Convergence Conditions Of Solutions For Set Optimization Problems And Related Problems

HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐINH VINH HIỂN ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TẬP... Lê Thanh Tùng Phản biện độc lập 1: miễn phản biện độc lập Phản biện độc lập 2: miễn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐINH VINH HIỂN

ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ NGHIỆM

CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TẬP

&

$

%

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự

nhiên - Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học:

1 HDC: GS.TS Lâm Quốc Anh

2 HDP: PGS.TS Nguyễn Lê Hoàng Anh

Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Định

Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Phản biện 3: PGS.TS Lê Thanh Tùng

Phản biện độc lập 1: miễn phản biện độc lập

Phản biện độc lập 2: miễn phản biện độc lập

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở đào

tạo họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

vào lúc ngày tháng năm 2022

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM

- Thư viện Đại học Quốc gia Tp.HCM

- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM

Định nghĩa 1.1.1 Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y được gọi là(a) nửa liên tục trên (usc) tại x0 nếu, với mọi tập mở V trong Y với

F (x0) ⊂ V, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho F (U ) ⊂ V ;(b) nửa liên tục dưới (lsc) tại x0 nếu, với mọi tập mở V trong Y, với

F (x0) ∩ V ̸= ∅, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho F (x) ∩ V ̸= ∅với mỗi x ∈ U ;

(c) nửa liên tục trên Hausdorff (H-usc) tại x0 nếu, với mỗi lân cận Ωcủa điểm gốc 0Y trong Y, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho

F (x) ⊂ F (x0) + Ω với mỗi x ∈ U ;

(d) nửa liên tục dưới Hausdorff (H-lsc) tại x0 nếu, với mỗi lân cận Ωcủa điểm gốc 0Y trong Y, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho

F (x0) ⊂ F (x) + Ω với mỗi x ∈ U ;

(e) liên tục (liên tục Hausdorff ) tại x0 nếu nó vừa usc và lsc (H-usc

và H-lsc) tại x0

Một ánh xạ thỏa mãn một tính chất nào đó trên A nếu nó thỏatính chất đó tại mỗi điểm của A Khi A là một không gian nào đó, ta

bỏ qua cụm từ “trên A” trong các phát biểu

Mệnh đề 1.1.1 Cho F : X ⇒ Y, các khẳng định sau đây đúng:(i) Nếu F là usc (tương ứng lsc, H-usc, H-lsc) tại ¯x, thì αF là usc(tương ứng lsc, H-usc, H-lsc) tại ¯x với mọi α ∈ R

(ii) Nếu F là usc, thì F là H-usc

(iii) Nếu F là H-usc và có giá trị compact, thì F là usc

(iv) Nếu F là H-lsc, thì F là lsc

(v) Nếu F là lsc và có giá trị compact, thì F là H-lsc

(vi) Nếu F là H-usc và có giá trị đóng, thì F là ánh xạ đóng

Định nghĩa 1.2.1 Cho A, B ∈P(Y)

(a) Quan hệ thứ tự tập kiểu lower ≼l được định nghĩa bởi

A ≼ B : ⇐⇒ A ≼lB và A ≼uB,

A ≺ B : ⇐⇒ A ≺lB và A ≺uB

Nếu A ≼ B và B ≼ A, thì ta nói A tương đương với B, ký hiệu A ∼ B

Định nghĩa 1.2.2 ChoG là một tập con của P(Y) và A ∈ G (a) A được gọi là một phần tử tối tiểu của G nếu và chỉ nếu

B ∈G và B ≼ A kéo theo A ≼ B

(b) A được gọi là một phần tử tối tiểu mạnh (lý tưởng) củaG nếu vàchỉ nếu

A ≼ B với mọi B ∈ G (c) A được gọi là một phần tử tối tiểu yếu củaG nếu và chỉ nếu

(a) hội tụ trên Painlevé–Kuratowski đến A, ký hiệu An ⇀ A, nếuK

Điều kiện e(An, A) → 0 tương ứng với hội tụ trên Hausdorff (kýhiệu An ⇀ A) trong khi e(A, AH n) → 0 là hội tụ dưới Hausdorff (kýhiệu An

Cho F : X ⇒ Y và Γ là một tập con khác rỗng của X Chúng taxét bài toán tối ưu tập sau

(SOP) Minimize F (x)

subject to x ∈ Γ

Đặt FG := {F (x) : x ∈ G ∩ domF }, với G là tập con khác rỗngcủa X Một phần tử x0 ∈ Γ được gọi là nghiệm hữu hiệu (tương ứngnghiệm yếu, nghiệm mạnh) của bài toán (SOP) nếu F (x0) là phần tửtối tiểu (tương ứng tối tiểu yếu, tối tiểu mạnh) củaFΓ.

gian ảnh

Định lý 1.6.1 Cho Γ và Γn (n = 1, 2, ) là các tập con khác rỗngcủa X sao cho Γn

H

⇀ Γ và Γ là compact, khi đó các khẳng định sauđúng:

(a) Nếu F là nửa liên tục trên Hausdorff thì với mọi dãy {An} với

An∈FΓ n, tồn tại một dãy con {Ank} và một phần tử A trongFΓ

sao cho Ank ⇀ A.H

(b) Nếu F là nửa liên tục dưới Hausdorff thì với mọi dãy {An} với

An∈FΓ n, tồn tại một dãy con {Ank} và một phần tử A trongFΓ

sao cho Ank ⇁ A.H

Định lý 1.6.2 Cho Γ và Γn (n = 1, 2, ) là các tập con khác rỗngcủa X sao cho Γn

(c) Nếu F liên tục và có giá trị compact, thì với mọi dãy {An} với

An∈FΓ n, tồn tại một dãy con {Ank} và một phần tử A trongFΓ

sao cho Ank → A.K

Chương 2

Điều kiện ổn định nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán tối ưu tập

Chương này nghiên cứu điều kiện ổn định của nghiệm yếu và nghiệmmạnh trong không gian ảnh của bài toán tối ưu tập theo nghĩa hội tụPainlevé–Kuratowski và Hausdorff Các kết quả thu được sẽ được ứngdụng vào việc xét tính ổn định của mô hình kinh tế học phúc lợi

Định lý 2.2.1 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Giả

sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) Γn⇁ Γ;K

(ii) F liên tục Hausdorff và có giá trị compact

Nếu An ∈ WMin(FΓ n) với mọi n và An → A, với A ∈H FΓ, thì A ∈WMin(FΓ)

Hệ quả 2.2.1 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Giả

sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) Γ là compact;

(ii) Γn⇀ Γ và ΓH n⇁ Γ;K

(iii) F liên tục Hausdorff và có giá trị compact

Khi dó, với mọi dãy {An} với An∈ WMin(FΓ n), tồn tại một dãy con{Ank} của {An} sao cho Ank → A với A ∈ WMin(H FΓ)

Định lý 2.2.2 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Giả

sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) Γn⇁ Γ;K

(ii) F liên tục Hausdorff và có giá trị compact

Nếu An ∈ SMin(FΓ n) với mỗi n và An → A, với A ∈H FΓ, thì A ∈SMin(FΓ)

Hệ quả 2.2.2 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Giả

sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(iii) F liên tục Hausdorff và có giá trị compact

Khi đó, với mọi dãy {An} với An ∈ SMin(FΓ n), tồn tại một dãy con{Ank} của {An} sao cho Ank → A với A ∈ SMin(H FΓ)

Ta ký hiệu họ các phần tử ε-tối tiểu củaG bởi Minε(G ).

Định lý 2.3.1 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Giả

sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) Γ là compact;

(ii) Γn⇀ Γ và ΓH n⇁ Γ;K

(iii) F liên tục Hausdorff và có giá trị compact

Khi đó, với mọi A ∈ WMin(FΓ), tồn tại một dãy {εn} ⊂ int C với

εn → 0Y và một dãy {An} sao cho An ∈ Minεn(FΓ n) với mỗi n và

An→ A.H

Định lý 2.3.2 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Giả

sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) Γ là compact;

(ii) Γn⇀ Γ và ΓH n⇁ Γ;K

(iii) F liên tục Hausdorff và có giá trị compact

Nếu A ∈ SMin(FΓ) và SMin(FΓ n) ̸= ∅ với mỗi n, thì tồn tại mộtdãy con {Wnj} và một tập W ∈ SMin(FΓ) sao cho W ∼ A, Wn j ∈SMin(FΓnj) và Wnj → W H

Cho n, m ∈ N∗, giả sử nền kinh tế gồm n khách hàng với các tậptiêu dùng CSi⊂ R, (i = 1, · · · , n), m nhà cung cấp với các tập sản xuất

P Sj ⊂ R, (j = 1, · · · , m) và tập tồn kho ban đầu W ⊂ R Các kế hoạchtiêu dùng và chiến lược sản xuất được ký hiệu bởi y ∈ (y1, · · · , yn) ∈

CS1× · · · × CSn và v = (v1, · · · , vm) ∈ P S1× · · · × P Sm, tương ứng.Giả sử rằng với mỗi i = 1, · · · , n, tập tiêu dùng CSi là đóng Với mỗingười tiêu dùng i, ánh xạ thỏa dụng Li : Rn ⇒ R được xác định bởi

Li(y) = (−∞, yi), với mọi y = (y1, · · · , yn) Ta giả sử rằng Li ̸= ∅ với

ít nhất một chỉ số i ∈ {1, · · · , n} nào đó Ánh xạ tập mức L : Rn⇒ Rn

được xác định bởi L(y) := (L1(y), · · · , Ln(y)) , ∀y ∈ Rn Chú ý rằngvới mỗi y ∈ Rn, L(y) − y = − int Rn+ Bằng cách đặt ˆF : Rm+1 ⇒ Rn,

x = (v, w), w ∈ W , chúng ta xét mô hình Kinh tế học phúc lợi như làbài toán tối ưu tập với nón ˆC = cl(L(y) − y), y ∈ Rn như sau:

(WEP) Minimize F (x)ˆ

subject to x ∈ S,với

Ký hiệu ˆFA:= { ˆF (x) : x ∈ A ∩ dom ˆF }, với ∅ ̸= A ⊂ Rm+1

Hệ quả 2.4.1 Cho Wi, SPij (i ∈ N, j = 1, · · · , m) là các dãy của cáctập con khác rỗng của R, Si := (Qm

j=1P Sij) × Wi ⊂ Rm+1 Với bài toán(WEP), giả sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) W, SPj là compact với mỗi j = 1, · · · , m;

(ii) Si ⇀ S;H

(iii) Wi⇁ W và SPK ij ⇁ SPK j với mỗi j = 1, · · · , m;

(iv) ˆF liên tục Hausdorff và có giá trị compact

(c) Với mọi A ∈ WMin( ˆFS), tồn tại một dãy {εi} ⊂ int ˆC với εi→ 0Rn

và một dãy {Ai} sao cho Ai ∈ Minεi( ˆFS i) với mỗi i và Ai

H

→ A.(d) Nếu A ∈ SMin( ˆFS) và SMin( ˆFS i) ̸= ∅ với mỗi i, thì tồn tại mộtdãy con {Wij} và tập W ∈ SMin( ˆFS) sao cho W ∼ A, Wi j ∈SMin( ˆFSij) và Wij → W H

3.2.1 Ổn định ngoài

Định nghĩa 3.2.1 Cho X, Y là các không gian vectơ tôpô, D là mộttập con lồi khác rỗng của X Anh xạ đa trị F từ X vào Y được gọi là(a) C-lồi dưới chặt trên D nếu, với mọi x1, x2 ∈ D với x1 ̸= x2 và vớimọi t ∈ (0, 1),

tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊂ F (tx1+ (1 − t)x2) + int C;

(b) C-lồi trên chặt trên D nếu, với mọi x1, x2 ∈ D với x1 ̸= x2 và vớimọi t ∈ (0, 1),

(iii) F liên tục, C-lồi chặt với giá trị compact lồi

Khi đó, với mỗi dãy {An} với An ∈ Min(FΓ n), tồn tại một dãy con{Ank} sao cho Ank → A, với A ∈ Min(K FΓ)

Định nghĩa 3.2.2 Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y được gọi là có tínhchất ngược (converse property) tại x0 đối với ˆx0 ∈ X nếu và chỉ nếu,hoặc F (ˆx0) ̸≼ F (x0) hoặc với mọi dãy {xn}, {ˆxn} của X với xn → x0,ˆ

xn→ ˆx0, tồn tại n0 ∈ N sao cho F (ˆxn0) ≼ F (xn 0)

Định lý 3.2.2 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Vớibài toán (SOP), giả sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) Γ là compact;

(ii) Γn⇀ Γ và ΓH n⇁ Γ;K

(iii) F liên tục và có giá trị compact;

(iv) F có tính chất ngược tại mỗi x ∈ Γ đối với mỗi y ∈ Γ, y ̸= x.Khi đó, mỗi dãy {An} trong Min(FΓ n) có một dãy con {Ank} sao cho

Ank → A, với A ∈ Min(K FΓ)

(iii) F liên tục và có giá trị compact;

(iv) FΓ n có tính chất trội với mỗi n

Nếu B ∈ Min(FΓ), thì tồn tại một dãy {Bj} và một tập D ∈ Min(FΓ)sao cho D ∼ B, Bj ∈ Min(FΓ j) và Bj → D.K

Định nghĩa 3.2.4 Một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là compactdưới theo nghĩa Painlevé-Kuratowski (K-lower compact ) nếu với mỗidãy {Γn}, Γn ⇁ Γ, và {WK n}, Wn ∈ FΓ n, tồn tại một dãy con {Wn j}của {Wn} thỏa mãn Wnj ⇁ W ∈K FΓ và clS

j∈NWnj là compact.Định lý 3.2.4 Cho {Γn} là một dãy các tập con khác rỗng của X Vớibài toán (SOP), giả sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) Γn⇁ Γ;K

(ii) FΓ n có tính chất trội với mỗi n;

(iii) F là compact dưới theo nghĩa Painlevé-Kuratowski;

(iv) F liên tục và có giá trị compact

Nếu H ∈ Min(FΓ), thì tồn tại một dãy {Hj} và một tập D ∈ Min(FΓ)sao cho D ∼ H, Hj ∈ Min(FΓ j) và Hj ⇁ D.K

3.3 Ứng dụng

Chúng tôi xét điều kiện ổn định nghiệm hữu hiệu cho mô hình Kinh

tế học phúc lợi (WEP) đã nêu trong mục 2.4

Hệ quả 3.3.1 Cho Wi, SPij (i ∈ N, j = 1, · · · , m) là các tập con lồikhác rỗng của R, Si := (Qm

j=1P Sij)×Wi ⊂ Rm+1 Với bài toán (WEP),giả sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) W, SPj là compact và lồi với mỗi j = 1, · · · , m;

(ii) Wi

H

→ W và SPij → SPH j với mỗi j = 1, · · · , m;

(iii) ˆF liên tục, ˆC-lồi chặt với giá trị compact lồi

Khi đó, với mỗi dãy {Ai} với Ai ∈ Min( ˆFS i), tồn tại một dãy con{Aik} sao cho Aik → A, với A ∈ Min( ˆK FS)

Hệ quả 3.3.2 Cho Wi, SPij (i ∈ N, j = 1, · · · , m) là các dãy của cáctập con lồi khác rỗng của R, Si:= (Qm

j=1P Sij) × Wi ⊂ Rm+1 Với bàitoán (WEP), giả sử các giả thiết sau thỏa mãn:

(i) W, SPj là compact với mỗi j = 1, · · · , m;

(iv) ˆF liên tục và có giá trị compact;

(v) ˆF có tính chất ngược tại mỗi x ∈ S đối với mỗi y ∈ S, y ̸= x.Khi đó, mỗi dãy {Ai} trong Min( ˆFS i) có một dãy con {Aik} sao cho

Ai k

K

→ A, với A ∈ Min( ˆFS)

Cho K là một tập con đóng, khác rỗng của X, U ⊂ Rm là một tậpkhông chắc chắn các kịch bản có thể xảy ra và f : X × U → Y là mộtánh xạ có giá trị vectơ Một bài toán tối ưu vectơ không chắc chắnP(U ) được cho như là họ {P(ξ) : ξ ∈ U } của các bài toán tối ưu vectơ

P(ξ) min f (x, ξ)subject to x ∈ K

Dạng lạc quan của bài toán P(U ) là bài toán cực tiểu hóa hàm mụctiêu ứng với kịch bản tốt nhất

Định nghĩa 4.2.1 Cho bài toán tối ưu vectơ không chắc chắn P(U ),một phần tử ¯x ∈ K được gọi là nghiệm hữu hiệu lạc quan (optimisticefficient solution) nếu

[ ∀ ¯ξ ∈ U , ∃ξ ∈ U : f (x, ξ) ≤C f (¯x, ¯ξ) với x ∈ K] kéo theo

[ ∀ξ ∈ U , ∃ ¯ξ ∈ U : f (¯x, ¯ξ) ≤C f (x, ξ)]

Ký hiệu Sol là tập các nghiệm hữu hiệu lạc quan của bài toán P(U )

P(U ) lạc quan và bài toán tối ưu vô hướng

4.3.1 Khái niệm đặt chỉnh của bài toán P(U ) lạc quan và

bài toán tối ưu vô hướng

Định nghĩa 4.3.1 Cho p ∈ int C Một dãy {xn} ⊂ K được gọi là(a) p-cực tiểu của bài toán P(U ) đối với s ∈ Sol nếu tồn tại một dãy{εn} ⊂ R+, εn→ 0, sao cho ∀η ∈ U , ∃ξ ∈ U ,

f (xn, ξ) ≤C f (s, η) + εnp;

(b) p-cực tiểu suy rộng của bài toán P(U ) nếu tồn tại dãy {εn} ⊂

R+, εn→ 0, và dãy {sn} ⊂ Sol sao cho ∀η ∈ U , ∃ξ ∈ U ,

(b) p-đặt chỉnh suy rộng nếu với mỗi dãy p-cực tiểu suy rộng {xn} đều

có một dãy con {xn k} hội tụ về một điểm ¯x ∈ Sol

Cho µ : K ⊂ X → R, xét bài toán tối ưu vô hướng

OP(K, µ) min µ(x)

subject to x ∈ K

Định nghĩa 4.3.3 Bài toán tối ưu OP(K, µ) được gọi là

(a) đặt chỉnh Tykhonov, nếu nó có nghiệm duy nhất ¯x ∈ K và mỗi dãycực tiểu {xn}, theo nghĩa µ(xn) → inf µ, hội tụ đến ¯x;

(b) đặt chỉnh Tykhonov suy rộng, nếu tập nghiệm của nó khác rỗng vàmỗi dãy cực tiểu {xn} có một dãy con hội tụ về một điểm cực tiểu

4.3.2 Mối quan hệ giữa tính đặt chỉnh của bài toán P(U )

lạc quan và bài toán tối ưu vô hướng tương ứng

Định nghĩa 4.3.4 Ánh xạ h : X → Y được gọi là

(a) C-nửa liên tục dưới (C-l.s.c) tại ¯x nếu với mỗi lân cận V của h(¯x),tồn tại một lân cận N của ¯x sao cho ∀x ∈ N, h(x) ∈ V + C;(b) C-nửa liên tục trên (C-u.s.c) tại ¯x nếu (−h) là C-l.s.c tại ¯x;(c) C-bị chặn dưới trên một tập con A của X nếu với mỗi lân cận Vcủa điểm gốc trong Y, tồn tại t > 0 sao cho h(A) ⊂ tV + C;(d) C-bị chặn trên trên một tập con A của X nếu nó là (−C)-bị chặndưới trên A

Định nghĩa 4.3.5 Cho x0∈ X Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y đượcgọi là

(a) C-nửa liên tục trên (C-usc) tại x0 nếu với mọi tập mở V chứa

F (x0), tồn tại một lân cận U của x0sao cho ∀x ∈ U, F (x) ⊂ V +C;(b) C-nửa liên tục dưới (C-lsc) tại x0 nếu với mọi tập con mở V của

Y với F (x0) ∩ V ̸= ∅, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho ∀x ∈

U, F (x) ∩ (V − C) ̸= ∅;

(c) C-liên tục tại x0 nếu nó vừa C-usc và C-lsc tại x0

Định nghĩa 4.3.6 Cho trước e ∈ − int C, hàm Gerstewitz suy rộng

Ge: P(Y)2 → R được định nghĩa như sau

Ge(A, B) := sup

b∈B

inf{t ∈ R : b ∈ te + A + C} for A, B ∈ P(Y)

Định lý 4.3.1 Cho p ∈ int C và e = −p Giả sử s ∈ Sol, U là compact,

f là C-bị chặn dưới trên K × U , và f (x, ·) là C-l.s.c trên U với mỗi

x ∈ K Khi đó, bài toán P(U ) lạc quan là p-đặt chỉnh tại s khi và chỉkhi bài toán OP (K, Ge(f (·, U ), f (s, U ))) đặt chỉnh Tykhonov

Định lý 4.3.2 Cho p ∈ int C và e = −p Giả sử U là compact, f làC-bị chặn dưới trên K × U , và f (x, ·) là C-l.s.c trên U với mỗi x ∈ K.Khi đó, bài toán P(U ) lạc quan là p-đặt chỉnh suy rộng khi và chỉ khibài toán OP (K, infs∈SolGe(f (·, U ), f (s, U ))) đặt chỉnh Tykhonov suyrộng và Sol là tập compact

chỉnh của bài toán P(U ) dạng lạc quan

Định lý 4.4.1 Cho p ∈ int C, giả sử rằng

c : T → R+ được gọi là cưỡng bức nếu và chỉ nếu c(t) ≥ 0, c(0) = 0, và[tn∈ T, c(tn) → 0] =⇒ [tnk → 0 với {tnk} là một dãy con của {tn}].Định lý 4.4.2 Cho p ∈ int C, và e = −p Giả sử U là compact, f làC-bị chặn dưới trên K × U , và f (x, ·) là C-l.s.c trên U với mỗi x ∈ K.Khi đó, các khẳng định sau đúng

(a) Bài toán P(U ) lạc quan là p-đặt chỉnh suy rộng khi và chỉ khi Solkhác rỗng và compact, và với một điểm cho trước x ∈ K, tồn tạimột hàm cưỡng bức c sao cho với mọi s ∈ Sol,

f (s, U ) ∩ {Y \ [f (x, U) + c(d(x, Sol))e + int C]} ̸= ∅

(b) Bài toán P(U ) lạc quan là p-đặt chỉnh tại s ∈ Sol khi và chỉ khi vớimỗi x ∈ K, tồn tại một hàm cưỡng bức c thỏa mãn

f (s, U ) ∩ {Y \ [f (x, U) + c(d(x, s))e + int C]} ̸= ∅

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán tựa cân bằng vectơ tham

số với nón phụ thuộc biến, trước hết là điều kiện ổn định thông quaviệc khảo sát tính nửa liên tục của ánh xạ nghiệm, sau đó là tính đặtchỉnh của bài toán và cuối cùng là một số ứng dụng

Cho A là một tập con đóng khác rỗng của X và C : A ⇒ Y, vớiC(x) là một nón lồi, đóng, có đỉnh, chính thường, có phần trong khácrỗng ∀x ∈ A Cho T là một không gian định chuẩn, Λ là một khônggian mêtric, P ⊂ T là một tập con đóng khác rỗng, K : A × Λ ⇒ A,

T : A × Λ ⇒ P là các ánh xạ đa trị, và f : A × A × P → Y là ánh xạ cógiá trị vectơ Với mỗi λ ∈ Λ, ta xét các bài toán tựa cân bằng vectơ(WQEP) Tìm ¯x ∈ K(¯x, λ) sao cho, tồn tại ¯t ∈ T (¯x, λ),

f (¯x, y, ¯t) ∈ Y \ −intC(¯x), ∀y ∈ K(¯x, λ)