§2 Cực trị của hàm số I Khái niệm cực đại, cực tiểu 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên miền D (D ⊂ R) và x0 ∈ D a) Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂[.]
Trang 1§2.Cực trị của hàm số
Trang 2I Khái niệm cực đại, cực tiểu
1 Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên miền D (D ⊂ R) và x0 ∈ D.
a) Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và
𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥0 với mọi x ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực đại tại x0
Khi đó x0 được gọi là điểm cực đại, 𝑓 𝑥0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f (x).
b) Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và
𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥0 với mọi x ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x0
Khi đó x0 được gọi là điểm cực tiểu, 𝑓 𝑥0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f (x).
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số
- Điểm 𝑀(𝑥0; 𝑓(𝑥0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số
Trang 3I Khái niệm cực đại, cực tiểu
2 Chú ý
1 Giá trị cực đại (cực tiểu) 𝑓 𝑥0 của hàm số f (x) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f (x) trên tập D 𝑓 𝑥0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
hàm số f (x) trên một khoảng (a; b) nào đó chứa điểm x0
2 Hàm số f (x) có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập D.
3 Nếu hàm số f (x) đạt cực trị và có đạo hàm tại x0 thì 𝑓′ 𝑥0 = 0
Điểm cực đại của đồ thị hàm số
Điểm cực đại của đồ thị hàm số
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số Điểm cực tiểu của đồ
thị hàm số
Trang 4Hàm 𝑓(𝑥) = −𝑥4 − 𝑥2 + 2
Quan sát đồ thị (C) và hoàn thiện bảng biến thiên của hàm số
A
(C)
x -∞ 0 +∞
𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “+” sang “ ⎻ ” khi 𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo chiều tăng) ⟹ 𝑥0 là điểm
cực đại của hàm số f (x)
Trang 5Quan sát đồ thị (C) và hoàn thiện bảng biến thiên của hàm số
𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “+” sang “ ⎻ ” khi 𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo chiều tăng) ⟹ 𝑥0 là điểm
cực đại của hàm số f (x)
b) Hàm số 𝑓(𝑥) = 1
3 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥
x -∞ 1 3 +∞
𝑓′(𝑥) 0 0
f (x)
4 3 𝐶Đ
0
CT
- ∞
+ ∞
𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “⎻” sang “ + ” khi 𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo chiều tăng) ⟹ 𝑥0 là điểm
cực tiểu của hàm số f (x)
Trang 6I Khái niệm cực đại, cực tiểu
II Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
1 Định lý 1 (SGK/14)
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
khoảng (a; b) hoặc (a; b)\ 𝑥0 Khi đó
CT
𝑥0 là điểm cực đại của hàm số 𝑥0 là điểm cực tiểu của hàm số
* Chú ý: Tại điểm 𝑥0 đạo hàm của hàm số có thể bằng 0 hoặc không xác định (f (x) không
có đạo hàm)
Vậy điều kiện đủ để hàm số f (x) đạt cực trị tại 𝑥0 là 𝑓′(𝑥) đổi dấu khi x qua điểm 𝑥0.
Trang 7I Khái niệm cực đại, cực tiểu
II Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
1 Tìm tập xác định
2 Tính 𝑓′ 𝑥 Tìm các điểm tại đó 𝑓′ 𝑥 = 0 hoặc không xác định
3 Lập bảng biến thiên
4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
III Quy tắc tìm cực trị
*) Quy tắc 1
Trang 81 Tìm tập xác định.
2 Tính 𝑓′ 𝑥 Tìm các điểm tại đó 𝑓′ 𝑥 = 0 hoặc không xác định
3 Lập bảng biến thiên
4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
III Quy tắc tìm cực trị
*) Quy tắc 1
* Ví dụ 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 4 b) 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 − 3
Trang 9a) 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 4
+) TXĐ: D = R.
+) 𝑦′ = 3𝑥2 + 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 + 2)
+) 𝑦′ = 0⟺ 3𝑥 𝑥 + 2 = 0⟺ ቈ 𝑥 = 0
𝑥 = −2 +) Bảng biến thiên:
x -∞ -2 0 +∞
𝑓′(𝑥) 0 0
f (x)
0
-4
- ∞
+ ∞
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = -2 và 𝑦𝐶Đ = 𝑦 −2 = 0; hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 0 và 𝑦𝐶𝑇 = 𝑦 0 = −4
Trang 10b) 𝑦 = 𝑥4 − 2𝑥2 − 3
+) TXĐ: D = R.
+) 𝑦′ = 4𝑥3 − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥2 − 1)
+) 𝑦′ = 0⟺4𝑥(𝑥2 − 1) = 0⟺ ቈ4𝑥 = 0
𝑥2 − 1 ⟺ቈ 𝑥 = 0
𝑥 = ±1 +) Bảng biến thiên:
x -∞ -1 0 1 +∞
𝑓′(𝑥) 0 0 0
f (x)
-3 -4 -4
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và 𝑦𝐶Đ = 𝑦 0 = −3;
hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1 và 𝑥 = −1; 𝑦𝐶𝑇 = 𝑦 ±1 = −4
⎻
Trang 11Câu 1 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) như hình bên Khẳng
định nào sau đây sai?
A 𝐵 −2; 3 và 𝐷 7
3 ; 2 là hai điểm cực đại của đồ thị (C).
B. 𝐵 −2; 3 , 𝐶 1; −3
2 , 𝐷 7
3 ; 2 là các điểm cực trị của
đồ thị (C).
C 𝑥 = −2 và 𝑥 = 7
3 là hai điểm cực đại; 𝑥 = 1 là điểm cực
tiểu của hàm số f (x).
điểm 𝑥 = −2, 𝑥 = 7
3
Trang 12Câu 2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 Khẳng định nào sau đây sai?
A Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 thì 𝑓′ 𝑥0 = 0.
B Nếu 𝑓′ 𝑥0 ≠ 0 thì x0 không là điểm cực trị của f (x).
C Nếu 𝑓′ 𝑥0 = 0 thì x0 là điểm cực trị của f (x).
D Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại
điểm 𝑀(𝑥0; 𝑓(𝑥0)) song song với trục hoành
Trang 13Câu 3 Hàm số 𝑦 = 2𝑥+3
𝑥+1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Trang 14Câu 4 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây đúng?
A Hàm số có đúng một cực trị
B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1.
D Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.
Trang 15Câu 5 Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1 có điểm cực đại là
Trang 16Câu 6 Hàm số 𝑦 = 1
4 𝑥4 − 2𝑥2 + 1 có giá trị cực tiểu và giá trị cực đại là
A 𝑦𝐶𝑇 = 2, 𝑦𝐶Đ = 0 B 𝑦𝐶𝑇 = −3, 𝑦𝐶Đ = 1
C 𝑦𝐶𝑇 = −3, 𝑦𝐶Đ = 0 D 𝑦𝐶𝑇 = −2, 𝑦𝐶Đ = 0