BÀI GIẢNG ước lượng tham số

Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thểCác đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể Ước lượng điểm Tổng quan Bài toán ước lượng điểm Các

Trang 1

Phương pháp mẫu Cách trình bày một mẫu cụ thể

Các đặc trưng mẫu Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu Tính các đặc trưng mẫu cụ thể

Ước lượng điểm

Tổng quan Bài toán ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng Các phương pháp ước lượng điểm

Ước lượng khoảng

Bài toán Khoảng tin cậy cho trung bình

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho phương sai

Chương 4

Ước lượng tham số

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Lê Phương

Bộ môn Toán kinh tếĐại học Ngân hàng Tp Hồ Chí MinhHomepage:http://docgate.com/phuongle

Trang 2

Bài toán ước lượng điểm

Các tiêu chuẩn ước lượng

Các phương pháp ước lượng điểm

3 Ước lượng khoảng

Bài toán

Khoảng tin cậy cho trung bình

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ

Khoảng tin cậy cho phương sai

Trang 3

Tổng thể

Tổng thểhayđám đông(kí hiệu C) là một tập hợp các phần tử

có một hoặc một vài dấu hiệu chung về lượng hay về chất cần

nghiên cứu

Ví dụ.

1 Nếu muốn nghiên cứu chất lượng sản phẩm của một lô

hàng thì tổng thể là các sản phẩm được lấy ra từ lô hàng

sản xuất, dấu hiệu nghiên cứu là sản phẩm có đạt tiêu

chuẩn hay không

2 Nếu muốn nghiên cứu thu nhập của người Việt Nam thì

tổng thể là toàn bộ người dân Việt nam, dấu hiệu nghiên

cứu là thu nhập của từng người dân.

Dấu hiệu chung thay đổi qua các phần tử của tổng thể được

biểu diễn bằng một biến ngẫu nhiên X nào đó

Nghiên cứu một tổng thể là nghiên cứu về phân phối xác suất

và các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên X của tổng thể đó

Trang 4

Phương pháp mẫu

Trong thực tế, việc điều tra nghiên cứu các phần tử của tổng

thể gặp những khó khăn:

• Số phần tử của tổng thể lớn đòi hỏi nhiều chi phí và thời

gian điều tra

• Trong nhiều trường hợp không thể biết hết các phần tử

của tổng thể nên không thể điều tra toàn bộ được

Là phương pháp chọn ra n phần tử đại diện cho tổng thể (hay

còn gọi là chọn ra mộtmẫu kích thước n) Sử dụng các công

cụ thống kê nghiên cứu mẫu này và dựa vào đó cho kết luận về

tổng thể

Trang 5

Chọn mẫu ngẫu nhiên

• mỗi phần tử đều có thể được chọn với cùng khả năng

Có hai phương thức chọn: chọn hoàn lại, chọn không hoàn lại

Ưu điểm: có tính đại diện cao.

Nhược điểm: phải biết toàn bộ tổng thể, chi phí chọn mẫu lớn.

Trang 6

Chọn mẫu ngẫu nhiên

Chọn mẫu phân nhóm

• chia tổng thể thành các nhóm tương đối thuần nhất

• từ mỗi nhóm lấy ra một mẫu ngẫu nhiên

Được dùng khi tổng thể có những sai khác lớn

Chọn mẫu chùm

• chọn mẫu ngẫu nhiên từ các tập con của tổng thể (các

chùm)

• từ mỗi nhóm lấy ra một mẫu ngẫu nhiên

Ưu điểm: tiết kiệm chi phí và thời gian.

Nhược điểm: sai số chọn mẫu cao.

Trang 7

Chọn mẫu có suy luận

Nguyên tắc chọn mẫu

Dựa trên ý kiến chuyên gia về đối tượng nghiên cứu

Nhược điểm: khó đảm bảo tính khách quan.

Các thang đo cho đặc trưng định tính

1 Thang đo định danhnhằm đánh giá các đặc trưng dùng

để đếm tần số, không tính toán số học được Ví dụ: nam

(0), nữ (1)

2 Thang đo thứ bậclà thang đo định danh nhưng giữa các

đặc trưng đã có quan hệ hơn kém, tuy nhiên khoảng cách

giữa các bậc không nhất thiết đều nhau Ví dụ: trung học,

đại học, cao học

3 Thang đo khoảnglà thang đo thứ bậc có khoảng cách đều

nhau, do đó có thể dùng để tính toán được Ví dụ: chiều

cao người trưởng thành (cm): [150-155], [155-160],

[160-165],

Trang 8

Giả sử cần nghiên cứu đặc trưng X của tổng thể Với mẫu kích

thước n, gọi Xi là giá trị của đặc trưng X của phần tử thứ i của

mẫu (1, , n)

Mẫu ngẫu nhiênkích thước n là một bộ gồm n biến ngẫu nhiên

độc lập X1,X2, ,Xnđược lập từ biến ngẫu nhiên X và có

cùng phân phối với X Kí hiệu W = (X1,X2, ,Xn)

Khi thực hiện lấy mẫu thực tế, ta được

X1=x1,X2=x2, ,Xn=xn Khi đó, (x1,x2, ,xn)được gọi

làmẫu cụ thểkích thước n

Một hàm của mẫu ngẫu nhiên T = T (X1,X2, ,Xn)được gọi là

mộtthống kê

Trang 9

Ví dụ Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung 1 con xúc xắc cân

đối, đồng chất Bảng phân phối xác suất của X

P 1/6 1/ 6 1/6 1/6 1/6 1/6

• Nếu tung con xúc xắc 4 lần và gọi Xi là số chấm xuất hiện

ở lần tung thứ i, (i = 1, 4), thì ta có 4 biến ngẫu nhiên độc

lập có cùng phân phối với X , khi đó ta có mẫu ngẫu nhiên

W = (X1,X2,X3,X4)

• Khi tung thực tế, tung thực tế lần thứ nhất được 5 chấm,

lần thứ 2 được 3 chấm, lần thứ 3 được 6 chấm, lần thứ 4

được 2 chấm thì (5, 3, 6, 2) là một mẫu cụ thể

Trang 10

Cách trình bày một mẫu cụ thể

Giả sử một mẫu cụ thể kích thước n, trong đó giá trị xi xuất

hiện ni lần với x1<x2< <xk và n1+n2+ · · · +nk =n

Khi đó ni được gọi làtần sốcủa xi, fi =ni

n được gọi làtần suấtcủa xi

Các bảng mô tả số liệu sau được gọi làbảng phân phối thực

nghiệm:

Bảng phân phối tần số thực nghiệm:

xi x1 x2 xk

ni n1 n2 nkBảng phân phối tần suất thực nghiệm:

xi x1 x2 xk

fi f1 f2 fk

Ví dụ Tung một con xúc sắc 10 lần thu được kết quả: 2, 4, 6, 1,

6, 4, 5, 2, 6, 5 Lập bảng phân phối thực nghiệm

Trang 11

n

P

i=1

(xi− xn)2Phương sai (hiệu chỉnh) s2n= n−11

Trang 12

Các số đặc trưng của các đặc trưng mẫu

• Phương sai mẫu (hiệu chỉnh): E (S2) = σ2

Để ngắn gọn, khi không gây hiểu nhầm, ta có thể viết các đặc

trưng trung bình mẫu, tỉ lệ mẫu, phương sai mẫu (hiệu chỉnh)

cho một mẫu kích thước n tương ứng là: X , x , F , f , S2,s2

Trang 13

Một số phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu

Trường hợp tổng thể X có phân phối chuẩn: X ∼ N(µ, σ2

Trang 14

Tính các đặc trưng mẫu cụ thể

Bài toán

Từ một mẫu cụ thể có bảng phân phối thực nghiệm hay phân

phối ghép lớp, tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩn s

Trang 15

Tính các đặc trưng mẫu cụ thể

Lưu ý

• Với bảng phân phối ghép lớp ta thay lớp xi−1− xi bằng một

đại diện xi0=xi−1+xi

Lượng xăng hao phí của một ôtô đi từ A đến B sau 30 lần chạy

được kết quả cho trong bảng:

Lít 9,6–9,8 9,8–10 10–10,2 10,2–10,4 10,4–10,8

Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu

Trang 16

Bài toán ước lượng tham số

Cho biến ngẫu nhiên X hình thành từ tổng thể C có luật phân

phối xác suất chưa biết hoặc đã biết và phụ thuộc vào một hay

một vài tham số θ chưa biết Phân phối xác suất của X có thể

được xác định nếu ta tìm được hay ước lượng được giá trị của

θ

Ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ Ước lượng

như vậy được gọi làước lượng điểm

Ngoài ra ta có thể chỉ ra một khoảng (θ1, θ2)có thể chứa θ

Ước lượng như vậy được gọi làước lượng khoảng

Ví dụ Cho một mẫu khảo sát gồm 10000 người của một quốc

gia được chọn ngẫu nhiên có độ tuổi trung bình là 27 và độ

lệch chuẩn là 3 tuổi Ước lượng tuổi trung bình của toàn bộ dân

số thuộc quốc gia đó

Trang 17

Bài toán ước lượng điểm

Tìm một thống kê ˆθ(X1,X2, ,Xn)để ước lượng (thay thế) tham

số θ chưa biết Khi đó ˆθđược gọi làhàm ước lượngcho θ

Từ mẫu cụ thể (x1, ,xn), ta tính được giá trị ˆθ∗= ˆθ(x1, ,xn)

Khi đó ˆθ∗được gọi làước lượng điểmcủa θ

Có vô số cách chọn thống kê ˆθđể ước lượng cho tham số θ

cho trước Vì vậy người ta đưa ra các tiêu chuẩn để đánh giá

chất lượng của ước lượng Từ đó tìm được hàm ước lượng tốt

Trang 18

Các tiêu chuẩn ước lượng

Ước lượng không chệch

Thống kê ˆθđược gọi làước lượng không chệchcủa θ nếu

Ví dụ Tỉ lệ mẫu F , trung bình mẫu X , phương sai mẫu (hiệu

chỉnh) S2tương ứng là ước lượng không chệch của p, µ, σ2

Còn ˆS2là ước lượng chệch của σ2

Trang 19

Các tiêu chuẩn ước lượng

Ước lượng vững

Thống kê ˆθđược gọi làước lượng vữngcủa θ nếu

ˆ

θ(X1, ,Xn)−→ θ.P

Do đó với n đủ lớn thì với xác suất gần 1 ta có: ˆθ ' θ

Ví dụ F , X , S2, ˆS2tương ứng là các ước lượng vững cho

p, µ, σ2, σ2

Ước lượng hiệu quả

Thống kê ˆθđược gọi làước lượng hiệu quảcủa θ nếu nó là ước

lượng không chệch và có phương sai bé nhất trong các ước

lượng không chệch của θ

Ví dụ Nếu X ∼ N(µ, σ2)thì X là ước lượng hiệu quả của µ

Nếu X ∼ B(1, p) thì F là ước lượng hiệu quả của p

Trang 20

Các phương pháp ước lượng điểm

Sử dụng các đặc trưng mẫu

• F , X , S2tương ứng là ước lượng không chệch, vững cho

p, µ, σ2

• Sˆ2là ước lượng chệch, vững cho σ2

• Nếu X ∼ N(µ, σ2)thì X là ước lượng hiệu quả cho µ

Nếu X ∼ B(1, p) thì F là ước lượng hiệu quả cho p

Hạn chế của phương pháp ước lượng điểm

• Khi kích thước mẫu nhỏ thì phương pháp ước lượng điểm

có thể cho sai số lớn

• Không đánh giá được độ chính xác của ước lượng

Trang 21

Bài toán

Cho xác suất 1 − α, từ mẫu ngẫu nhiên (X1, ,Xn)tìm các

thống kê ˆθ1, ˆθ2sao cho

P(ˆθ1< θ < ˆθ2) =1 − α

Với mẫu cụ thể (x1,x2, ,xn), ta có ˆθ1nhận giá trị θ1và ˆθ2nhận

giá trị θ2 Khi đó (θ1, θ2)được gọi làước lượng khoảngcủa θ

trong đó

• 1 − α:độ tin cậycủa ước lượng,

• (θ1, θ2):khoảng tin cậycủa ước lượng,

• θ2− θ1=2ε: độ dài khoảng tin cậy,

• ε:độ chính xác (sai số)của ước lượng

Bài toán ước lượng khoảng với độ tin cậy 1 − α còn được gọi là

bài toán tìm khoảng tin cậy 1 − α

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	332,86 KB

Tiêu đề	Ước lượng tham số
Tác giả	Lê Phương
Trường học	Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Lý thuyết xác suất và thống kê toán
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Tp Hồ Chí Minh