De on tap tuyen sinh 10 mon Toan

Nhờ Thầy Nguyễn Minh Sang giải bài Hình 9 14 Bài toán Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) (OM>2R) vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là 2 tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OM và AB Lấy điểm C thuộc đoạn HB[.]

N I

F K

E

D

H

B

A

O M

C

Bài toán: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) (OM>2R) vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là 2 tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OM và AB Lấy điểm C thuộc đoạn HB Đường thẳng MC cắt (O) tại D và E (D nằm giữa M và E)

a/.Chứng minh: AD.BE=AE.BD

b/ Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp và CD.ME=CE.MD

c/.Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD Chứng minh: KD là tiếp tuyến của (O)

d/.Vẽ đường kính BF của (O) Đường thẳng MO cắt FD, EF lần lượt tại I và N Chứng minh: O là trung điểm IN

a) + Chứng minh được tam giác MDB và tam giác MEB đồng dạng Suy ra: BD MB

EB ME + Tương tự: tam giác MAD và tam giác MEA đồng dạng Suy ra: AD MA

EA ME + Kết hợp với MA = MB (t/c hai t/t cắt nhau) ta được: BD AD BD EA EB AD .

EB EA  

b) Chứng minh: Tứ giác OHDE nội tiếp và CD.ME=CE.MD

*Chứng minh: Tứ giác OHDE nội tiếp

+ Chứng minh được MA2 = MD ME và MA2 = MH MO (bài toán quen thuộc)

Suy ra MH.MO = MD ME => MH MD

ME MO

+ Hai tam giác MHD và MEO có: MH MD

ME MO và góc M chung nên chúng đồng dạng Suy ra: MHD OED  Vậy OHDE là tứ giác nội tiếp

* Chứng minh :CD.ME = CE.MD

+ Chú ý MHD DEO   (cùng bù góc DHO) ; ODE DEO   (do t giác ODE cân tại O),

(cùng chắn cung OE) nên MHD OHE  

Mà MHD HDB OHE BHE        90 0 nên HDB BHE   => HC là phân giac trong của tam giác DHE Lại có HM  HC nên HM là phân giác ngoài của tam giác DHE

Theo t/c của đường p/g trong và p/g ngoài ta có:

CD HD MD CD ME CE MD .

CE HE ME  

N I

F K

E

D

H

B

A

O M

C

c).Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD Chứng minh: KD là tiếp tuyến của (O)

+ Tam giác MHD và tam giác EHO có MHD OHE   (chứng minh trên) và MDH  HOE (do cùng bù HDO) nên HMD OEH   Mà OEH  HDO (cùng chắn cung OH) nên HDO HMD  

=> DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD => OK  OD tại D thuộc

(O)

=> KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d)Vẽ đường kính BF của (O) Đường thẳng MO cắt FD, EF lần lượt tại I và N CM: O là trung điểm IN

* Cần chứng minh OFN OBI c g c .  vì đã có OF = OB và FON BOI (đối đỉnh) ,

Vậy cần cm BI // FN

=> FDB IHB   180 0  DIHB là tứ giác nội tiếp => DIB DHB  (cùng chắn cung BD)

Mà DHB BHE  (chứng minh trên) và nên  1 1

DIB DHE DOE

Lại có:  1 

2

DFE DOE (quan hệ góc ở tâm và …… )

Do đó DIB DFN   => IB // FN => IBO OFN  (so le trong)

+ OFNOBI (vì OF = OB và FON BOI (đối đỉnh) ,OFN OBI   ) => OI = ON