Tuyển tập lý thuyết toán lớp 7

Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau; B.. Nếu đường thẳng t cắt hai đường

Bài 2 Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

A Lý thuyết

1 Cộng và trừ hai số hữu tỉ

Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số với mẫu dương nên ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số

• Trong phép cộng trừ với số hữu tỉ , ta có thể áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp, quy tắc dấu ngoặc như trong phép cộng trừ với số nguyên

• Đối với một tổng trong , ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng trong

• Hai số đối nhau luôn có tổng bằng 0:

2 Nhân và chia hai số hữu tỉ

• Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số

Chú ý:

• Phép nhân các số hữu tỉ cũng có các tính chất của phép nhân phân số

• Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta có thể áp dụng quy tắc nhân và chia đối với số thập phân

 = 1

2

Bài 4 Ngăn đựng sách của một giá sách trong thư viện dài 120 cm (xem hình dưới)

Người ta dự định xếp các cuốn sách dày khoảng 2,5 cm vào ngăn này Hỏi ngăn sách

đó có thể để được nhiều nhất bao nhiêu cuốn sách như vậy?

Bài 11 Định lí và chứng minh định lí

A Lý thuyết

1 Định lí Giả thiết và kết luận của định lí

• Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết Mỗi định

lí thường được phát biểu dưới dạng:

Nếu … thì …

+ Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí

+ Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí

Giả thiết, kết luận viết tắt tương ứng là GT và KL

Ví dụ:

+ Định lí “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau” được suy ra từ khẳng

định đúng là “hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180°)

Giả thiết là: hai góc đối đỉnh

Kết luận là: hai góc đó bằng nhau

Ta viết giả thiết và kết luận của định lý trên bằng kí hiệu như sau:

GT xOy và x 'Oy ' đối đỉnh

KL xOy = x 'Oy '

2 Chứng minh định lí

• Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng

đã biết suy ra kết luận của định lí

Ví dụ:

O

y'

x'y

x

+ Chứng minh định lí: “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau” như sau:

GT xOy và x 'Oy ' đối đỉnh

Bài 1 Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Góc tạo bởi hai tia

phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”

Hướng dẫn giải

O

y'

x'y

x

b a

z

y x

P

GT

aPy và yPb là hai góc kề bù

Px là tia phân giác của aPy

Pz là tia phân giác của yPb

Vậy xPz 90 , tức là xPz là góc vuông

Bài 2 Cho hình vẽ dưới đây Biết Ax song song với Cy

Chứng minh rằng xABBCyABC

Hướng dẫn giải

GT Ax // Cy

KL xABBCyABC

Qua B, kẻ đường thẳng mn song song với đường thẳng chứa tia Ax

Vì Ax // mn nên xABB1 (hai góc so le trong) (1)

Vì Ax // mn mà Ax //Cy (giả thiết)

Do đó: mn // Cy (tính chất hai đường thẳng song song)

Vì mn // Cy nên BCyB2 (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: xABBCyB1B2

Mà ABCB1B2

Vậy xABBCyABC (đpcm)

Bài 3 Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Hai đường thẳng

phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”

Hướng dẫn giải

Vì xx 'zz' tại A nên x 'AB 90 

Vì yy 'zz ' tại B nên z 'By ' 90

Nên x 'ABz 'By ' 90

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

Do đó xx ' // yy ' (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

B2 Bài tập trắc nghiệm

Bài 4 Cho định lí: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường

thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại”

Hình vẽ minh hoạ cho định lí trên là:

A và B1là hai góc đồng vị

A BKết luận m // n

A Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau;

B Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;

C Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;

D Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu một đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, m song song với nhau Vậy chọn đáp án B

Bài 6 Điền vào chỗ trống nội dung phù hợp

Nếu góc xOt và góc tOy là hai góc kề bù thì tổng số đo hai góc bằng 180o

Phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết vậy phần nằm sau từ “thì” là phần kết luận

Vậy chọn đáp án A

Bài 8 Góc ở vị trí đặc biệt Tia phân giác của một góc

+ Góc xOy và yOz có cạnh Oy chung; Ox và Oz là hai tia đối nhau Do đó xOy

và yOz được gọi là hai góc kề bù

+ Vì xOy và yOz là hai góc kề bù nên xOyyOz 180 

Chú ý:

• Hai góc kề bù được hiểu là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau Trong đó:

- Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với đường thẳng chứa cạnh chung đó

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, góc mOt và góc nOt là hai góc kề nhau

y

z x

O

- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180°

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, có ABC BCD 60   120 180 Ta nói ABC

và BCD là hai góc bù nhau

• Nếu điểm M nằm trong góc xOy thì ta nói tia OM nằm giữa hai cạnh (hai tia) Ox

và Oy của góc xOy Khi đó ta có: xOMMOyxOy

+ Hai đường thẳng xx ', yy ' cắt nhau tại O Khi đó Ox và Ox ' là hai tia đối nhau;

Oy và Oy ' là hai tia đối nhau Nên ta có các cặp góc đối đỉnh là: xOy và x 'Oy ' ; xOy ' và x 'Oy

+ Có xOy và x 'Oy ' là hai góc đối đỉnh thì xOyx 'Oy ';

Ta lại có xOy' và x 'Oy là hai góc đối đỉnh thì xOy' x 'Oy

Chú ý:

• Hai đường thẳng xx ', yy ' cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc Kí hiệu là: xx ' yy'

Ví dụ: Hai đường thẳng xx ', yy ' cắt nhau tại O sao cho xOy 90 thì xx 'yy '

2 Tia phân giác của một góc

• Định nghĩa: Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó

• Tính chất: Khi Oz là tia phân giác của góc xOy thì xOz yOz 1xOy

+ Cho xOy 80 và Oz là tia phân giác của góc xOy Khi đó ta có:

• Cách vẽ tia phân giác của một góc:

Chẳng hạn: Vẽ tia phân giác Oz của xOy 80 

+ Vẽ góc xOy 80 

+ Oz là tia phân giác của góc xOy nên yOz 1xOy 180 40

     Đánh dấu điểm ứng với vạch 40° của thước đo góc

z x

O

x

O

+ Kẻ Oz đi qua điểm đã đánh dấu Ta được Oz là tia phân giác xOy

O

40°

z x

Vậy: nAp 125 ; nAt 55 ; mAp 55

Bài 2 Cho hình vẽ dưới đây, hãy kể tên các cặp góc kề bù

Bài 3 Vẽ góc xOy có số đo bằng 72° Vẽ tia Om là tia đối của tia Ox

a) Viết tên cặp góc kề bù trong hình vừa vẽ

b)a)

F

b) Tính số đo góc yOm

c) Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy Tính số đo các góc tOy và tOm

Hướng dẫn giải

a) xOy và yOm có Oy chung; Om là tia đối của tia Ox

 xOy và yOm là hai góc kề bù

b) Ta có: xOyyOm 180  (hai góc kề bù)

Hình 2 có tia Ot nằm trong góc nhưng không tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau nên tia Ot trong hình 2 không phải tia phân giác của góc xOy

Chỉ có hình 4 là tia Ot nằm trong góc và tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau nên Ot là tia phân giác của góc xOy

Do đó chọn phương án D

Bài 5 Chọn đáp án đúng

A AID và CIB là hai góc kề bù;

B ABC và ADC là hai góc kề bù;

C AIB và BIC là hai góc kề bù;

D AIB và DIC là hai góc kề bù

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

AID và CIB là hai góc hai góc kề bù (sai, vì AID và CIB là hai góc hai góc đối đỉnh loại phương án A);

ABC và ADC là hai góc kề bù (sai, vì ABC và ADC là hai góc của tứ giác ABCD, loại phương án B);

AIB và BIC là hai góc kề bù (đúng, chọn phương án C);

AIB và DIC là hai góc kề bù (sai, vì AIB và DIC là hai góc đối đỉnh, loại phương

Ta có góc aOb và góc bOc là hai góc kề bù nên aOb + bOc = 180°

Suy ra x = aOb = 180° bOc = 180° 130° = 50° 

Vậy x = 50o

Bài 9 Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

A Lý thuyết

1 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng

• Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B tạo thành bốn góc đỉnh A và bốn góc đỉnh B Khi đó ta có:

4

4

3

2 1

B A

2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

• Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b và trong các góc tạo thành

có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và

b song song với nhau Kí hiệu là: a // b

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

4

4

3 2 1

+ Tương tự ta có thể dùng góc vuông hoặc góc 30° của êke (thay cho góc 60°) để

vẽ đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước

a) Có ME cắt MN và DE nên góc ở vị trí so le trong với góc DEM là góc EMN

b) Có CD cắt MN và DE nên góc ở vị trí đồng vị với góc CMN là góc CDE (hay

MDE)

c) Có CE cắt MN và DE nên góc ở vị trí trong cùng phía với góc MNE là góc

NED (hay CED)

C

N M

Bài 2 Cho các hình dưới đây, hãy giải thích tại sao AB // CD

Do đó: AB // CD(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Bài 3 Hãy vẽ hai đoạn thẳng AB và MN sao cho AB//MN và ABMN

Hướng dẫn giải

+ Vẽ đoạn thẳng AB với độ dài bất kì

+ Dùng góc của êke vẽ tiếp theo các bước dưới đây

N M

Bài 5 Cho tia Ot nằm trong góc mOn, mOttOn thì

A Ot là tia phân giác của góc mOn;

B Ot là tia nằm phía trong của góc mOn;

C Ot là tia nằm phía ngoài của góc mOn;

D Ot là tia nằm giữa hai cạnh Om và On

Bài 5 Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

A Lý thuyết

1 Số thập phân vô hạn tuần hoàn

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số có phần thập phân lặp lại (lặp lại giá trị của nó ở các khoảng đều đặn) và phần lặp lại vô hạn không phải là số không.

• Chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn là phần được lặp lại vô hạn lần

• Số thập phân hữu hạn là số thập phân như 0,34; 1,2; 6,7; …

kì là 1

2 Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trước

Khi làm tròn số đến một hàng nào đó, kết quả làm tròn có độ chính xác bằng một nửa đơn vị hàng làm tròn

Ví dụ:

+ Làm tròn a = 37,222… đến hàng đơn vị thì được kết quả là 37 Ta viết 37,222…

≈ 37 Ta cũng nói rằng 37 là kết quả làm tròn của a = 37,222… với độ chính xác là 0,5

0,5

38a

+ Làm tròn số 17,213… đến hàng phần mười ta được kết quả 17,213… ≈ 17,2 với

độ chính xác là 0,05

+ Để làm tròn số 129,18 với độ chính xác là 5, ta làm tròn đến hàng chục Ta được 129,18 ≈ 130

Đọc thêm

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2

và 5 thì phân số đó được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn Ví dụ:

Bài 1 Trong các số thập phân sau, số nào là số thập phân hữu hạn? Số nào là số

thập phân vô hạn tuần hoàn?

e) 5,3(12) có số 12 ở phần thập phân được lặp lại mãi nên 5,3(12) là số thập phân vô hạn tuần hoàn

f) 0,30300300030000… (viết liên tiếp các số 30; 300; 3000; 30 000; … sau dấu phẩy) không là số thập phân hữu hạn, cũng không là số thập phân vô hạn tuần hoàn

vì phần thập phân không được lặp lại đều đặn

+) Số 32,(503) = 32,503503… có chữ số sau chữ số thập phân thứ ba là 5 = 5 nên

ta cộng 1 đơn vị vào chữ số hàng làm tròn Do đó ta có: 32,503503… ≈ 32,504 hay 32,(503) ≈ 32,504

d) 0,1636363…

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy số 0,010101… phần thập phân có chu kỳ là 01 nên 0,010101… = 0,(01) b) Ta thấy số – 0,13888… phần thập phân có chu kỳ là 8 nên – 0,13888… = – 0,13(8)

c) Ta thấy số 5,3022121… phần thập phân có chu kỳ là 21 nên 5,3022121… = 5,302(21)

d) Ta thấy số 0,1636363… phần thập phân có chu kỳ là 63 nên 0,1636363… = 0,1(63)

Người ta đã chứng minh được rằng:

- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2

và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

3 có mẫu số là 3 và mẫu số có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên phân số

2

3 được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

20 được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn

Bài 5 Khi viết phân số 3

11 thành số thập phân và làm tròn với độ chính xác là 0,005 thì ta được kết quả là?

3,101001000… có phần thập phân không tuần hoàn nên 3,101001000… không phải

số thập phân vô hạn tuần hoàn

5,31241212… = 5,3124(12) là số thập phân vô hạn tuần hoàn

7,2132123… có phần thập phân không tuần hoàn nên 7,2132123… không phải số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bài 3 Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

A Lý thuyết

1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1)

n

x     x x x x (x  , n  , n >1)

xn đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x

x gọi là cơ số, n gọi là số mũ

 

 

 2

5 1255

   

 

2 Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ

3 Lũy thừa của lũy thừa

• Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ

25 255

A 5 lần;

B 5 108 lần;

C 8 lần;

D 108 lần



Ôn tập chương 2

A Lý thuyết

1 Số thập phân vô hạn tuần hoàn

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số có phần thập phân lặp lại (lặp lại giá trị của nó ở các khoảng đều đặn) và phần lặp lại vô hạn không phải

là số không.

• Chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn là phần được lặp lại vô hạn lần

• Số thập phân hữu hạn là số thập phân như 0,34; 1,2; 6,7; …

1

Chú ý:

• Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

Ví dụ: Số 12 2, 4

5  ; 1 0,0666 0,0(6)

15

2 Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trước

Khi làm tròn số đến một hàng nào đó, kết quả làm tròn có độ chính xác bằng một nửa đơn

vị hàng làm tròn

Ví dụ:

+ Làm tròn a = 37,222… đến hàng đơn vị thì được kết quả là 37 Ta viết 37,222… ≈ 37

Ta cũng nói rằng 37 là kết quả làm tròn của a = 37,222… với độ chính xác là 0,5

+ Làm tròn số 17,213… đến hàng phần mười ta được kết quả 17,213… ≈ 17,2 với độ chính xác là 0,05

• Muốn làm tròn số thập phân với độ chính xác cho trước, ta có thể xác định hàng làm tròn thích hợp bằng cách sử dụng bảng dưới đây

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân

số đó được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Ví dụ:

• Số thập phân không phải số thập phân hữu hạn cũng không phải số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

• Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn

+ Tính: a) 64 ; b) 1592

Hướng dẫn giải

a) Vì 82 = 64 và 8 > 0 nên 64 = 8;

b) Vì 159 > 0 nên 1592 = 159

5 Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

• Căn bậc hai số học của một số tự nhiên không chính phương luôn là một số vô tỉ

• Cách tính căn bậc hai số học của một số a không âm bằng máy tính cầm tay