Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 25253 Tây sơn, Đống đa, Hà nội THẦY SOẠN ĐỐNG ĐA Trung tâm luyện thi Đại Việt Môn toán từ ......................... lớp 6 đến 12 ĐC Sô 5 ngõ 25253 Tây sơn, Đống đa, Hà nội ĐTZalo 0984.
Trang 1-*** -
THẦY SOẠN ĐỐNG ĐA
Phụ huynh và học sinh đăng kí học, vui lòng liên hệ trực tiếp THẦY SOẠN ĐỐNG ĐA, nhắn tin qua
zalo, hoặc gọi điện trực tiếp vào số ĐT/Zalo : 0984.001.065
➢ CHÚ Ý : Tài liệu hay và hót nhất sẽ thường xuyên cập nhật trên các page này :
• Page : Dành cho học sinh cấp 2: https://www.facebook.com/trungtamdaiviet
✓ Có nhóm zalo riêng cho 2k8:
• Page : Dành cho học sinh cấp 3 :https://www.facebook.com/toanhoc123
✓ Có nhóm zalo riêng cho 2k5:
Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên K = (a;b) , x0K
• Nếu f '( )x0 = ( hoặc f’(x) không xác định tại 0 x0) Đồng thời f’(x) đổi dấu từ (+) sang ( -) qua x0
thì x0 là một cực đại của hàm số f(x)
Trang 2-*** -
BTT
Như vậy : x x0là một cực đại khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện
- Hàm số y f x xác định và liên tục tại x0
- f '( )x0 = hoặc '0 f x không xác định tại x0
- f x đổi dấu từ (+) sang ( -) qua ' x0
• Nếu f '( )x0 = ( hoặc f’(x) không xác định tại 0 x0) Đồng thời f’(x) đổi dấu từ (-) sang ( + ) qua x0
thì x0 là một cực đại của hàm số f(x)
BTT
Như vậy : x x0là một CT khi và chỉ khi thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện
- Hàm số y f x xác định và liên tục tại x0
- f '( )x0 = hoặc '0 f x không xác định tại x0
- f x đổi dấu từ (-) sang ( +) qua ' x0
Trang 3• Cho bảng biến thiên: tìm số cực trị nghĩa là đếm số điểm mà tại đó
✓ Tại đó f '( )x = hoặc không xác đinh, 0
✓ Đồng thời f '( )x có sự đảo dấu khi qua điểm đó
✓ Hàm số f x xác định và liên tục điểm đó ( )
• Cho đồ thị của f x : Tìm số điểm cực trị ta đếm số điểm nhấp nhô ( )
• Cho đồ thị của f '( )x : Tìm số điểm cực trị ta đếm số điểm cắt xuyên trục Ox
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Hàm số đạt cực đại tại B Hàm số đạt cực đại tại
C Hàm số đạt cực đại tại D Hàm số đạt cực đại tại
Trang 4dấu f( )x như sau
Hàm số y= f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?
bảng xét dấu đạo hàm như hình bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
+∞ -∞
+ +
e d
c b
a f'(x)
x
Trang 5là đường cong trong hình vẽ bên
Hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị?( )
-
Mệnh đề nào sau đây sai?
A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 B Hàm số đạt cực đại tại x = 4
C Hàm số có hai điểm cực trị D Hàm số đạt cực đại tại x = 0
Trang 6-*** -
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) chứa điểm x0; f x'( )0 = Khi đó: 0
Trang 7-*** -
a) Nếu f ''(x0)0 thì f đạt cực đại tại x0
b) Nếu f ''( )x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 0
Chú ý: nếu f ''( )x0 = thì chưa kết luận được gì tại x0 0, khi đó phải lập bảng biến thiên
✓ Liên quan điểm cực trị
+) tìm điều kiện để có hai cực trị
+) Tim tọa độ các điểm cực trị theo m rồi thay vào yêu cầu đề bài
• Lập phương trình qua hai điểm cực trị
PP : tính y'
Chia y cho y’, giả sử y y p x' h x
Khi đó PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là : : y h x
Chú ý : phương pháp thử ngược lợi hại
Trang 9đạt cực tiểu tại điểm x
Nếu f x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số
( )
y f x
đạt cực đại tại điểm x
Định lí 3: Giả sử y f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x h x; h), với h 0
Khi đó:
Nếu y x( ) 0, ( )y x 0 thì x là điểm cực tiểu
Nếu y x( )o 0, ( )y x o 0 thì x là điểm cực đại
- Các THUẬT NGỮ cần nhớ
Điểm cực đại (cực tiểu) của hàm số là x , giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số là f x( )
(hay yCĐ hoặc yCT). Điểm cực đại của đồ thị hàm số là M x f x( ; ( ))
Nếu M x y( ; ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) 0
Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm sốy= f x( ).
Phương pháp: Sự dụng 2 qui tắc tìm cực trị sau:
Quy tắc I: sử dụng nội dụng định lý 1
• Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐBài 2
Trang 10-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
• Bước 2 Tính đạo hàm y = f x ( ). Tìm các điểm x i, (i=1,2,3, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không xác định
• Bước 3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
• Bước 4 Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1)
Quy tắc II: sử dụng nội dụng định lý 2
• Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số
• Bước 2 Tính đạo hàm y = f x ( ). Giải phương trình f x ( ) 0 = và kí hiệu x i, (i=1,2,3, , )n là
các nghiệm của nó
• Bước 3 Tính f x ( ) và f x ( ).i
• Bước 4 Dựa vào dấu của y x ( )i suy ra tính chất cực trị của điểm x i:
+ Nếu f x( ) 0i thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i.
+ Nếu f x( ) 0i thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i.
Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số khi biết y, y’
Câu 1 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm
Trang 11-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Câu 8 (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm ( ) ( ) ( )2
1 ,
f x =x x+ x Số điểm
cực trị của hàm số đã cho là
A 1 B 2 C 3 D 0
Câu 9 (Mã 102 - 2019) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x( )=x x( −2)2, x Số
điểm cực trị của hàm số đã cho là
Trang 12-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Câu 19 (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho hàm số y= f x( )có đạo hàm
+
=+ có bao nhiêu điểm cực trị?
x y
x Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Cực tiểu của hàm số bằng − 3 B Cực tiểu của hàm số bằng 1
C Cực tiểu của hàm số bằng − 6 D Cực tiểu của hàm số bằng 2
Câu 24 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Điểm cực đại của đồ thị hàm số
+
1
x y x
4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− −; 1); ( )0;1
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên?
A 2 B 1 C 4 D 3
Trang 13-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Câu 30 (THPT Ba Đình 2019) Tìm giá trị cực đại của hàm số 3 2
Dạng 2 Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số y, y’
Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A 2 B 3 C 0 D −4
Câu 2 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:
Trang 14-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A x= −2 B x=2 C x=1 D x= −1
Câu 3 (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm f x( ) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A 3 B −5 C 0 D 2
Câu 4 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A B C D
Câu 5 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
Trang 15-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A 3 B − 3 C −1 D 2
Câu 7 (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số đạt cực tiểu tại x= −5 B Hàm số có bốn điểm cực trị
C Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 D Hàm số không có cực đại
Câu 8 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
Trang 16-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Tìm giá trị cực đại y CĐ và giá trị cực tiểu y CT của hàm số đã cho
Trang 17-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Mệnh đề nào dưới đây sai
A Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 B Hàm số có hai điểm cực tiểu
C Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 D Hàm số có ba điểm cực trị
Câu 15 (Mã 104 - 2019) Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
Trang 18-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
Câu 19 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực đại tại điểm
A x =1 B x =0 C x =5 D x =2
Câu 20 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A x = 3 B x = − 1 C x = 2 D x = − 3
Câu 21 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )
Trang 19-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A x =3 B x = −1 C x =1 D x = −2
Câu 22 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau :
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A x =3 B x =2 C x = − 2 D x = − 1
Câu 23 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A x = −2 B x = − 3 C x =1 D x = 3
Câu 24 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x( ), bảng xét dấu của f( )x như sau:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A 0 B 2 C 1 D 3
Trang 20-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Câu 25 (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 2) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của ( ) f( )x như
Câu 29 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x( ) liên tục trên R có bảng xét dấu f '( )x
Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:
Trang 21-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Bước 3 Thế m vào y''( )x0 nếu giá trị 0
0
'' 0'' 0
Trang 22-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Câu 8 (THPT Kinh Môn - 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
Câu 3 (THPT Yên Khánh A - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số
Trang 23Dạng 3.3 Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần dư của phép chia của y cho y'
Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho ) y : 1 1
Câu 3 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=(2m−1)x+ + song song với m 3
đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3x2+ 1
Câu 5 (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường
thẳng d y: =(3m+1)x+ + vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của 3 m
Câu 6 (TT Tân Hồng Phong - 2018) Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Trang 24y=x + x + m− x+m có hai điểm cực trị và điểm M(9; 5− ) nằm trên đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
A m = − 1 B m = − 5 C m =3 D m =2
Câu 9 (Nguyễn Khuyến 2019) Đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm
số y=x3−2x m+ đi qua điểm M −( 3; 7)khi m bằng bao nhiêu?
A 1 B −1 C 3 D 0
Câu 10 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để
đường thẳng d y: =(3m+1)x+ + vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực 3 m
m =
Dạng 3.4 Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài toán tổng quát: Cho hàm số 3 2
Trang 25-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
— Bước 3 Gọi x x là 2 nghiệm của phương trình 1, 2 y =0 Theo Viét, ta có:
— Hàm số bậc 3 không có cực trị y = không có 2 nghiệm phân biệt 0 y 0
— Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa
độ 2 điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) với x x là 2 nghiệm của 1, 2 y =0 Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau:
• Nếu giải được nghiệm của phương trình y =0, tức tìm được x x cụ thể, khi đó ta 1, 2
sẽ thế vào hàm số đầu đề y= f x m( ; ) để tìm tung độ y y tương ứng của A và B 1, 2
• Nếu tìm không được nghiệm y =0, khi đó gọi 2 nghiệm là x x và tìm tung độ 1, 2
1, 2
y y bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị
Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp
tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho ) y , nghĩa là:
Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho ) y : 1 1
Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y=h x( )
Dạng toán: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d):
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:
Cho 2 điểm ( ; A x y A A), (B x y B; B) và đường thẳng d ax by c: + + = Khi đó: 0
• Nếu ( ax A+by A+ c) (ax B+by B + thì , c) 0 A B nằm về 2 phía so với đường thẳng d
• Nếu ( ax A+by A+ c) (ax B+by B + thì , c) 0 A B nằm cùng phía so với đường d
Trường hợp đặc biệt:
• Để hàm số bậc ba y= f x( ) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung
Oy phương trình y = có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại 0
• Để hàm số bậc ba y= f x( ) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành
Ox đồ thị hàm số y= f x( ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình
hoành độ giao điểm f x = có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được ( ) 0
Trang 26-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
đường d:
— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1
— Bước 2 Tìm tọa độ 2 điểm cực trị , .A B Có 2 tình huống thường gặp:
+ Một là y = có nghiệm đẹp 0 x x tức có 1, ,2 A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)
+ Hai là y = không giải ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường 0thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A x y( ;1 1), ( ;B x y 2 2)
là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Do A B đối xứng qua , d nên thỏa hệ d AB u d 0 2
— Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu m D1
— Bước 2 Tìm tọa độ 2 điểm cực trị , .A B Có 2 tình huống thường gặp:
+ Một là y = có nghiệm đẹp 0 x x tức có 1, ,2 A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)
+ Hai là y = không giải ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường 0thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A x y( ;1 1), ( ;B x y 2 2)
— Bước 3 Do , A B cách đều đường thẳng d nên d A d( ; )=d B d( ; ) m D2
— Bước 4 Kết luận m=D1D2
Lưu ý: Để 2 điểm , A B đối xứng nhau qua điểm I I là trung điểm AB
Câu 1 Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y= x −mx + m − x có hai điểm cực trị A và B sao cho A B,nằm khác phía và cách đều đường thẳng d y: =5x−9 Tính tổng tất cả các phần tử
Trang 27m m m
Câu 7 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số 3 2
3 3 1
y= − +x mx − m− với m
là một tham số thực Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng :d x+8y−74= 0
A 7 B 9 C 2 D 3
Trang 28-*** -
Trung tâm luyện thi toán số 5 ngõ 252/53 Tây sơn, Đống đa, Hà nội
Câu 13 (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hàm số 3 ( ) 2 ( )
y= x + m− x + m− x − với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu
nằm trong khoảng (−2;3)
A m −( 1; 4 \ 3) B m ( )3; 4 C m ( )1;3 D m −( 1; 4)
Câu 14 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hàm số 3 2 2
3 4 2
y x mx m có đồ thị
C và điểm C 1; 4 Tính tổng các giá trị nguyên dương của m để C có hai điểm
cực trị A B, sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4
Câu 20 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để điểm M(2m m tạo với hai điểm cực 3; )
đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 ( )
y= x − m+ x + m m+ x+ C một tam giác có diện tích nhỏ nhất?