Con lắc đơn

- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn, khối lượng - Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có thể co

I TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1.Khái niệm con lắc đơn

- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn, khối lượng

- Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có thể coi như

dao động điều hoà của con lắc đơn

- Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T (thường T =2s); trong một số trường hợp do nhiệt độ môi

trường thay đổi và vị trí đặt con lắc thay đổi nên đồng hồ chạy sai Gọi chu kỳ chạy sai của đồng hồ là T2

(còn chu kỳ chạy đúng T =T1) và độ biến thiên chu kỳ là T = T 2 – T 1 Nếu:

+ T> 0: T 2 > T 1: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm

+ T< 0: T 2 < T 1 :Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh

+ T= 0 Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng

- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian :

+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là: 1

'

T

T T

1)(1 ) 1

1

(     

Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l

1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép

Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l 1 dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T 1 = 1,5s Con lắc đơn chiều

dài l 2 cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T 2 =0,9s Tính chu kỳ của con lắc chiều dài l dao động

điều hoà ở nơi trên với:

l = l 1 +l 2 và l = l 1 - l 2

Hướng dẫn:

-Với l = l 1 +l 2 Sử dụng công thức 2

2 2

1 T T

Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l ’ sao cho chu kỳ dao

động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu Hỏi chiều dài l ’ bằng bao nhiêu lần chiều dài l ?

Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l ’ lần lượt là:

T

l' 0,81l

Ví dụ 3:

Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian t, con lắc thực hiện

60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian t ấy,

nó thực hiện 50 dao động toàn phần Xác định chiều dài ban đầu của con lắc ?

Hướng dẫn:

Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l1, l2 là T1;T2

Xét trong khoảng thời gian t như nhau thì: 60T1 = 50T2

5

61

1.2/Chu kỳ của con lắc vướng đinh

*Phương pháp:

Một dao động toàn phần của con lắc bị

vướng đinh gồm 2 giai đoạn:

+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với

chiều dài l và chu kỳ

g

l

T1 2 + Giai đoạn còn lại nó dao động với

chiều dài l ’ (điểm treo con lắc là vị trí đinh)

và chu kỳ

g

l T

12

1

2 1 2

T

* Ví dụ:

Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây mềm có khối

lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng của sợi dây có một chiếc

đinh được đóng vào điểm O’ cách Q một đoạn O’Q = 50 cm sao cho con lắc bị vấp phải đinh trong quá trình

dao động điều hoà

a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s2

b/Nếu không đóng đinh vào O’ mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì hiện tượng

xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi)

Hướng dẫn:

a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O’ nằm trên phương thẳng đứng của dây treo nên

mỗi dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn

+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ s

g

l

8,9

122

5,022

'

2      Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là:

)(

2

12

1

2

1

2 1 2

T

T     = 1/2 (2+1,4) = 1,7 s

b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên khi quả cầu va

chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước lúc va chạm và vật lại lên

đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn)

Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động là:

Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây treo và vật

nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài

 = 17.10-6K-1 Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c

Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy

sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 2 ) 1

2

11

+ Chu kỳ T 2 >T nên đồng hồ chạy chậm

Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :  = 24.60.60 s là:

t T

= 24.3600.1/2.17.10-6 10 = 7,34 s

Ví dụ 2:

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320c, con lắc có thể xem là con

lắc đơn Hệ số nở dài của dây treo con lắc

 = 2.10-5K-1 Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay

sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh Một tuần : =

7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:

t T

= 7.24.3600.1/2.2.10-5 15 = 90,72 s

Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường tăng thêm

100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ

môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay đổi

Khi nhiệt độ tăng thêm300c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 1 1 60

1.3.Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường

- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t 1 đến t 2 thì

chiều dài của dây được xác định bởi: l2 l1(1.t)

với tt2 t1: Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường;

O

 : là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ)

l

l T

1 1

1 2

1 2

1 2

*Ví dụ 1:

Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây treo và vật

nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài

 = 17.10-6K-1 Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c

Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: 2 ) 1

2

11

+ Chu kỳ T 2 >T nên đồng hồ chạy chậm

Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :  = 24.60.60 s là:

t T

= 24.3600.1/2.17.10-6 10 = 7,34 s

Ví dụ 2:

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320c, con lắc có thể xem là con lắc đơn Hệ số nở dài của dây treo con lắc

 = 2.10-5K-1 Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu?

Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh Một tuần : = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:

t T

= 7.24.3600.1/2.2.10-5 15 = 90,72 s

Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường tăng thêm

100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay đổi

Khi nhiệt độ tăng thêm300c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 1 1 60

1

1 1

1

1 2

1

2

2

11)1(

l

l l

l l

l l l

l T

1 2

1

l

l T

T T T

Một con lắc đếm giây có chu kỳ chạy đúng T = 2 s Người ta thay đổi một lượng nhỏ chiều dài con lắc thì

thấy mỗi ngày nó chạy nhanh 90s Hỏi chiều dài đã thay đổi một lượng bằng bao nhiêu chiều dài ban

đầu,biết gia tốc trọng trường của con lắc không thay đổi

Hướng dẫn: Vì đồng hồ chạy nhanh (chu kỳ giảm) và gia tốc trọng trường g không thay đổi nên chiều dài

con lắc phải giảm

2

1.3600.242

1

1 1

l T

Vậy chiều dài con lắc giảm 2%

Dạng 2: Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc

h R g

g T

* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm Thời gian con lắc đồng hồ

chạy chậm sau khoảng thời gian :

R

h T

a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km

b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?

+ áp dụng công thức:

R

h T

m R G

R

Vm G R

m M G

3

2 2

3

4

' 2

3

2 '

2

'

'

)(3

4

mg R

m h R G

R

m V G R

m

M

G

h h

R

R g

g T

T

21)1

1

' 1

* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con lắc tăng lên, đồng hồ chạy chậm

Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gian :

R

h T

T

21





* Ví dụ 1:

Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s Đưa con lắc xuống giếng sâu 100m so với

mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu đồng chất bán kính R = 6400km

và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên mặt đất

1,01()21

Chu kỳ con lắc dưới giếng tăng lên so với con lắc đặt trên mặt đất

Ví dụ 2:

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tren mặt ‘đất Đưa đồng hồ lên cao 320m so với mặt đất thấy đồng hồ

chạy chậm Đưa đồng hồ xuống hầm mỏ sâu h’ so với mặt đất lại thấy đồng hồ chạy giống ở độ cao h

a/ Xác định độ sâu của hầm mỏ? Coi nhiệt độ không thay đổi

b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán kính R =

T

24,306400.2

64,0.3600.24.721

h R

h R

h

6402

2

' '

Với g1; g2 lệch nhau không nhiều (Giả sử g2= g1 + g )

thì chu kỳ con lắc lần lượt là:

1

2 1

g

g g

g T

21

Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s) Đưa con lắc vào Hồ Chí Minh giả sử nhiệt độ

không thay đổi, Biết gia tốc ở Hà Nội và Hồ Chí Minh lần lượt là: g1 = 9,793m/s2 và g2= 9,787m/s2

a/ Hãy xác định chu kỳ của con lắc tại Hồ Chí Minh?

b/ Tại Hồ Chí Minh con lắc chạy nhanh hay chậm? Sau 12giờ nó chạy sai bao nhiêu thời gian?

g T

T

23,13793,9.2

006,0.3600.12

2 11

Ví dụ 2; Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành phố Hồ Chí Minh, thì chu kỳ dao

động tăng 0,015% Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trương tại Hồ Chí Minh là

Trường hợp 1: Gia tốc g thay đổi theo độ cao hoặc độ sâu

h t g

1'

R

h t T

T

22

111

2    

1

22

11

R

h t

R

h t T

T

22

11

h t T

1(

h t T

2,3)2010(10.8,1.2

12

h t T

T

87,1910

.3,2.3600.24)2

h T

T

75,1416400

5,1.3600.24.71

h t T

0 5

1

10.2.6400

5,1.225

a/ Trên mặt đất chu kỳ con lắc thay đổi theo nhiệt độ Nhiệt độ tăng do đó chu kỳ con lắc tăng

Vận dụng công thức: 4.10 30 6.10 0,06%

2

12

T 

km t

R

2

)25.(

10.4.63702

0

10.68,26370.2

4,0)15(10.4.2

122

h t T

T

20,236370.2

4,0)15(10.4.2

1.3600.24)22

+ Chiều dài con lắc phụ thuộc vào nhiệt độ: l2 = l1(1+t)

+Gia tốc trọng trường g tại 2 vị trí có vĩ độ khác nhau: g1; g2

(giả sử g2= g1 + g)

Ta có:

1 1

1

2 1

1 2

1

2

2

12

111

g

g t

g g

g t g

g l

l T

1

g

g t

12

1(

1

g t

a/ Tính gia tốc g tai TP.HCM biết tại Hà Nội gia tốc là g1 = 9,793m/s2 và nhiệt độ tại Hà Nội thấp hơn ở Hồ Chí Minh 100c

b/ Muốn đồng hồ ở HCM chạy đúng người ta đặt đồng hồ vào phòng có nhiệt độ thích hợp Hỏi nhiệt độ rong phòng và bên ngoài chênh lệch nhau là bao nhiêu? Cho hệ số nở dài của thanh treo là 2.10-5K-1

1(

1

g t

1(

12

1   t 

g

4 4

5

1

10.610

.810.10

2 1

2

2

1)(2

11

g

g t

t T

3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm)

một lượng ∆l và thay đổi gia tốc g

Trường hợp 1: g thay đổi khi thay đổi độ cao (hoặc độ sâu) của con lắc

1

2

g

g l

l T T



+ Con lắc ở độ cao h:

R

h l

l R

h l

l g

g l

l T

' 1 2

1

2

2

11)1(1(

R

h l

l

T

T

22

h l

l T

1(

h l

l T

1 1

1 1

11

g

g l

l g

g

g l

l l g

2

12

12

1

g

g l

l T

12

1

(

1 1

g l

l T

Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất T = 2,006s

a/ Tính chiều dài của con lắc biết tại mặt đất g = 9,8m/s2

b/Để chu kỳ của con lắc không thay đổi khi đưa lên độ cao h người ta đã thay đổi chiều dài của con lắc 1mm Hỏi chiều dài đã tăng hay giảm? Độ cao h bằng bao nhiêu?

b/ Khi lên cao gia tốc trọng trường giảm Để chu kỳ không đổi thì chiều dài cũng phải giảm Gọi l là độ

giảm chiều dài thì     l l2 l1 1mm Vận dụng công thức:

R

h l

l T

Một con lắc đơn dao động điều hoà có chu kỳ T= 1 s tại Hà Nội có gia tốc trọng trường là g1= 9,787

m/s2,đưa con lắc sang Pa-ri có gia tốc g2 = 9,805 m/s2,coi nhiệt độ ở 2 nơi là như nhau

a/ Tại Pa-ri chu kỳ con lắc tăng hay giảm? sai lệch bao nhiêu phần trăm so với tại Hà Nội?

b/ Muốn chu kỳ dao động của con lắc tại Pa-ri vẫn là 1s thì chiều dài con lắc phải thay đổi như thế nào so với chiều dài ban đầu?

,9

787,9805,92

12

1

10.8,1878

,9

787,9805,92

12

l g

g l

l T

T

Vậy chiều dài phải tăng thêm 0,18% chiều dài ban đầu

Ví dụ 3: Đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h=9,6km Biết bán kính trái đất R=6400km, coi chiều

dài của con lắc đơn không phụ thuộc vào nhiệt độ Muốn chu kỳ của con lắc đơn không thay đổi thì chiều dài của con lắc phải thay đổi thế nào?

Vậy chiều dài con lắc đơn giảm 0,3%chiều dài ban đầu

Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi

khi có thêm lực lạ

Email: vanduongnv@gmail.com 17

* Phương pháp:

Ngoài trọng lực P con lắc còn chịu thêm tác dụng của những lực F không đổi thì coi như con lắc

chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng P với hd P = P + F hd

Ví dụ 1: Hãy so sánh chu kỳ của con lắc đơn trong không khí với chu kỳ của nó trong chân không

biết vật nặng có khối lượng riêng D, không khí có khối lượng riêng là d

P hd = P - F a

g D

d g DV

dVg g

Ví dụ 1: Con lắc đơn có chiều dài l, vật nặng m tích điện +q đặt trong điện trường đều có cường độ E ở nơi

có gia tốc trọng trường g có chu kỳ dao động như thế nào?

F g

F g

l T



2

c) Khi cường độ điện trường hướng sang phải:

* Vị trí cân bằng được xác định bởi :

tan=

mg

qE P

P hd  2

g hd

2 2

d) Khi cường độ điện trường có hướng hợp với phương ngang một góc

2 qE P qE

90cos 2

m

qE g m

qE g

* Vị trí cân bằng được xác định bởi :

Theo định lí hàm số cos: qE 2  P2 P hd2 2.P.P hdcos

4.3/ Lực lạ là lực quán tính

a) Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng thẳng đứng lên

trên

(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng lên trên nhanh dần đều

hoặc chuyển động thẳng đứng xuống dưới chậm dần đều)

Ở đây : P = P + Fqt hd

P hd = P + F qt

0

ma P

l T



 

b) Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng thẳng đứng

xuống dưới

(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng đi xuống nhanh dần đều

hoặc chuyển động thẳng đứng lên trên chậm dần đều)

Ở đây : P = P + Fqt hd

P hd = P - F qt

0

ma P

2

a g

l T



  /(điều kiện g>a0)

c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng ngang sang

ma P

ma P

P hd  

2 0 2

a g

g hd  

2 0 2

2

a g

l T

0 2

2

90cos

2 ma P ma

0 2

90cos

2 a g a

e)Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng xiên xuống một

0 2

2

90cos

2 ma P ma

0 2

90cos

2 a g a

* Vị trí cân bằng được xác định bởi :

Theo định lí hàm số cos:ma02 P2 P hd2 2.P.P hdcos