BT động lực học

Dao Động của hệ 1 bậc tự do, 2 bậc tự do, dầm, vòm

Bài tập

ổn định học công trình

Chơng I : dao động của hệ một bậc tự do

Bài số 1.4 Xác định tần số dao động riêng của hệ

gồm thanh không khối lợng đầu trái ngàm, đầu phải có

khối lợng tập trung m đặt lên gối tựa đàn hồi với độ cứng

Tần số dao động riêng của hệ :

Bài số 1.23 Xác định biên độ dao động cỡng bức

của móng máy và lực đợc truyền vào nền Móng có diện

tích ngang F=6,5m2,cao h=1,5m làm bằng bêtông Động

cơ đặt trên móng máy có trọng lợng 50KN và tác dụng

lên móng lực điều hoà có biên độ P = 20KN với tần số

f=15Hz, hệ số nén của lớp đất dới đáy móng K = 250.103 Trọng lợng riêng của bêtông25KN/m3

Bài giải:

Coi móng máy là hệ 1 bậc tự do

Trọng lợng của móng:

Qm =    6,5.1,5.25  243,75( KN )Trọng lợng cả hệ móng:

Q = Qm + Qđc =293,75P=20KN; r = 2.f 2 15 30  P( )t  20sin30  t (KN)

Phơng trình dao động cỡng bức của móng máy có dạng :

Chơng II : dao động của hệ hai bậc tự do

Bài số 2.12 Cho dầm đơn giản và 3 khối lợng tập trung m1=m2=m3= .

3

l

.Trong đó  là khối lợng riêng trên một đơn vị độ dài dầm :Hãy tìm các dạng dao độngriêng của dầm

Bài giải:

Từ giả điều kiện bài toán cho ta đợc hệ 3 bậc tự do Đây là hệ đối xứng, taphân dao động riêng của hệ thành các dao động đối xứng và phản xứng:

A Dao động đối xứng :

Thay thế hệ đã cho bằng nửa hệ ta đợc hệ 2

bậc tự do với khối lợng tập trung:

EJ A



Vậy hệ đã cho có các tần số riêng 1,2, 3

Các dạng dao động:

Chơng IV: Các phơng pháp tính gần đúng

Bài số 1 : Xác định tấn số riêng của dầm có khối lợng phân bố đều (Hình 1) theo

ph-ơng pháp tính gần đúng :

( )( ) ( ) ( )

0

( sin )

sin

Lời giải.

A Tính tần số cơ bản của dàn theo phơng pháp năng lợng:

Bỏ qua chuyển vị theo phơng

ngang của dàn vì kết quả sai kém

nhau rất ít (1.5%) Dạng dao động của dàn ứng với tần số 1 tơng đối phù hợp với dạng chuyển vị do trọng lợng các khối gây ra

Trong đó các chuyển vị tại mắt dàn đợc xác định theo công thức:

Trong đó:

Np – nội lực trong các thanh của dàn do trọng lợng các thanh tính thành lực tậptrung đặt vào các mắt dàn gây ra Các thanh dàn có chiều dài bằng nhau, khối lợngmỗi thanh là m, trọng lợng của mỗi thanh là Pi = mg Khi quy về các mắt dàn để tínhdao động sử dụng cách tập trung các khối lợng về thanh cánh dới của dàn (nh đầu bàihớng dẫn) ta có sơ đồ chất tải trọng và đánh số thứ tự các mắt dàn nh sau:

Ni – nội lực trong các thanh dàn do lực bằng đơn vị đặt tại khối lợng gây ra Đặtcác lực đơn vị lần lợt vào các mắt số 3 và đồng thời mắt số 2, 4

N N l y

EF



§Ó thuËn tiÖn trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ta lËp b¶ng tÝnh (B¶ng 1 vµ b¶ng 2):

2 3.75m 75.89mga/EF 284.6m2g2a/EF 21597.1m3g2a2/(EF)2

3 3.75m 52.61mga/EF 197.3m2g2a/EF 10380.9m3g2a2/(EF)2

4 3.75m 75.89mga/EF 284.6m2g2a/EF 21597.1m3g2a2/(EF)2

B Tính tần số dao động cơ bản theo ph ơng pháp thay thế khối lợng:

Trong quá trình tính toán, ta đã vận dụng tính chất thay thế khối lợng, để quátrình tính toán đơn giản hơn nữa, ta có thể đa các khối lợng tập trung về mắt giữa dàn

và hai nút gối ( Tập trung khối lợng của nửa dàn về một khối lợng ở mắt giữa dàn, cònnửa kia quy về hai gối tựa) Theo giả thiết của đề bài khối lợng của dàn tập trung ở cácmắt dới, do đó ta có sơ đồ tính nh sau:

Hệ tuy có ba khối lợng nhng lại đối xứng cả về khối lợng và hình học, ta cần tínhtần số dao động cơ bản nên chỉ xét dạng dao động đối xứng của dàn, do đó chiều và vịtrí đặt tải trọng đơn vị vẫn nh trờng hợp tính theo phơng pháp năng lợng

(1)  u2 – 3.75m(11+22)u + 3.752m2(1122 - 2112) = 0 (2)

Tính các hệ số của phơng trình tần số Trong trờng hợp này là bài toán kéo nén đúng tâm, các hệ số này tính theo công thức:

i i j ii

j

N N l EF

 

i k j ik

j

N N l EF

 

Giá trị nội lực trong các trờng hợp Pi = 1 nh đã tính toán trong phần tính tần sốtheo phơng pháp năng lợng, bây giờ ta chỉ trình bày lại và sử dụng kết quả tính ở mộtdạng khác Kết quả tính nh trong bảng sau:

i

8-4 1a -0.58 0 0.336a 0.000a 0.000a

Các giá trị chuyển vị đơn vị của dàn:

Chơng VI: dao động khung và dầm liên tục

Bài số 2( Dao động khung )

Cho khung nh hình vẽ (Hình 2) có khối lợng phân bố đều m = const, độ cứng EJ = const chịu tác dụng của tải trọng biến đổi điều hoà Dùng phơng pháp chuyển vị

- Viết phơng trình xác định tần số rêng của hệ ứng với dao động đối xứng

- Viết phơng trình dao động cỡng bức của hệ

- Nêu cách tìm biểu đồ momen uốn động của hệ

(Hình 2)

Bài giải:

Do hệ đối xứng, chịu tải trọng đối xứng, để làm đơn giản bài toán ta có thể xác

định tần số ứng với các dạng dao động đối xứng và phản xứng

Xét trờng hợp dao động đối xứng:

Sơ đồ tính và hệ cơ bản của hệ:

Hình 2.1: Sơ

đồ tính

Hình 2.2: Hệ cơ bản

Phơng trình chính tắc của dao động riêng r Z11 1 0, để đảm bảo cho hệ tồn tạichuyển vị Z10 thì D = r11 = 0 Đây chính là phơng trình tần số dao động riêng của hệ

Tra các giá trị của 1(2), 5(), 8() ở bảng 6-1 và thay thế vào phơng trình (*),

3 ( )sin( ) ( )cos( )

AB

sh x

( )sin( ) ( )cos( )

BC

ch x

Đây chính là phơng trình tần số riêng cần thiết lập

Giải phơng trình này ta tìm đợc các nghiệm i từ đó tính đợc các ki Các tần sốdao động riêng của hệ đợc xác định trực tiếp qua biểu thức:

2

i

m k EJ

Trờng hợp hệ dao động đối xứng :

Sơ đồ tính và hệ cơ bản có dạng nh hình 2.1 và 2.2

3 ( )sin( ) ( )cos( )

AB

sh x

( )sin( ) ( )cos( )

BC

ch x

Đây chính là phơng trình dao động cỡng bức của hệ

mômen uốn của từng thanh trong hệ:

Đối với thanh B-A: ( đầu trái A ):

Chọn trục z hớng dọc theo trục thanh có gốc là điểm B

Các điều kiện ban đầu ở đầu phải của thanh:

= - k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

k z

Q B



= M1(z) - P B k z( 1)

§èi víi thanh B-C: ( ®Çu tr¸i B ):

Chän trôc z híng däc theo trôc thanh cã gèc lµ ®iÓm B

C¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu ë ®Çu ph¶i cña thanh:

Thay vào công thức (3-60) ta đợc biểu thức momen uốn động của hệ :

M(z) = - EJ.y’’(z) = -k2 E.J.y(0) Ckz – k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

= - k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

Cho trị số z chạy từ 0 z2 ta vẽ đợc biểu đồ momen uốn động trên thanh BC

Đối với thanh B-F: ( đầu trái B ):

Chọn trục z hớng dọc theo trục thanh có gốc là điểm B

Các điều kiện ban đầu ở đầu phải của thanh:

  

 

 =

2

6

EJ x

 (2 )sin(2 )

1 (2 )cos(2 )

sh ch

 

 

+ Q p o= 0

Thay vào công thức (3-60) ta đợc biểu thức momen uốn động của hệ :

M(z) = - EJ.y’’(z) = -k2 E.J.y(0) Ckz – k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

= - k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

Cho trị số z chạy từ 0 z4 ta vẽ đợc biểu đồ momen uốn động trên thanh BF

Bài số 3 :( Dao động dầm liên tục)

Cho dầm liên tục (

Cho dầm liên tục (Hình 3) EJ=const, m= const

a. Trình bày cách giải dao động của dầm theo phơng pháp chuyển vị.

b. Trình bày cách giải dao động của dầm theo phơng pháp thông số ban đầu

c. Trình bày cách giải dao động của dầm theo phơng pháp lực

(

(Hình 3)

A Giải dao động của dầm theo ph ơng pháp chuyển vị:

Phơng trình chính tắc của dao động riêng: r Z 11 1 0

Để đảm bảo cho hệ tồn tại chuyển vị Z10 thì D = r11 = 0 Đây chính là phơngtrình tần số dao động riêng của hệ

3 ( )sin( ) ( )cos( )

AB

sh x

( )sin( ) ( )cos( )

BC

ch x

( )sin( )( )sin( ) ( )cos( )

ch

  

     =0

Giải phơng trình này ta tìm đợc các nghiệm i từ đó tính đợc các ki Các tần số

dao động riêng của hệ đợc xác định trực tiếp qua biểu thức:

2

i

m k EJ

Giải phơng trình này ta tìm đợc các nghiệm i từ đó tính đợc các ki Các tần số

dao động riêng của hệ đợc xác định trực tiếp qua biểu thức:

2

i

m k EJ





Tần số dao động riêng của hệ :  i k i2 EJ

có thể dao động theo dạng đối xứng.

5 5

2 ( )sin( )( ) ( )

3 ( )sin( ) ( )cos( )

AB

sh x

( )sin( ) ( )cos( )

BE

ch x

Đây chính là phơng trình dao động cỡng bức của hệ

Từ (***) ta có

1 1

11

sin cos

2 c sin s1

( )sin( ) 2 ( )cos( )( )sin( ) ( )cos( ) ( )sin( ) ( )cos( )

l

P EJ

Thay vào công thức (3-60) ta đợc biểu thức momen uốn động của hệ :

M(z) = - EJ.y’’(z) = -k2 E.J.y(0) Ckz – k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

= - k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

Cho trị số z chạy từ 0 z2 ta vẽ đợc biểu đồ momen uốn động trên thanh BC

+ Đối với thanh B-A: ( đầu trái A ):

Chọn trục z hớng dọc theo trục thanh có gốc là điểm B

Các thông số ban đầu ở đầu phải của thanh:

= - k.E.J.y’(0) Dkz + M0.Akz + 0

kz

Q B k

Cho trị số z chạy từ 0 z2 ta vẽ đợc biểu đồ momen uốn động trên thanh AB

B Cách giải dao động của dầm theo ph ơng pháp thông số ban đầu

+ Các thông số ban đầu

y(0)=0 y’(0)=?

Q(0)=? M(0)=0

-Điều kiện biên ở đầu bên phải dầm: y(4a)=0

- Điều kiện bổ sung: ( )

(3 )

00

a

a

y y

- Viết phơng trình độ võng, góc xoay cho đoạn (1): 0za

Viết phơng trình độ võng, góc xoay cho đoạn (2) :

Dầm đối xứng chịu tải trọng đối xứng nên X1(l)= X2(l)

C Giải dao động của dầm theo ph ơng pháp lực:

(0)'( ) ' (3)

- Loại bỏ các liên kết thừa ngăn cản các chuyển vị xoay tại các gối tựa trung gian.Các ẩn số là các mômen động tại gối tựa trung gian: Mi(t)=Misink1t

- Dầm liên tục có tính chất đối xứng, chịu tảI đối xứng nên: M1(t)=M2(t)

- áp dụng phơng trình ba mômen và áp dụng tính chất đối xứng của bài toán