PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I.. Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.. Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Trang 1

PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I Phương pháp giải

1 Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ

nguyên mẫu thức

2 Cộng hai phân thức có mẫu số khác nhau

- Quy tắc Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng

các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được

- Chú ý Phép cộng các phân thức có các tính chất sau:

+ Giao hoán: A C C A;

BD  DB

+ Kết hợp: A C E A C E .

1 Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0

- Phân thức đối của phân thức A

B được kí hiệu bởi A

B



Như vậy A A



2 Phép trừ

Quy tắc: Muốn trừ phân thức A

B cho phân thứcC

D, ta cộng A

B với phân thức đối của C :

D

.

II Một số ví dụ

Ví dụ 1 Thực hiện phép tính:

 

2

1

A

Giải Tìm cách giải Quan sát kĩ các phân thức, nhận thức tử thức của mỗi phân thức đều phân

tích đa thức thành nhân tử được, do vậy ta nên phân tích thành nhân tử cả tử thức và mẫu thức và rút gọn phân thức trước khi thực hiện phép cộng

Trình bày lời giải

Trang 2

Ta có:

2

1 1.

1

A

 

Nhận xét Trong khi thực hiện phép cộng, trừ các phân thức đại số, nếu phân thức nào rút

gọn được, bạn nên rút gọn trước khi thực hiện

Ví dụ 2 Cho a, b, c thỏa mãnabc 1 Tính giá trị

M

Giải

Thay 1 abc vào biểu thức, ta có:

.

1

1.

1

M

ab a bc abc b abc ac c abc

M

ab a

M

ab a

 

Nhận xét

 Lời giải trên tinh tế khi giữ nguyên một phân thức và thay số 1 vào vị trí hợp lí để rút gọn phân thức, đưa các phân thức về cùng mẫu

 Sử dụng kĩ thuật trên bạn có thể giải được bài toán sau: Cho a, b, c, d thỏa mãnabcd 1 Tính giá trị của biểu thức:

N

.

3 4c cd 2cda 4 d 2da 3dab

Ví dụ 3 Rút gọn biểu thức:

2 2 4 4 8 8

.

B

Giải Tìm cách giải Quan sát các phân thức, chúng ta nhận thấy không có mẫu của hạng tử nào

phân tích được thành nhân tử nên việc quy đồng mẫu thức tất cả các hạng tử là không khả thi Nhận thấy mẫu của hai phân thức đầu có dạng a – b và a + b, thực hiện trước tổng của

Trang 3

hai phân thức này cho ta kết quả gọn.Với suy luận ấy, chúng ta tiếp tục cộng kết quả ấy với phân thức tiếp theo

Ta có:

2 2 2 2 4 4 8 8

B

Ví dụ 4 Cho 2 2 2 2

.

a b c  a b c Rút gọn biểu thức:

P

Giải Tìm cách giải Nhận thấy nếu quy đồng mẫu trực tiếp là không khả thi bởi các mẫu hiện tại

không phân tích thành nhân tử được và nếu quy đồng thì biểu thức rất phức tạp, mặt khác chưa khai thác được giả thiết Phân tích giả thiết ta được ab bc ca   0, khai thác yếu tố này vào mẫu thức ta được:

2 2 2 2

a  bca  bc ab bc ca   và phân tích thành nhân tử được Do vậy ta có lời giải sau:

Từ 2 2 2 2

.

a b c  a b c ta có: 2 2 2   2 2 2

2

a b c  ab bc ca a b c nênab bc ca   0

a  bca  bcab bc ca  a ab ca bc   a b a c

Tương tự ta có: 2    2   

b  ac b a b c c   ab ca c b

Do đó ta có:

P

  

Phân tích tử thức thành nhân tử, ta có:    

a b b c c a P

a b b c c a

Ví dụ 5 Tìm A, B thỏa mãn:

 

2

Giải Tìm cách giải Để tìm hệ số A và B, chúng ta biến đổi vế phải Sau đó đồng nhất hệ số hai

vế

Trang 4

Ta có: 3 3     

x  x x  x  x x x x  x

   

2

Từ đó suy ra:

2

2 2



3x 3x 3 B 1 x A B 2 x 2A 2B 1

Đồng nhất hệ số ta có:

1 3

3

2 3

2

B

A

A B

B

 









Ví dụ 6 Thực hiện phép tính:

A

Giải Tìm cách giải Suy nghĩ trước bài này, ta có hai hướng phân tích:

Hướng thứ nhất Quy đồng mẫu, thực hiện phép cộng như thường lệ

Hướng thứ hai Tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phan thức, rồi khử liên tiếp Trong

bài này, cách này không ngắn, song thể hiện được nét đẹp và sáng tạo

Cách 1 Ta có:

A

0

y z

A



Cách 2 Ta có:

            

(1)

x x y y x z

Trang 5

Tương tự

2

(2)

(3)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được A 0.

Ví dụ 7 Choa a1 , 2 a9 được xác định bởi công thức:

2 3 2

k

a



 với mọi k1

Hãy tính giá trị của tổng:1    a1 a2 a9.

( Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học

1999 – 2000)

Giải Tìm cách giải Bài toán có tính quy luật, thay số vào tính là không khả thi Do vậy chúng ta

nghĩ đến việc tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức, rồi khử liên tiếp Nhận thấy

 3

3k  3k  1 k 1 k , nên chúng ta có lời giải sau:

Ta có:

3 3 2

2

1

k

a

k

 



Do đó:

9

1 2

Ví dụ 8 Rút gọn biểu thức:

M

Giải

M

.



Trang 6

III Bài tập vận dụng

1.1 Xác định các số a, b biết:

  3  3 2

3 1

.

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

  3  3 2   3  3 3

 3  3

3 1

1.2 Rút gọn biểu thức:

2 2

.

A

Ta có:

                

2

A

          

2



1.3 Cho

2

.

P

a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

a) Ta có:

2

P

2 2

2 1

a



 

Trang 7

Điều kiệna 2.

3 2, 25 1, 75 1, 75 1, 5 1, 75.

Pa  a    a  Dấu" " xảy ra  a 1,5. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1,25 đạt được khi a  1,5.

1.4 Cho biểu thức:

2

Q

a) Rút gọn biểu thức Q;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q

a) Ta có:

2

1

Q

   (ĐK:x 1)

2

1

0, 25 0, 25 0, 5 0, 25 0, 25.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là -0,25 đạt được   x 0,5.

1.5 Thực hiện phép tính:

M

Ta có:

M

2

1



1.6 Đặt

2 2 2 2

a

Tính giá trị của biểu thức:

8 8 8 8

M

Trang 8

Từ giả thiết    

2 2 2 2

a

 

 4 4 4 4

2

a

4 4 4 4

2

M

1.7 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên

3 2

2 1

A

x





Ta có:  2   

2

1



1.8 Chox y 1 vàxy 0 Rút gọn biểu thức:  

2

x y

A



4 4

2 2

2

3

x y



    (do x     y 1 y 1 x vàx  1 y)

2 2

2 3 1

x y



2 2

3 2

x y



Trang 9

   

2 2

2 2 2 2

2

0.

xy x y x y

1.9 Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãnx  y z 0 vàxyz 0.

Tính

2 x2 2 2 y2 2 2 z2 2

P

( Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên TP Hồ Chí Minh, năm học 2014

– 2015)

x   y z x y z  xyz

Từ giả thiết, ta có 2 2 2

2

y   z x y z x   xy

Làm tương tự, thay vào P, ta được:

3

2

P





1.10 Cho ba số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 1 1 1 0

x  y z

Tính giá trị biểu thức 2 2 2

A

(Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên TP Hồ Chí Minh, năm học

2013 – 2014)

Ta có:1 1 1 0 xy yz zx 0 yz xy zx.

2

x yz  x xy zx yz  x y x z

Tương tự:

Trang 10

        

A

yz z y xy y x zx x z



1.11 Choax by c by cz;  a cz; axb và a b c   0 Tính giá trị của biểu thức:

.

P

Từ giả thiết suy ra:

a b c   ax by cz    a b c ccz  c z

Nên: 1 2

1

c

Tương tự: 1 2 ; 1 2 .

1

x  a b c y z a b c

P

1.12 Cho a, b thỏa mãn 2 2

4a  2b  7ab 0 và 2 2

4a b  0

Tính giá trị của biểu thức: 3 5 3 .

A

Ta có:

2

1.13 Tính giá trị của biểu thức:

Xét phân thức tổng quát:

3 3

2

2 1

1

3 1

n



Do đó:A3.1 1   3.2 1   3.3 1    3.5 1  

 3 1 2 3 50      50  3875.

Trang 11

1.14 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2

2 2 2

6.

Tính 2020 2020 2020

.

Px y z

Từ giả thiết chuyển vế, ta có:

2 2020 2

2 2020

1

x

z z













1 1 1 3.

P

    

   2 2   2

n B

n n



Ta tách từng phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp, ta được:

2 2

1

k

Do đó

2

n n B



1.16 Cho biểu thức 2 1 5

A

  (với

1 3

x  ) Tính giá trị biểu thức A biết rằng 2

10x  5x 3.

Ta có:      

A



2 2 2

1

x





Từ điều kiện10x2  5x  3 5x  3 10x2 thay vào (1) ta có:

Trang 12

 2 2   2

3

A

2 2

.

A

Ta có:

2

A

2



x 3x03y 2 0

1.18 Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, tính

 ab   bc   ac .

S

Ta có:

 ab   bc   ac 

S

ab a b bc b c ac c a

a b b c c a



Xét tử thức, ta có:

2 2

ab a b bc b c ac c a

ab a b b c bc ac a c

a b ab ac bc c

a b b c c a

S

a b b c c a

1.19 Rút gọn

Trang 13

a) 2 1 2 1 2 1 2 1 ;

A

B

a) Ta có

 41 5  51 6  61 7  71 8

A

b) Ta có

 12 3  34 7  73 10

B

.

B

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	454,41 KB