Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học giải bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu + Mục đích nghiên cứu là: thiết kế một số dạng bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bằng dạy học khám phá có hướng dẫn nhằm phát huy t

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS TỪ ĐỨC THẢO

NGHỆ AN - 2017

Trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn, giúp đỡ của nhiều tập thể, cá nhân trong và ngoài trường Đại học Vinh

Tôi bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau đại học trường Đại học Vinh; cùng tất cả quý thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành các chuyên đề thạc sỹ khóa 23, ngành Toán của trường Đại học Vinh

Tôi xin chân thành cảm ơn các học viên cao học Toán khóa 23 đã giúp

đỡ, chia sẽ, động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT Kỳ Lâm, tỉnh Hà Tĩnh - nơi tôi đang công tác giảng dạy

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Từ Đức Thảo, đã trực

tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện và khích lệ tôi hoàn thành tốt luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được sự đóng góp của thầy cô giáo và bạn đọc

Tác giả

Trần Anh Dũng

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Dạy học khám phá 5

1.1.1 Một số quan điểm về dạy học khám phá 5

1.1.2 Đặc điểm của dạy học khám phá 7

1.1.3 Các hình thức của dạy học khám phá 10

1.1.4 Các mức độ của dạy học khám phá 11

1.2 Dạy học khám phá có hướng dẫn 11

1.2.1 Thế nào là dạy học khám phá có hướng dẫn 11

1.2.2 Đặc trưng của dạy học khám khá có hướng dẫn 12

1.2.3 Ưu điểm và hạn chế của dạy học khám phá có hướng dẫn 12

1.3 Dạy học giải bài tập bằng dạy học khám phá 14

1.3.1 Dạy học thuật toán bằng dạy học khám phá 14

1.3.2 Dạy học giải bài tập bằng dạy học khám phá 18

Tiểu kết chương 1 21

CHƯƠNG 2 TRÌNH BÀY MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BẰNG DẠY HỌC KHÁM PHÁ CÓ HƯỚNG DẪN 22

2.1 Trình bày một số dạng bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bằng phương pháp khám phá có hướng dẫn 22

2.1.1 Dạng 1: Khám phá một số dạng bài tập dựa vào một số tính chất đặc biệt của Tứ giác, giải bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 22

2.1.2 Dạng 2: Khám phá một số dạng bài tập dựa vào một số tính chất đặc biệt của Tam giác, giải bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 60

Tiểu kết chương 2 93

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 94

3.1 Mục đích thực nghiệm 94

3.2 Phương pháp thực nghiệm 94

3.3 Nội dung thực nghiệm 94

3.3.1 Công tác chuẩn bị 94

3.3.2 Chọn nội dung thực nghiệm 94

3.3.3 Tổ chức thực nghiệm 94

3.3.4 Bài kiểm tra đánh giá 96

3.3.5 Kết quả các bài kiểm tra 96

3.3.6 Xử lý kết quả thực nghiệm sư phạm 97

3.3.7 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 100

Tiểu kết chương 3 103

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

TT Viết tắt Viết đầy đủ

Bảng 3.1 Bảng phân phối kết quả các bài kiểm tra 97 Bảng 3.2 Tổng hợp kết quả thực nghiệm sư phạm 98 Bảng 3.3 Tổng hợp phân loại kết quả học tập 98 Bảng 3.4 Bảng thống kê các tham số đặc trưng (giá trị trung bình cộng,

phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên, của các lớp TN và

ĐC 99 theo từng bài KT 99 Bảng 3.5 Bảng thống kê các tham số đặc trưng (giá trị trung bình cộng,

phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên, của 2 đối tượng TN

và ĐC) 99

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hội nghị Trung ương 8 khóa XI đã ban hành Nghị quyết số

29-NQ/TW, ngày 04/11/2013 “về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” Nghị quyết

khẳng định “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”

Để đa ̣t đươ ̣c mu ̣c tiêu giáo du ̣c, yêu cầu về nô ̣i dung và phương pháp giáo du ̣c trong Nghi ̣ quyết của Trung ương Đảng, Bô ̣ giáo du ̣c và đào ta ̣o đã phát đô ̣ng phong trào đổi mới giáo du ̣c, nhấn ma ̣nh vào đổi mới da ̣y ho ̣c trong toàn quố c Trong những năm gần đây, phong trào đổi mới phương pháp

dạy ho ̣c đã được đẩy ma ̣nh ở tất cả các cấp ho ̣c nói chung, ở bâ ̣c phổ thông

nói riêng Có nhiều phương pháp da ̣y ho ̣c theo xu hướng mới đã đươ ̣c vâ ̣n

dụng như: da ̣y ho ̣c phát hiê ̣n và giải quyết vấn đề, da ̣y ho ̣c theo thuyết tình huố ng, dạy ho ̣c hơ ̣p tác, da ̣y ho ̣c khám phá, da ̣y ho ̣c phân hóa… nhằm phát huy tính tích cực, chủ đô ̣ng, sáng ta ̣o của người ho ̣c.Trong các phương pháp

dạy ho ̣c tích cực kể trên thì phương pháp da ̣y ho ̣c khám phá tỏ ra có hiê ̣u quả

và dễ vâ ̣n du ̣ng vào trong nhà trường phổ thông hiê ̣n nay Với phương pháp

này, dựa vào kiến thức đã có ho ̣c sinh làm viê ̣c với nô ̣i dung mới mô ̣t cách tự nhiên như là mô ̣t nhu cầu chứ không phải ép buô ̣c Hơn nữa ho ̣c sinh còn như đươ ̣c “phát minh” ra kiến thức cho mình

Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp to ̣a đô ̣ trong mă ̣t phẳng là mô ̣t chương của hình ho ̣c 10 Khi học phần này các em sẽ thấy được mối quan hệ giữa các tính chất của hình học phẳng ở cấp 2, các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng và hệ tọa độ trong mặt phẳng ở chương 1 của lớp 10 Vì thế, trong chương này nếu giáo viên chỉ áp đặt kiến thức cho học sinh thì không phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh dựa trên những kiến thức đã có của các em Chính vì vậy, để học sinh có thể học phần Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng một cách tích cực, chủ động, sáng tạo thì giáo viên cần vận dụng những phương pháp dạy học mới phù hợp với đặc điểm của chương để giảng dạy cho các em

Xuất phát từ những lí do trên mà tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận

văn là: “Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học giải bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”

2 Lịch sử nghiên cứu

➢ Quan niệm dạy học khám phá của các tác giả nước ngoài

➢ Quan niệm dạy học khám phá của các tác giả trong nước

3 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

+ Mục đích nghiên cứu là: thiết kế một số dạng bài tập về phương

pháp tọa độ trong mặt phẳng bằng dạy học khám phá có hướng dẫn nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung này

+ Các nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về dạy học khám phá, đặc biệt là dạy học khám phá có hướng dẫn

- Trình bày một số dạng bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng vận dụng dạy học khám phá có hướng dẫn

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của

Khối 10, Trường THPT Kỳ Lâm, tỉnh Hà Tĩnh

6 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu vận dụng dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong chương trình hình học 10 thì sẽ phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, qua đó nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu lí luận về phương pháp dạy và học, đặc biệt là các tài liệu viết về dạy học khám phá và dạy học khám có hướng dẫn

- Phương pháp điều tra quan sát: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo

ý kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi toán, có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy tiết bài tập soạn theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo luận văn

dự kiến được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Trình bày một số dạng bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bằng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Dạy học khám phá

1.1.1 Một số quan điểm về dạy học khám phá

1.1.1.1 Quan niê ̣m về dạy học khám phá của các tác giả nước ngoài

Theo Ferriere Jerome Bruner, nhà tâm lý học Mỹ cho rằng học là một quá trình mang tính chủ quan Qua quá trình này, người học hình thành nên các ý tưởng hoặc khái niệm mới dựa trên cơ sở vốn kiến thức đã có sẵn của mình Ông khẳng định rằng trong quá trình học tập, HS cần được khuyến khích và dạy cách tự do khám phá thông tin

Bruner cho rằng việc học tập khám phá xảy ra khi các cá nhân phải sử dụng quá trình tư duy để phát hiện ra ý nghĩa của điều gì đó cho bản thân họ

Để có được điều này, người học phải kết hợp các thao tác quan sát, so sánh, làm rõ ý nghĩa của thông tin để tạo ra sự hiểu biết mới mà trước đây họ chưa từng biết Vai trò của người GV là khuyến khích tạo điều kiện để HS tự khám phá ra các nguyên lý Người dạy có nhiệm vụ truyền tải các thông tin cần học với một phương pháp phù hợp với khả năng hiểu biết hiện tại của HS, xây dựng giáo án theo mô hình xoắn ốc để người học có thể tự xây dựng kiến thức mới từ những kiến thức vốn có của mình Ông cũng khẳng định rằng trong dạy học khám phá không phải HS khám phá ra tất cả các dữ liệu thông tin mà họ khám phá ra sự liên quan giữa các ý tưởng và các khái niệm bằng cách sử dụng những cái đã học Bruner đã chỉ ra 4 lí do cho việc sử dụng phương pháp dạy học khám phá đó là: thúc đẩy tư duy người học, phát triển động lực bên trong hơn là tác động bên ngoài, người học có thể học cách khám phá và nó giúp phát triển trí nhớ

Geofffrey Petty nêu ra một cách tiếp cận trong dạy học đó là dạy học bằng cách đặt câu hỏi Trong cách dạy này GV đặt câu hỏi hoặc giao bài tập

yêu cầu HS phải tự tìm ra kiến thức mới thông qua việc trả lời các câu hỏi làm bài tập Như vậy, người học phải huy động những kiến thức có sẵn của mình, thực hiện các thao tác tư duy, khám phá ra tri thức mới Ở đây quá trình khám phá của người học đã được GV lập kịch bản sẵn tức là có sự chuẩn bị đặc biệt, người học được đặt vào kịch bản đó, thực hiện các công việc được người

GV bố trí sẵn Kiến thức mới người học tìm ra sẽ được GV chỉnh sửa

và khẳng định lại Dạy học khám phá có hướng dẫn là một hình thức của cách tiếp cận này Ông lưu ý rằng, tìm thông tin trong sách không phải là cách học khám phá và nhấn mạnh: Các hoạt động khám phá thường được tiến hành theo nhóm Chúng đòi hỏi phải có kĩ năng tư duy cao để tìm ra cái mới Vì người học tự tìm tòi vấn đề cho nên việc học có chất lượng cao

Theo Jacke Richards, John Platt và Heidi Platt dạy học khám phá là dạy và học dựa trên những quy luật sau:

- Người học phát triển quá trình tư duy liên quan đến việc khám phá

và tìm hiểu thông qua quá trình quan sát, phân loại, đánh giá, tiên đoán, mô tả

1.1.1.2 Quan điểm về dạy ho ̣c khám phá của các tác giả trong nước

Tư tưởng dạy học khám phá cũng được thể hiện qua một số tài liệu của các tác giả trong nước như Nguyễn Bá Kim, Trần Bá Hoành, Các tác giả

cho rằng học tập là quá trình lĩnh hội những tri thức mà loài người tích lũy được Trong học tập HS cũng phải được khám phá ra những hiểu biết mới đối với bản thân HS sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng linh hoạt những gì mình đã nắm được thông qua hoạt động tự lực khám phá của chính mình Tới một trình độ nhất định thì sự học tập tích cực, sự khám phá sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và người học cũng tạo ra tri thức mới cho khoa học

1.1.2 Đặc điểm của dạy học khám phá

Theo Bicknell-Holmes and Hoffman (2000), dạy học khám phá có ba đặc điểm sau đây:

1 Khảo sát và giải quyết vấn đề để hình thành, khái quát hóa kiến thức Đặc điểm thứ nhất này rất quan trọng Thông qua việc khảo sát và giải quyết vấn đề, HS có vai trò tích cực trong việc tạo ra kiến thức, thay cho việc chỉ lắng nghe bài giảng, HS có cơ hội vận dụng các kĩ năng khác nhau trong các hoạt động HS chính là người làm chủ việc học tập chứ không phải là thầy giáo

2 HS được thu hút vào hoạt động, hoạt động dựa trên sự hứng thú và ở

đó HS có thể xác định được trình tự và thời gian

Đặc điểm thứ hai này khuyến khích HS học tập theo nhịp độ riêng của mình Học tập không phải là một tiến trình cứng nhắc không thay đổi được Đặc điểm này giúp HS có động cơ và làm chủ việc học của mình

3 Hoạt động khuyến khích việc liên kết kiến thức mới vào vốn kiến thức của người học

Đặc điểm thứ ba này dựa trên nguyên tắc là sử dụng kiến thức mà HS đã biết làm cơ sở cho việc xây dựng kiến thức mới Trong dạy học khám phá,

HS luôn luôn đặt trong những tình huống sao cho từ kiến thức vốn có của mình các em có thể mở rộng hay phát hiện ra những ý tưởng mới

Từ ba đặc điểm trên, dạy học khám phá 5 điểm khác biệt so với các phương pháp dạy học truyền thống là:

+ Người học tích cực chứ không thụ động

+ Việc học tập có tính quá trình chứ không là nội dung

+ Thất bại là quan trọng

+ Phản hồi là cần thiết

+ Sự hiểu biết sâu hơn

Theo M D HSiniki (1998), dạy học khám phá có ba đặc điểm chính sau đây:

- Các hoạt động nhằm tập trung chú ý của HS vào những tư tưởng then chốt mà các em được xem xét Các hoạt động luôn được thiết kế để làm

rõ một khái niệm hay quy trình chứ không phải chỉ vì để hoạt động tích cực Giai đoạn đầu tiên của quá trình học tập là phát hiện ra cái cần được học và

HS được thu hút vào những hoạt động đó

- Tham gia tích cực nhằm để kiến tạo nên những lời giải, nhờ vậy mà

HS sẽ có cơ hội thực hiện các quá trình xử lí thông tin một cách sâu sắc hơn Khi học tập khám phá HS phải dựa vào kiến thức trước đó để đáp ứng những yêu cầu của các hoạt động Vì vậy, các em phải trải qua quá trình xử lí tài liệu Nhờ vào quá trình xử lý này mà các em dễ huy động lại về sau khi cần vì

nó đã có sự gắn kết với các kiến thức đã học của các em

- Học tập khám phá giúp HS có cơ hội nhận được phản hồi sớm về sự hiểu biết của mình Trong cách dạy truyền thống, GV thường dạy học theo tốc độ của mình, thường ít quan tâm xem HS có nắm được các thông tin mà

thầy giáo truyền đạt được hay không Trong dạy học khám phá, việc hổng kiến thức của HS không thể bị bỏ qua; việc phản hồi của GV xảy ra ngay trong bản thân nhiệm vụ học tập: HS thành công hay thất bại GV chính là nguồn phản hồi khi GV xem xét sự tiến triển của HS trong quá trình thực hiện nhiệm vụ học tập của HS GV phải đối mặt với những thực trạng về sự hiểu biết của HS và bắt buộc GV phải có những ứng xử kịp thời

- Học trong môi trường tích cực làm cho HS có sự "ghi nhớ có tình tiết"; tức là việc ghi nhớ này gắn liền với một sự kiện Nhờ thế mà HS có thể tái tạo lại kiến thức nếu họ quên

- Dạy học khám phá gợi được động cơ học tập cho HS Hầu hết các quá trình trong dạy học khám phá là khêu gợi được tính tò mò của HS Khía cạnh tò mò và quá trình tìm kiếm những điều còn ẩn dấu nhằm thỏa mãn tính

tò mò cả hai đều là những dạng của động cơ

sử dụng ngôn ngữ riêng của mình để diễn tả những điều mình phát hiện Có

cơ hội liên kết kiến thức mới với hệ thống kiến thức vốn có của mình; điều này giúp HS có thể huy động lại chúng khi cần

- Dạy học khám phá buộc HS phải đương đầu với những ý tưởng hiện

có của mình về chủ đề, nhiều trong chúng có thể là những sự hiểu sai lệch, và làm cho nó tương thích với điều mà các em quan sát Trong giáo dục khoa học, một trong những vấn đề khó khăn nhất là vấn đề hiểu sai của HS Trong dạy học khám phá, HS có cơ hội để điều chinh lại nhận thức sai của mình nhờ vào môi trường học tập

- Dạy học khám phá có tính cụ thể và do đó dễ cho người bắt đầu học trong lĩnh vực nào đó Hầu hết các nhiệm vụ khám phá được dựa trên các bài toán thực hoặc tình huống thực Vì vậy, dạy học khám phá giúp HS dễ dàng hiểu được kiến thức

- Dạy học khám phá làm cho thông tin rõ ràng hơn Trong dạy học khám phá, các kiến thức thường được trình bày trong một bối cảnh gắn liền với việc sử dụng nó, người học dễ nhận ra cách sử dụng nó và thấy được giá trị của kiến thức đối với bản thân mình

- Dạy học khám phá khuyến khích người học tự nêu câu hỏi và tự giải quyết các bài toán, nhờ đó HS sẽ tự tin hơn khi gặp các vấn đề cần giải quyết

* Thay đổi niềm tin và thái độ

- Dạy học khám phá cho HS niềm tin rằng sự hiểu biết có được là do chính các em kiến tạo lấy chứ không phải nhận từ thầy giáo

- Dạy học khám phá cho HS thấy rằng khoa học là một quá trình chứ không phải là tập hợp các dữ kiện Dạy học khám phá được thiết kế nhằm cho phép HS hành động như một nhà khoa học HS có dịp trải qua quá trình quan sát, thử - sai, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết

- Dạy học khám phá đặt nhiều trách nhiệm về học tập hơn cho người học Trong quá trình học tập khám phá, HS thường phải vận dụng các quá trình tư duy để giải quyết vấn đề và phát hiện ra các điều cần học; vì vậy các

em phải có nhiều trách nhiệm hơn cho sự học tập của mình

1.1.3 Các hình thức của dạy học khám phá

Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình

độ thấp lên trình độ cao, tùy theo năng lực tư duy của người học, tùy theo mức độ phức tạp của vấn đề nghiên cứu và sự tổ chức thực hiện của GV đối với HS trong lớp học Các dạng của hoạt động khám phá trong học tập

có thể là:

- Trả lời câu hỏi

- Điền từ, điền bảng

- Lập bảng, biểu, đồ thị, sơ đồ

- Thử nghiệm, đề xuất giả thuyết, phân tích nguyên nhân, thông báo kết quả

- Thảo luận, tranh cãi về một vấn đề được nêu ra

- Điều tra thực trạng, đề xuất giải pháp cải thiện thực trạng, thực nghiệm giải pháp mới

- Giải bài tập

- Làm bài tập lớn, đề án, luận văn, luận án

1.1.4 Các mức độ của dạy học khám phá

Tùy thuộc vào mức độ can thiệp của GV vào quá trình khám phá của

HS mà có thể phân chia các hoạt động khám phá thành 3 cấp độ sau:

Cấp độ 1: Dạy học khám phá dẫn dắt: vấn đề và đáp án được GV đưa

ra, HS tìm cách lí giải (khám phá có hướng dẫn hoàn toàn)

Cấp độ 2: Dạy học khám phá hỗ trợ: vấn đề được GV đặt ra, HS tìm cách lí giải (khám phá có hướng dẫn một phần)

Cấp độ 3: Dạy học khám phá tự do: vấn đề và đáp án do HS tự khám phá Việc áp dụng dạy học khám phá ở cấp độ nào tùy thuộc vào nhiều yếu

tố như nội dung của bài học, mục tiêu mà GV HS đạt được, năng lực tư duy của HS, tâm sinh lí lứa tuổi của HS

1.2 Dạy học khám phá có hướng dẫn

1.2.1 Thế nào là dạy học khám phá có hướng dẫn

Qua quá trình nghiên cứu và phân tích tài liệu liên quan đến dạy học khám phá, luận văn đã rút ra các kết luận sau:

- Hoạt động khám phá là quá trình tư duy bao gồm quan sát, phân tích,

so sánh, nêu giả thuyết, suy luận nhằm tìm ra các khái niệm, các thuộc tính mang tính quy luật, những mối liên hệ của các sự vật hiện tượng

- Dạy học khám phá có hướng dẫn là xu hướng dạy học tích cực, trong

đó người GV tổ chức và hướng dẫn cho người học tự hoàn thành nhiệm vụ nhận thức nhằm đạt được mục tiêu đã đặt ra qua hoạt động khám phá

1.2.2 Đặc trưng của dạy học khám khá có hướng dẫn

+ Dạy học khám phá trong nhà trường không nhằm phát hiện những tri thức mới cho nhân loại mà chỉ giúp HS chiếm lĩnh một số tri thức mà loài người đã phát hiện được Hoạt động này còn được gọi là khám phá lại

+ Dạy học khám phá được tiến hành dưới hình thức các hoạt động

do người GV tổ chức, điều khiển Ở đây người học được đặt vào vị trí người khám phá lại những tri thức của nhân loại, phát hiện ra những tri thức của nhân loại thông qua việc trả lời các câu hỏi, tham gia các hoạt động học tập có chủ ý, được thiết kế sẵn nhằm giúp người học hoàn thành nhiệm vụ nhận thức

+ Mục đích của dạy học khám phá không chỉ làm cho HS lĩnh hội tri thức một cách sâu sắc mà quan trọng hơn là thúc đẩy việc phát triển tư duy, hình thành cho HS những cách thức phát hiện và giải quyết vấn đề một cách độc lập và sáng tạo

+ Trong dạy học khám phá các hoạt động khám phá của HS thường được tổ chức theo nhóm, mà mỗi thành viên của nhóm đều tích cực tham gia trả lời câu hỏi của GV, bổ sung các câu trả lời của bạn và cùng tham gia vào quá trình đánh giá kết quả học tập

1.2.3 Ưu điểm và hạn chế của dạy học khám phá có hướng dẫn

mãn với những gì mình đã làm và sẽ có ham muốn hướng tới những công việc khó hơn, đó chính là động lực bên trong

- Người học học được cách khám phá và phát triển trí nhớ của bản thân Cách duy nhất mà một người học học được các kĩ thuật khám phá đó là

họ phải có cơ hội để khám phá Thông qua khám phá người học dần dần sẽ học được cách tổ chức và thực hiện các nghiên cứu của mình

- Phát triển trí nhớ của người học, bởi trong khám phá người học phải

tự tìm hiểu, tức phải tự huy động kinh nghiệm của bản thân và vốn kiến thức đã có để nắm bắt vấn đề đang học Kết quả là các em sẽ hiểu được vấn đề, mối liên quan giữa vấn đề mới với các kiến thức có trước và do đó sẽ nhớ lâu hơn, thậm trí có thể tái hiện lại kiến thức khi có những thông tin có liên quan

Ngoài ra các nhà giáo dục cho rằng phương pháp dạy học khám phá còn thể hiện những điểm mạnh sau:

- Là phương pháp dạy học hướng vào hoạt động của người học; HS được khuyến khích coi việc học là công việc của bản thân hơn là công việc của GV, nhu cầu học hỏi của người học nhờ đó cũng tăng lên

- Là phương pháp dạy học hỗ trợ việc phát triển năng lực nhận thức riêng cũng như tài năng của HS

- Là phương pháp cho phép người học có thời gian tiếp thu, cập nhật thông tin và đánh giá được năng lực thực sự của bản thân trong quá trình học tập và nghiên cứu

- Các vấn đề nhỏ vừa sức với HS được tổ chức thường xuyên trong quá trình học tập, là phương thức để HS tiếp cận với kiểu dạy học hình thành giả thuyết của các vấn đề có nội dung khái quát hóa rộng hơn

- Đối thoại giữa trò-trò, trò-thầy đã tạo ra bầu không khí học tập sôi nổi, tích cực và góp phần hình thành mối quan hệ giao tiếp trong lao động

xã hội

- Giải quyết thành công các vấn đề học tập là động cơ trí tuệ kích thích trực tiếp lòng ham mê học tập của HS Đó là động lực của quá trình dạy học, phát huy được nội lực của HS tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong quá trình học tập

* Hạn chế

Dạy học khám phá cũng bộc lộ những hạn chế sau:

- Tốc độ chậm không phải mọi chủ đề đều có thể áp dụng được

- Phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm và năng lực của GV và HS Vì vậy nếu GV không nắm vững năng lực của HS và thiếu công phu trong công tác chuẩn bị thì việc tổ chức dạy học khám phá sẽ kém hiệu quả

1.3 Dạy học giải bài tập bằng dạy học khám phá

1.3.1 Dạy học thuật toán bằng dạy học khám phá

1.3.1.1 Vị tri ́ và chức năng của viê ̣c dạy học quy tắc thuật toán

a Thuâ ̣t giải

Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trình giải Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn”

Mỗi thuật giải đều có những tính chất cơ bản và quan trọng sau:

* Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải đơn trị Nghĩa là nếu ta cho lần lượt từng HS thực hiện các thao tác thì kết quả thu được của các HS là như nhau Tính chất này nói lên tính hình

thức hóa của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật giải thay thế con người

* Tính dừng

Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn

* Tính đúng đắn

Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn

đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn Thuật giải không cho phép kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp

* Tính phổ dụng

Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra những thuật giải, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán

* Tính hiệu quả

Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu được hiểu là:

- Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

- Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian

- Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn Đặc biệt trong điều kiện hiện nay khi mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải

Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau Trong môn toán và trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau: ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình

và ngôn ngữ lập trình

b Quy tắc tựa thuật giải

Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quy định nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ Tuy nhiên trong quá trình và thực tiễn dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm đó và chúng có nhiều tác dụng trong việc hướng dẫn HS giải toán

* Khái niệm quy tắc tựa thuật giải

Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành công tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó”

Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:

- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách xác định

- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị

- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán

Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật giải cũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạt động và giải toán

c Vai tro ̀ của viê ̣c dạy học thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải

Thực ra, thuật toán và các quy trình tựa thuật toán không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và định lý Có những quy tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay định lý, thậm chí có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lý Tuy nhiên, việc phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông lại rất cần thiết bởi những lý do sau:

- Tư duy thuật toán giúp HS hình dung được việc tự động hóa trong những linh vực khác nhau của con người Nó giúp HS thấy được nền tảng của việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một

số chức năng của con người cho máy móc

- Tư duy thật toán giúp HS làm quen với cách làm việc trong khi giải toán bằng máy tính điện tử

- Tư duy thuật toán giúp HS học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán

- Tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa… và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra…

1.3.1.2 Dạy ho ̣c thuật toán và các quy tắc tựa thuật toán theo hướng kha ́ m phá

Tuy khó có thể xây dựng được những thuật toán giải các bài toán định tính của tọa độ trong không gian (thiết lập các công thức tính, các bước làm bài toán ) nhưng chúng ta có thể xây dựng các quy trình mang tính thuật toán

Các bước dạy học thuật toán, quy tắc tựa thuật toán theo hướng khám phá:

- GV đưa ra một bài tập gốc được giải theo quy trình

- HS phân tích hoạt động giải bài trên thành các bước, theo một trình

tự xác định phù hợp với một thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

- Kiểm nghiệm tính khả thi của các bước giải đã được mô tả thông qua một số bài tập cùng dạng

- Phát hiện thuật giải tối ưu để giải các bài toán thuộc cùng dạng

1.3.2 Dạy học giải bài tập bằng dạy học khám phá

1.3.2.1 Vị tri ́ và chức năng của viê ̣c dạy học giải toán

Ở nhà trường phổ thông, hoạt động giải toán đối với HS có thể xem là hoạt động chủ yếu của hoạt động học tập môn toán Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Mỗi bài tập toán đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Theo Vũ Dương Thụy, dạy học giải bài tập toán

- Chức năng phát triển: phát triển năng lực tư duy của HS, đặc biệt

là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

Các chức năng này không bộc lộ riêng lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai

Tóm lại, giải bài tập toán là hoạt động chủ yếu trong học toán, nó phản ánh quá trình tiếp thu nhưng kiến thức được GV truyền thụ của người HS một cách khách quan, nhanh và chính xác nhất

1.3.2.2 Ca ́ c yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững yêu cầu của lời giải, gồm ba yêu cầu cơ bản và một số yêu cầu nâng cao

+ Ba yêu cầu cơ bản:

Lời giải không có sai lầm Các sai lầm thường mắc trong lời giải gồm:

có sai kiến thức, vận dụng không đúng định lý, quy tắc, vi phạm những điều kiện của định lý, sai về lập luận, ví dụ dùng phương pháp suy ngược tiến để trình bày chứng minh, sai về tính toán, vẽ hình, ví dụ như khi viết phương trình đường thẳng hay phương trình mặt phẳng, HS thường nhầm lẫn khi đi tìm tích có hướng của hai véc tơ để xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, có khi HS còn bị nhầm về véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (nhầm lẫn với tọa độ trong mặt phẳng)

Lời giải phải có căn cứ, không đánh tráo luận đề

Lời giải phải đầy đủ, không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết nào, ví dụ như giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu trường hợp nào…

+ Các yêu cầu nâng cao: Phương pháp giải hay

Lời giải sáng sủa

Trình bày đẹp đẽ

Các yêu cầu cơ bản phải luôn được GV chú ý rèn cho HS từ những bài giải đơn giản đến phức tạp, mọi đối tượng HS đều phải phấn đấu đạt được Các yêu cầu nâng cao được GV chú ý bồi dưỡng đối với những HS khá hơn,

có năng lực khám phá tốt hơn

1.3.2.3 Dạy ho ̣c giải toán theo hướng khám phá

Trình tự dạy học bài tập thường bao gồm các hoạt động sau:

* Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

* Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải

* Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải

* Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Trên cơ sở các bước cơ bản nêu trên, khi dạy học theo hướng khám phá tìm lời giải bài toán, GV có thể dẫn dắt hướng tìm lời giải cho HS bằng cách đặt ra các câu hỏi có tính gợi mở khám phá Chẳng hạn như:

+ Để tìm hiểu nội dung bài toán, HS cần suy nghĩ xem bài toán cho:

- Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng các

kí hiệu như thế nào?

- Bài toán này gần gũi với bài toán nào đã gặp, dạng toán nào?

- Kiến thức cơ bản cần có là gì? (các khái niệm, các định lý, các điều kiện tương đương, các phương pháp chứng minh…)

+ Xây dựng chương trình giải: tức là chỉ rõ các bước tiến hành, mỗi bước giải quyết vấn đề gì?

+ Thực hiện chương trình giải: trình bày bài làm theo các bước đã được chỉ ra?

+ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải xem có sai lầm không? Có cần biện luận kết quả tìm được không? Tìm tòi cách giải khác, đề xuất bài toán mới? Nghiên cứu ứng dụng lời giải…

Tóm lại, thông qua việc giải bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để HS nắm được phương pháp chung bốn bước và có ý thức vận dụng các bước này trong quá trình giải toán Ngoài ra, bằng cách đặt các câu hỏi gợi ý, những tình huống để HS dần dần biết sử dụng câu hỏi này như những biện pháp kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước giải toán Những câu hỏi này lúc đầu do GV đưa ra, dần dần biến thành vũ khí của bản thân HS, được HS nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán

Chương này luận văn cũng trình bày vắn tắt về yêu cầu, mục tiêu và nội dung dạy học đối với chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng làm căn cứ nghiên cứu các hoạt động khám phá trong dạy học tọa độ trong mặt phẳng ở chương sau

CHƯƠNG 2 TRÌNH BÀY MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I Hướng khám phá 1: Dựa vào tính đối xứng

Loại 1: Sử dụng tính đối xứng qua một điểm

Ví dụ 1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang ABCD có diện tích bằng

14 (với hai đáy là AB và CD) và có đỉnh A(1; 1); trung điểm của cạnh BC là

H Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương

và D nằm trên đường thẳng (d) có phương trình 5x  y 1  0

Giáo viên hướng dẫn tìm tòi lời giải:

- Nếu sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình thang sẽ gặp rất nhiều khó khăn

- Thường sử dụng diện tích tam giác để chuyển về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, qua đó tìm được tọa độ điểm Vậy có cách thức nào

để chuyển diện tích hình thang về diện tích tam giác được không?

- Sử dụng AB song song CD và trung điểm H của đoạn BC như thế nào?

Với lập luận, kết nối giả thiết bài toán như vậy ta sử dụng tính đối xứng qua một điểm như sau:

LỜI GIẢI

Kéo dài AH cắt CD tại E Do

ABCD hình thang (AB//CD) và H

trung điểm BC nên dễ thấy

;

; 2

- Từ ví dụ trên ta nhận thấy rằng việc chuyển đổi diện tích hình thang

về diện tích tam giác là mấu chốt của bài toán mà công cụ chính là phép đối xứng qua điểm

- Dấu hiệu của bài toán xuất hiện không rõ nét (chỉ cho H trung điểm của cạnh BC) Nếu học sinh không phát hiện ra điều ẩn chứa này thì gặp khó khăn trong việc sử dụng được diện tích hình thang đã cho

- Qua theo dõi học sinh giải bài chủ yếu học sinh biểu diễn tọa độ B; D qua 3 ẩn và vận dụng trung điểm H, diện tích hình thang từ đó đều đi vào ngõ cụt Như vậy khai thác vận dụng đối xứng qua điểm H rất hiệu quả

Ví dụ 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6 và có đỉnh A(0; 2); Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC Tìm tọa độ các đỉnh B; C; D biết phương trình đường thẳng DE: x  y 0và biết đỉnh D

có tọa độ đều dương

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:

- Sử dụng giả thiết của bài

toán BE  AC và BE  ACnhư thế

nào? Đây là vấn đề của bài toán Ta

phân tích nó như sau:

Từ những phân tích như vậy ta nghĩ đến việc lấy K đối xứng với D qua

A Từ đó ta có BK  BD BEsuy ra BDK; BDE cân tại B vàBKE vuông cân tại B

Từ đó ta có lời giải cụ thể như sau:

) ( 0 0

2 4

2 4

m t d

loai d

d d d

d AD

2 3

6

6

b

b b

AB AD

1

;

1 suy ra C(2; -1) Vậy có hai hình chữ nhật thỏa mãn, có tọa độ các đỉnh:

B(0; 5); C(2; 3); D(2; 2) và B(0; -1); C(2; -1); D(2; 2)

NHẬN XÉT

Từ ví dụ trên nhận thấy rằng việc tạo ra các tam giác cân, tam giác vuông cân đỉnh B là hết sức quan trọng, để tạo ra điều nói trên là việc sử dụng điểm K đối xứng với D qua A Qua việc tìm tòi lời giải và phát hiện điểm K nêu ở ví dụ trên cùng với việc khai thác, phát triển kiến thức ta có thể xây dựng một chùm bài toán liên quan như sau:

1

;

0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của

B trên đường thẳng AC Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC Tìm tọa độ các đỉnh A; B; D biết E(-3; -3) và đỉnh B có tung độ âm

Giáo viên hướng dẫn tìm tòi lời giải:

- Ví dụ này có giả thiết tương tự ví dụ 2 Nếu sử dụng điểm K đối xứng với D qua A ta suy ra M là trung điểm KC (vì tứ giác ACBK là hình bình hành), kết hợp với tam giác BKE vuông cân tại B ta sẽ giải quyết được

bài toán Lời giải cụ thể như sau:

LỜI GIẢI

Lấy K đối xứng với D qua A ta

có tứ giác ACBK là hình bình hành suy ra K đối xứng với C qua M Từ đó tìm được tọa độ điểm K(-2; 2)

Nhận thấy tam giác BKE vuông cân tại B nên

(*) 0

BE BK BE

BK

BE BK

2

3 3

2

b b a

a

b a

b a

5 5

2

b b

b a

5 5

b b

b a

0

b a

Suy ra B(0; -1)

Đỉnh A đối xứng với B qua M nên A(0; 2)

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD nên có 

1

; 1

I Đỉnh D đối xứng với B qua điểm I từ đó D(2; 2)

Vậy các đỉnh cần tìm có tọa độ là: A(0; 2); B(0; -1); D(2; 2)

NHẬN XÉT

Qua ví dụ trên nhận thấy việc đưa ra điểm K chính là chìa khóa của bài toán Một lần nữa khẳng định tính ưu việt của phép đối xứng qua một điểm

Ví dụ 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD

= 2 5 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC Tìm tọa độ các đỉnh A; B; C; D biết đỉnh C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng  d1 :x  y 3  0; điểm K đối xứng với D qua A, biết K nằm trên đường thẳng

 d2 :x  y2  1  0; đường thẳng DE có phương trình 3x  y 1  0

Giáo viên hướng dẫn tìm tòi lời giải:

- Ví dụ này có giả thiết tường minh hơn ví dụ 2 và ví dụ 3 khi cho điểm K đối xứng với D qua A Trong ví dụ này chỉ tập trung vận dụng giả thiết là thực hiện được Lời giải cụ thể như sau:

LỜI GIẢI

Do K đối xứng với D qua A ta có

BE BD

BK  suy ra tam giác BDK cân tại B và tam giác

BKE vuông cân tại B

Đặt x ABD ABK  BDC

BED BDE

y   

Xét trong tam giác BDE có

0 0

0 0

45 45

180 90

2

2x y   xy   EDC Suy ra ADM vuông cân tại A Gọi M giao điểm của đường thẳng DE

và đường thẳng AB.Do AB = 2AD(gt) kết hợp 0

Lại có tứ giác ACBK là hình bình hành suy ra M trung điểm CK

Do đỉnh C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng

 d1 :x  y 3  0 nên gọi Cc; c 3 với c > 0 và biết K nằm trên đường thẳng

 d2 :x  y2  1  0 nên gọi K1 2k; k Từ đó suy ra M 

2

3 2

) 2 1 (

k k

c k c

; 14

9

3c c

Từ AB = 2AD = 2 5 nên MC = 10

10 14

29 5 14

9 11 10

2 2

3

c c

1 3 3

2

d

d d

d DC

*) Với d= 1 có D(1; 4) Gọi N trung điểm CD nên N(2; 2)

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD nên I trung điểm MN suy ra I 

3

;

1 Đỉnh A đối xứng với C qua I nên A(-1; 3)

Đỉnh B đối xứng với D qua I nên B(1; -1)

; 2

1 Đỉnh A đối xứng với C qua

I nên A 2 ; 0 Đỉnh B đối xứng với D qua I nên B(2; 2)

Vậy các đỉnh cần tìm có tọa độ là:

A(-1; 3); B(1; -1); C(3; 0); D(-1; -2) và A(-2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(-1; -2)

Loại 2: Sử dụng tính đối xứng qua một đường thẳng:

Ví dụ 1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB

và CD; AB = 3CD, đỉnh A(-2; 1) Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của đoạn AB Tìm tọa độ các đỉnh B; C; D biết đỉnh C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng  d :x  y 1  0 và biết điểm E(2; 3)

Giáo viên hướng dẫn tìm tòi lời giải:

- Sử dụng giả thiết hình thang cân và E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của đoạn AB như thế nào? Đây là ý quan trọng cần khai thác trước hết của bài toán Ta phân tích nó như sau:

Nhận thấy tứ giác AEBD là hình bình hành và hai đường chéo, hai cạnh bên của hình thang cân bằng nhau nên có: AE = BD suy ra AE = AC và

BE = AD suy ra BE = BC

Từ những điều trên ta có E và C đối xứng nhau qua đường thẳng AB Lời giải cụ thể như sau:

LỜI GIẢI

Nhận thấy tứ giác AEBD là

hình bình hành (hai đường chéo cắt

nhau tại trung điểm mỗi đường) và tứ

giác ABCD là hình thang cân nên có:

Từ (1) va (2) ta có: E và C đối xứng nhau qua đường thẳng AB

Do điểm C có hoành độ dương và nằm trên đt (d) nên Cc ; 1 c vớ i c > 0

8 2 20

c

c c

c c

Gọi H là chân đường vuông góc của C lên đt AB suy ra H trung điểm

CE nên có H(2; 1)

Gọi K là chân đường vuông góc của D lên đt AB Theo tính chất hình

thang cân và AB = 3CD nên có AK = KH = HB

Từ đó K trung điểm AH nên K(0; 1), B đối xứng với K qua H nên B(4; 1)

Gọi I trung điểm AB có I(1; 1), Đỉnh D đối xứng với E qua I nên D(0; -1)

Vậy các điểm cần tìm như sau: B(4; 1); C(2; -1); D(0; -1)

NHẬN XÉT

Qua ví dụ trên nhận thấy việc phát hiện hai điểm E và C đối xứng nhau qua đường thẳng AB là rất quan trọng Từ đây mọi yêu cầu của bài toán dần dần được giải quyết

Ví dụ 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và B

cóAD 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BD biết

Giáo viên hướng dẫn tìm tòi lời giải:

- Quan tâm đến giả thiết H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BD và đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh AB và AD như thế nào?

- Ta có tính chất: Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền, sử dụng nhận xét trên trong hai tam giác vuông HAB và HAD Từ đó ta có H và A đối xứng với nhau qua đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh AB và AD

NA (đường trung tuyến xuất phát từ

đỉnh của tam giác vuông bằng nửa

cạnh huyền) suy ra A đối xứng với H

8

; 5

9 suy ra A(-1; -1) Lại có AD = 2AB suy ra AN = 2AM Đặt AM = x( x 0 )  AN = 2x

Điểm M nằm trên đường thẳng MN nên gọi được M 2 m 1 ;m

Áp dụng trong tam giác vuông AMN có

4

5 4

1 1 1

1 1

2 2 2 2

x x AE

AN AM

 2  ( 1 ) 1 1

1 4

5 4

2

; 5

1 suy ra B 

1

; 5

3 (loại) Đường thẳng AD qua A nhận AB( 0 ; 2 )làm véc tơ pháp tuyến nên phương trình đtAD: y 1  0

N giao hai đường thẳng AD và MN nên tìm được N(1; -1)

Đỉnh D đối xứng với A qua N nên D(3; -1)

Vậy các điểm cần tìm như sau: A(-1; -1); B(-1; 1); D(3; -1)

NHẬN XÉT

Qua ví dụ trên qua hình vẽ phần nào nhận ra hai điểm A và H đối xứng nhau qua đường thẳng MN Vấn đề là phải chứng tỏ được điều đó Vận dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông rất quan trọng

Ví dụ 3

Trong không gian Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD nội tiếp trong đường tròn ( )  , biết tiếp tuyến của đường tròn ( )  tại C có phương trình 2x  y 9 0, phân giác của góc ACBcó phương trình x 3y  7 0,

AC cắt BD tại M ( 1;1) Tìm tọa đỉnh D của hình thang nói trên

Giáo viên hướng dẫn tìm tòi lời giải:

- Bài toán trên cho hình thang cân, cho tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp hình thang, cho phân giác của góc ACB Kết nối chúng lại như thế nào? Chắc chắn là bài toán liên quan đến góc và sử dụng tính chất góc nội tiếp đường tròn?

- Với lập luận như vậy ta đưa dần về góc đỉnh C

x y

F y

đã gặp nhiều trong một số đề thi

Qua ví dụ này tôi muốn đưa ra một cách vận dụng tiếp tuyến của đường tròn trong việc tạo ra góc bằng nhau để rồi tạo ra phép đối xứng qua một đường thẳng

Đối với ví dụ trên với cách việc lấy đối xứng của điểm M qua đtCN ta

sẽ viết được pt đt BC và từ đó tìm được tọa độ đỉnh B và A

Nếu thay đổi giả thiết để học sinh chưa vẽ đường chéo hình thang thì tính đối xứng sẽ được giấu kĩ hơn nữa

► Ta xét bài toán sau

Cho hình vuông ABCD Gọi M; N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC; CD Gọi E là điểm trên tia đối của tia DC sao cho 0

và H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng MN Khi đó ta có:

1) H và B đối xứng nhau qua đường thẳng AM

2) H và D đối xứng nhau qua đường thẳng AN