SKKN từ 2021 2022

làm toán mà chủ yếu là giải toán cho học sinh, quan tâm số lượng hơn là chất lượng; trong quá trình dạy học ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận, chưa

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Xã hội không ngừng biến đổi và ngày càng phát triển, cuộc sống luôn đòi hỏi con người không ngừng gia tăng sự hiểu biết, thế giới đang chịu sự chi phối của xu thế “Toàn cầu hóa” kinh tế thị trường, “ Kinh tế tri thức” và chuyển dịch theo hướng “ xã hội thông tin”, “ xã hội học- hành”, bắt đầu buổi bình minh của một nền văn minh mới- văn minh trí tuệ Không có một trường học nào có thể cung cấp cho người học tất cả tri thức để có thể làm việc suốt đời Để thực hiện một nhiệm vụ, công việc hiệu quả không phải lúc nào cũng tái hiện tri thức sẵn có

mà còn cần phải có những tri thức mới nên cần phải biết tự học bởi đó chính là chìa khóa của sự hiểu biết, của sự phát triển bền vững Sự hiểu biết và tri thức thu được tùy vào khả năng tự học của mỗi con người

Tự học là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ để chiếm lĩnh, tiếp thu một lĩnh vực hiểu biết nào đó thành kiến thức của mình

Tự học là quá trình tìm hiểu, lĩnh hội kiến thức khoa học và rèn luyện kỹ năng thực hành không có sự hướng dẫn trực tiếp của giáo viên và sự quản lý trực tiếp của nhà trường

Sinh thời Chủ tịch Hồ Chí Minh quan niệm về tự học như sau: “Tự học là một cách tự động” và phải biết tự động học tập “Tự động học tập” là tự học một cách hoàn toàn, tự giác, tự chủ, không đợi ai nhắc nhở, không chờ ai giao nhiệm vụ

mà tự mình vạch kế hoạch học tập cho rồi tự triển khai, thực hiện kế hoạch đó một cách tự giác, tự mình làm chủ thời gian để tự kiểm tra, đánh giá kết quả học tập

Tự học có một vai trò rất lớn, rất quan trọng bởi nó giúp người học không ngừng nâng cao hiệu quả học tập của bản thân, biết phát huy khả năng sẵn có của mình, giúp người học biết cách học: học ở thầy, học ở bạn, ở sách, ở các thông tin đại chúng Tự học giúp người học tăng khả năng học hỏi, nghiên cứu, tự nghiên cứu để có khả năng học tập suốt đời

Trường Phổ thông dân tộc nội trú (PTDTNT) là loại trường chuyên biệt mang tính chất phổ thông, dân tộc và nội trú Trường vừa thực hiện nhiệm vụ của trường phổ thông, vừa thực hiện nhiệm vụ của trường chuyên biệt Các em là những học sinh ưu tú của các dân tộc, được nuôi dạy và đảm bảo các điều kiện phát triển toàn diện, trong tương lai họ sẽ là cán bộ người dân tộc, là lực lượng lao động có trình độ văn hóa và khoa học kỹ thuật trong sự nghiệp phát triển kinh tế

-xã hội ở vùng dân tộc và miền núi 100% học sinh được nhà nước cấp học bổng, ăn

ở, sinh hoạt tại trường, dễ tìm tài liệu học tập, trao đổi với bạn bè và thầy cô, các

em có nhiều thời gian rảnh nên rất thuận lợi cho việc tự học

Qua quá trình công tác, trao đổi với giáo viên chủ nhiệm và giáo viên bộ môn, tôi nhận thấy việc hướng dẫn tự học hiện nay đa số đang dừng lại ở việc hoàn thành các bài tập trong sách giáo khoa, nhiều giáo viên chú trọngcho học sinh tự

làm toán mà chủ yếu là giải toán cho học sinh, quan tâm số lượng hơn là chất lượng; trong quá trình dạy học ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận, chưa định hướng để học sinh khai thác, mở rộng, phát triển bài toán Nhiều giáo viên còn cho rằng giải xong một bài toán là kết thúc hoạt động, do đó hiệu quả học tập của các em học sinh chưa được như mong muốn

Xuất phát từ những lý do trên tôi mạnh dạn đưa ra vấn đề: “Nâng cao hiệu quả tự học của học sinh ở trường PTDTNT THCS Quỳ Hợp thông qua việc khai thác, phát triển một số bài toán cơ bản ở Đại số 8” để nghiên cứu Một mặt

nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của mình, mặt khác giúp các em tìm thêm cách giải, khai thác thêm những ý của bài toán, để từ đó nâng cao hiệu quả tự học của bản thân

II Mục đích nghiên cứu

- Nâng cao ý thức tự học cho học sinh để từ đó nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường

- Phát huy trí tuệ, rèn luyện khả năng suy luận logic; phát triển tính sáng tạo

và linh hoạt đồng thời rèn luyện óc quan sát và phán đoán cho học sinh

- Giúp giáo viên và học sinh có một tài liệu cụ thể chi tiết, tương đối đầy đủ

và có hệ thống về các dạng bài tập vận dụng đẳng thức và các bài toán liên quan

- Thông qua nội dung, phương pháp, các sai lầm mà học sinh hay mắc phải cùng các bài tập vận dụng nhằm: củng cố lý thuyết và phát huy trí tuệ cho học sinh, rèn luyện khả năng suy luận lô gíc; phát triển tính sáng tạo và linh hoạt đồng thời rèn luyện óc quan sát và phán đoán cho học sinh

III Phương pháp nghiên cứu

Thông qua việc trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng HSG và nghiên cứu tài liệu tôi đã rút ra được một số dạng bài tập và cách giải

Thông qua việc trực tiếp giảng dạy và chấm bài của học sinh tôi rút ra được sai lầm mà học sinh thường mắc phải

IV Phạm vi nghiên cứu và sử dụng

Một số dạng toán vận dụng chứng minh đẳng thức rất cơ bản trong sách giáo khoa lớp 8

Tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 8, đặc biệt là học sinh khá giỏi

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.

1 Thuận lợi

- 100% học sinh được hưởng học bổng, các em ở tập trung tại trường nên dễ

trao đổi, thảo luận; có thời gian để tự học; được nhà trường tổ nuôi dưỡng, chăm sóc, nhà trường tạo mọi điều kiện thuận lợi để các em tập trung vào học tập;

- Chất lượng đầu vào tương đối tốt, trình độ các em tương đương nhau tạo điều kiện thuận lợi trong việc truyền tải kiến thức, tổ chức các nhóm nhỏ học tập

từ giáo viên cho học sinh;

- Nhà trường có đủ tài liệu học tập, bố trí phòng đọc; có phòng tin học kết nối mạng internet giúp các em khai thác, tìm tòi các nguồn học liệu

2 Khó khăn

- Trường đã xây dựng xong giai đoạn 1, chưa triển khai giai đoạn 2 nên

thiếu sân chơi bãi tập, thiếu phòng ở nội trú, phải bố trí mỗi phòng ở số lượng học sinh tương đối lớn gây ảnh hưởng đến hoạt động tự học của học sinh

- Học sinh nhà trường đa số là con em đồng bào thuộc các xã đặc biệt khó khăn của huyện nhà, lần đầu sống xa gia đình, các em còn bỡ ngỡ, rụt rè, nhiều em

tự ti không chịu khó tìm tòi học tập, chưa chủ động khai thác, mở rộng bài toán

- Giáo viên chưa mạnh dạn hướng dẫn, định hướng cho học sinh khai thác, tìm tòi lời giải, hướng phát triển mở rộng của các bài toán

3 Thực trạng

- Nhà trường đã quản lý tốt nề nếp cho học sinh tự học vào các buổi chiều, buổi tối ngoài giờ lên lớp, tuy nhiên do không gian tự học của học sinh hẹp, số lượng học sinh trong mỗi phòng đông nên việc tập trung tư duy để nghiên cứu tìm lời giải cho một bài toán nhiều khi gặp khó khăn với học sinh

- Cách giảng dạy của giáo viên đang tập trung vào đi giải bài toán, tăng số lượng bài tập mà chưa chú trọng đến định hướng để học sinh tự nghiên cứu, khám phá, phát triển, mở rộng bài toán

- Học sinh thụ động trong cách tự học, đa số các em chỉ dừng lại ở các bài tập trong sách giáo khoa mà chưa biết khai thác, mở rộng bài toán

4 Kết quả khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến

Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã ra đề kiểm tra 15 phút cho HS của một khối học sinh lớp 8 (đội tuyển HSG), hình thức tự luận Để kiểm tra khả năng làm bài và cách trình bày của HS như thế nào Kết quả đạt được như sau:

Từ kết quả khảo sát thông qua bài kiểm tra trên cho thấy chất lượng HS nắm bài còn thấp, đặc biệt là cách trình bày lời giải chưa chặt chẽ dẫn đến kết quả không đạt được điểm tối đa cho mỗi phần mỗi câu trong bài

5 Các định hướng để khai thác bài toán.

Chứng minh các đẳng thức

Chứng minh các đẳng thức: ( ?1 và ?3 trang 9; 10 sách giáo khoa Đại số 8)

Chứng minh các đẳng thức:

Giải:

Ta có (a+b)2 = (a+b)(a+b) = (a+b)a + (a+b)b = a.a + b.a + a.b + b.b = a2 +2ab + b2 Vậy (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Nếu thay “b” = “-b” từ bài toán trên ta có:

(a-b)2 = [(a+(-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2

Vậy (a-b)2 = a2 – 2ab + b2

Đa số giáo viên và học sinh chỉ dừng lại ở kết quả giải bài tập này chưa đặt

ra là các đẳng thức trên có thể vận dụng được không và vận dụng như thế nào Từ

đó ta có định hướng:

Đinh hướng 1 Ta hãy cộng đẳng thức (1) và (2) vế theo vế xem sao Ta có

(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 + b2) dẫn các em học sinh đến với bài toán mới:

Bài toán 1.1: Chứng minh rằng: (a+b)2 + (a-b) 2 = 2(a 2 + b 2 ). (3)

Định hướng 2: Đẳng thức trên thể hiện mối quan hệ giữa tổng, hiệu và tổng

các bình phương Như vậy nếu biết hai trong ba đại lượng ta dễ dàng tìm được đại lượng còn lại Vận dụng giải các bài toán sau:

Bài toán 1.2: Cho hai số a, b thỏa mãn

+ = 4 Tính giá trị của biểu thức A = –

Lời giải: Học sinh có thể giải bài toán này theo cách khác, tuy nhiên có thể

sử dụng đẳng thức trên Đặt x = ; y = , rõ ràng là x

> y Từ giả thiết ta có x + y = 4, x2 + y2 = 10 Áp dụng đẳng thức (3) ta suy ra (x – y)2 = 2(x2+y2) – (x+y)2 (x-y)2 = 2.10 – 42 = 4 Do đó x – y = 2

hợp với đẳng thức x – y = 2 ta có thể tìm được cả x và y

Bài toán 1.3: Giải phương trình: 8+ x + 5− x =5

Hướng dẫn: ĐKXĐ: 0 x 25 Tương tự lời giải của bài toán 1.2 ta có

Từ đó suy ra:

Thỏa mãn điều kiện

Thử lại đúng, vậy phương trình có nghiệm x = 1

Định hướng 3: Nếu cộng hai đẳng thức (1) và (2) ta có một đẳng thức mới,

vậy nếu lấy đẳng thức (1) trừ đẳng thức (2) vế theo vế thì sao?, ta có bài toán:

Bài toán 1.4: Chứng minh rằng: (a+b)2 – (a-b) 2 = 4ab. (4)

Định hướng 4: Đẳng thức (4) cho ta mối quan hệ giữa tổng, hiệu và tích của

hai số Khai thác kết quả này ta có một số bài toán sau:

Hướng dẫn: Đặt = a, = b, ta có a + b = 10, a.b = 1

Áp dụng đẳng thức (4) ta suy ra (a – b)2 = 96 Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a – b = 4 kết hợp với a + b = 10⇒ ⇒ x = -2

Trường hợp 2: a – b = -4 kết hợp với a + b = 10⇒ ⇒ x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm {-2; 2}

Định hướng 5: Lấy (1) chia (2) với giả thiết rằng a b ta có:

Lưu ý: Nếu có thêm mối liên hệ giữa a.b và a2 + b2 ta sẽtính được giá trị

biểu thức , từ đó hãy giải bài toán sau:

Bài toán 1.6: Cho a > b > 0 thỏa mãn điều kiện 3a2 + 3b 2 = 10ab Tính

giá trị của biểu thức: P =

P = 2 (vì a > b > 0 ⇒ P > 0)

Định hướng 6: Trở lại với bài toán: a 2 + b 2 - 2ab = (a-b) 2 Như vậy nếu có

a 2 + b 2 - 2ab = 0, suy ra (a - b) 2 = 0 hay a = b Hoàn toàn tương tự ta cũng có: b 2

+ c 2 – 2bc = 0 (b-c) 2 = 0 hay b = c; c 2 + a 2 – 2ca = 0 (c-a) 2 = 0 hay c = a

Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được: 2(a 2 + b 2 + c 2 ) – 2ab – 2bc – 2ca = 0 (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 = 0 khi và chỉ khi a = b = c.

Hay a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca a = b = c (5) Từ đó hãy chứng minh bài toán sau:

Bài toán 2.1: Chứng minh rằng:(a + b + c)2

= 3(ab + bc + ca) a = b = c.

Đinh hướng 7: Hãy nhân cả 2 vế của a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca với 2 rồi

cộng vào hai vế với a2 + b2 + c2 cho ta bài toán khác

Bài toán 2.2: Chứng minh rằng: (a + b + c)2 = 3(a 2 + b 2 + c 2 ) a = b = c.

Vận dụng kết quả của các bài toán này như các công cụ giải toán ta có thể đinh hướng để học sinh giải quyết được một số bài toán hay và khó như sau:

Bài toán 2.3: Cho ba số a, b, c thỏa mãn (a + b + c) 2 = 3(a 2 + b 2 + c 2 ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = a 2 + (a+2)(b+c) + 2022.

Lời giải: Theo bài toán 2.2 ta có (a+b+c)2 = 3(a2+b2+c2) a = b = c Thay vào

biểu thức A ta suy ra: A = a2 + (a+2)(a+a) + 2022 = 3a2 + 4a + 2022 = 3(a+ )2 +

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là khi a = -

Vận dụng kết quả trên ta cũng có bài toán khác

Bài toán 2.4: Giải các hệ phương trình sau:

a

b

Lời giải: a Từ phương trình (*) và (5) ta suy ra x = y = z Thay vào (**) ta

có x2002 = y2002 = z2002 = 32002⇒ x = y = z = 3 hoặc x = y = z = -3

b Giải tương tự như trên ta được x = y = z = 3

Khi đó

Như vậy nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca = k ta dễ dàng suy ra được x, y, z

Từ nhận xét cho ta bài toán mới:

Định hướng 7: Từ (5) nếu ta thay a bởi ; b bởi ; c bởi ta có bài toán:

Bài toán 2.5: Chứng minh rằng: 2 2 2

Vận dụng kết quả này như là một bài toán đã biết, khai thác nó ta tìm được một số kết quả thú vị sau:

Bài toán 2.6: Tìm ba số a, b, c biết rằng a + b + c = 12abc và

.

Lời giải: Do ⇒ abc 0 Chia cả hai vế của đẳng thức

a+b+c=12abc cho abc ta được Theo bài toán 2.5 ⇒ a = b = c =

Định hướng 8: Thay “12” bởi số “k > 0” ta có bài toán tổng quát.

Bài toán 2.7: Biết rằng a + b + c = kabc và 2 2 2

k

a +b +c = (k > 0) Tìm

các số a, b, c theo k.

Định hướng 9: Từ đẳng thức nhân cả hai vế của

Ta có bài toán mới:

Bài toán 2.8: Cho các số a, b, c thỏa mãn Tính

giá trị của biểu thức A =

a b b c c a

c c b c a a a c a b b b a b c

Lời giải: Từ nhận xét trên, ⇒ a = b = c thay vào

biểu thức và rút gọn suy ra A =

Bản chất của bài toán này là a = b = c, từ đó giáo viên dễ dàng tạo ra được các bài toán cùng loại cho các em học sinh luyện tập

Như vậy, xuất phát từ một kết quả có thể xem là hiển nhiên cùng với sự định hướng, dẫn dắt khéo léo của giáo viên đã giúp các em học sinh tự học, tự tìm ra và giải quyết được các bài toán mới, các bài toán hay và khó Hơn thế nữa là các em học sinh có thể tự tìm cho mình phương pháp học hiệu quả thông qua các hoạt động học tập tích cực và sáng tạo

Bây giờ ta lại biến đổi giả thiết bài toán 2.5 theo hướng khác

Định hướng 10: Từ bài toán:

Như vậy nếu cho , ta dễ dàng suy ra

Bài toán 2.9: Giải hệ phương trình:

1 1 1

3

3

x y z

xy yz zx

 + + =







Hướng dẫn: Xuất phát từ nhận xét trên các em học sinh dễ dàng có được

từ đó suy ra x = y = z = 1.

Việc phân tích kỹ càng lời giải của bài toán có thể hướng các dễ dàng đến với bài toán tổng quát

Bài toán 2.10: Giải HPT sau theo a > 0:

1 1 1

3a ( )

( )

I

x y z

a II

xy yz zx

 + + =







Hướng dẫn: Từ (I) bình phương hai vế kết hợp với (II) ta có

em học sinh dễ dàng tìm được kết quả bài toán

Định hướng 11: Nếu xyz = 1 ⇒ x + y + x =

Như vậy nếu có x + y + z = ta suy ra

từ đó ta xét bài toán sau:

Bài toán 2.11: Biết ba số a, b, c thỏa mãn abc = 1 và Tìm các số a, b, c.

Lời giải: Đặt x = , y = , z = ⇒ xyz = 1 (vì abc = 1) Từ giả thiết suy ra

x + y + z = (*) Mà xyz = 1 ⇒ x + y + z =

⇒ x = y = z = 1 Vậy a = b = c = 1

Đến đây ta thấy rằng từ bài toán cơ bản ban đầu, dưới sự định hướng, dẫn dắt học sinh theo đường lối này không chỉ giúp các em giải được các bài toán đặc biệt là bài toán khó mà còn cho các em thấy được sự phát triển của mạch kiến thức Các em được rèn luyện những thao tác tư duy, khả năng xâu chuỗi và tổng hợp hệ thống các bài toán trong mối quan hệ biện chứng, điều quan trọng hơn là giáo dục cho các em không được xem nhẹ các kiến thức cơ bản, không xem thường các bài toán dễ bởi nó là cơ sở, là tiền đề cho bài toán khó mà ta sẽ gặp sau này

Trên cơ sở từ bài tập cơ bản, với định hướng của giáo viên học sinh có thể tự nghiên cứu, tìm tòi để tìm ra hướng đi mới cho bài toán để từ đó nâng cao được nâng cao hiệu quả tự học của các em đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường

6 Những vấn đề mới được hình thành, những kinh nghiệm rút ra, những sản phẩm chính, những kết quả đạt được của SSKN

6.1 Những vấn đề mới được hình thành

- Đề tài là sự tìm tòi nghiên cứu và sáng tạo của bản thân trong quá trình quản lý dạy học, đáp ứng việc nâng cao chất lượng giáo dục, đồng thời hạn chế, khắc phục tình trạng học sinh chưa coi trọng việc nắm kiến thức cơ bản, thiếu chủ động trong việc khai thác, mở rộng bài toán, thiếu tư duy sáng tạo

- Đổi mới phương pháp dạy học: Trong quá trình dạy học tăng cường định

hướng khai thác bài toán, coi trọng việc tự học; coi trọng sự sáng tạo, phát hiện mới của học sinh

- Kiểm tra đánh giá: Đổi mới trong cách ra đề để phát huy tính tự học đồng

thời làm cho học sinh thấy được nếu không tự học thì không thể làm bài được

6.2 Kinh nghiệm trong việc khai thác bài toán cơ bản để nâng cao hiệu quả tự học

- Dạy cho học sinh nắm được và coi trọng kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa; phát huy tinh thần tự học, đặc điểm tình hình của nhà trường để thúc đẩy phong trào tự học trong học sinh

- Luôn đặt câu hỏi, định hướng cho học sinh khai thác các hướng đi mới sau khi giải các bài toán cơ bản; giao nhiệm vụ cho học sinh về nhà các phát tập mà học sinh phải phát huy tìm tòi lời giải từ bài toán cơ bản thì mới giải quyết được nhiệm vụ

- Vận dung tốt lý thuyết “Vùng phát triển gần nhất” của Vygotsky để xâu chuổi, hệ thống, phát triển bài toán theo một trình tự logic, hợp lý tạo hứng thú học tập và sáng tạo cho học sinh

- Phát huy vai trò tự học, tự nghiên cứu, tinh thần sáng tạo của mỗi người thầy Người thầy phải không ngừng tự học để nâng cao chuyên môn nghiệp vụ của mình

6.3 Những kết quả đạt được của SSKN

- Học sinh chủ động hơn trong vấn đề tự học, luôn trăn trở, tìm tòi, khám phá bài toán, khắc phục được “hiện tượng” trước đây các em luôn cảm thấy “hết” bài tập sau khi hoàn thành các bài tập trong sách giáo khoa

- Tư duy sáng tạo, độc lập suy nghĩ, tự tìm lời giải của bài toán trong học sinh tăng lên rõ rệt;

- Việc định hướng, khai thác các bài tập cơ bản giúp các em cũng cố các kiến thức đã học; biết vận dụng kiến thức đã học và bài tập;phát hiện kiến thức mới trên cơ sở kiến thức đã biết; rèn luyện kỹ năng trình bày cho học sinh; tạo niềm tin, hứng thú học tập; phát triển tư duy toán học thông qua các thao tác tư duy khái quát hoá, đặc biệt hóa, tương tự hóa, tư duy thuận đảo,