bài tập trạng thái áp suất pptx

- Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt - Trạng thái ứng suất: tại một điểm - Định nghĩa trạng thái ứng suất tại một điểm: là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các m

Chương 3

Trạng thái ứng suất- Các thuyết bền

3.1 Tóm tắt lý thuyết

3.1.1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

- Nội lực: phân bố trên mặt cắt thuộc vật thể chịu lực

- Ứng lực: Hợp lực của nội lực trên mặt cắt ngang

- Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt

- Trạng thái ứng suất: tại một điểm

- Định nghĩa trạng thái ứng suất tại một điểm: là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đó

- Nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm: tách phân tố lập phương vô cùng bé chứa điểm đang xét, biểu diễn các thành phần ứng suất trên tất cả các mặt vuông góc với ba trục toạ độ x, y, z Trên mỗi mặt ứng suất toàn phần có phương, chiều bất kỳ được phân tích thành ba thành phần: 1 thành phần ứng suất pháp vuông góc với mặt cắt và 2 thành phần ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt

Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng suất

x y

z

σx

τxy

τxz

σy

τyx

τyz

σz τzx

τzy

Chín thành phần ứng suất tác dụng trên 3 cặp mặt vuông góc với ba trục tạo thành một ten-xơ hạng hai gọi là ten-xơ ứng suất

x xy xz

yx y yz

zx zy z

Tσ

= ⎢ ⎥

(3.1)

Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: trạng thái ứng suất tại một điểm

hoàn toàn xác định nếu biết được ten-xơ ứng suất Tσ tại điểm đó

.1.2 Mặt chính, phương chính, ứng suất chính

3

a) Mặt chính: Là mặt không có tác dụng của ứng suất tiếp

b) Phương chính: là phương pháp tuyến của mặt chính

c) Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính

d) Qui ước gọi tên các ứng suất chính: Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh

rằng: tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt chính vuông góc với nhau với ba ứng suất

chính tương ứng ký hiệu là σ1, σ2, σ3 Theo qui ước: σ1≥σ2 ≥σ3

3.1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên hai mặt bất

kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị bằng nhau, có chiều cùng hướng

vào cạnh chung hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung

Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

xy yx

τ =τ ; τxz = τzx ; τyz =τzy (3.2)

.1.4 Trạng thái ứng suất phẳng

3

• Các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với trục z (z là

phương chính) và có pháp tuyến u hợp với trục x một góc α

Qui ước dấu (như hình vẽ dưới đây):

α

σu

τuv

x

y

σx

τxy

σy

σy

σx

τxy

τyx

τyx

u

- Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố

- Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố theo chiều kim

đồng hồ

- Góc α dương khi quay từ trục x đến trục u theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

sin 2

2 2

2 2

x y

uv σ σ sin2 xy cos

τ = − α τ+ α (3.3)

• Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính

2 2 1,2(3)

max, min

σ σ σ σ

σ = σ = + ± ⎛⎜ − ⎞⎟ +

⎝ ⎠ τ (3.4)

• Các phương chính: Hai phương chính vuông góc với nhau

2 2 xy

x y

α

= −

− => 0 trong đó

0 90

α α

α

⎧

2 1

2

xy

x y

α

= ⎜⎜− ⎟⎟

−

⎝ ⎠ (3.5)

• Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 450

2 2

x y max,min

σ σ

τ = ± ⎛⎜ − ⎞⎟ + τ

⎝ ⎠ (3.6)

• Bất biến của trạng thái ứng suất phẳng: tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi

σ +σ =σ +σ = (3.7) Chú ý: Ngoài các công thức giải tích đã kể trên, người ta còn dùng đồ thị

để biểu diễn trạng thái ứng suất (vòng tròn Mohr ứng suất)

.1.5 Quan hệ ứng suất - biến dạng -Định luật Hooke

3

a Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng dài

1

E

ε = ⎡⎣σ −μ σ +σz ⎤⎦

(

1

E

ε = ⎡⎣σ −μ σ +σz)⎤⎦ (3.8)

1

ε = ⎡⎣σ −μ σ +σy ⎤⎦

b Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng góc

xy xy

G

τ

xz

G

τ

yz

G

τ

γ = (3.9) với E, μ, G là mô đun đàn hồi kéo (nén), hệ số Poisson, mô đun đàn hồi trượt, liên hệ với nhau bởi công thức:

( )

2 1

E G

μ

= + (3.10)

c Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng thể tích

E

μ

θ ε= +ε +ε = − σ +σ +σ (3.11)

.1.6 Các điều kiện bền theo các thuyết bền

3

+ Thuyết bền 1 (thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất)

[ ]

σ ≤ σ

[ ]

σ ≤ σ (3.12) + Thuyết bền 2 (thuyết bền biến dạng dài lớn nhất)

σ = σ − μ σ + σ ≤ σ (3.13) + Thuyết bền 3 (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất)

[ ]

3 1 3

σ = σ σ − ≤ σ (3.14) + Thuyết bền 4 (thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng)

[ ]

4 1 2 3 1 2 1 3 2 3

σ = σ + σ + σ − σ σ − σ σ σ σ − ≤ σ (3.15) + Thuyết bền 5 (Thuyết bền Mohr)

[ ] [ ] [ ]

k

n

σ

σ

= − ≤ σ (3.16)

Phạm vi sử dụng các thuyết bền: Hiện chỉ sử dụng các thuyết bền 3, 4, 5

- Thuyết bền 5 chỉ thích hợp với vật liệu giòn

- Thuyết bền 3, 4 chỉ thích hợp với vật liệu dẻo

3.2 Đề bài tập tự giải

Bài 3.1: Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n

đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái

ứng suất phẳng p=3kN/cm2 có phương

tạo thành một góc với mặt cắt

Trên mặt vuông góc với mặt này chỉ có

ứng suất tiếp Tính ứng suất pháp và

ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt

m-n góc 45

0

60

α =

0 Tính ứng suất pháp cực trị

τ

p m

n

60 45

0

0

Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

Bài 3.2: Trờn hai mặt tạo với nhau gúc 600 đi qua một điểm ở trạng thỏi ứng suất

phẳng cú cỏc thành phần ứng suất như trờn hỡnh vẽ Hóy tớnh ứng suất chớnh tại điểm đú, ứng suất phỏp và biến dạng tương đối theo phương u

600

u

5 kN/cm

3 kN/cm

6 kN/cm2

2 2

Bài 3.3: Một phõn tố hỡnh hộp xiờn tỏch ra từ một vật thể chịu lực ở trạnh thỏi

ứng suất phẳng cú cỏc thành phần ứng suất tỏc động trờn cỏc mặt như hỡnh

vẽ Tỡm cỏc ứng suất chớnh và phương chớnh của trạng thỏi ứng suất tại điểm này (β=600)

β

Bài 3.4: Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng người ta đo được các biến

dạng dài tương đối theo các phương m, n, và u Tính các giá trị ứng suất chính và các phương chính tại điểm này

Biết vật liệu có E=2ì10 4 kN/cm 2 ; μ=0,3 ; εm =2,81ì10 -4 ; εn =-2.81ì10 -4 ;

εu =1,625ì10 -4

n

m

450 450

n

600

0

60

m

(a) (b)

Bài 3.5: Trờn cỏc mặt cắt đi qua một điểm của vật thể ở trạng thỏi ứng suất

phẳng cú cỏc thành phần ứng suất như trờn hỡnh vẽ Xỏc định cỏc ứng suất chớnh và cỏc phương chớnh tại điểm này

45

6kN/cm

A

2kN/cm

2

2

C

2

5kN/cm

30

Bài 3.6: Trên các mặt cắt đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng

có các thành phần ứng suất như hình vẽ

1.Xác định các ứng suất chính và các phương chính tại điểm này

2.Tính biến dạng dài tương đối theo các phương chính

Biết E=2x10 4 kN/cm 2 ; μ=0,3 α=60 0

8kN/cm

2kN/cm 2 2

B

A 6kN/cm 2

α

Bài 3.7: Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng người ta đo được các biến

dạng dài tương đối theo các phương u, v, và t Tính các giá trị ứng suất chính và các phương chính tại điểm này

Biết vật liệu có E=2x10 4 kN/cm 2 ; μ=0,25 ; εu =2x10 -4 ; εv =2x10 -4 ; εt =10 -4 ;

α=30 0

Túm tỏt lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tỳ - Đại học Xõy dựng

u

t

α

Bài 3.8: Một thanh thép BC có mặt cắt hình vuông được ngàm chặt tại hai đầu và

chịu áp lực trên các mặt bên trên một đoạn có chiều dài b như hình vẽ

1 Xác định phản lực ngàm theo phương trục thanh

2 Xác định chuyển vị của tiết diện 1-1 theo phương trục thanh

Biết L=1 m ; E=10 4 kN/cm 2 ; μ=0,3; p=10 kN/cm 2 ; diện tích tiết diện thanh là aì a=4ì 4 cm 2

L 2L

L

2p

p

2p

1

1 0,5L

2p

2p p

Bài 3.9: Một tấm hỡnh chữ nhật bề dày δ đặt sỏt giữa hai vỏch thẳng đứng song

song khụng biến dạng như hỡnh vẽ Tấm chịu lực kộo F và lực nộn Q Cho

hệ số Poisson μ ; chiều dài a, b Hóy xỏc định ỏp lực nộn của tấm vào vỏch (bỏ qua lực ma sỏt)

F

F

F

F

Q Q

Bài 3.10: Một thanh thộp mặt cắt ngang hỡnh vuụng gồm hai đoạn, đoạn AB cú

cạnh là 4cm, đoạn BC cú cạnh là 2cm Thanh ngàm hai đầu và chịu ỏp lực

p phõn bố đều như trờn hỡnh vẽ Xỏc định giỏ trị cho phộp của [p] sao cho ứng suất phỏp dọc trục lớn nhất của thanh khụng vượt quỏ 10kN/cm2 Biếtμ=0,3; E=2ì104 kN/cm2

p

p p

p

p

p

p

p p

p

C

4cm

2cm

Bài 3.11: Một khối trụ tròn A được nhét khít vào một lỗ khoét của một vật cứng

tuyệt đối B và chịu lực nén P=50 kN Xác định áp lực nén vào vách lỗ khoét, các biến dạng Δh và ΔV của khối đồng Biết d=4cm; μ=0,31; E=1,1×104 kN/cm2

d

P

B

A

Bài 3.12: Một khối thép hình lập phương cạnh a=5cm đặt khít trong rãnh của

một khối thép lớn (coi như tuyệt đối cứng) Khối thép chịu áp lực p= 120 MN/m2

Xác định áp lực nén vào vách rãnh và độ biến dạng thể tích tuyệt đối Kiểm tra độ bền của khối thép theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại và thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng biết [σ]=140 MN/m2 μ=0.3; Bỏ qua lực

ma sát giữa các mặt tiếp xúc của hai khối E=2×104 kN/cm2

p

x y

z

a

Tóm tát lý thuyết và đề bài tập Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng