Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện năm học: 2011 2012 môn: Toán4628

Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC; Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC; Gọi I là trung điểm của AM.. Các đường cao AM, BN và CK của ABC cắt nhau tại H... b Gọi O là giao đ

SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VỊNG HUYỆN PHỊNG GD&ĐT PHÚ QUỐC Năm học: 2011- 2012

Mơn: Tốn

Thời gian: 150 phút (Khơng tính thời gian phát đề)

Bài 1: ( 3 điểm ) Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình:

2000 2001 2002 2003 2004

x  x  x  x  x 

x



Bài 3:(2điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:

chia hết cho 24

n  n  n  n

Bài 4: (2 điểm ) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

2

2 2

1

1 1

x

z y x





2

2 2

1

1 1

y

x z

y







2

2 2

1

1 1

z

y x

z









Bài 5: (4 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức: P = ab bc ca

c ab  a bc  b ca

Bài 6: (3 điểm)

Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC; Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC; Gọi I là trung điểm của AM

a) Xác định dạng của tứ giác DEIF (1,5 điểm)

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy (1,5 điểm)

Bài 7: (3 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AM, BN và CK của ABC cắt nhau tại H Điểm D đối xứng với điểm B qua điểm O

1/ Tính (1,0 điểm)

DC AH

2/ Chứng minh: tổng có giá trị là một hằng số (2,0 điểm)

CK

CH BN

BH AM

AH





-Hết -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

điểm Bài 1

(3điểm ) A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y

4

= (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y฀ ฀ ฀ ฀ 4

= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4

= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4

= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4

= (x2 + 5xy + 5y2 )2

Do x , y Z nên x 2 + 5xy + 5y2 Z 

A là số chính phương



0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

Bài 2

(3điểm ) a) PT đã cho tương đương:1 2 3 4

              

0

2000 2001 2002 2003 2004

20002001200220032004  Nên Pt đã cho tương đương với x- 2000 = 0 x = 2000 (0,25đ) Vậy S = {2000}

5 0

x x

 











5

9 9

x

x x





   

0,5

0,5 0,5

0,75

Bài 3

(2 điểm )

n  n  n  n

n  n  n  n  n n n  n  n  n

=

n n n  n  n  n  n n n n  n  n

= n n 1n2n 3 24n1

Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia

hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên 4 3 2

n  n  n  n chia hết cho 24

0.5 0.5 0.5 0.5

ThuVienDeThi.com

Bài 4

(2 điểm ) Ta có 1+x

2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y) Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z)

1+z2 =(z+x)(z+y)

x zx y

y z x z z y x y x











x yy z

z x y x y z x z y















=

z xz y

z y x y z x y x z















=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 Vậy T = 2

1

0.5

0.5

Bài 5

(4 điểm ) Có: a b c    1 c a b c c   ac bc c  2

cabac bc c  aba c b c b c (ca c b)(  )



c ab c a c b



( )( )

a bc a b a c

b ca b c b a





2

c ac ba ba cb cb a

2

a c c b b a

a c c b b a

    

2 Dấu “=” xảy ra khi 1

3

a  b c

Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 3

2

1 3

a  b c

0.5 0.5 0.5

0.5

0.5

0.25 0.5 0.5

0.25

Bài 6

N

I

F A

a) Xét tam giác AEM có: EI=1/2.AM và tam giác ADM có: DI=1/2.AM

Do đó tam giác EID cân tại I (1)

Ngoài ra: GócEIM = 2.gócEAI và gócDIM=2.gócDAI => góc EIM + góc DIM = góc EID = 2.góc EAD = 2.30o = 60o

Vậy góc EID = 60o (2)

Từ (1) và (2) => tam giác EID đều (3)

Tương tự ta chứng minh được tam giác IDF đều (4)

Từ (3) và (4) => DEIF là hình thoi

b) Gọi O là giao điểm của ID và EF, ta cần chứng minh: M,O,H thẳng hàng Thật vậy, gọi N là trung điểm của AH Vì H là trực tâm nên H cũng là trọng tâm của tam giác đều ABC => AN=NH=HD

Khi đó: OH là đường trung bình của tam giác DIN => OH // IN

và IN là đường trung bình của tam giác AHM => MH // IN

Do đó M,O,H thẳng hàng hay MH, ID, EF đồng quy tại O

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

0,5 0,25

0,25 0,25

ThuVienDeThi.com

Bài 7

(3 điểm ) 1/ Tam giác BCD có OB = OC = OD = bán kính đường tròn tâm O, nên tam giác BCD vuông tại C Vậy AH // DC ( vì cùng vuông góc với BC)

Tương tự, tam giác ADB cũng vuông tại A, do đó AD//CH (vì cùng

vuông góc với AB)

Vậy, tứ giác AHCD là hình bình hành

Do đó AH= DC, suy ra = 1

DC AH

2/ Gọi S là diện tích ABC và S1, S2, S3 theo thứ tự là diện tích các tam

giác BHC, AHB, AHC

Ta có S= BC AM

2 1

S1= BC HM

2 1

AM

HM S

S 1

AM

AH AM

HM AM S

S S









CK

CH S

S S



 2

BN

BH S

S S



 3

không đổi 2

2 ) (

















S

S S

S S S S CK

CH BN

BH AM

AH

0,25

0,25 0,25 0,25

0,5

0,5 0,5 0,5