Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a) M = ( )3
a b c
a b c
+ + + + với a, b, c là các số thực thỏa mản
0
a b c abc
a b c
+ +
b) N = 1 a 1 b 1 c
+ + +
với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mản
3 3 3 3 3 3 2 2 2
3
a b +b c +c a = a b c
Giải
a) 3 3 3
( ) (1 )2 1( )2 1( )2
0
a b c a b b c c a
( )2 ( )2 ( )2
0
2 a b 2 b c 2 c a
Nên a= =b c
9 3
Vậy M = 9
b) 3 3 3 3 3 3 2 2 2
3
a b +b c +c a = a b c
( ) ( ) ( )3 3 3
( ) (1 )2 1( )2 1( )2
0
ab bc ca ab bc bc ca ca ab
0
0
ab bc ac
ab bc bc ca ca ab
0
ab bc ca
ab bc ca
+) Nếu ab bc ca+ + =0
Ta có
0
a b c ab bc ca a b b c c a abc
a b b c c a abc
a b b c c a abc
Khi dó N = 1 a 1 b 1 c
+ + +
1
a b b c c a abc
Trang 2+ Nếu ( ) 0 0
ab ca a b c b c
ab bc ca
bc ca c b a b a
khác 0) = =a b c
Khi đó N = 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a (1 1 1 1 1 1)( )( ) 8
+ + + = + + + = + + + =
x y+ y z+z x =
+ + + Tính giá trị biểu thức:
( )2 ( ( )( )2 ) ( ( )( )2 )
y z z x x y z x y x y z
P
Giải
Đặt a 1 ,b 1 ,c 1 a b c 0
x y y z z x
P
bc ac ab abc
+ +
Lại có 3 3 3
3
0
a b c a b b c c a
0
a b c+ + = ) 3 3 3
3
a + +b c = abc
Khi đó P a3 b3 c3 3abc 3
abc abc
+ +
Bài 3: Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn a b c+ + =(a b b c c a− )( − )( − ) Chứng minh rằng ( ) (3 ) (3 )3
a b− + −b c + −c a chia hết cho 81
Giải
( )( )( ) (1)
a b c+ + = a b b c c a− − −
Khi chia 3 số a b c, , thỏa mãn hệ thức (1) cho 3 ta có thể xảy ra các trường họp :
Cả 3 không cùng số dư hoặc trong 3 số có 2 số cùng dư hoặc cả 3 sô cùng dư
- Xét trường hợp cả 3 không cùng dư:
Giả sử
3 ; 3 1; 3 2 ; ;
a= k b= k + c= k + k k k Z
Khi đó a b c+ + =3(k1+ +k2 k3)+3 3
(a b− ) (=3 k1−k2)−1 ;(b c− =) (3 k2−k3)−1 ;(c a− ) (=3 k3−k1)+2
suy ra (a b− ) (; b c− ) (; c a− ) đều không chia hết cho 3
nên (a b− ) ( b c− ) ( c a− ) không chia hết cho 3
do đó a b c+ + (a b− ) ( b c− ) ( c a− ) (mâu thuẩn với giả thiết bài cho)
- Xét trường hợp chỉ có 2 số trong 3 số a b c, , cùng dư:
Trang 3Giả sử hai số đó là a và b : khi đó
a= k +m b= k +m c= k +n k k k Z m n mn
Ta có a b c+ + =3(k1+k2)+2m n+
Nếu m= 0 n 1; 2 2m n+ 1; 2 nên 2m n+ không chia hết cho 3 Nếu m= 1 n 0; 2 2m n+ 2; 4 nên 2m n+ không chia hết cho 3 Nếu m= 2 n 0;1 2m n+ 4;5 nên 2m n+ không chia hết cho 3 Suy ra a b c+ + không chia hết cho 3
(a b− ) (=3 k1−k2) 3 nên (a b− ) ( b c− ) ( c a− ) 3
do đó a b c+ + (a b− ) ( b c− ) ( c a− ) (mâu thuẩn với giả thiết bài cho)
Vì vậy với 3 số a b c, , thỏa mãn hệ thức (1) chỉ xảy ra khi cả 3 đều cùng số dư Giả sử a=3k1+m b; =3k2+m b; =3k2+n k k k( 1; 2; 3Z m, 0;1; 2 )
Khi đó (a b− ) (=3 k1−k2) 3
2 3
3 1
b c k k
c a k k
(a b− ) ( b c− ) ( c a− ) 27 a b c+ + =(a b− ) ( b c− ) ( c a− ) 27
Lại có ( ) (3 ) (3 ) (3 )3 ( )( )( )
3
a b b c− + − + −c a = a b− + −b c + −c a + a b b c− − c−a
Hay ( ) (3 ) (3 )3 ( )( )( )
a b− + −b c + −c a = − a b b c− − c−a
a b− + −b c + −c a chia hết cho 81.
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau :
a)
4
x y
− =
b) 2 2 2
0 6 6
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
Giải
a)
27 27 27 (1)
4 (2)
x y
− =
(3 ) 3 3 .3 3 0
x y
x y
+ + =
= =
Trang 4+) Nếu x+ 3y+ = 3 0
9
4
x
x y
x y
y
=
+ + =
+) Nếu x= 3y= = 3 x 3;y= 1 ( không thỏa mản phương trình (2) )
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) 9 7
4 4
x y −
b) 2 2 2
0 (1)
6 (2)
6 (3)
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
Ta có 3 3 3
3
x +y + −z xyz ( ) (1 )2 1( )2 1( )2
0
x y z x y y z z x
0
x+ + =y z )
2 3
x y z xyz + +
Do z = 0 không phải là nghiệm của phương trình (4) suy ra z 0
Nên xy 2
z
=
Ta có hệ pt
( )2
0 (1)
+ = −
x y z
+ = −
Phương trình (5) tương đương 3 3 2 2
2z − 6z+ = 4 0 2z − 4z + 4z − 8z+ 2z− = 4 0
2 ( 2) 4 ( 2) 2( 2) 0 2( 2)( 1) 0
1
z
z
=
Nếu
( )2
z
z
+ = −
1
1 1
.(1 ) 2
x y
z
x x
z
+ =
− = −
Giải phương trình (6) ta được x = -1 ; x=2
Với x = −1 suy ra y =2
Với x =2 suy ra y = −1
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2; 1; 1 ;− − ) (−1; 2; 1 ;− ) (− −1; 1; 2)