PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 1.. Hệ tọa độ Trong hệ tọa độ Oxy ta đặt hai vectơ đơn vị i,.. Với mọi vectơ trong mp:v.. Với mọi điểm M trong mp:.. Hệ tọa độ Tron
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN
1 Hệ tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxy ta đặt hai vectơ
đơn vị i,
Với mọi vectơ trong mp:v
y i x v y x
v( ; )
Khi đó v x2 y2
Với mọi điểm M trong mp:
)
; ( )
;
Nếu M(x M;y M), N(x N;y N) thì
)
; (x N x M y N y M
Khi đó
2 2
) (
) (x N x M y N y M
1 Hệ tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxyz ta đặt ba vectơ đơn vị
k j
i, , Với mọi vectơ trong mp:v
k z j y i x v z y x
v( ; ; ) Khi đó v x2 y2 z2
Với mọi điểm M trong mp:
)
;
; ( )
;
; (x y z OM x y z
Nếu M(x M;y M;z M), N(x N;y N;z N) thì
)
;
; (x N x M y N y M z N z M
Khi đó
2 2
2
) (
) (
) (x N x M y N y M z N z M
2 Các phép toán vectơ
Cho a(x1;y1);b(x2;y2) Khi đó
; )
; (x1 x2 y1 y2
b
2 2 1
1
.b x y x y
2 Các phép toán vectơ
Cho a(x1;y1;z1);b(x2;y2;z2) Khi đó
; )
;
; (x1 x2 y1 y2 z1 z2 b
;
2 1 2 1 2 1
.b x x y y z z
; )
;
; (
] , [
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
y x
y x x z
x z z y
z y b
b a b
a, ] ,
Nhắc: a.b a.b.cos(a,b) Nhắc: a.b a.b.cos(a,b)
Hệ quả:
)
,
cos(
2 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1
y x y x
y y x x b
a
b a
b
a
Hệ quả:
) , cos(
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
z y x z y x
z z y y x x b
a
b a b a
Trang 23 Phương trình đường thẳng:
Viết ptdt (d) qua điểm M(x0;y0) và
có
3 Phương trình đường thẳng:
Viết ptdt (d) qua điểm M(x0;y0;z0) và có
+ VTCP u ( b a; ) Ta viết PTTS
bt y y
at x x d
0
0
: )
(
+ Nếu a, b khác 0 Ta viết được PTCT
b
y y a
x x
+ VTCP u(a;b,c) Ta viết PTTS
ct z z
bt y y
at x x d
0 0
0
: ) (
+ Nếu a, b khác 0 Ta viết được PTCT
c
z z b
y y a
x x
+ VTPT n(A;B) Ta viết PTTQ
0 ) (
) (
:
)
(d A xx0 B yy0
+ Nếu biết (d) là giao tuyến của hai mp (P), (Q) nào đó thì ta viết được PTTQ của (d) chính là hệ hai phương trình của (P) và (Q)
Phương trình mặt phẳng Viết ptdt (P) qua điểm M(x0;y0;z0) và có VTPT n(A;B,C) Ta viết PTTQ
0 ) ( ) (
) ( : ) (P A xx0 B yy0 C zz0
4 Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0) đến
đường thẳng (): AxByC 0 là:
2 2 0 0
)
,
(
B A
C By Ax M
d
4 Khoảng cách
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (): AxByCzD0 là:
2 2 2
0 0 0
) , (
C B A
D Cz By Ax M
d
5 Góc
Góc giữa các yếu tố cùng loại dùng
cos, khác loại dùng sin
5 Góc
Góc giữa các yếu tố cùng loại dùng cos, khác loại dùng sin
6 Đường tròn
+ Dạng chính tắc:
0 2
Tâm I(x0;y0)
Bán kính R
+ Dạng tổng quát:
6 Mặt cầu + Dạng chính tắc:
0 2
0 2
Tâm I(x0;y0;z0) Bán kính R + Dạng tổng quát:
Trang 30 2
2
2
x
Tâm I ( b a; )
Bán kính R a2 b2 c
0 2
2 2
2 2
x
Tâm I(a;b;c) Bán kính R a2 b2 c2 d
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
+ Để tính đạo hàm thông thường (không yêu cầu dùng định nghĩa), ta nhớ (bảng 1):
0 )' (C
1
)'
(x x
' )' (ku k u
x
x)' 1
(ln
x
e )'
(
' ' )' (uv uv
x
x)' cos
(sin
x
x)' sin
(cos (u.v)'u'vv'u
x x
cos
1
)'
x x
sin
1
)'
(cot
2
'
' '
v
u v v u v
' )
( ' ' f u u
y
Với y f (u) và u, v là các hàm theo x.
+ Từ định nghĩa nguyên hàm và bảng 1, ta suy ra ngay các nguyên hàm cơ bản sau:
C 0
a
x dx x
a a
1
C x dx
1 ln
x x
e dx
v x dx u x dx v x dx x
u( ) ( )) ( ) ( ) (
C x xdx
sin cos
cosxdxsinxC
Trang 4C tgx dx x tg dx
cos
2
C gx dx
x g dx
( 1 cot ) cot
sin
2
* Nói thêm gặp một bài toán tìm nguyên hàm ta định hướng như sau:
- Nếu là tổng (hiệu) của
nhiều biểu thức thì tách
ra làm nhiều bài nhỏ
+ Tích phân từng phần với các biểu
thức dạng
( ).sinx.dx;( ).e x.dx; ( ).lnx.dx
hoặc lnx.sinx.dx; sinx.e x.dx; + Đổi biến loại 2 với các biểu thức
dạng a2 + x2; a2 – x2;
- Nếu là tích (thương)
của các biểu thức thì có
các cách sau:
+ Đổi biến loại 1 với các tích dạng
khác
