Các câu hỏi chỉ có tính tham khảo, có 1 số câu ñáp án sai.. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Câu 1... Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu có thể tích V.. Cho S là mặt phía ngoài của hình lập phương Ω
Trang 1Trang 1
M ỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A 3
Chú ý Các câu hỏi chỉ có tính tham khảo, có 1 số câu ñáp án sai
I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
Câu 1 Vi phân cấp một của hàm số z = x2 + 4y là:
a) dz =2xdx+4 dy ; b) y dz =2xdx+4 ln 4dy ; c) y dz =2xdx+y4y 1− dy ; d) dz =2xdx+y4 ln 4dy y
Câu 2 Vi phân cấp một của hàm số z = ln( x−y là: )
=
−
dx dy
dz
x y ; b)
−
=
−
dy dx dz
−
=
−
dx dy dz
2(x y); d)
−
=
−
dy dx dz
2(x y)
Câu 3 Vi phân cấp một của hàm số z = arctg(y−x) là:
dz
1 (x y) ; b)
−
=
dx dy dz
1 (x y) ; c)
−
=
dy dx dz
1 (x y) ; d)
=
dx dy dz
1 (x y)
Câu 4 Vi phân cấp 2 của hàm số z = sin x2 +e là: y 2
a) d z2 = 2 sin xdx2+2ye dy ; y 2 2 b) d z2 = 2 cos 2xdx2+e (4yy 2 2+2)dy ; 2
c) d z2 = −2 cos 2xdx2 +2ye dy ; y 2 2 d) d z2 = cos 2xdx2 +e dy y 2 2
Câu 5 ðạo hàm riêng cấp hai z '' của hàm hai biến =xx z xey +y2 +y sin x là:
a) z ''xx = −y sin x ; b) z ''xx = y sin x ; c) = y +
xx
xx
z '' e y sin x
Câu 6 Cho hàm hai biến z = ex 2y+ Kết quả ñúng là:
a) = x 2y+
xx
yy
xy
z '' 2.e ; d) Các kết quả trên ñều ñúng
Câu 7 Cho hàm số z = f(x, y)= e2x 3y+ Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) n = +
(n) n 2x 3y
x
(n) n 2x 3y x
(n) n 2x 3y x
(n) 2x 3y x
Câu 8 Cho hàm số z = f(x, y)= sin(x+y) Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) (6)3 3 = +
x y
z sin(x y) ; b) (6)3 3 = +
x y
z cos(x y) ; c) (6)3 3 = − +
x y
z sin(x y) ; d) (6)3 3 = − +
x y
Câu 9 Cho hàm số z = f(x, y)= x20+y20 +x y Hãy chọn ñáp án ñúng ? 10 11
a) (22)3 19 = (22)3 19 =
z z 1 ; b) (22)7 15 = (22)6 16 =
z z 0 ; c) (22)13 9 = (22)6 16 =
z z 2 ; d) (22)11 11 = (22)11 11 =
Câu 10 Cho hàm số z = f(x, y)= xy+y cos x+x sin y Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) 2 =
(4)
xyx
(4) xyx
(4) xyx
(4) xyx
Câu 11 Cho hàm số z = f(x, y)= e Hãy chọn ñáp án ñúng ? xy
a) 5 =
(5) 5 xy
x
(5) 5 xy x
(5) xy x
(5) x
z 0
Câu 12 Vi phân cấp hai d z của hàm hai biến =2 z y ln x là:
2
2
2
2
Câu 13 Vi phân cấp hai d z của hàm hai biến =2 z x2 +x sin y là: 2
a) d z2 = 2 cos 2ydxdy−2x sin 2ydy ; 2 b) d z2 = 2dx2 +2 sin 2ydxdy+2x sin 2ydy ; 2
c) d z2 = 2dx2−2 sin ydx2 2 −2x cos 2ydy ; 2 d) d z2 = 2dx2 +2 sin 2ydxdy+2x cos 2ydy 2
Câu 14 Vi phân cấp hai của hàm hai biến z = x y là: 2 3
a) d z2 = 2y dx3 2 +12xy dxdy2 +6x ydy ; 2 2 b) d z2 = 2y dx3 2−12xy dxdy2 +6x ydy ; 2 2
c) d z2 = y dx3 2+6x ydy ; 2 2 d) d z2 =(2xy dx3 +3x y dy) 2 2 2
Câu 15 Cho hàm z = x2 −2x+y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? 2
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 0); b) z ñạt cực tiểu tại M(1; 0);
c) z có một cực ñại và một cực tiểu; d) z không có cực trị
Trang 2Câu 16 Cho hàm z = x4−8x2 +y2 +5 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại I(0, 0); b) z ñạt cực tiểu tại J(–2; 0) và K(2; 0);
c) z chỉ có hai ñiểm dừng là I(0; 0) và K(2; 0); d) z không có cực trị
Câu 17 Cho hàm z = x2 +xy+y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? 2
a) z ñạt cực ñại tại O(0; 0); b) z không có cực trị;
c) z ñạt cực tiểu tại O(0; 0); d) Các khẳng ñịnh trên sai
Câu 18 Cho hàm z = x2 −y2 +2x− +y 1 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại − −
1
M 1;
2 ; b) z ñạt cực tiểu tại
− −
1
M 1;
2 ; c) z không có cực trị; d) Các khẳng ñịnh trên sai
Câu 19 Cho hàm z = x3+27x+y2 +2y+1 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z có hai ñiểm dừng; b) z có hai cực trị; c) z có một cực ñại và một cực tiểu; d) z không có cực trị
Câu 20 Cho hàm z = x4−y4−4x +32y+8 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 2); b) z ñạt cực tiểu tại M(1; 2);
c) z không có ñiểm dừng; d) z không có ñiểm cực trị
Câu 21 Cho hàm z = 3x2−12x+2y3+3y2−12y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z có một cực ñại và một cực tiểu; b) z chỉ có một ñiểm cực ñại;
c) z không có ñiểm dừng; d) z chỉ có một cực tiểu
Câu 22 Cho hàm z = x3−y2−3x+6y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 3); b) z ñạt cực tiểu tại N(–1; 3);
c) z có hai ñiểm dừng; d) Các khẳng ñịnh trên ñều ñúng
Câu 23 Cho hàm z = −2x2 −2y2 +12x+8y+5 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(3; 2); b) z ñạt cực ñại tại M(3; 2);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị; d) z không có ñiểm dừng
Câu 24 Cho hàm z = −3x2+2ey −2y+3 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; 0); b) z ñạt cực ñại tại M(0; 0);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị; d) z không có ñiểm dừng
Câu 25 Cho hàm z = x2 − −y ln y −2 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; –1); b) z ñạt cực ñại tại M(0; –1);
c) z luôn có các ñạo hàm riêng trên ℝ ; 2 d) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị
Câu 26 Cho hàm z = xey +x3 +2y2−4y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; 1); b) z ñạt cực ñại tại M(0; 1);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị; d) z không có ñiểm dừng
2 , với x∈ ℝ,−π <y < π Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại π
M 1;
3 ; b) z ñạt cực tiểu tại
π
−
M 1;
3 ; c) z ñạt cực tiểu tại π
M 1;
3 ; d) z có một ñiểm cực ñại và một ñiểm cực tiểu
Câu 28 Tìm cực trị của hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 +y2+z2 −8x+2y−2z+ =2 0
a) z ñạt cực tiểu tại M(4; –1); b) z ñạt cực ñại tại M(4; –1);
c) tại M(4; –1) vừa là ñiểm cực ñại vừa là ñiểm cực tiểu; d) z không có ñiểm dừng
Câu 29 Tìm cực trị của hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 +y2+z2 −4x+12y +2z− =8 0
a) z ñạt cực tiểu tại M(2; –6) và zCT = –8; b) z ñạt cực ñại tại M(2; –6) và zCð = 6;
c) cả câu a) và b) ñều ñúng; d) z chỉ có ñiểm dừng là M(2; –6)
Câu 30 Tìm cực trị của hàm z =2x2 +y2−2y−2 với ñiều kiện –x + y + 1 = 0 Chọn khẳng ñịnh ñúng ?
a) z ñạt cực tiểu tại −
3 3 ; b) z ñạt cực ñại tại
−
3 3 ; c) z ñạt cực ñại tại M(1, 0) và −
3 3 ; d) z ñạt cực tiểu tại M(1, 0) và
−
3 3
Câu 31 Tìm cực trị của hàm z = 3x+4y với ñiều kiện x2
+ y2 = 1
Trang 3Trang 3
a) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5); b) z đạt cực tiểu tại M(–3/5, –4/5);
c) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5) và đạt cực tiểu tại N(–3/5, –4/5);
d) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) và đạt cực đại tại N(–3/5, –4/5)
Câu 32 Tìm cực trị của hàm z = xy với điều kiện x2 + y2 =1
a) z đạt cực đại tại N1(2, –1) và N2(–2, 1); b) z đạt cực tiểu tại M1(2, 1) và M2(–2, –1);
c) z đạt cực đại tại M1(2, 1); M2(–2, –1) và đạt cực tiểu tại N1(2, –1); N2(–2, 1);
d) z đạt cực tiểu tại M1(2, 1); M2(–2, –1) và đạt cực đại tại N1(2, –1); N2(–2, 1)
II TÍCH PHÂN BỘI – ðƯỜNG – MẶT
Câu 1 Xác định cận của tích phân
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
2
y = x + x , y =2x
a)
2
0 x x
1 2x
I dx f(x, y)dy
+
−
2
0 2x
2 x x
I dx f(x, y)dy
= ∫ ∫ c)
2
1 x x
0 2x
I dx f(x, y)dy
+
2
1 2x
0 x x
I dx f(x, y)dy
+
= ∫ ∫
Câu 2. Xác định cận của tích phân
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
2
y = 3x, y = x
a)
2
3 x
0 3x
I = ∫ ∫dx f(x, y)dy b)
2
9 3x
0 x
I = ∫ ∫dx f(x, y)dy
c)
9 y
0 y / 3
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx d)
3 y
0 y 3
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx
Câu 3. Xác định cận của tích phân
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đườngy =2 x, y = x
a)
4 x
0 2 x
2 2 x
0 x
I = ∫ ∫ dx f(x, y)dy c)
4 2 x
0 x
4 y
0 y
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx
Câu 4. Xác định cận của tích phân
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
D : x + ≤y 1, x− ≤y 1, x ≥ 0
a)
1 1 x
0 x 1
−
−
1 x 1
0 1 x
−
−
c)
1 1
0 0
1 1
0 1
−
Câu 5. Trên miền lấy tích phân D : a ≤ x ≤b, c ≤ ≤y d, viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng định nào sau đây đúng?
a)
f(x, y)dxdy = f(x)dx f(x, y)dy
f(x+ y)dxdy = f(x)dx+ f(y)dy
f(x)+g(x) dxdy= f(x)dx+ g(y)dy
f(x)g(y) dxdy = f(x)dx g(y)dy
Trang 4Câu 6. Đổi thứ tự tính tích phân
1 4 x
1 x
I = ∫ ∫dx f(x, y)dy Kết quả nào sau đây đúng?
a)
2
1 4 y
1 y
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx b)
2
1 2 y
1 y
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx
c)
1 4 y 1 / 2 1 / 4
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx + ∫ dy∫ f(x, y)dx d)
2
1 / 4 y
1 y
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx
Câu 7. Đặt
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(1, 0) và B(1, 1) Khẳng định nào sau đây là đúng?
a)
I = ∫ ∫dx f(x, y)dy = ∫ ∫dy f(x, y)dx b)
I = ∫ ∫ dx f(x, y)dy = ∫ ∫ dy f(x, y)dx.
c)
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx = ∫ ∫dx f(x, y)dy d)
I = ∫ ∫dy f(x, y)dx = ∫ ∫dx f(x, y)dy
Câu 8. Đặt
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là A(0, 1); B(1, 0) và C(1, 1) Khẳng định nào sau đây là đúng?
a)
−
−
−
c)
I dx f(x, y)dy dy f(x, y)dx
Câu 9. Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực
D
I = ∫∫ f(x, y)dxdy, trong đó D là hình tròn x2 + y2 ≤ 4y.Đẳng thức nào sau đây đúng?
a)
2 4
0 0
π
/ 2 4 cos
I d rf(r cos , r sin )dr
= ∫ ϕ ∫ ϕ ϕ
c)
4 sin
2
0 0
π
Câu 10 Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực 2 2
D
I = ∫∫ f( x +y )dxdy, trong đó D là nửa hình tròn
2 2
x + y ≤1, y ≥ 0, ta có
a)
2 1
0 0
π
/ 2 1
0 0
I d rf(r)dr
π
1
0
I = π ∫ rf(r)dr d)
/ 2 1
0 0
I d f(r)dr
π
= ∫ ϕ∫
Câu 11. Tính tích phân
2 ln x
y
1 0
I = ∫ ∫dx 6xe dy
a) I = 0 b) I = 1 c) I = 3 d) I = 5
Câu 12 Tính tích phân kép:
D
I = ∫∫ (sin x +2 cos y)dxdy, trong đó D là hình chữ nhật
0≤ x ≤ π/ 2; 0 ≤ ≤ πy
a) I = π b) I = −π c) I = π2 d) I = − π2
Câu 13. Tính tích phân kép: 3
D
I = ∫∫ xy dxdytrong đó D là hình chữ nhật 0 ≤ x ≤1; 0≤ ≤y 2
a) I = 0 b) I = 2 c) I = 4 d) I = 8
Trang 5Trang 5
Câu 14. Tính tích phân
D
I = ∫∫ xydxdytrong đó D là hình chữ nhật 0 ≤ x ≤1; 0≤ ≤y 2
a) I = 1 b) I = 2 c) I = 1/2 d) I = 1/4
Câu 15. Tính tích phân x y
D
I = ∫∫ e + dxdytrong đó D là hình vuông 0≤ x ≤1; 0 ≤ ≤y 1
a) I = e2 b) I = e2 −1 c) I =(e−1)2 d) I = 2(e−1)
Câu 16. Tính tích phân 2 2
D
I = ∫∫ (x + y )dxdytrong đó D là hình tròn x2 +y2 ≤1 a) I = π/ 2 b) I = π2 / 3 c) I = π /4 d) I = π /8
Câu 17. Tính tích phân = ∫∫ +
D
dxdy y
x
I ( 2 2)2 trong đó D là hình tròn x2 + y2 ≤ 1 a) I = −π /3 b) I = 2π /3 c) I = 2π /5 d) I = π /3
Câu 18. Tính tích phân kép = ∫∫ +
D
dxdy y x
I 2 2 trong đó D là hình vành khăn1≤ x2 + y2 ≤ 4 a) I = π /2 b) I = π c) I = 2π d) I =14π /3
Câu 19. Xét tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật Ω : a1 ≤ x ≤ a2; b1 ≤ y ≤ b2; c1 ≤ z ≤ c2
Công thức nào sau đây đúng?
Ω
2
1 2
1 2
1
) ( )
( )
( )
, ,
(
c
c b
b a
a
dz z f dy y f dx x f dxdydz z
y
x
f
Ω
2
1 2
1 2
1
) ( )
( )
( )
( ) ( )
(
c
c b
b a
a
dz z h dy y g dx x f dxdydz
z h y g
x
f
Ω
2
1 2
1 2
1
) (
c
c b
b a
a
zdz ydy
xdx dxdydz
z y
Ω
2
1 2
1
b
b c
c
ydy xdx xydxdydz
Câu 20. Xác định cận của tích phân ∫∫∫
Ω
dxdydz z
y x
f ( , , ) trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt
x = 1, y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = 0
a) = ∫ ∫ ∫2
1 2
1
1
0
) , , ( x y z dz f
dy
dx
2
1 2
0 1
0
) , , ( x y z dz f
dy dx I
c) = ∫ ∫− ∫2
1 2
0
2
0
) , , ( x y z dz f
dy dx
I
x
d) ∫ ∫ ∫
−
−
=
y x
dz z y x f dy dx I
2 1
1 2
0 2
1
) , , (
Câu 21 Cho Ω là miền x2 + y2 ≤ 4 ; 0 ≤ z ≤ 2 Tính ∫∫∫
y x dxdydz
Câu 22. Cho miền Ω giới hạn bởi các mặt: z = 4 − x2 − y2, z = 0 Đặt ∫∫∫
Ω
= f x y z dxdydz
Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân, ta có
a) = ∫ −∫ ∫4
0 4
0 2
0
) , sin , cos (
2
dz z r
r f dr d
I
r
ϕ ϕ
ϕ
π
b) = ∫ ∫ −∫
2
4
0 2
0 2
0
) , sin , cos (
r
dz z r
r f rdr d
2
4
0 4
0 2 2
0
) , sin , cos ( sin
r
dz z r
r f dr r d
2
4
0 4
0 2
0
) , sin , cos (
r
dz z r
r f rdr d
Câu 23. Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ ∫∫∫
Ω
+
I cos 2 2 trong đó Ω là miền giới hạn bởi
z = − − và z = -8
Trang 6a) ∫ ∫ −∫
−
8 3
0
2
0
cos
r
rdz r
dr d
I
π
ϕ b) ∫ ∫ −∫
−
1 3
0 2
cos
r
rdz r
dr d I
π ϕ
c) = ∫ ∫ −∫8
1 1
0
2
0
cos
r dr d
I
π
ϕ d) ∫ ∫ ∫
−
8 3
0 2
0
cos
r dr d I
π ϕ
Câu 24. Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác định cận tích phân ∫∫∫
Ω
+ +
trong đó Ω là miền x2 + y2 + z2 ≤ 4 , z ≥ 0
a) = ∫π ϕ ∫ π∫ θ θ
0 2
0
3 2
0
.
dr r d
I b) = π∫ ϕ ∫ ∫π θ θ
0 2
0 2
0
.
dr r d I
c) = ∫ ∫ ∫/2
0 2
0
2
0
sin
π π
θ θ
ϕ r dr d
d
0 2
0 3 2
0
sin
π π
θ θ
ϕ r dr d d
I
Câu 25. Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác định cận tích phân
∫∫∫
Ω
+
I ( 2 2, ) , trong đó Ω là 1/2 hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ R2, x ≥ 0
0
2 2 2 2
/
0 2
0
) cos , sin (
ϕπ
π
−
I
0
2 2 2
0
2
/
2
/
) cos , sin (
ϕπ
π
π
0
2 2 2
0
0
) cos , sin (
ϕπ
π
−
−
R
d f
d d
π
) cos , sin (
0
2
/
2
/
Câu 26. Tính tích phân đường = ∫ +
C
dl y x
I ( ) , trong đó C có phương trình x + y = 1 , 0 ≤ x ≤ 1
Câu 27 Tính tích phân đường = ∫ −
C
dl y x
I ( ) , trong đó C có phương trình x + y = 1 , 0 ≤ x ≤ 1
Câu 28. Tính tích phân đường = ∫ +
C
dl y x
I ( 2 3 2) trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm A(0, 0) và B(1, 1)
a) I = 2 b) I = 4 2 c) I = 2 d) I = 2 2
Câu 29. Tính tích phân đường = ∫ +
C
dl y x
I ( 26 8 ) trong đó C là đoạn thẳng có phương trình 0
1
4
3 x + y + = nối A(0, –1/4) và B(1, –1)
Câu 30 Tính tích phân đường = ∫
C
xydl
I trong đó C là đường biên của hình vuông 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2
Câu 31 Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường
dy y
xy dx
x xy I
AB
) 1 4 2 ( ) 1 4 2
AB
) 1 4 2 ( ) 1 4 2
điểm A(2, 1) đến B(2, 0)
Trang 7Trang 7
Câu 33 Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I xydx x dy
OA
2 2
= lấy theo đường x + y = 0 từ gốc toạ độ O đến A
Câu 34. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường
dy y
xy dx
x xy I
AB
) 1 4 2 ( ) 1 4 2
Câu 35. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 0), tính tích phân đường I y x dx y dy
AB
) 1 ( ) 1 2
= ∫
lấy theo đường y = -x + 1 đi từ điểm A đến B
Câu 36 Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I xydx x dy
OA
2 2
= lấy theo đường x + y = 0 gốc toạ độ O đến A
Câu 37. Tính tích phân đường I xy dx yx dy
OA
) 3 (
) 1
= ∫ lấy theo đường y = 2x2 từ gốc toạ độ O đến A(1, 2)
OA
) 2 3 (
= ∫ lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(–1, –1)
Câu 39 Tính I x y dx x y dy
OA
2 2
) ( )
= ∫ lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(3, 0)
Câu 40. Cho C là hình tròn x2 + y2 = 9 Tính tích phân đường loại hai = ∫ +
C
xdy ydx I
Câu 41. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối A và B?
AB
dy y dx x
x
AB
dy y dx x
AB
dx y dy
x
I 2 2 d) = ∫ +
AB
dx y dy x
Câu 42 Tính tích phân mặt loại một: = ∫∫
S
ds
I , trong đó S là mặt z = 3 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2
Câu 43. Tính: = ∫∫ − +
S
ds z y x
I ( 2 2 ) , trong đó S là mặt 2 x − 2 y + z − 2 = 0 , 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2
Câu 44. Tính tích phân mặt loại một: = ∫∫
S
ds
I , trong đó S là mặt z = 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2
Câu 45 Tính tích phân mặt loại một: = ∫∫
S
xyds
I , trong đó S là mặt z = 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2
Câu 46 Tính tích phân mặt loại một: = ∫∫
S
xds
I , trong đó S là mặt của hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1]
Trang 8Câu 47. Tính tích phân mặt loại một: = ∫∫ + +
S
ds z y x
I ( ) , trong đó S là mặt của hình lập phương
[0,1]x[0,1]x[0,1]
Câu 48. Tính tích phân mặt = ∫∫
S
zdxdy
I trong đó S là mặt trên của mặt 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 , z = 2
Câu 49. Tính tích phân mặt = ∫∫
S
zdxdy
I trong đó S là mặt trên của mặt 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3 , z = 1
Câu 50. Tính tích phân mặt = ∫∫
S
dxdy
I trong đó S là mặt định hướng với pháp vector đơn vị dương (2/3, -2/3, 1/3) của mặt 2 x − 2 y + z = 1 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3
Câu 51. Cho S là mặt biên ngoài của miền Ω trong R3, hãy dùng công thức Gauss – Ostrogradski biến đổi tích phân mặt sau đây sang tích phân bội 3: = ∫∫ + +
S
dydx x dxdz z dzdy y
a) ∫∫∫
Ω
+ +
Ω
+ +
Ω
Câu 52. Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu có thể tích V Ta có
S
dxdy dxdz
dydz
S
zdxdy ydxdz
xdydz V
S
dxdy dxdz
dydz
V
3
1
d) = ∫∫ + +
S
zdxdy ydxdz
xdydz V
3 1
Câu 53. Cho S là mặt phía ngoài của hình lập phương Ω Đặt = ∫∫ + +
S
dxdy z dxdz y dydz x
a) ∫∫∫
Ω
+ +
I ( ) b) ∫∫∫
Ω
+ +
c) ∫∫∫
Ω
+ +
I 3 ( ) d) ∫∫∫
Ω
Câu 54 Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu W: x2 + y2 + z2 ≤ 9
S
dxdy z dxdz y dydz z
a) = ∫∫∫
W
dxdydz
I 9 b) = ∫∫∫ + +
W
dxdydz z
y x
W
dxdydz z
y
I 3 ( 2 2 2) d) = ∫∫∫ +
W
dxdydz z
y
Câu 55 Tính tích phân mặt = ∫∫ + +
S
ydzdx xdydz
zdxdy
I ( 2 )trong đó S là mặt biên ngoài của hình hộp
3 0
, 2 0
, 1
0
Câu 56 Tính tích phân mặt = ∫∫ + −
S
ydzdx xdydz
zdxdy
I ( 3 3 )trong đó S là mặt biên ngoài của hình trụ .
4 0
, 4
a) I = 2 π b) I = 8 π c) I = 16 π d) I = 32 π
Câu 57. Tính tích phân mặt = ∫∫ − +
S
ydzdx xdydz
zdxdy
I ( )trong đó S là mặt biên ngoài của hình cầu .
1 : 2 + 2 + 2 ≤
a) I = π b) I = 4 π / 3 c) I = 8 π / 3 d) I = 4 π
Trang 9Trang 9
III PH ƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 1 Cho biết một phương trình vi phân nào ñó có nghiệm tổng quát là y = Cx ðường cong tích phân nào sau
ñây của phương trình trên ñi qua ñiểm A(1, 2)?
a) y = 2 b) y = 3x c) y = 2x d) y = x/2
Câu 2 Hàm số y = 2x + Cex, C là hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân nào sau ñây ?
a) y’ – y = (1 + x)2 b) y’ – y = 2(1-x) c) y’ + y = (1+x)2 d) y’ + y = 2(1-x)
Câu 3 Phương trình vi phân nào sau ñây ñược ñưa về dạng phương trình tách biến ?
a) x (x2 +1)arctgydx+x(1+y )dy2 = 0 b) x (x2 +y)ln ydx+(1+y )(x2 −1)dy = 0
c) x (x2 +1)ln ydx+(x+y )(x2 −1)dy = 0 d) [x2 +(x+y) ]ln ydx2 +(1+y )(x2 −1)dy =0
Câu 4 Phương trình vi phân nào sau ñây ñược ñưa về dạng phương trình tách biến ?
a) x (x2 +1)ln ydx+(x+y )(x2 −y)dy = 0 b) x (x2 +y)ln ydx−(1+y )(x2 −1)dy = 0
c) x (x2 +y)ln ydx+(x+y )(x2 −1)dy = 0 d) [x2 +(x+1) ]ln ydx2 −(1+y )(x2 +1)dy = 0
Câu 5 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân + =
+
y
a) (x+1)y =C b) (x+1)+y =C c) C (x1 +1)+C y2 = 0 d) (x+1)2+y2 =C
Câu 6 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dx + dy =0
sin y cos x a) sin x+cos y =C b) sin x−cos y =C c) C sin x1 +C cos y2 = 0 d) C cos x1 +C sin y2 = 0
Câu 7 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân + =
0
a) arcsin x+arctgy = C b) arcsin x−arctgy = C
c) arctgx+arcsin y =C d) arctgx+ln | y+ 1−y |2 =C
Câu 8 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 2xydx+dy = 0
a) x y2 +y =C b) xy2 +y =C c)2xy+ =1 C d) x2+ln | y |=C
Câu 9 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1+y )dx2 +x ln xdy = 0
a) (1+y )x2 +x ln x =C b) ln | ln x |+arcsin y = C
c) ln | ln x |+ 1+y2 =C d) ln | ln x |+arctgy =C
Câu 10 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1−y )dx2 +x ln xdy = 0
a) x 1+y2 +xy ln x =C b) ln | ln x |+arcsin y = C
c) ln | ln x |+ 1−y2 =C d) ln | ln x |+arctgy =C
Câu 11 Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình ñẳng cấp?
+
dx x 5 b)
+
= +
+
+
= +
Câu 12 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân = − 2
2
y '
+
x y
C ln | x | b) =
+
x y
C ln | x | c) =
−
x y
C ln | x | d)
−
y
C ln | x |
Câu 13 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy ' = y+x
a) y = x(C+ln | x |) b) y = x(C−ln | x |) c) y = x / (C+ln | x |) d) y = x / (C−ln | x |)
Câu 14 Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình vi phân toàn phần?
a) (yex−xe )dxx +(ex−y sin y)dy2 = 0 ; b) (yex +xe )dxx +(ex +x sin y)dy2 = 0 ;
c) (yex +xe )dxy +(ex +y sin y)dy2 = 0 ; d) (yex −xe )dxy +(ex−y sin y)dy2 = 0
Câu 15 Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình vi phân toàn phần?
a) (y sin x−cos y)dx+(cos x−x sin y)dy = 0 ; b) (y sin x−cos y)dx−(cos x−x sin y)dy = 0 ; c) (y sin x+cos y)dx+(cos x+x sin y)dy = 0 ; d) (y sin x+cos y)dx−(cos x−x sin y)dy = 0
Câu 16 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ydx +xdy = 0
a) xy = C b) y =Cx c) x+y =C d) x− =y C
Trang 10Câu 17 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần (y+e )dxx +xdy =0
a) xy−ex =C b) xy+ex =C c) x+ +y ex =C d) x− +y ex =C
Câu 18 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần (ey +1)dx+(xey +1)dy = 0
a) xy−xey =C b) xy+xey =C c) x+ +y xey = C d) −x y+xey = C
Câu 19 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '+2y = 0
x a) =
2
C y
3
2C y
x
Câu 20 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ' cos x2 +y =0
a) y =Ce−tgx b) y =Cetgx c) y =C+etgx d) y = eC.tgx
Câu 21 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ' 3y− = 0
a) y =Ce−3x b) y =C−e3x c) y =Ce3x d) y =C+e 3x
Câu 22 Phương trình y ' y cos x− = 0 có nghiệm tổng quát là:
a) y =Cxe−cos x b) y =Cx+esin x c) y =C+e−sin x d) y =C.e−sin x
Câu 23 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '(1−e )x −e yx = 0
2
y
=
− c) y =C(1−e ) x d) y =C ln(1−e ) x
Câu 24 Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phg trình y '+2y = 4x ln x
x dưới dạng: a) =
2
C(x) y
3
C(x) y
x c) y = C(x)
x
Câu 25 Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phg trình − y = 4
y ' 3 x ln x
x dưới dạng: a) =
3
C(x) y
x b) y =C(x)−x 3 c) y =C(x)+x 3 d) y =C(x)x 3
Câu 26 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ' 2y− = e 2x
a) y = − +( x C)e b) 2x y =(x+C)e 2x c) y = − +( x C)e x d) y =(x+C)e x
Câu 27 Xét phương trình vi phân (2x3 +x)y dx2 +y x dy3 3 = 0 (1) Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp; b) (1) là phương trình vi phân ñưa ñược về dạng tách biến; c) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1; d) (1) là phương trình vi phân Bernoulli
Câu 28 Xét phương trình vi phân (y2+3xy)dx+(7x2 +4xy)dy = 0 (1) Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp; b) (1) là phương trình vi phân tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Câu 29 Xét phương trình vi phân (y2−2xy)dx+(x2 −5xy)dy = 0 (1) Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp; b) (1) là phương trình vi phân tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Câu 30 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '' 2y '− +5y = 0
y e (C cos 2x C sin 2x) c) y =C cos 2x1 +C sin 2x 2 d) = x + 2x
Câu 31 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ''+4y = 0
y e (C cos 2x C sin 2x) c) y =C cos 2x1 +C sin 2x 2 d) = 2x + −2x
Câu 32 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 4y '' 16y− = 0
a) = 2x + −2x
y e (C cos 2x C sin 2x)
Câu 33 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '' 22y ' 121y− + = 0