BÀI TẬP CHƯƠNG II

Do A khả nghịch, nên ma trận A ∗O Im cũng khả nghịch và do đó trong bài toán C, PA x, O thỏa mãn chặt n + m ràng buộc ĐLTT và do đó nó là một PACB của bàitoán C.. Giả sử bài toán tổng qu

BÀI TẬP CHƯƠNG II

1 Cho bài toán QHTT với hàm mục tiêu f (x, y) = 2x + 3y → min và tập phương ánđược tô màu đen trong hình dưới đây:

xy

14

Xác định phương án tối ưu của bài toán nếu có

Lời giải Bằng cách vẽ các đường thẳng 2x + 3y = c, trong đó c là một hằng số bất

kì, đi qua tập phương án, ta sẽ được PATƯ là (x, y) = (0, 0)

2 Cho bài toán QHTT với hàm mục tiêu f (x, y) = 2x + 3y → min và các ràng buộc

x, y ≥ 0

Vẽ đồ thị của tập phương án

Lời giải Để vẽ đồ thị của tập phương án, trước tiên ta vẽ các miền tương ứng vớitừng ràng buộc, rồi cuối cùng là lấy giao của các miền ấy Hơn nữa, do các ràng buộcdấu x, y ≥ 0, nên ta chỉ cần vẽ trên 1/4 đồ thị ở góc trên bên phải Đối với ràng buộc2x − ygleq0, trước tiên ta vẽ đường thẳng 2x − y = 0, đường thẳng này đi qua gốc tọa

độ và điểm (x = 2, y = 4), như sau:

O

2x − y = 0

24

Do điểm (x = 0, y = 4) làm cho 2x − y = −4 < 0 Nên ràng buộc 2x − y ≥ 0 tươngứng với phần đồ thị dưới đây:

xy

O

2x − y = 0

24

Tương tự như vậy, ràng buộc x − 3y ≤ 0 tương ứng với phần đồ thị dưới đây:

xy

O

x − 3y = 0

31

Tương tự như vậy, ràng buộc 3x + y ≤ 10 tương ứng với phần đồ thị dưới đây:

xy

O

3x + y = 10

321

4

Lấy phần giao của các ràng buộc, ta sẽ được đồ thị của miền ràng buộc là:

xy

14

3x + y = 10

x − 3y = 02x − y = 0

3 Cho bài toán QHTT với hàm mục tiêu f (x, y) = 2x + 3y → max và các ràng buộc

O

2x − y = 0

x − 3y = 0

321

4

Bài toán chỉ có một PACB là (x, y) = (0, 0) Khi cho đường thằng 2x + 3y = c, với

c là một hằng số bất kì, chạy qua tập phương án thì ta thấy: hàm mục tiêu không bịchặn trên tập PA nên bài toán không có PATƯ

4 Cho bài toán QHTT sau:

f = x + 8y → min2x + y ≤ 43x − 2y ≤ 6

5 Cho bài toán

x + 3y → max

Với các điều kiện

x + y ≤ 52x + y ≤ 10

x ≥ 1

y ≥ 0

y ≤ 4

Vẽ đồ thị biểu diễn tập PA, xác định tất cả các PACB, PACB suy biến

Lời giải Đồ thị biểu diễn của tập PA

PACB suy biến

PACB không suy biến

Từ đồ thị ta nhận thấy bài toán có 3 PACB là (1, 4), (5, 0), và (1, 0); trong đó có 2PACB suy biến là (1, 4) và (5, 0)

6 Giả sử bài toán tổng quát n biến (T) có dạng chính tắc là bài toán n + m biến(C) Cho biết trong bài toán (T), các biến đều có ràng buộc dấu ≥ 0 Chứngminh rằng nếu (x1, x2, , xn) ∈ Rn là một PACB của bài toán tổng quát (T) thì(x1, x2, , xn, 0, , 0) ∈ Rn+m là một PACB của bài toán chính tắc (C) tương ứng(giả sử để chuyển bài toán (T) sang (C), ta phải thêm vào m biến)

Lời giải Kí hiệu x = (x1, , xn) và O = (0, , 0) ∈ Rm Vì x là một PACB củabài toán T nên nó phải thỏa mãn chặt n ràng buộc ĐLTT trong (T) Trong bài toán(T), các ràng buộc này sẽ có vectơ tương ứng là A1, · · · , An ∈ Rn Do đó, trong bàitoán chính tắc tương ứng, phương án (x, O) thõa mãn chặt n ràng buộc tương ứng với

n ràng buộc A1, , An Ngoài ra PA (x, O) cũng thỏa mãn chặt các ràng buộc dấutương ứng với các biến được thêm vào Do đó PA (x, O) sẽ thỏa mãn chặt n + m ràngbuộc với các vectơ tương ứng như sau:

"

O Im

#, với A =







A1

Do A khả nghịch, nên ma trận A ∗

O Im cũng khả nghịch và do đó trong bài toán (C),

PA (x, O) thỏa mãn chặt n + m ràng buộc ĐLTT và do đó nó là một PACB của bàitoán (C)

7 Giả sử bài toán tổng quát n biến (T) có dạng chính tắc là bài toán n + m biến (C).Chứng minh hoặc cho phản ví dụ rằng nếu x ∈ Rn là một PA của (T) sao cho một

PA tương ứng trong (C), mà ta ký hiệu là (x, y) ∈ Rm+n, là một PACB của (C) thì

x là một PACB của (T)

Lời giải Phản ví dụ: Giả sử (T) có 2 biến với các ràng buộc x + y ≤ 3, và x ≥ 0.Lúc đó C sẽ có 4 biến với các ràng buộc là x + u − v + t = 3, và x, u, v, t ≥ 0 (thay ybởi u − v và thêm t để đạt dấu "=" PA (0,0) là một PA của bài toán (T) và khôngphải là một PACB, trong khi một PA tương ứng trong (C) là (0,0,0,3) là một PACBcủa (C)

8 Giả sử bài toán tổng quát n biến (T) có dạng chính tắc là bài toán n + m biến (C).Cho biết trong bài toán (T), các biến đều có ràng buộc dấu ≥ 0 và các ràng buộckhác thì ĐLTT Chứng minh rằng nếu x ∈ Rn là một PA của (T) và (x, 0) ∈ Rm+n

là một PACB của (C) thì x là một PACB của (T)

Lời giải Giả sử ngoài n ràng buộc dấu, (T) còn có k ràng buộc khác ĐLTT Lúc đó,(C) sẽ có n + m ràng buộc dấu và k ràng buộc "=" Do (x, 0) thỏa mãn k ràng buộc

"=" này nên x thỏa mãn chặt k "ràng buộc khác" trong (T) Do (x, 0) là PACB củabài toán chính tắc (C) nên x có tối đa k thành phần dương và một cơ sở gồm k ràngbuộc trên Như vậy bằng cách đổi thứ tự nếu cần thiết, ta nhận thấy x thỏa mãn chặtcác ràng buộc sau

• k ràng buộc khác, và các vectơ cột tương ứng với các biến x1, · · · , xk ĐLTT

Do ma trận này khả nghịch nên x là một PACB của (T)

9 Cho bài toán QHTT

f (x, y) = 4x + 3y → maxVới các ràng buộc

5x + 3y + t ≤ 15

x, y, z, t ≥ 0

Vectơ (x, y, z, t) = (0, 0, 4, 15) có phải là một PA của bài toán không? Nếu nó là PAthì nó có phải là PACB không? Nếu là PACB thì nó có suy biến không?

Lời giải Thế các giá trị tương ứng của vectơ vào các ràng buộc, ta thấy chúng đềuthỏa mãn nên vectơ đã cho là một PA Ta nhận thấy vectơ đã cho thỏa mãn chặt 4ràng buộc dưới đây

Định thức của ma trận trên khác 0, nên ma trận trên khả nghịch Suy ra các vectơtương ứng của 4 ràng buộc ở trên là ĐLTT Hay nói cách khác PA đã cho là mộtPACB Vì PA đã cho không thỏa mãn chặt với 2 ràng buộc còn lại là z, t ≥ 0, nên

PA đã cho là PACB không suy biến

10 Cho bài toán QHTT

f (x, y) = x + y + z + t → maxVới các ràng buộc

5x + 3y + 5z + t = 20

Xác định một PACB suy biến và một PACB không suy biến của bài toán

Lời giải Cho y, z, t đều bằng 0, ta được một PA của bài toán là (x, y, z, t) =(4, 0, 0, 0) Đây là một PACB suy biến vì bài toán có dạng chính tắc và số các thànhphần dương của PA nhỏ hơn 2 (trong đó 2 là số ràng buộc (ĐLTT) mà không phảiràng buộc dấu) Cho y, t đều bằng 0, ta được một PA là (x, y, z, t) = (2, 0, 2, 0) Đây làmột PACB không suy biến vì bài toán có dạng chính tắc và số các thành phần dươngcủa PA đúng bằng 2 (tưc là bằng với số ràng buộc (ĐLTT) mà không phải ràng buộcdấu)

11 Cho bài toán QHTT

f (x, y) = x + y + z + t → max

Với các ràng buộc

5x + 3y + 5z + t = 20

Xác định tất cả cả PACB suy biến và không suy biến của bài toán

Lời giải Vì một PACB của bài toán chính tắc trên chỉ có tối đa 2 thành phần dương,nên ta sẽ xác định tất cả các PACB bằng cách cho 2 thành phần bằng 0 và giải hệphương trình tương ứng với các ràng buộc "=" Cụ thể tất cả các PACB được xác địnhnhư sau:

• Cho x, y đều bằng 0, ta được hệ

(

z + t = 45z + t = 20

Hệ này có nghiệm là (z = 4, t = 0) Nên một PACB của bài toán là (0,0,4,0) vàđây là môt PACB suy biến do có số thành phần dương ít hơn 2

• Tương tự, cho x, z đều bằng 0, ta được hệ

(

y + t = 43y + t = 20

Hệ này có nghiệm là (y = 8, t = −4) Do −4 < 0, nên ta không được PA nàotương ứng với trường hợp này

• Tương tự khi lần lượt cho x, t đều bằng 0, y, z đều bằng 0, y, t đều bằng 0 và cuốicùng là z, t đều bằng 0, ta được các PACB còn lại là

x = t = 0 PACB suy biến (x, y, z, t) = (0, 0, 4, 0)

y = z = 0 PACB suy biến (x, y, z, t) = (4, 0, 0, 0)

y = t = 0 PACB suy biến (0, 0, 4, 0), (4, 0, 0, 0)

y = t = 0 PACB không suy biến (α, 0, 4 − α, 0), 4 > α > 0

z = t = 0 PACB suy biến (4, 0, 0, 0)

12 Cho bài toán QHTT

Lời giải

• PA đã cho là một PACB không suy biến vì số thành phần dương là 2, bằng với sốràng buộc "=" trong bài toán QHTT chính tắc đã cho Để xác định PACB củabài toán chính tắc có phải là PATƯ không, ta dùng thuật toán đơn hình Trướctiên ta xác định các vectơ cơ sở và phi cơ sở

Ax=

"

11

#, Ay =

• Chọn biến cơ sở mới là biến z Ngoài ra θ = 1

3 < 11, nên ta loại biến x ra khỏi

cơ sở Như vậy ta được các biến cơ sở mới là y, z PACB mới tốt hơn lúc này làphương án như sau:

"

42

#

Ax=

"

11

Do đó PA cuối cùng là PATƯ, hơn nữa còn là PATƯ duy nhất

13 Một công ty đầu tư dự định dùng khoản tiền 5 triệu USD để đầu tư mua ba loại

cổ phiếu A, B và C trên thị trường chứng khoán Ngoài ra trong năm ấy loại chứngkhoán A sẽ sinh lãi 7%, trong khi loại chứng khoán B sinh lãi 8% và loại chứng khoán

C sinh lãi 10% Ngoài ra để ngăn ngừa rủi ro trong đầu tư, công ty quy định khoản

đầu tư vào loại cổ phiếu B phải chiếm ít nhất là 55%, và loại cổ phiếu C phải chiếm

ít nhất là 30% Tình huống được đặt ra là công ty cần xác định số tiền (tính bằngtriệu đồng) sẽ mua tương ứng với từng loại cổ phiếu sao cho sinh lợi nhiều nhất trongnăm ấy Lập mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) để giúp công ty giải quyết vấn

đề Xác định một PACB của bài toán QHTT trên sao cho cả 3 loại cổ phiếu A, B, Cđều được công ty mua Chuyển bài toán về dạng chính tắc, xác định PACB tươngứng với PACB bên trên Sử dụng phương pháp đơn hình, xác định phương án (PA)trên có phải là PA tối ưu hay không? Nếu không, thì xác định một PACB mới tốthơn PACB mới tốt hơn có phải là một PA tối ưu chưa?

Lời giải Gọi x, y, z lần lượt là số tiền đầu tư vào ba loại cổ phiếu A, B, C Vấn đềtrở thành bài toán QHTT sau đây:

−0.07x − 0.08y − 0.1z → min

x + y + z ≤ 50.55x − 0.45y + 0.55z ≤ 00.3x + 0.3y − 0.7z ≤ 0

x, y, z ≥ 0

• Một PACB mà cả ba loại cổ phiếu đều được mua nghĩa là PACB mà tại đó x, y, zđều dương Nghĩa là nó phải thỏa mãn chặt 3 ràng buộc sau:

x + y + z ≤ 50.55x − 0.45y + 0.55z ≤ 00.3x + 0.3y − 0.7z ≤ 0Tức là nó phải thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính:

x + y + z = 50.55x − 0.45y + 0.55z = 00.3x + 0.3y − 0.7z = 0Giải hệ này, ta được PACB như thế là (x, y, z) = (0.75, 2.75, 1.5)

• Dạng chính tắc của bài toán trên là

−0.07x − 0.08y − 0.1z → min

x + y + z + u = 50.55x − 0.45y + 0.55z + v = 000.3x + 0.3y − 0.7z + w = 0

x, y, z, u, v, w ≥ 0PACB tương ứng là (x, y, z, u, v, w) = ((0.75, 2.75, 1.5, 0, 0, 0)

• Để xác định PACB của bài toán chính tắc có phải là PATƯ không, ta dùng thuậttoán đơn hình Trước tiên ta xác định các vectơ cơ sở và phi cơ sở







Ta lần lượt biểu diễn các vectơ phi cơ sở qua các vectơ cơ sở như sau:

Au = 0.15Ax+ 0.55Ay + 0.3Az

y + z = 5

−0.45y + 0.55z = 000.3y − 0.7z + w = 0

Hệ này có nghiệm là (y, z, w) = (2.75, 2.25, 0.75) Do đó, ta có PACB mới tốthơn là (x, y, z, u, v, w) = (0, 2.75, 2.25, 0, 0, 0.75)

• Để xác định PACB mới có phải là PATƯ của bài toán hay không, ta lại sử dụngphương pháp đơn hình.







Biểu diễn các vectơ phi cơ sở qua các vectơ cơ sở mới như sau:

Au = 0.55Ay+ 0.45Az+ 0.15Aw

Do các ∆ < 0, nên PA cuối cùng là PATƯ, hơn nữa còn là PATƯ duy nhất

14 Một công ty dự định dùng khoản tiền tối đa là 250 triệu đồng để đầu tư cho quảngcáo Chi phí cho một phút quảng cáo trên sóng truyền hình là 20 triệu/mỗi phút,trong khi đó chi phí quảng cáo trên sóng phát thanh là 4 triệu/mỗi phút Công tyquy định rằng tổng số phút quảng cáo (cả trên sóng truyền hình và phát thanh) tối

đa là 20 phút Ngoài ra, theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo,trên sóng truyền hình sẽ cho hiệu quả gấp 2 lần trên sóng phát thanh Tình huốngđược đặt ra là công ty cần thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hìnhsao cho có hiệu quả nhất Lập mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) để giúp công

ty giải quyết vấn đề Xác định một PACB của bài toán QHTT trên tương ứng vớiviệc công ty chỉ quảng cáo trên sóng truyền hình mà không quảng cáo trên sóng phátthanh Chuyển bài toán về dạng chính tắc, xác định PACB của bài toán mới tươngứng với PACB đã xác định ở câu trên Sử dụng phương pháp đơn hình để xác địnhPACB đó có phải là PA tối ưu hay không Nếu không, xác định một PACB mới tốthơn bằng phương pháp đơn hình

Lời giải Gọi x, y lần lượt là số phút công ty dự định đặt quảng cáo lên truyền hình

và sóng phát thanh Vấn đề trở thành bài toán QHTT sau đây:

f (x, y) = 2x + y → max20x + 4y ≤ 250

x + y ≤ 20

x, y ≥ 0

f (x, y) = −2x − y → min20x + 4y ≤ 250

x + y ≤ 20

x, y ≥ 0

• Một PACB mà công ty chỉ quảng cáo trên truyền hình nghĩa là y = 0 và x > 0

Do đó là PACB nên ta phải có hoặc là ràng buộc 1 hoặc là ràng buộc 2 là chặtvới PA đó Nghĩa là hoặc là (x = 12.5, y = 0) hoặc là (x = 20, y = 0) Tuy nhiênnếu (x = 20, y = 0) thì không thỏa ràng buộc 1, nên ta phải có (x = 12.5, y = 0)

• Dạng chính tắc của bài toán trên là

f (x, y) = −2x − y → min20x + 4y + z = 250

x + y + t = 20

x, y, z, t ≥ 0PACB tương ứng là (x, y, z, t) = (12.5, 0, 0, 7.5)

• Để xác định PACB của bài toán chính tắc có phải là PATƯ không, ta dùng thuậttoán đơn hình Trước tiên ta xác định các vectơ cơ sở và phi cơ sở

Ax =

"

201

#, At =

"

01

#

Ay =

"

41

#, Az =

"

10

pháp đơn hình để xác định PACB mới tốt hơn, hoặc ta có thể cho z, t đều bằng

0 để được hệ phương trình tuyến tính:

#, Ay =

"

41

#

Az =

"

10

#, At=

"

01

Do các ∆ < 0, nên PA cuối cùng là PATƯ, hơn nữa còn là PATƯ duy nhất

15 Đưa bài toán QHTT dưới đây với hàm mục tiêu đạt cực đại về trường hợp đạt cựctiểu:

xj ≥ 0, ∀j = 1, 2, 3, 4Lời giải:

Đổi dấu hàm mục tiêu g = −f và giữ nguyên hệ ràng buộc ta được bài toán với hàmmục tiêu đạt cực tiểu sau đây:

xj ≥ 0, ∀j = 1, 2, 3, 4

16 Tìm các PACB không suy biến của bài toán QHTT 3 biến x1, x2, x3 với hệ ràng buộcsau:







x1− 2x2+ x3 = −43x1− 2x2+ 3x3 = 6

xj ≥ 0, ∀j = 1, 2, 3Lời giải:

Bài toán có 3 biến, 2 ràng buộc chính Dễ thấy ma trận hệ số A của hai ràng buộcchính có hạng 2 nên chúng độc lập tuyến tính Bởi vậy mỗi PACB không suy biếncủa bài toán phải có đúng 2 biến cơ sở (dương) và 1 biến phi cơ sở (triệt tiêu) Lầnlượt cho x1, x2, x3 đóng vai trò biến phi cơ sở, tức là triệt tiêu, ta được:

• Với x1 = 0, hệ điều kiện ở trên cho ta x2 = 4.5, x3 = 5

• Với x2 = 0, hệ vô nghiệm

• Với x3 = 0, hệ cho ta x1 = 5, x2 = 4.5

Ta nhận được 2 PA của bài toán: x∗ = (0, 4.5, 5), x∗∗ = (5, 4.5, 0)

• Xét PA x∗ = (0, 4.5, 5) với x2, x3 > 0 có hệ hai vector cột của ma trận hệ số

A2 = (−2, 2)t, A3 = (3, −1)t độc lập tuyến tính Do đó, đây là một PACB khôngsuy biến (số biến cơ sở là 2)

• Xét PA x∗∗ = (5, 4.5, 0) với x1, x2 > 0 có hệ hai vector cột của ma trận hệ số

A1 = (3, −1)t, A2 = (−2, 2)t độc lập tuyến tính Do đó, đây là một PACB khôngsuy biến (số biến cơ sở là 2)

Vậy, bài toán có đúng 2 PACB không suy biến là:

xj ≥ 0, ∀jXét xem vecto x = (0, 6, 0, 10) có là PA hay không?

Giải Thay x = (0, 6, 0, 10) vào tất cả các ràng buộc đều thỏa mãn

xj ≥ 0, ∀jXét xem vecto x = (0, 6, 0, 10) có là PACB hay không?

Suy ra, A độc lập tuyến tính Vậy x = (0, 6, 0, 10) là một PACB

19 Cho bài toán QHTT dạng tổng quát:

x1, x2, x3 ≥ 0Chứng minh rằng x = (0, 2/3, 2/3) là PA

Giải Thay x = (0, 2/3, 2/3) vào tất cả các ràng buộc đều thỏa mãn

x1, x2, x3 ≥ 0Xét xem x = (0, 2/3, 2/3) là PACB suy biến hay không suy biến?

Giải Dễ dàng kiểm tra x = (10, 0, 0, 8, 0, 0) là một PA x thỏa mãn chặt các ràngbuộc (1), (2), (4).

x1, x2, x3 ≥ 0Giải Thêm các biến phụ x4, x5, x6 ≥ 0 ta được:

z(x) = −5x1− 4x2− 3x3 −→ minVới các ràng buộc

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

23 Biến đổi bài toán sau về dạng chính tắc:

z(x) = x1− x2− x3 −→ minVới các ràng buộc

Giải Đặt thêm ẩn phụ x4, x5 ≥ 0 và x2 = x02− x2”.

Dạng chính tắc của bài toán là:

z(x) = x1− x02+ x2” − x3 −→ minVới các ràng buộc

x1+ x2− 2x3+ x4 = 20

x1, x5 ≥ 0

x4 ≤ 0Giải Đặt thêm ẩn phụ x6, x7, x8và x2 = x02−x2”(x02, x2” ≥ 0); x3 = x03−x3”(x03; x3” ≥0); x4 = −x04(x04 ≥ 0)

Dạng chính tắc của bài toán là:

z(x) = 2x1− (x02− x2”) + 2(x03− x3”) − x04 − 2x5 −→ minVới các ràng buộc