy Thanh Hóa

2019 Học sinh giỏi Huyện Cẩm

Thủy Thanh Hóa

Website: tailieumontoan.com

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

A BÀI TOÁN V Ề CĂN THỨC Bài 1: Chuyên Bình Định vòng 2, năm học 2019 – 2020

Website: tailieumontoan.com

ệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

Tính giá trị của biểu thức

Bài 5: Chuyên KonTum vòng 2, năm học 2019 – 2020

Tính giá trị của biểu thức 3 5 3( 5)

Bài 15: Tuyển Sinh chuyên Bình Dương, năm học 2018 – 2019

Website: tailieumontoan.com

ệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

Tính giá trị của biểu thức 4 3 4 3

27

Website: tailieumontoan.com

ệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

C: TÍNH GIÁ TR Ị BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

*) Nh ận xét: Ta có bài toán tương tự sau

Cho 2 số m, n sao cho (m n m n+ )( − =) 1

Website: tailieumontoan.com

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

Bài 7: H ọc sinh giỏi huyện Thiệu Phong, năm học 2019- 2020

Cho biểu thức D= 4− 10 2 5− − 4+ 10 2 5− + 2( 2+ 3+ 14 5 3− ) Chứng minh D là nghiệm của phương trình 2

Vậy bài toán được chứng minh

Bài 8: Chuyên Bình Định, năm học 2019 - 2020

Website: tailieumontoan.com

ệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

Bài 9: Chuyên B ạc Liêu, năm học 2019 - 2020

Bài 10: Chuyên B ến Tre vòng 2, năm học 2019 - 2020

Tính gía trị của biểu thức

Bài 11: Chuyên Lâm Đồng vòng 2, năm học 2019 - 2020

Tính giá trị của biểu thức T =(2 3 1 3 2 1+ )( − ) 13 4 3 19 6 2− +

Bài 12: Chuyên Toán Nam Định, năm học 2019 - 2020

Cho x= 3+ 5 2 3+ + 3− 5 2 3 + Tính giá trị của biểu thức P=x(2−x)

Gọi a là nghiệm dương của phương trình 2

2x + − =x 1 0 Không giải phương trình hãy tính

L ời giải

Vì a là nghiệm của phương trình

Bài 7: HSG Huyện Thanh Oai

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1 1 1 1 1 1

Website: tailieumontoan.com

ệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

c) Tính chất: Nếu a là số nguyên dương không chính phương, A B, hữu tỉ và A a+ =b 0 thì

Theo chứng minh trên, n∈N*, n không là chính phương ⇒ n∈I

Giả thiết: n là nghiệm của phương trình 3 2

Bài 8: Đại học Sư Phạm - Hà Nội, năm học 2017

Giả sử x y, là hai số thực phận biệt thỏa mãn điều kiện 21 21 2

2 2 2

2

:1

x x

x

x x

++

x

=+ , với t>0 ta có:

b) Tính giá trị của P khi x=4

c) Tìm các giá trị của x để P là số tự nhiên

L ời giải

a) Ta có:

=+b) Chứng minh rằng nếu x≥0;x≠1 thì 3

Website: tailieumontoan.com

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

Bài 15: Chuyên Nam Định, năm học 2018 - 2019

Bài 16: Chuyên Thái Bình, năm học 2017 - 2018

Bài 17: Chuyên B ắc Ninh vòng 2, năm học 2019 - 2020

Tính giá trị của biểu thức 4 3 2

Website: tailieumontoan.com

ệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038

Cho hai biểu thức 7

8

=+

A

93

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 25

vô nghiệm

Vậy 1 < <x 4 và x≠ 3 thì A>1

B RÚT G ỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

D ẠNG 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN Cách gi ải: Cần lưu ý một số kiến thức sau

- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu bài toán chưa cho) trước khi rút gọn

- Kiểm tra xem giá trị của biến có phù hợp với ĐKXĐ hay không trước khi thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn

- Đôi khi có thể tính x hoặc x trước khi thay vào biểu thức rút gọn

- Kết quả cuối cùng của biểu thức rút gọn phải có mẫu dương và đã được khử mẫu hoặc trục căn

a) Tìm điều kiện của a, b để M xác định và rút gọn M

b) Tính giá trị của M khi a= +1 3 2 và 10 11 8

0

a

a b

Bài 5: Học sinh giỏi huyện Hằng Hóa, năm 2019 - 2020

Thay x=4 vào biểu thức thu gọn ta được P=3

Bài 6: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn và Thanh Xuân, năm 2019 - 2020

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x=( 2+ 3− 2− 3)( 3+ 5− 3− 5)

Thay x=2 vào biểu thức A ta được A= 2

Bài 8: Học sinh giỏi Bắc Từ Liêm, năm 2017 - 2018

x y A

++

x x

⇒ + = ⇔ + = ⇔ = (thỏa mãn điều kiện)

Thay xy=8 vào P ta được 2

a) Điều kiện x≥0;y≥0;xy≠1.

2: 1

3

Bài 19: HSG Hà Đông, năm học 2018 - 2019 Cho biểu thức ( 1) (22 2) ( 22 1) ( 2)( 2) 2

1 nguyên tố khi P là số nguyên

Vì a∈Znên P nguyên khi a 1− thuộc ước của 2

2 2

Ta có 2 1 2 1

2

x A

D ẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

x x

Thay x=4 vào A ta được: 2 2

D ẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A Ki ến thức cần nhớ

1 Xét bài toán: Cho biểu thức P x( )

a) Rút gọn P x( )

b) Tìm giá trị của x sao cho P x( )> (m là hằng số) hoặc m P x( )>Q x( )

2 Giải bài toán

a) Rút gọn

- Đặt điều kiện để P x( ) có nghĩa

- Thực hiện rút gọn P x ( )

b) Tìm x: Giải bất phương phương trình

- Kiểm tra điều kiện và kết luận

Bài 4: Học sinh giỏi huyện Thường Tín, năm học 2019 - 2020

 − <  <



− < ⇔ − − < ⇔ − > ⇔ >

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn bài toán

Bài 7: Chuyên Cao Bằng vòng 2, năm học 2019 - 2020

Bài 8: Chuyên Toán Ninh Bình, năm học 2019 - 2020

Với x>0, xét hai biểu thức A 2 x

x x



0

M

b) Tính giá trị của P với 4 3 2 2 4 3 2 2

P=

c) Ta có

x x

Dấu “=” xảy ra ⇔ x− = ⇔3 0 x = ⇔ =3 x 9(tmđk) Vậy để 1 1 1

8

x P

a) Tìm điều kiện xác định của A

b) Tính giá trị của A khi +

BÀI 4: RÚT G ỌN VÀ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂU THỨC Phương pháp:

+ Đối với các biểu thức P A B

C

= + với A B, là số nguyên, C nhận giá trị nguyên hoặc vô tỷ thì P

nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi C là số nguyên và C là ước của số B

+ Đối với các biểu thức P A B

B

x x

Vậy không có giá trị nào của x để P nguyên

Bài 3: H ọc sinh giỏi Tỉnh Điện Biên, năm học 2018 - 2019

x P

Vậy có 2017 giá trị ngyên của x thỏa mãn bài toán

Bài 6: Chuyên Toán Cần Thơ, năm học 2018 - 2019

- Nếu x>2 thì 2

1

A x

Thay vào P ta có các cặp giá trị ( ) ( )4; 0 ; 2; 2 thỏa mãn

Bài 8: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ, năm học 2019 - 2020Cho biểu thức 1 1

4

x A

Thay vào biểu thức 6: 6 1

Bài 10: HSG Tỉnh Bắc Giang, năm học 2020 - 2021

x A x

Kết hợp với điều kiện x≥0, x≠1 thì x∈{0; 4;9} thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 11: HSG Tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021Cho biểu thức 5 1 2 1 2 1

=+

A

+ −+

x x

=

−

x x x

x B

=+

x x

33

x là số nguyên⇔3 : ( x+1)

⇔( x+ ∈1) Ö(3) { 1; 3}= ± ±

mà x+ ≥1 1 với x≥0

{ }

Bài 14: HSG Quận Tây Hồ, năm học 2020 - 2021

x

−

= −

− +b) Tìm các số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên

Bài 16: HSG Huyện Mỹ Đức, năm học 2020 - 2021

−

=+ Tìm x để M =P B có giá trị nguyên

= nhận giá trị nguyên

L ời giải

a) Với 0< ≠x 1 ta có:

x x

D ẠNG 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN

A Ki ến thức cần nhớ

1 Xét bài toán: Cho biểu thức P x( )

a) Rút gọn P x( )

b) Tìm GTNN, GTLN của P hoặc một biểu thức có liên quan đến P

Ví dụ: Tìm Min (max) của (x−1 ) ( )P x

2 Giải bài toán

- Tìm Tập xác định

- Rút gọn P

- Chỉ ra được số m sao cho P x( )≤m (hoặc P x( )≥m)

Chi ra x0 sao cho P x( )0 =m

Bài 2: Chuyên Hưng Yên, năm 2017

Dấu “=” xảy ra ⇔ x− = ⇔2 0 x = ⇔ =2 x 4 (thỏa mãn)

Bài 3: H ọc sinh giỏi huyện Cầu Giấy, năm học 2019 - 2020

Vậy với x=0 thì P có giá trị nhỏ nhất bằng 0

Bài 4: H ọc sinh giỏi huyện Quan Sơn, năm học 2019 - 2020

a) Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P>1

b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

P

− ++

=

+

x P x

Vậy A min =4 khi x=4

Bài 8: Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình, 23/03/2019 Cho biểu thức

A= ⇔ =x Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x=1

Bài 9: Đại học Ngoaị Ngữ hà nội, năm học 2010 Cho biểu thức P x 1 : 2 1

b) Với giá trị nào của x thì (Q−4P) đạt GTNN

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức 2

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 21 khi x=5

Bài 12: Chuyên Toán Hà Nam, năm học 2019-2020

x A

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8, đạt được khi x=16

Bài 13: Chuyên Phú Yên, năm học 2019-2020

x= (thỏa mãn điều kiện)

Bài 15: Chuyên Qu ảng Ninh, năm học 2019-2020

Vậy P min =1 tại x= =y 4

Bài 17: H ọc sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2013 - 2014

5

14

x

x

x x

Vậy MinA= 2 tại x= =y 2

Bài 21: HSG Huyện Chương Mỹ, năm 2020 - 2021

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để 1

−

=+

2) Tính giá trị của biểu thức P khi x= 21 3 48+ − 21 3 48−

Ta có: 2 ( 4 ) ( 3) ( 2 ) ( 4)

.3

x Q

Dấu “=” xảy ra khi x=8 (tmđk)

Vậy GTNN của: Q=4 2−6 khi x=8

Bài 22: HSG Huyện Ứng Hòa, năm 2020 - 2021

Suy ra maxQ= −(2 2+2) dấu "=" xảy ra khi x 2 x 2

b) Tìm các giá trị của x sao cho A<2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B biết rằng

x , ta được

+ Nếu b= ⇒0 ( )1 có vô số nghiệm

+ N ếu b≠ ⇒0 ( )1 vô nghi ệm

x x a

- N ếu m= −3, phương trình (1) trở thành 0x+ =4 0 (vô lý) ⇒ phương trình vô nghiệm

- Nếu m≠1,m≠ − ⇒3 phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( 11)( 3) 13

m x

− ≤ − = 

b) Gi ả sử phương trình (1) có 2 nghiệm x x1, 2 Ch ứng minh rằng 1 2 1 2

98

⇒ là s ố nguyên, S2 là s ố nguyên ⇒S10 là s ố nguyên

Bài 6: Chuyên Lê H ồng Phong TP HCM, năm học 2003

Chứng minh rằng nếu a b+ ≥2 thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

T ừ (1) và (2) ta thấy mâu thuẫn, nên điều giả sử là sai

V ậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm

Bài 7: NK Tr ần Đại Nghĩa TP HCM, năm học 2001

= là nghiệm của phương trình đã

cho Thay 3

2

c x

x=b y= a c z= c a ta có điều phải chứng minh

Bài 8: NK Tr ần Đại Nghĩa TP HCM, năm học 2001

Theo địn lí Viét ta có: 1 2

c

x x a

  mâu thuẫn với giả thiết a≠0

Bài 10: ĐHKHTN HN, năm học 2015

Giả sử a b, là hai số thực phân biệt thỏa mãn 2 2

a + a=b + b= a) Chứng minh rằng a b+ = −3

a) Phân tích đa thức thành nhân tử

- Nh ẩm nghiệm: Đa thức P x( ) có ngi ệm x=a thì P x( ) ( x a− )

= là nghiệm hữu tỉ của phương trình (*) thì m là ước của d và n là ước của a Đặc biệt khi a=1 thì phương trình (*) có nghiệm hữu tỉ thì nghi ệm đó là nguyên và là ước của d

- Nếu a+ + + =b c d 0 thì phương trình (*) có một nghiệm là x=1

- Nếu a b− + − =c d 0 thì phương trình (*) có một nghiệm là x= −1

b) Ta có: a= =d 6 nên ta nhẩm các nghiệm có dạng m

x n

= với m n, là ước của 6

Vậy tập nghiệm của phương trình S ={ 2;− 2± 3}

Bài 4: Giải các phương trình sau a) 3 2

a) Phân tích đa thức thành nhân tử

b) Tìm m để đa thức P x( ) có 3 nghiệm phân biệt sao cho có một nghiệm là trung bình cộng của hai nghiệm còn lại

b) V ới giá trị a, b vuwà tìm được Gọi x x x1, 2, 3 là 3 nghi ệm của phương trình (1) và đặt

n n n

T ừ đó ⇒ = − ⇒ = −b 2 c 2a thay vào phương trình

V ậy nghiệm còn lại của phương trình là x= − 2;x= −a

Bài 3: NH ẢM NGHIỆM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

x

p a q

*) Nh ận xét 2: Sử dụng lược đồ hoocne để chia đa thức

- T ổng các hệ số bằng 0 nên phương trình có nghiệm x=1

- T ổng các hệ số của x mũ chẵn bằng tổng hệ số x mũ lẻ thì phương trình có nghiệm

V ậy phương trình có tập nghiệm S = −{ 1; 2}

Bài 3: Gi ải phương trình sau

Vậy phương trình có hai nghiệm x=1;x= −2

Bài 4: Giải phương trình sau

Bài 5: Giải phương trình sau

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2

Bài 7: Giải phương trình sau

Ví d ụ: Tìm m ối liên hệ giữa a và b, bi ết 2 2

Giải 2 trường hợp và đối chiếu điều kiện ta tìm được nghiệm của phương trình

Bài 2: Giải phương trình sau

Bài 1: Giải phương trình sau

23

- Nếu ∆ < ⇒0 phương trình (**) vô nghiệm ⇒ phương trình (*) vô nghiệm

- Nếu ∆ = ⇒0 phương trình (**) có nghiệm kép 1 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x x x x1, 2, 3, 4 thỏa mãn

Dễ thấy phương trình đã cho luôn có nghiệm x= ±1

b) V ới m>0;m≠1thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt:

1 1; 2 1; 3 ; 4

x = x = − x = m x = − m

Bài 5: Chuyên Hà Nam, năm học 2012 Cho phương trình 4 ( 2 ) 2 4

x − m + x +m + = (với m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 4 nghiệm phân biệt với mọi m

Thay vào biểu thức Q ta được giá trị của m cần tìm

Bài 6: Chuyên Vũng Tàu, năm học 2018