hsg lớp 7(2021-2022

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán - Lớp 7

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Tên : Trương Quang An Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng

Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 1 (4,0 điểm)

1 Chứng tỏ rằng: E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n 400

2 Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x  y z xyz

Bài 2 (4,0 điểm)

1 Tính giá trị của biểu thức

12 7 15 8

24 14 12 5

15.4 9 4.3 8

19.2 3 6.4 27





2 Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài của ba cuộn là 186 mét Giá tiền của mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau Sau khi bán được 1 ngày, cửa hàng còn lại 2

3 cuộn vải thứ nhất, 1

3 cuộn vải thứ hai, 3

5 cuộn vải thứ ba Số tiền bán được của ba cuộn vải tỉ lệ với 2:3:2 Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải của mỗi cuộn vải?

Bài 3 (4,0 điểm)

1 Tìm GTNN của biểu thức 6 2022 14

y E y



2 Cho a b c, , 0 và a b c a 2022b c b 2022c a c 2022a b

Tính P 2022 a 2022 b 2022 c

Bài 4 (7,0 điểm)

1 Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N, gọi I là giao điểm của BC và MN Chứng minh rằng:

a DM = EN

b I là trung điểm của MN

c Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

2 Cho tam giác ABC vuông tại A, C 15 Trên tia BA lấy điểm O sao choBO 2AC Chứng minh rằng tam giác OBC cân

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho a; b; c; d > 0

- HẾT -

Họ và tên thí sinh: SBD Chữ kí giám thị:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán - Lớp 7

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 (4,0 điểm)

1 Chứng tỏ rằng: E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n 400

2 Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x y z xyz  

1.Ta có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên :

E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74)

= (71 + 72 + 73 + 74) (1+74 + 78 + …+74n-4)

= 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + …+74n-4)

= 7.(1 + 7 + 49 + 343 ) (1+74 + 78 + …+74n-4)

= 7.400 (1+74 + 78 + …+74n-4)  400

=> E  400

2 Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 xyz

Theo bài suy ra 1 x y z

xyz

 



1 = 1

yz + 1

yx+ 1

zx  12

x + 12

x + 12

x = 32

x => x 2 3 => x = 1

Thay vào đầu bài ta có 1 y  z yz => y – yz + 1 + z = 0

=> y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0

=> (y-1) (z - 1) = 2

TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3

TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2

Vì vai trò x, y, z như nhau nên các cặp số nguyên (x,y,z) thỏa mãn là (1,2,3); (1,3,2) (2,1,3); (2,3,1); (3,2,1); (3,1,2)

Bài 2 (4,0 điểm)

1 Tính giá trị của biểu thức

12 7 15 8

24 14 12 5

15.4 9 4.3 8

19.2 3 6.4 27



2 Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài của ba cuộn là 186 mét Giá tiền của mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau Sau khi bán được 1 ngày, cửa hàng còn lại 2

3 cuộn vải thứ

nhất, 1

3 cuộn vải thứ hai, 3

5 cuộn vải thứ ba Số tiền bán được của ba cuộn vải tỉ lệ với 2:3:2 Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải của mỗi cuộn vải?

1.Ta có:

12 7 15 8

24 14 12 5

15.4 9 4.3 8 19.2 3 6.4 27



 

24 15 26 15

24 14 25 16

24 15 2

5.2 3 2 3 19.2 3 2 3

2 3 5 2

2 3 19 2.3

3

3 1













 

2 Gọi chiều dài của 3 cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là a,b,c

Sau 1 ngày cửa hàng bán được số vải của các cuộn là:

Cuộn thứ nhất: 2 1 ( )

a a a m ;Cuộn thứ hai: 1 2 ( )

b b b m ; Cuộn thứ

ba : 3 2 ( )

c c c m

Do giá tiền của 1 mét vải của các cuộn bằng nhau nên số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ với số tiền bán được, mà số tiền bán được của các cuộn lại tỉ lệ với 2:3:2 Vậy số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ với 2:3:2, do đó

Ta có:

1 24 3 72

2

3 60

2 24 5

a a

c

c









Vậy trong ngày hôm đó cửa hàng bán được 24 mét vải cuộn thứ nhất; 36 mét vải cuộn thứ hai;

24 mét vải cuộn thứ ba

Bài 3 (4,0 điểm)

1 Tìm GTNN của biểu thức 6 2022 14

y E y



2 Cho a b c, ,  0 và a b c a 2022b c b 2022c a c 2022a b

Tính P 2022 a 2022 b 2022 c

1 Ta có: 6 2022 42 28 3 28

y E

Mà 2 y202214 14, với mọi y thuộc R

 

2

y E

    

Suy ra GTNN của E bằng 1 khi y20220 hay y 2022

Vậy GTNN của E bằng 1 khi y 2022

2

 Nếu

 P 1

 Nếu : a b c  0, Từ GT ta có :

2022

GT

=> 3

2023

Bài 4 (7,0 điểm)

1 Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N, gọi I là giao điểm của BC và MN Chứng minh rằng:

a DM = EN

b I là trung điểm của MN

c Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

2 Cho tam giác ABC vuông tại A, C 15 Trên tia BA lấy điểm O sao choBO 2AC Chứng minh rằng tam giác OBC cân

1

a.Ta có ∆MDB = ∆NEC (g.c.g)

 DM = EN (cặp cạnh tương ứng)

b Ta có:

∆MDI vuông tại D: 0

DMI MID 90  (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

∆NEI vuông tại E: 0

ENI NIE 90 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Mà MID NIE (đối đỉnh) nên DMI = ENI

∆MDI = ∆NEI (g.c.g)

 IM = IN (cặp cạnh tương ứng)

Vậy I là trung điểm của MN

c Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC

∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

 HABHAC (cặp góc tương ứng)

Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I

∆OAB = ∆OAC (c.g.c)

 OBAOCA (cặp góc tương ứng) (1)

 OC = OB (cặp cạnh tương ứng)

∆OIM = ∆OIN (c.g.c)

 OM = ON (cặp cạnh tương ứng)

∆OBM = ∆OCN (c.c.c)

 OBMOCN (cặp góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra OCAOCN=900, do đó OC  AC

Vậy điểm O cố định

2

Ta có: ABC A; 90 ; C 15 gt B 75

Vẽ tam giác đều BCM

(M và A cũng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)

Ta có: OBM ABC MBC 75 60 15

Gọi H là trung điểm của OB 1

2

Mặt khác BO 2AC(gt) nên 1

2

AC OB từ đó ta có AC BH

Xét HMB và ABCcó: BH AC (cmt) HBM ACB 15 ;

MB BC (cạnh đều BMC)

Do đó HMB ABC (c.g.c)

90

Xét MBH và MOH cóMHB MHO 90 , BH HO, MH chung

15

Ta có MB = MC, CMO BMO 150 , OM là cạnh chung

Do đó MOB MOC c g c OB OC

Vậy OBCcân tại O

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho a; b; c; d > 0

Ta có

1

a

  nên a d a  1

(do d > 0) Mặt khác: a a  2

Từ (1) và (2) ta có: a a a d  3



Tương tự ta có:

 4



 5



 6 d+a+b+c



Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được: