Đề thi HSG Toán 8 THCS Nguyễn Trường Tộ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1PHÒNG GD&ĐT QUẬN ĐỐNG ĐA
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 – 2023 Ngày thi: 28/12/2022 Môn: Toán 8 - Thời gian: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (5,0 điểm)
Cho biểu thức
2
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức 2 2
2x +y +2xy = 2(8x +5y −17) c) Với x, y thỏa mãn thêm điều kiện x2 +y2 ≤2 x2 y2 Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Chứng minh nếu x+y+z =0 thì x3+y3+z3 =3xyz
b) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn (a −b)3 +(b −c)3 +(c −a)3 = 360 Tính giá trị của biểu thức A= a −b + b −c + c −a
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên n để n +14 và n −113 là các số chính phương
2) Cho đa thức P x( )=x2 +ax + , trong đó a, b các số nguyên Biết rằng các đa thức b
A x = x + x + và B( )x =2x4−x3 +4x2 +x+12 đều chia hết cho P x Tính ( ) P(2)
Bài 4 (7,0 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF
a) Chứng minh AE ⊥ BC
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng
c) Gọi P là giao điểm của DF và MC Chứng minh 1 1 2
MC +ME = MP
d) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn
thẳng AB
Bài 5 (1,0 điểm) Trên bàn có 29 viên bi Hai bạn A và B chơi trò chơi nhặt bi luân phiên Lần
lượt mỗi người nhặt một lần, mỗi lần phải nhặt không quá 4 viên và ít nhất 1 viên Ai là người nhặt phải viên bi cuối cùng sẽ là người thua cuộc, người còn lại là người thắng cuộc Cho A là người nhặt bi trước Hãy chỉ ra chiến thuật để bạn A là người thắng cuộc
-Hết - Lưu ý:
- Thí sinh không sử dụng máy tính và tài liệu
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./
Trang 2ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác mà quá trình và lời giải đúng, vẫn cho điểm tối đa Trường hợp học sinh làm cách khác mà không ra kết quả cuối cùng, giáo viên căn cứ lời giải của học sinh để cho điểm theo các bước trong lời giải của học sinh./
Bài 1
(5,0đ)
a
2
.
P
x y x xy y x y
= +
−
xy
+
b
2 2
2x +y +2xy = 2(8x +5y −17)
0,50
3 2
x y
=
=
3 2 5
3 2 6
x y P
xy
c
Từ 2 2 2 2 12 12
x y
Ta có: 1 1 12 1 ; 1 1 12 1
0,50
Khi x =y =1 (tmđk), P =2 Vậy GTLN của P bằng 2 0,50
Bài 2
(4,0đ) a Chứng minh nếu x+y+z =0 thì
3
Trang 3Từ x+y+z =0 = − +z (x y).
x +y +z =x +y − x+y = − xy x+y
0,50
b
Tính giá trị của biểu thức A = a −b + b −c + c −a 2,00
Đặt a −b = x b; −c =y c; −a = z x +y +z = 0
Theo câu a), ta có: x3+y3+z3 =3xyz
0,50
Ta có: x3 +y3 +z3 = 360 ⇔xyz = 120. 0,50
Do x y z , , là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz =120 = −( 3).( 5).8−
Bài 3
(4,0đ)
Tìm số tự nhiên n để n +14 và n −113 là các số chính phương 2,00
Đặt n +14 =a2, n −113 =b2, ( ,a b ∈ℕ,a >b)
Suy ra: a2 −b2 =127 hay (a −b a)( +b)=127
0,50
Do a b, ∈ℕ, 0 <a −b <a +b nên 1
127
− =
+ =
a b
64, 63
Đặt C x( ) =B x( ) 2− A( )x = −x3 +x−6 Khi đó, C(x) chia hết cho P(x)
0,50
Đặt D x( )= A x( )+x C x ( ) 3= x2 −6x +9 = 3(x2 −2x +3) Khi đó, D(x) chia hết cho P(x)
0,50
Vậy 3(x2 −2x +3)chia hết cho P x( )=x2 +ax +b 0,50
Trang 4Từ đó, tìm được P x( )=x2 −2x+3.
(2) 3
P
Bài 4
(7,0đ)
a
Chứng minh ∆AME = ∆CMB 1,00 Suy ra C1 = A1 0,50
Mà C1 +B1 =900
0,50
Do đó: AHB = 900 hay AE ⊥ BC
0,50
b
Gọi O là giao điểm AC và BD
Xét AHC∆ vuông tại C,có:
OC =OH =OA
0,50
Từ đó: OD =OM =OH
Do đó DHM∆ vuông tại H
Suy ra DHM = 90 0
0,50
Từ đó DHM+FHM =1800 hay D, H, F thẳng hàng 0,50
c
MP là phân giác của góc vuông DMF Dựng hình vuông PIJM với
I thuộc DM và J thuộc MF
Khi đó:
DM = MC MF = ME
2
PI =PJ = MP (1)
0,5
1 1
1
H F E
1 1
1
F E
J I
P
F E
Trang 51 1 1
S∆ = S∆ +S∆ DM MF = PI DM + PJ MF
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
0,50
2MC ME = MP MC +MP ME hay 1 1 2
d
Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định 1,00
Gọi K là giao điểm của DF và AC.Gọi Q là hình chiếu của K trên AB
AC // MF (cùng vuông góc với MD) mà O là trung điểm MD nên K là trung điểm DF
Do đó KQ là đường trung bình của hình thang ABFD
0,50
QK= AD BF = AM BM = AB
Do A, B cố định nên Q cố định, mà QK không đổi nên K cố định
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định K khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,50
Bài 5
(1,0đ)
Hãy chỉ ra chiến thuật để bạn A là người thắng cuộc 1,00
Chiến thuật chơi như sau: A là người nhặt trước 3 viên Khi đó số viên còn lại là 26 Nếu B là người chọn k viên (1≤k ≤4), thì An chọn 5 – k viên Vì 1≤k≤4 ≤ − ≤1 5 k 4 nên số cách chọn của An là hợp lệ
0,50
Với mỗi cách chọn như vậy, ta gọi là một vòng Sau mỗi vòng có 5 viên
bi được lấy ra Sau 5 vòng, chỉ còn 1 viên và đến lượt B chọn Vậy B là người thua vì phải chọn viên cuối cùng
0,50
Q
K
P
F E