chuyen de 15 toan chuyen dong

* Chú ý: Dạng toán chuyển động cùng chiều, để chúng gặp nhau được trong quá trình chuyển động thì chuyển động đi sau phải có vận tốc lớn hơn chuyển động đi trước.. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT CÓ

CHỦ ĐỀ 15: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

Trong BỒI DƯỠNG HSG Toán lớp 6 "Toán Chuyển Động " là một dạng

toán tương đối khó đối với học sinh Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi lớp 6 thường gặp những bài toán về chuyển động Dạng toán này rất phong phú và đa dạng, có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc THCS, phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở lớp 6 để giải quyết loại toán này

DẠNG 1 CHUYỂN ĐỘNG CÙNG CHIỀU.

Trong chuyển động cùng chiều có các bài toán thường có liên quan đến vận tốc của chuyển động

Xét chuyển động 1 đi sau (đuổi theo) chuyển động 2

=> Thời gian để hai chuyển động gặp nhau: 1 2

s t

v v





Trong đó: s là khoảng cách lúc đầu của hai động tử, v 1 và v 2 là các vận tốc của chúng.

* Chú ý: Dạng toán chuyển động cùng chiều, để chúng gặp nhau được

trong quá trình chuyển động thì chuyển động đi sau phải có vận tốc lớn hơn chuyển động đi trước

Bài tập 1: Trong một cuộc thi chạy 2000m, các vận động viên chạy với vận tốc

không đổi trên suốt quãng đường Người thứ nhất về đích trước người thứ hai 200m và trước người thứ ba 290m Khi người thứ hai đến đích thì người thứ ba còn cách đích bao nhiêu mét?

Hướng dẫn

Lúc người thứ nhất đến đích thì người thứ ba chạy được là:

2000 - 290 = 1710 (m)

và người thứ hai chạy được :

2000 - 200 = 1800 (m)

Tỉ số quãng đường (cũng là tỉ số vận tốc) của người thứ ba và người thứ hai

là :

1710 19

1800 20

Khi người thứ hai chạy 200 m cuối cùng thì người thứ ba chạy được là :

200

19

20 = 190 (m)

Lúc người thứ hai đến đích thì người thứ ba còn cách đích là :

290 - 190 = 100 (m

Bài tập 2 Một người đi từ A đến B vận tốc 15km/h Sau đó 1h30ph, người thứ

2 cũng rời A đi về B, vận tốc 20km/h và đến B trước người thứ nhất là 30ph Tính quãng đường AB

Hướng dẫn

Thời gian đi từ A đến B của người thứ 2 ít hơn người thứ nhất là:

1h30ph +30ph =2h

Cách 1 : Giả sử người thứ hai đi sau người thứ nhất 2h thì hai người đến B

cùng một lúc

Trong 2 giờ đi trước, người thứ nhất đi được :

15.2 = 30 (km)

Thời gian để người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất là :

30 :(20-15) = 6 (h) Quãng đường AB dài là :

20.6 =120 (km)

Cách 2 :Giả sử người thứ hai đi với thời gian như người thứ nhất thì người

thứ hai đi quãng đường nhiều hơn người thứ nhất là :

20.2 =40 (km)

Vận tốc người thứ hai hơn vận tốc người thứ nhất :

20 - 15 = 5 (km/h)

Thời gian người thứ nhất đi hết quãng đường AB là :

Quãng đường AB dài :15.8 = 120 (km)

Cách 3 : Cùng đi một quãng đường AB thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời

gian

Ta có

1

2

15 3

20 4

v

v  

nên

1

2

4 3

t

t 

Biết tỉ số

1

2

4 3

t

t 

và hiệu t1 - t2 = 2

=> t1 = 8, t2 = 6

Do đó quãng đường AB dài : 15.8 = 120 (km)

Cách 4 : Cứ mỗi km, người thứ nhất đi hết

1

15 giờ, người thứ hai đi hết

1 20 giờ, người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất :

15 20 60

(h) Quãng đường AB dài : 2 :

1

60 =120 (km)

Bài tập 3: Lúc 14h20phut một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 48km/h Sau

10 phút một ô tô xuất phát từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 60km/h Hỏi: a) Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?

b) Chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km?

Hướng dẫn

Đổi 10 phút =

1

6 giờ a) Xe máy đi trong

1

6 giờ được quãng đường là 48

1

6 = 8km Hiệu vận tốc hai xe là 60 – 48 = 12 km/h

Thời gian hai xe gặp nhau là: 8 : 12 =

2

3 giờ = 40 phút Hai xe gặp nhau lúc 14 giờ 20 phút + 40 phút = 15 giờ

b) Chỗ gặp nhau cách A là 60

2

3 = 40km

Bài tập 4: Lúc 7 giờ 50 phút bác An đi từ A đến B với vận tốc 80m/ phút Đến 7

giờ 55 phút bác Bình đi từ A đến B vơi vận tốc 90m/ phút đuổi theo bác An Hỏi: a) Bác Bình đuổi kịp bác An lúc mấy giờ

b) Chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km?

Hướng dẫn

a) Thờ gian bác An đi trước bác Bình là

7 giờ 55 phút - 7 giờ 50 phút = 5 phút

Khi bác Bình bắt đầu đi thì bác An đã đi được là 80.5 = 400 (m)

Thời gian bác Bình đuổi kịp bác An là

400 : (90 – 80) = 40 phút

Bác Bình đuổi kịp bác An lúc

7 giờ 55 phút + 40 phút = 8 giờ 35 phút

b) Chỗ gặp nhau cách A là 90 40= 3600(m) = 36km

CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI KIM ĐỒNG HỒ

Trong loại toán này:

+ Nếu ta chọn mặt đồng hồ là 1 vòng thì vận tốc của kim phút là 1 vòng/h, vận tốc của kim giờ là

1

12 vòng/h + Nếu ta chia mặt đồng hồ thành 60 vạch chia phút thì vận tốc của kim phút là 60 vạch/h, vận tốc của kim giờ là 5 vạch/h

+ Nếu chia mặt đồng hồ thành 12 vạch chia giờ thì vận tốc của kim phút

là 12 vạch/h, vận tốc của kim giờ là 1 vạch /h.

Bài tập 5 Đồng hồ đang chỉ 4 giờ 10 phút Sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng

hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng ?

Hướng dẫn

Ta xét thời điểm 4 giờ, lúc đó kim phút còn cách kim giờ

1

3 vòng

Muốn kim phút nằm đối diện với kim giờ thì trong cùng một thời gian, kim phút phải quay nhiều hơn kim giờ :

3 2 6

(vòng) Mỗi giờ kim phút quay được 1 vòng, kim giờ quay được

1

12 vòng, kim phút quay nhanh hơn kim giờ :

1 -

1

12 =

11

12 (vòng) Thời gian để kim phút và kim gìơ nằm đối diện ở trên một đường thẳng:

5 11 10 :

6 12 11

 54phút 33 giây

Lúc đó là 4 giờ 54 phút 33giây, sau lúc 4 giờ 10 phút là 44 phút 33giây

Bài tập 6: Hiện nay là 12 giờ đúng Hỏi sau bao lâu nữa thì kim giờ và kim

phút trùng khít nhau một lần nữa

Hướng dẫn

Trong 1 giờ kim phút chạy được 1 vòng

Trong 1 giờ kim giờ chạy được

1

12 vòng Trong 1 giờ kim phút chạy nhiều hơn kim giờ là

1 11 1

12 12

(vòng) Lúc 12 giờ kim phút trùng với kim giờ

Khi kim phút trùng với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng 1 vòng

=> Thời gian để kim phút trùng với kim giờ một lần nữa là:

1 :

11

12 =

12

11 giờ = 1

1

11 giờ

DẠNG 2 CHUYỂN ĐỘNG NGƯỢC CHIỀU

Thời gian để hai chuyển động động ngược chiều gặp nhau là: t = 1 2

s

v v

Trong đó: s là khoảng cách ban đầu giữa hai động tử , v v và v 2 là các vận tốc của chúng )

Bài tập 7: Hai xe ô tô đi từ hai địa điểm A và B về phía nhau, xe thứ nhất khởi

hành từ A lúc 7 giờ, xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10phút Biết rằng để đi

cả quãng đường AB, xe thứ nhất cần 2 giờ, xe thứ hai cần 3 giờ Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?

Hướng dẫn

Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước

Trong 1 giờ xe thứ nhất đi được

1

2 quãng đường, xe thứ hai đi được

1

3 quãng đường, hai xe gần nhau được :

2 3 6

(quãng đường) Trong 7h10phút - 7h =10phút đi trước, xe thứ nhất đI được:

1 1 1

2 6 12

(quãng đường) Lúc xe thứ hai khởi hành, hai xe cách nhau :

1 11 1

12 12

(quãng đường) Hai xe gặp nhau sau :

11 5 11

:

12 6 10

(h) = 1h6phút Lúc hai xe gặp nhau :

7h 10phút + 1h 6phút = 8h 16phút

Bài tập 8: Trên quãng đường AB, hai xe ô tô đi từ A và từ B ngược chiều nhau.

Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì chúng gặp nhau tại một điểm cách A 12km, cách B 18 km Nếu muốn gặp nhau ở chính giữa đường thì xe thứ nhất (đi từ A) phải khởi hành trước xe kia 10 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Hướng dẫn

Nửa quãng đường AB dài : (12+ 18 ):2 = 15 (km)

Tỉ số vận tốc của xe thứ nhất so với xe thứ hai bằng :

12 : 18 =

2 3 Trong thời gian xe thứ hai đi được nửa quãng đường AB (15km) thì xe thứ nhất đi được :

15

2

3 = 10 (km) Như vậy trong 10 phút, xe thứ nhất đi được :

15 - 10 = 5 (km) Vận tốc xe thứ nhất :5 :

1

6 = 30 (km/h)

Vận tốc xe thứ hai : 30

3

2 = 45 (km/h)

Bài tập 9: Phúc và Quang cùng khởi hành một lúc từ nhà mình và đi về phía

nhau Phúc đi nhanh gấp

4

3 Quang và họ gặp nhau sau 72 phút Phúc phải khởi hành sau Quang bao lâu để họ gặp nhau ở chính giữa?

Hướng dẫn

Gọi P và Q là các điểm mà Phúc và Quang khởi hành

Trong 72phút, Phúc đi được

4

7 quãng đường PQ nên đi cả quãng đường trong:

72 :

4

7 = 126 (ph) Phúc đi nửa quãng đường PQ trong thời gian là:

126 :2 =63 (ph)

Trong 72 phút, Quang đi

3

7 quãng đường QP nên đi cả quãng đường trong :

72 :

3

7 = 168 (phút) Quang đi nửa quãng đường QP trong thời gian là :

168 :2 = 84 (phút)

Muốn gặp Quang chính giữa đường, Phúc phải khởi hành sau Quang :

84 - 63 = 21 (ph)

Bài tập 10: Trên con đường đi qua 3 địa điểm A; B; C (B nằm giữa A và C) có

hai người đi xe máy Hùng và Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B

Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng luc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng Tính quãng đường BC

Hướng dẫn

Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 - 8 = 3 (giờ)

Thời gian đi từ B đến C của Dũng là: 11 - 8 = 3 (giờ)

Quãng đường AB là 30 km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10 km Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20 km

Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là:

20 :

Do vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là:

[50 : (1 + 4)] 4 = 40 (km/h)

Từ đú suy ra quãng đường BC là:

40 3 - 30 = 90 (km) Đáp số: BC = 90 km

DẠNG 3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT CÓ CHIỀU DÀI ĐÁNG KỂ

Đây là một dạng toán phức tạp, học sinh phải phân tích được vật chuyển động so với vật đứng yên làm mốc Vì vật chuyển động có chiều dài đáng kể

A B

Vật chuyển động CD

C D

Với loại toán này khi ta sẽ lấy điểm cuối C của “vật chuyển động” làm vật chuyển động, điểm đầu A (vật cố định) làm điểm cố định.

+ Vật chuyển động cách điểm cố định đoạn CA.

+ Nếu vật chuyển động đi hết quãng đường AB thì quãng đường vật chuyển động đi được bằng tổng chiều dài của “Vật chuyển động” và “Vật cô định”

Chú ý: “Vật chuyển động CD” thường gặp là đoàn tàu (xe lửa), vật cố định

AB thường là cái cầu có chiều dài

Bài tập 10: Một xe lửa đi hết một cái cầu dài 12m hết 12 giây và đi hết một

cái cầu dài 148m hết 20 giây Tính chiều dài và vận tốc của xe lửa

Hướng dẫn

Trong 12 giây, xe lửa đi 12m cộng với chiều dài xe lửa Trong 20 giây, xe lửa đi 148m cộng với chiều dài xe lửa

Như vậy trong thời gian : 20 - 12 = 8 (s), xe lửa đi được quãng đường là:

148 - 12 = 136 (m)

Vận tốc xe lửa là :

136 :8 = 17 (m/s)

Chiều dài của xe lửa là :

17.12 - 12 = 192 (m)

Bài tập 11: Một xe lửa dài 110m đi qua một cầu dài 160m hết 18 giây và đi

vượt qua một người đi xe đạp cùng chiều hết 10 giây Tính vận tốc của người đi

xe đạp

Hướng dẫn.

* Phân Tích: Ở bài toán này ta lấy điểm cuối cùng của xe lửa làm vật

chuyển động và đầu cầu làm điểm cố định Khi đó vật chuyển động cách điểm

cố định 110m, khi vật chuyển động đi hết cầu thì quãng đường của vật chuyển động bằng tổng chiều dài của xe lửa và cầu Người đi xe đạp đi được quãng đường bằng quãng đường vật chuyển động đi trong 10 giây cách điểm xuất phát

* Lời giải

Trong 18 giây xe lửa đi qua được cây cầu dài 160m nên vận tốc của xe lửa là:

110 160

15 18

(m/s)

Trong 10 giây xe lửa đi được quãng đường là: 15.10 = 150 (m)

Vì xe lửa vượt người đi xe đạp hết 10 giây, nên vận tốc của người đi xe đạp là:

150 110

4 10

(m/s)

DẠNG 4 CHUYỂN ĐỘNG CÓ DÒNG NƯỚC

Một số công thức tính:

- Vận tốc thực : Vận tốc của vật chuyển động khi nước lặng.

- Vận tốc xuôi : Vận tốc của vật chuyển động khi đi xuôi dòng.

- Vận tốc ngược : Vận tốc của vật chuyển động khi ngược dòng.

- Vận tốc dòng nước (Vận tốc chảy của dòng sông )

* Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước.

Vận tốc thực Vận tốc dòng nước

Vận tốc xuôi dòng

* Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước.

Vận tốc ngược Vận tốc dòng nước

Vận tốc thực

* Chú ý: Vận tốc thực của chuyển động phải lớn hơn vận tốc của dòng

nước

Bài tập 12: Một con thuyền đi với vận tốc 7,2 km/giờ khi nước lặng, vận tốc

của dòng nước là 1,6km/giờ Nếu thuyền đi xuôi dòng thì sau 3,5giờ sẽ đi được bao nhiêu ki-lô-mét ?

Hướng dẫn

Vận tốc của thuyền đi xuôi dòng là:

7,2 + 1,6 = 8,8 ( km/giờ )

Độ dài quãng sông thuyền đi xuôi dòng trong 3,5 giờ là:

8,8 x 3,5 = 30,8 ( km )

Đáp số: 30,8 km

Bài tập 13 Một ca nô chạy xuôi khúc sông AB hết 6 giờ và chạy ngược khúc

sông ấy hết 9 giờ Hỏi một phao trôi theo dòng nước từ A đến B trong bao lâu ?

Hướng dẫn

Trong 1 giờ, ca nô chạy xuôi được

1

6 AB, ca nô chạy ngược được

1

9 BA

Do vận tốc xuôi trừ vận tốc ngược bằng 2 lần vận tốc dòng nước nên trong

1 giờ dòng nước trôi được :

( ) : 2

6 9 36

AB

Thời gian phao trôi từ A đến B là 1 :

1

36 = 36 (h)

DẠNG 5 CHUYỂN ĐỘNG CÓ VẬN TỐC THAY ĐỔI TRÊN TỪNG ĐOẠN

* Để giải Dạng Toán này ta cần phân tích được từng đoạn đường cụ thể

* Nếu vật chuyển động trên đoạn đường bằng phẳng thì vận tốc không đổi theo thời gian.

* Đối với vật chuyển động lên dốc, xuống dốc ta chỉ xét chuyển động của vật khi lên dốc cũng như khi xuống dốc là chuyển động có vận tốc không thay đổi nghĩa là chuyển động đều theo từng đoạn.

Bài tập 14 Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một

đoạn xuống dốc CB Thời gian đi từ A đến B là 2 giờ, thời gian về từ B đến A là 1 giờ 45 phút Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng lúc lên dốc thì người đó đi với vận tốc 10km/h, lúc xuống dốc thì người đó đi với vận tốc 15km/h

Hướng dẫn

* Phân tích hình học Khi đi thì quãng đường lên dốc là đoạn AC, xuống

dốc là đoạn CB Còn khi trở lại thì quãng đường lên dốc là BC, xuống dố clà CA Vận tốc không đổi khi lên dốc là 10km/h, xuống dốc là 15 km/h

* Lời giải

Cách 1: Chú ý rằng vận tốc 10km/h bằng

2

3 vận tốc 15km/h Giả sử trong

2 giờ lúc đi, người đó đều đi với vận tốc 10km/h thì đi được quãng đường : AC + 2

3 CA, dài: 10.2 = 20 (km)

Giả sử trong 1 giờ 45 phút lúc về, người đó đều đi với vận tốc 10km/h thì được quãng đường : BC +

2

3 CA, dài:

A

C

B

3

4 = 17,5 (km) vậy quãng đường 20 + 17,5 =37,5 (km) là :

AC CB BC  CA AC CB  AB

Quãng đường AB : 37,5 :

5

3 = 22,5 (km)

Cách 2

Trên mỗi km của quãng đường AB đều có một lần người đi xe đạp đI với vận tốc 10km/h, một lần đi với vận tốc 15km/h

1km đivới vận tốc 10km/h hết

1

10 giờ, 1km đi ới vận tốc 15km/h hết

1

15 giờ,

do đó 1km cả đi lẫn về hết :

10 15 6

(giờ) Thời gian cả đi lẫn về : 2 +

4  4

(h) Quãng đường AB :

3 1

3 :

4 6 = 22,5 (km)

Bài tập 15 Một xe tải đi từ A đến B, vận tốc 40km/h Sau đó một thời gian ,

một xe du lịch rời A, vận tốc 60km/h và như vậy sẽ đến B cùng lúc với xe tải Nhưng đến C được 1/5 quãng đường AB, xe tải giảm vận tốc xuống còn 35km/h, do đó xe du lịch gặp xe tải ở D, cách D 30km Tính quãng đường AB

Hướng dẫn

Nếu không thay đổi vận tốc thì xe tải gặp xe du lịch ở B, do đổi vận tốc nên

nó gặp xe du lịch ở D Trong bài toán này, xe du lịch được đưa vào để xác định xem do thay đổi vận tốc, xe tải di chậm bao lâu so với bình thường

Xe du lịch đi DB trong : 30 : 60 =

1

12 (h)

Trong 1/2 giờ đó, xe tải đi được : 35

1

2 = 17,5 (km) Như vậy lúc xe du lịch đến B (tức là lúc xe tải đáng lẽ đến B ) thì xe tải mới đến E, còn cách B :30-17,5 = 12,5 (km)

Từ C xe tải đi với vận tốc bằng

35 7

40 8

vận tốc cũ nên quãng đường đi được

CE bằng

7

8 quãng đường CB Vậy quãng đường 12,5 km là

1

8 quãng đường CB Quãng đường CB :12,5 8 = 100 (km)

30

Quãng đường AB :

100.5

125( )

Bài tập 16: Lúc 8 giờ một người đi từ A dến B với vận tốc 25 km/h Khi còn

cách B 20km người ấy tăng vận tốc lên 30 km/h Sau khi làm việc ở B trong 30 phút, rồi quay trở về A với vận tốc không đổi 30 km/h và đến Alúc 12 giờ 2 phút Tính chiều dài quãng đường AB

Hướng dẫn

Gọi điểm cách B 20km là C

Thời gian đi quãng đường CB và BC là: ( 20 2 ) : 30 = 1h 20'

Thời gian đi quãng đường AC và CA là: 12h 2' - 8h - 30' -1h 20' = 132'

Tỷ số vận tốc trên qãng đường AC và CA là nên tỷ số vận tốc trên quảng đường AC và CA là

Thời gian đi quãng đường AC là : 132 : 11 6 = 72' = h

Chiều dài quãng đường AC là 25 = 30 (km)

Chiều dài quãng đường AB là : 50 km

DẠNG 6 VẬN TỐC TRUNG BÌNH

* Trong dạng toán này có sự thay đổi vận tốc theo một khoảng thời gian nhất định của một chuyên động hoặc cùng một thời gian có nhiều chuyển động với vận tốc khác nhau.

* Chú ý rằng vận tốc trung bình không phải luôn luôn bằng trung bình cộng của hai vận tốc Vận tốc trung bình trên quãng đường AB bằng quãng đường AB chia cho thời gian đi từ A đến B

Bài tập 16 Một người đi xe đạp từ A đến B, đi từ A với vận tốc 10km/h, nhưng

đi từ chính giữa đường đến B với vận tốc 15km/h Tính xem trên cả quãng đường người đó đi với vận tốc trung bình là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Trên quãng đường AB, cứ 2km thì có 1km đi với vận tốc 10km/h (hết

1 10 giờ), 1km đi với vận tốc 15km/h (hết

1

15 giờ), nên cứ 2km, người đó đi hết :

10 15  6

(h)

Vậy vận tốc trung bình của người đó là : 2 :

1

6 = 12 (km/h)

Bài tập 17 An, Hải, Hoàng, Anh, Minh đi từ A đến B với vận tốc không đổi.

Biết rằng An đi với vận tốc là 12 km/h, Hải đi với vận tốc là: 15km/h, Hoàng đi với vận tốc bằng 4/5 vận tốc của Hải, Anh đi với vận tốc bằng 75% vận tốc của

An, Minh đi với vận tốc bằng vận tốc trung bình của An và Hải Hỏi trung bình

cả năm người đi với vận tốc là bao nhiêu?

Hướng dẫn