Giúp học tốt toán cấp 3-lê quang ánh

Giúp học tốt toán cấp 3 - cấp số dãy số - Lê Quang Ánh

www.VNMATH.com

LÊ QUANG ÁNH

ŒV Chuyên Toán - PTTH Thạnh Mỹ Tây ~ TP H6 Chí Minh

¢ GIUP HOC TOT TOAN CAP III

(DUNG CHO HS CHUYEN CHON

CAP 3)

-e Kiến thức co ban e_ Bài tập có lời giải

e© Bai tập đề nghị

f

NHA XUAT BAN ĐỒNG NAI

www.VNMATH.com

Lời nói đầu

Chúng tôi xin giới thiệu với các bạn học sinh, Cấp ä đặc biệt là

học sinh các lớp chuyên chọn, tập tài liệu về "DÃY SỐ - CẬP SỐ" nhằm

mục đích giúp các em có thêm tài liệu học tập và nâng cao > trình độ của

mình trong chuyên đè này

Mỗi một vấn đề đều được bắt đầu bằng phần tóm t tắt W thuyết nếu

phần này đã học và phần giới thiệu và triên khai một số kiến thức quan

trọng nêu phần này chưa học hoặc | ít được đề cập trong các sách giáo khoa

thông dụng ở C ap 3 Sau đó là phần bài tập có lời giải và bài tập đề nghị

Đó là những bài tập minh họa các kiến thức trước đó hoặc những bài tập

có liên quan đến các kiến thức đó nhưng cao hon, | trich trong cac dé thi

Tú Tài Pháp hoặc các kỳ thi học sinh giỏi thành phố HCM, Toàn quốc và

Quốc tế Đối với bài tập ‹ đề nghị tác giả có hướn 8 dân qua, nhưng học sinh ˆ

hoàn toàn có thể nghĩ đến phương pháp khác riêng của mình s

Tác giả rất mong muốn kinh nghiệm và nhiệt tình của mình đem

lại lợi ích cho các học sinh ham thích toán

Trong lần xuất bản đầu tiên này, có thể có một số sai sót ngoài ý

muốn, rat mong ban doc góp ý — xin chân thành cám ơn

TP Hề Chí Minh, mùa hè 94

TÁC GIÁ

Chương 4 - Dãy số Un = f(Un-l) .42

Chương 5 - Dây qui nạp tuyến tính sesneeeeeee SD

Chương 6 - Bài tập tổng hợp _ 61

d ryt

Trong một cấp số cong ta dat: S, =u, +u,+ +u,

1/ Cho biệt : Sm = n và Sn = m (với m # n) Hãy tính Sm+a-

2/ Cho biết : S„ = S„ (với m # n) Hay tính Su

www.VNMATH.com Mặt khác ta có :

Vậy X15 là số hữu tỷ : vô lý ! :

Tóm lại 12, V3, V5 5 khong thê là ba số hạng trong cùng một ab

Biến đổi (4) : (4) => 2a, + a, = 3a,

=> 204 = -ai + 3 (ai + 2d)

=> da = dị + 3d

Giả sử ta chứng mình được: a,_¡ =a¡ + (n -2) dc

Từ đẳng thức (n) tá suyra: (n—2) a, ta, =(n- 1 ant

Do đó: (n-2)a, 9 =-a, +(n— 1) [a, +(n~ 2) d]

Vậy dãy số (a,) là một cấp số cộng $

Bài 5 : Cho cấp số cộng a1; a2; ; ân

1/ Ching minh: a, a, <a,a,_)Sa,a,_,S Sapa iy, S

n+l

với l<kx<- —

2 2/ Giả sử tất cả các số hạng của cấp số cộng deu khong 4 am, hay

Ug} Ap-ke2 S Ak dạ gyị VỚI 2 ŠSk > Thật vay :

ag} An—k+2 = [ay + (Kk 2).d].[ai+(n-=k+l) dj

=a, 24 (n= lad t (k - 2) (n—- k+1) a qd)

Ak Apeker = Ley + (K— 1) d] fay + (n ~k).d]

=a; +in- lad (k~1).-k).@? (2)

Tà so sánh hai kết quả ở ( ) và (2) bằng cách lấy hiệu :

Ta cho k lấy các giá trị trên ta thu được bất đẳng thức 6 cau 1/

2/ se ;he2 cầu l/ta có:

(ö A2 43 an)” = (ajay) (@2ap-1) (Ap ay 2 (aya,)”

Lấy căn bậc 2n hai về ta dude: Va, a, <"Va, 4 4, (i)

¢Doa2>0 (i= 1, 2, m) nén bat đẳng thức Côsi cho :

Te dị + dạ + tần

“Am đ2 dđ SỐ” TT”

i

www.VNMATH.com

`

= —~ [(aj + a,) + (a2 + dp) + + (a, + ay)] 2n

=~—.n(4i+an)=———— ( 2n n (a; + ay) 2 (ii)

(i) va (ii) cho ta bất đẳng thức kép cần chứng minh

2/Một số các số hạng của cấp số này là những số chính phương

Hãy cho biểu thức tông quát của chúng Kiểm tra thứ lại

www.VNMATH.com

§2 CAP SO NHAN

1 Dinh nghia : Ta goi cấp số nhân công bội q tắt cả các dãy số(wa) thỏa

điêu kiện :¬

(* cho sẵn trong R *

Un = Q Up] (n>2) Nếu q = Othiuz= =Un= =0 vi

Nếu q = 1 thì tắt cả các số hạng bằng nhau và bang u,

Baj 1: Chứng minh rang dé ba sé khac khong a, b, c la ba sé hạng

của cùng một cấp số nhân, điều kiện cần và đủ là tồn tại ba sô

nguyên khác không p, q, r sao cho :

p+rq+r=0

aP pĩ,c =1

Giải

* Thuận: Giả-sử a, b, c là ba số hạng thứ k + I,/+lvàm+I của

cùng một cap s6 nhân số hạng dau uj, đông bội p

14

1m

www.VNMATH.com

Từ các đẳng thức ấy ta suy ra :

ag A ay —Ðq- SP" => (DE = pIk-D-m)

Dop+q+r=0 nên tồn tại ít nhất là một số dưỡng và I số âm Giả

sử đó là r > 0 và q < 0 Từ giả thiết (2) ta viết :

Bài 3 : Cho cấp số nhân có số hạng đầu ai # 0 và q#Øvà q#+1 Gọi

Sn là tong của n số hạng đầu tiên Chứng minh :

- Sn (Sạn ~ S2n) = = (San — Su)

Cho A ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c Với điều kiện nào của

công bội q thì a, b, c tạo thành một câp sô nhân ?

+ Giai Giả sử ` a, b, c có cống bội q, thế thì q > 0 do ạ, b, c >0

(x" + +2") (x"~y hư) x yy +2" iVneZ

Trong trường hợp nào thì phần đảo đúng

2/ Áp dụng : Xác định bạ số thực khác 0 biếtrằng chúng tạo thành

một câp sô nhân có tong nghich đảo của chúng bằng 26 và tổng

hình phương các nghịch đảo của chúng băng 364

Do" x,y,z nén > yr=xze> y= x" 2"

Vậy D=0nên: (x°+ y"+zP) x®— yh + z") = x20 + y2" + 279 (1)

Đảo lại nếu có (1} tức là D= 0 nên: x"z?=y”"

Có hai trường hợp phải xem xết :

1/ n1 : Hệ thức trên dẫn tới xz = y”

Do d6 x, y, z theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân : Đảo đúng

2/ n chắn : liệ thức trên cho :

— Hoặc là y’ = xz, hic ay x, y, z theo thứ tự tạo thành một cấp số

www.VNMATH.com

-2/ Cho n =—1 vao (1) ta dugc

Với giả thiết ta suy ra :

Hướng dẫn : Dùng các công thức của cấp số cộng và cấp số nhân:

a=U u¡ + mở và a = Vy q „ Vân vân,

4 Chứng, minh rang 2, 3, 5 không thể là những số hạng của cùng

một câp số nhân được

Hướng dẫn : Nếu chúng là các số hà: $ hứk+l,!+ Í vàm+i

của cùng một cấp số nhân số hạng đầu a, công bội q, thì ta -

chứng minh đợc :

2 - a1 gm

Từ đồ : 2m 3k sl~2l 3", s5 wa ly) -

(Một số nguyên dương chỉ có thé phân tích thành thừa số

nguyên tô một cách duy nhât)

5 Cho một cấp số cộng : ` a;, a,„ , 8.,

oa

„và một cấp số nhan : * bị ;by, ; bạ ;

20

Sau đó suyra: n—l<l+q+qF+ +q” ” :.hiển nhiên

2/ Cũng nhơ gên :d >0 và q> 1

gi-1 ¢'-1

~ Khi n >k thì bất đẳng thức hiển:nhiên đúng `

—_ Khin< k thì thay đổi vai trò của n vàk

6 a, b là hai số cho sẵn Ta lập đấy số (a,) như sau :

Ta ghi : Day sé (u,), ¢ x hoac van tit hon : day (u,)

2 Day s6 tang — đấy sô giảm :

Déy (ty) tang ké tir No! N2 No => Unser > Un

Day (itn) giam ké từ No: 1 2 No => Un+1 < Un

CHU Y:

1/ Dãy tăng, dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

2/ Dây có thé tăng hoặc giảm k từ nọ, nhựng dãy cũng có thê tăng

hoặc giảm kê từ dau (no = 0) Sau nay ta gọi chung là đãy tăng

hoặc dãy giảm (mà không nói kế từ no)

J/ Các số thực A và B nói trên không duy nhất Thật vậy Ac có thể thay

bởi A'>A, còn B thì cô thê thay bởi B' < B

2 Hiển nhiên (Ha) bi chan khi va chi khi (I ua |) bi chận trên, tức là :

- (4g) bi chan <=> (J A > 0:lu,ls A; VneN)-

4 Cac phép tinh vé Šdãysế: ˆ

22

www.VNMATH.com Tit hai day (u,) va (v,) ta dinh nghĩa các diy mdi: ¢

Day (ty + Vo): Wa=un+vn;VneN

Day (uy Vn) | Wa = Ug Vn; Vo € N

_ Đãy(k.un): Wa#k.un; Vne N (với k là một số thực cho

san)

Davy ( mm ) (với vạ #() kể từ No)! Wn =") Vn ny

5 Day con

Cho day (u,) Vi mỗi số tự nhiên n ta cho tương ứng với một so ty

Pì <Pz<P< -SPn<

Ta nói đãy (vụ) định bởi : v„ = uy la day con cua (u,)

Hiển nhiên la néu day (u n) bị chận thì dãy con của nó cũng bị chận

II GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ :

1 Định nghĩa :

Day (t„) có giới hạn là Ì (hay : hội tụ dén }) nêu tỒn tại sô thực l -

Xdo cho với mọi sô E > 0 ta tùm được một sô tự nhiên n„ để mỗi khi

1/ Hiển nhiên n, khong phai duy nhất ; nó tùy thuộc vào £

2/ Ta cũng chứng minh: được : lim —= 0 (a> > 0)

n 2n _., -0l<£

n> +ee

Hai kết quả trong các thí dụ trên sau nay sé được dùng trong các

phép tính về giới hạm mà không cần chứng minh lại

3 Tính duy nhất của |

Định lý 1 : Nếu đãy (uạ) có giới hạn là / thi / 1a duy nhất

24

www.VNMATH.com

Giả sử rằng (u,) có giới hạn là / va /'z Ì

- PI Đặt : f= ~<=>11-11=2€ (i)

: Ðo định nghĩa ta có: 3n¡ec N ;n> ny => lu,—i<é

Fnge N: n2 mm => bu,-li<e

n > max (nị, n2) => ƒ— 1< lua— + luan —/1<2e(0)

~ (i) va (ii) mâu thuẫn nhau Vậy / = " `

4 Điều kiện đề đãy hội tụ

a

Định lý 2 : (cần) Moi day hội tụ đều bị chan

Chúng minh

Cho đãy (u;) hội tụ đến [:

Ve>0 ;Änạe N: -ñÏ> nạ =>l~£ <uạ <l+e

Dat: A= Max { Uy Uy, , +e}

B= min { do, 8y 1£}

Như thế hiển nhiên là : - 1Ä Su, <B ;VneN

Tức là dãy (u,) bi chận

Định lý 3 (Đủ) Moi day tăng (giảm) và bị chân trên (dưới) thì hội

tu

— Ta Chứng minh định lí trong trường hợp dãy tang va bi chan trên

Xêt tập hợp { uy, 0, ., 0ạ „ }-: Đây là một tập hợp vô hạn bị

chận trên nên tốn tại một ‘chan trén nho nhat / của tập hợp đó:

Choe >0 tuy ý Hiển nhiên j — e < / nên Ï — e không phải là một

chận trên của tập hợp â ay, suy ra:

~_ Đối với đãy (un) giảm và, bị chận dưới thì ta xét đãy (—un) Dãy

này là dãy tăng và bị chận trên nên hội tụ Từ đó (ua) hội tụ

CHU Y : Trong chứng minh định lý 3 ta đã xử dụng mệnh đề

Sau đây (mà ta công nhận) :

Mọi tập hợp con của R bị chân trên (dưới) đều có một chân ` +

trên (dưới) nhỏ nhất (lớn nhất):

5 Các định lỷ về giới hạn - |

Cho hai day (u,) va (v,) h6i ty Ian lugt dén 1 va 1’, 0: va B 1a hai sé

(i) Day (ou, + Bv„ ) hội tụ đến oJ + BP

(i1) Dãy (w,„ và) hội tụ đến ¡.' n n ¬

Định lý 4; Cho hai day (u,) va (v„) lần lượt hội ty tới ! và Ù Nếu

H„ & Vụ (kê từ một thứ hạng nào đỏ) thì I < L

www.VNMATH.com

=> uU,>V_: mau thudn véi gid thiét © Vay <I"

Định lý 5 : Cho hai day (un) va (va) lần lượt hội tụ tới / va": Néu 7</'thé

thi kê từ một thứ hạng nào đồ un<vn '

Ching minh Dat : - € Polo h2,

Tồn tại hai số tự nhiên n, và n sao cho :

<7; Vn > I nhung lim it ye lim 1 - Cử trong định lý 5

khi / = /'thì ta chưa kết luận gì về thứ tự của Uạ Và Và

Định l¥ 6 : Cho ba day (un), (un) và (Wn) VỚI Hạ < Vn © Wn mn (3 tù một thứ

hang nào do) Néu (un) va (Wn) cling héi tu dén L thi (va) ciing héi tu

www.VNMATH.com

7 Day sé tién ti vé cre

Định nghĩa :

* Déy (un) tién tới + s khi với mọi số A > On tồn tại số tự nhiên no

sao cho mỗi khi có n 2 RokhÌ tụ > A

Ký hiệu : lm u„ = + œ hoặc'(w„}—> + «khi > + œ

1L |J7+†+«=|-s| Dang vé dinh 0 — co too jftoo]+oo/V.D

www.VNMATH.com

=>Iqfx0l<e 9°.) Vậy: lim q"=0(vớilgl< 1)

Phương pháp : Dùng định lý 3 (đủ) trong phần trên : -

~ Xem dãy tăng hay giảm

~ Xem dãy có bị chận trên (chận đưới) không

Với mọi số tự nhiên k > 2 ta déu có :

Suy ra:u,<2; Va ‘21 : day (u,) bi chan trén `

Tóm lại : dãy (u,) tang và bị chận trên nên là dây I hội tụ

vạ>0;Vn>I : dãy (v,}bị chân dưới

Tóm la : đầy (v„) giảm va bi chan dưới nên là dãy hội tụ

Bai 5: Hai day (ua) va (vn) được gọi là tiếp cận nhau khi chúng thỏa

ba điều kiện sau đây: , ¬ pe es

(ii) (vạ) là đấy giảm ,

(i) lim luạ-vạl=0-

'www.VNMATH.com

# Giai

1/ Chứng minh (u,) và (v,) hội tụ đến cùng một giới hạn

:— Ta cứ cho rằng là ba điều kiện đúng ngay từ n= d (néu khong ta

loại bớt đi một số số hạng) Xét dãy (wa) định bởi :

“Wa = Vạ — tạ

Ta CỔ : Wn¿t — Wn = (Vn¿{ — Bn+1) — (Vn — tạ)

= Wii = Vad ~ (n+i ~n)

Theo giả thiết (u n)1 là dãy tăng và (v„ ) là dãy stim ,

Suy ra (w,) = (v,- u„) là day giam Nhung theo gia thiét (iii)

day nay hoi ty den 0 cho nên :

Vn=uạ S0 => vạ Sun -

Như vậy ta có :

Uị <02< <Un Vạ < < V„ < Vị

Dãy (u,) tăng và bi chan trên (bởi vị chẳng hạn) nên hội tụ Từ đó

áp dụng định lý giới hạn vào (ii) ta được :

‘lim luạ— vvl=0=>lim (uạ— vụ) = 0

._ H¬+<~s nr—+<ee

®

=>lim ua=lim vụ

n—*++e ñ+=

CHÚ Ý : Muốn áp dụng được định lý giới hạn vào giả thiết (ili)

rõ ràng là ta phải chứng minh (u,) va (v,) là những dãy $6 hội

Ta kiểm tra ba điều kiện www LVNMATH tiếp cần com

Nhân tắt cả cho n, ! ta duge :

ly Ũ

Bài 6 : Coi dãy số định bởi ; Up on (n> > 1)

WV Chứng tỏ rằng| kế từ một st thi hạng mào đó, dấy (un) là day giam

2/ Chứng minh rằng dãy (u, )h hội tụ v và a tinh lim u„

“Qua đó ta thấy dãy giảm kể từ nạ = 10

2/ Chứng minh (u,) hội tụ Tính lim u,

Dat: b=a'? Tach: b>1 Z

Theo câu 1/ thi: dim = + 00

38

n- [a| thừa số thừa số

1 lại thừa số la] x

www -VNMATH com Suy ra : a Sk.qg 8Í với qx a va k hang sé

4 Xét sự hội tu của các dãy sau đây :

afu, = 9 +00 tO ae np (p guy ngu an cươn g cho sẵn) h -

b/u= (1+2 ya te ,Π_

a/ Chứng minh dãy giam-

b/ Chứng minh dãy tăng Đề chứng minh dãy bị chan trén ta

1 chimg minh: u, $3 (1 - T ) bằng qui nạp

2”

5 Cho đấy (u„) hội tụ đến / Đặt: „ TÔ uy

uy tut + Vn= TT”: a Tư › (Trung bình Césaro)

Hướng dẫn : nạ là một số tự nhiên thích hợp (số nao 7)

(u, +wạ+ + Uy + (u tui + +u,)~ nl

Nn:

=a,tb, Rồi chứng minh :

40

Lim an ee TU com

6 'a là số ố thực “cho san Tinh:

lim tạ với U, = COS : cos“ : nh = cos # Mo ˆ

a = =o Fae ———y,.,vn=”””” 2 “os tee

b, = -Va,e b;bạ= \aạb, ` «Đa = = Va, Dots

Chứng Minh răng (an) và (bạ) Tà hai day hội tụ đến cùng n một ˆ

~_ giới hạn Tính giới hạn đó

Hướng dẫn : - Đưa về bài 6

Mối quan hệ giữa a, và bạ _

~Ñ_

ti) Nên với bat kt day ( un} nào hội tự đến ? e [n, b] mà các dãy tương `

ứng (f(in)) hội tự: đến f(1) thi ham số f ñiên tục tại l

Chitng minh (i) -

Ham số f liên tục tại / nên :

Ve>0 ; œ>0:lx—!l<œ=>lf(x)— f(D I<e

Với œ> 0 đó, do (uạ) hội tụ đến / nên :

TU Ny € N:n>n,=>luạ—/l<œ

Khi ấy thì : n >ñ=>lf(u,—f()I<e

Điều này chứng tô (f(u,)) hội tụ đến Ø1)

Gia suf khong /iên tục tại / “Thế thì tồn tại > 0 sao cho bất kỳ

a > 0 nao bao gid cing tim được xở/ân cận l ban kính œ và `

không tiến tới f(} : trái với giả thiết Vậy nàm số f liên tục tại Ú

_ 2 Đấy un = f(un-1)

Cho hàm số f liên tục trên [a, b] và có miền giá trị chứa trong la bị

Xem dãy số định bởi :

^^ u¡ € [a, bị

{ = f(ug_}) (= 2)

Rõ rang /a day số hoàn toàn được xác định vi Uạ € ƒa, b] với n > Ì

Định lý 1 : Nếu f Ja hàm số tăng thi day-(u „) đơn điệu và à hội tụ đến

SN mink

Tacé: Une — Up = f(u,) — f(u,_1)

Do ham số f tăng nên fy) ~ f(un_¡) cùng dấu Với tlạ — Up) 3

SUY f2 tIn+ — tạ Cùng dấu với Up ~Un-1 Cứ thế tiếp tục ta đi

Un¿¡ — lạ CÙnE dấu với uạ— UI

Từ đó : - Nếu u¿ > tị thi day (u,) tang

~~ Néu up <u; thi đấy (uạ) giảm

Day (u,) đơn điệu và bị chận nên hội tự đến Va theo định lý

mỡ đầu về hàm liên tục thì (f(uạ)).hội tụ đến f(), do do:

tat) Dinh ly đã được chứng minh xong -

Định /ý 2 : Nếu f /à hàm số giảm: thì các đãy con (iy) va Cond

của dãy (u,) đơn điệu và ngược chiều biến thiên

Chúng minh

Trước hết ta chứng (ninh bổ đề : " m——-—

Nếu f là hàm nghịch biến thi fof /a hhm dong biến

Thật vậy : lấy hai phan tit x, x` e [a, b], ta có :

X <x’ => f(x) > f(x’)

—_