Bài tập lớn môn nguyên lý máy (7)

Phương trình vectơ của lược đồ động Lược đồ động của cơ cấu bốn khâu phẳng toàn khớp thấp có dạng một tứ giác có trường hợp suy biến thành một tam giác.. Các phương trình hình chiếu của

2.4 Phân tích động học bằng phương pháp Véc tơ - giải tích

(Xét đối với cơ cấu bốn khâu phẳng toàn khớp thấp)

2.4.1 Bài toán vị trí

2.4.1.1 Phương trình lược đồ động

1 Phương trình vectơ của lược đồ động

Lược đồ động của cơ cấu bốn khâu phẳng toàn khớp thấp có dạng một tứ giác (có trường hợp suy biến thành một tam giác) Nếu biểu diễn các cạnh của đa giác lược đồ động này bằng các vectơ nối tiếp nhau ta sẽ được một chuỗi vectơ khép kín Gọi l là vectơ thứ i của chuỗi, ta có phương i

trình vectơ sau:

4 1

0

i i

l

=

=

Gọi e i, l i lần lượt là vectơ đơn vị chỉ phương và chiều dài của vectơ l thì phương trình (2.12) i

có thể viết lại như sau:

4 1

0

i i i

l e

=

=

Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là phương trình vectơ lược đồ động

2 Các phương trình hình chiếu của lược đồ động trong hệ tọa độ gắn liền với giá

Gọi Oxy là một hệ tọa độ vuông góc gắn liền với giá của cơ cấu: trục Ox nằm ngang đi từ trái sang phải, trục Oy thẳng đứng đi từ dưới lên Các vectơ đơn vị chỉ phương của các trục Ox, Oy lần lượt là e0, n0 Phương, chiều trong hệ tọa độ này của vectơ e xbất kỳ được xác định bằng góc

x

 mà e xlàm với e0, chiều dương của góc là chiều ngược chiều kim đồng hồ Ta có x =(e e x, 0)

2

n e =

; (−e e i, i)= 

2

e n = −

Gọi e u, e vlà hai vectơ bất kỳ ta có:

, , ,

e e

e e

 

  

  

0

e và n0ta có:

Nhân vô hướng vế trái của phương trình vectơ (2) lần lượt với

4 0 1 4 0 1

i i i

i i i

l e e

l e n

=

=









cos ( , )=cos

sin ( , )=sin





=





nên thay vào (2.14) ta được:

4

i 1

4

i 1

i i

i i

l l





=

=









Các phương trình (2.15) chính là phương trình hình chiếu của lược đồ động lên các trục của hệ tọa độ Oxy

2.4.1.2 Bài toán vị trí của cơ cấu bốn khâu phẳng toàn khớp thấp

Nội dung của bài tính vị trí của cơ cấu bốn khâu phẳng toàn khớp thấp là cho trước kích thước động các khâu và vị trí khâu dẫn trong một hệ tọa độ gắn liền với giá, yêu cầu phải xác định được

vị trí của cơ cấu trong hệ tọa độ này, nói cách khác phải xác định được đa giác lược đồ động

O

x

y

 1

2

3

4

x

l1

l4

l3

l2

eo

eo

Hình 2-17

e1

e2

e3

e4

u

eo

no

ev

Xét ví dụ cơ cấu tay quay – con trượt như (hình 2-18):

Cho trước chiều dài các cạnh l1, l2, l4 của đa giác lược đồ động và các góc vị trí  , 1  , 3 4 (với 4 3

2



 =  ) trong hệ tọa độ gắn liền với giá, cần phải xác định chiều dài l3và góc vị trí 2 trong hệ tọa độ nói trên

Ta có:

3 4 1 2

Nhân vô hướng phương trình trên lần lượt với e3và e4ta được:

3 3 4 3 1 3 2 3

3 4 4 4 1 4 2 4





Hay

3 3 3 4 4 3 1 1 3 2 2 3

3 3 4 4 4 4 1 1 4 2 2 3



Vì: ( 3, 4)

2

e e = −

nên ta có:



Suy ra:

2 4

2

l

 

2 4

2

l

 

Sau khi xác định giá trị của  ta hoàn toàn có thể tính được 2 l3

O

x

y

eo

no

l4

l3

l1

l2



1



2

3

4

Hình 2-18

2.4.1.3 Tọa độ các đỉnh của đa giác lược đồ động

Các đỉnh của đa giác lược đồ động được ký hiệu bằng các số 0, 1, 2, 3 theo quy ước sau: Đỉnh

số i là gốc của véctơ l i+1 Như vậy đỉnh số 0 bao giờ cũng ứng với khớp bản lề nối khâu dẫn với giá

Gọi x0, y0 là tọa độ của đỉnh số không trong hệ tọa độ gắn liền với giá Tọa độ của đỉnh số k của đa giác lược đồ động khi đó sẽ bằng:

1

1

cos

( 0, 1, 2, 3) sin

k

i k

i

k





=

=







Các tọa độ trên đây ứng với một vị trí  nhất định của khâu dẫn Khi cho khâu dẫn các vị trí 1

1, j

 khác nhau, thì tọa độ của các đỉnh đa giác lược đồ động ứng với mỗi vị trí này sẽ bằng:

1

1

cos

( 0, 1, 2, 3; 0, 1, , ) sin

k

i k

i





=

=







2.4.1.4.Vị trí của một điểm bất kỳ trên khâu

Giả sử Z i là điểm bất kỳ trên khâu i của cơ cấu Trên đa giác lược đồ động, khâu thứ i này ứng với cạnh l Vị trí của điểm i Z i trên khâu i được xác định bằng véctơ l Z i có chiều dài

i Z

l và véctơ đơn vị chỉ phương

i Z

e Chiều dài

i Z

l và góc ( , )

i

 = tất nhiên bằng hằng số và được cho trước Gốc của véctơ l Z iđược đặt hoặc ở gốc của của véc tơ l hoặc ở mút của véctơ i l Gọi là véctơ nối i

đỉnh số 0 của đa giác lược đồ động với điểm ta có:

- Trong trường hợp véctơ l Z i được đặt ở gốc của véctơ l i

O

x

y

0

eo

no

l

2

3

y0, j

y3, j

y1, j

y2, j

x0, j x1, j x2, j x3, j

Hình 2-19

( 1)

i i

- Trong trường hợp véctơ l Z i được đặt ở mút của véctơ l i

i i

Một cách tổng quát có thể viết lại công thức (a) và (b) trên đây như sau:

( gi)

i

i i

Với:

ig =1 khi gốc l Z itrùng với gốc l i

ig =0 khi gốc l Z itrùng với mútl i

Tọa độ của điểm Z iứng với vị trí j của cơ cấu, trong hệ tọa độ O1xy bằng:

( 0, 1, , )

Z i i j Z Z

−

−

Hay:

( 0, 1, , )

−

−

Với: ig =1 khi gốc l Z itrùng với gốc l i

ig =0 khi gốc l Z itrùng với mútl i

2.4.2 Bài toán vận tốc

O

x

y



li

eo

no

0

ei

l

eZi

i

Z Zi

i Z

y0

y

i

Z

O

x

y



li

eo

no 0

ei

l eZi Zi

i Z

i Z

y0

y

i Z

Hình 2-20

2.4.2.1 Phương trình vận tốc

1 Phương trình vectơ vận tốc

Từ các giả thiết ta xác định lược đồ động bằng cách giải bài tính vị trí Sauk hi giải, các đại lượng l i j, , e i j, hay ( ) của đa giác lược đồ động hoàn toàn xác định Từ (2) ta tiếp tục giải bài i j, tính vận tốc bằng cách lấy đạo hàm hạng thức vế trái của (2) ta được:

0

d

Đặt i

i

dl

l

dt = và chú ý i i

de d

dt dt

= = thì phương trình (2.23) viết lại như sau:

3 1

( i i i i i) 0

i

l n l e



=

2 Các phương trình hình chiếu vận tốc

Từ (2.24) ta lần lượt nhân tích vô hướng của hai vế với e0, n0Ta có:

3

0 1

3

0 1

i i i i i i

i i i i i i

l n l e e

l n l e n





=

=











(2.25)

Hay:

3

1 3

1

( cos sin ) 0( )

( sin cos ) 0( )

i i i i i i

i i i i i i

=

=











(2.26)

Từ phương trình trên ta tìm được các đại lượng l , i  tức là đã giải được bài toán vận tốc i

2.4.2.2 Xét ví dụ cơ cấu tay quay – con trượt

Các đại lượng biến thiên là  , 1  , 2 l3 Do đó từ hệ phương trình (3.3), ta có:

cos sin sin 0( ) sin cos cos 0( )

 − − =



 + + =

Hay:



Các nghiệm của phương trình là:

1 3

=

2 2 0

 =

Với:

0

l l

1

−

 =

2 1

l l



 =

Điều kiện có nghĩa của biểu thức (3) và (4) là:

0 l2cos( 2 3) 0

Nếu khâu 1 quay toàn vòng trong suốt quá trình chuyển động của cơ cấu thì không bao giờ cạnh

2

l vuông góc với cạnh l3, do đó: 2 3

2

k

 −  và điều kiện (8) luôn được thoả mãn

2.4.2.3 Vận tốc của điểm bất kỳ trên khâu

Giả sử Z i là điểm bất kỳ trên khâu i của cơ cấu

Ta có:

1

i

i i

i ig

k

−

=

Với: ig = i 1 khi gốc l Z itrùng với gốc l i

ig = i 0 khi gốc l Z itrùng với mútl i

Lấy đạo hàm 2 lần theo t biểu thức trên ta được:

1

i

i i

i ig

k

−

=

Vì O là đỉnh cố định của đa giác lược đồ động trong hệ tọa độ gắn liền với giá nên: véctơ trong

vế trái của (2.28) là vận tốc của điểm Z i trên khâu i

Gọi vận tốc này là

i Z

v , ta có:

1

i

i ig

k

−

=

Vì góc ( , )

i

 = và chiều dài

i Z

l đều bằng hằng nên ta có:

d

Thay (2.30) vào (2.29) ta được:

2 1

i

i ig

k

d

=

Hay:

2

Với

i

i ig

v− là vectơ gia tốc của điểm trên khâu i hiện thời trùng với đỉnh (i−ig i) của đa giác véctơ lược đồ động

2.4.3 Bài toán gia tốc

2.4.3.1 Phương trình gia tốc

Nội dung của bài tính gia tốc là cho trước kích thước động các khâu, vị trí khâu dẫn, vận tốc góc và gia tốc góc của khâu dẫn, cần phải xác định gia tốc của tất cả các khâu của cơ cấu Gia tốc của một khâu coi như xác định khi ta biết:

- Hoặc gia tốc góc của nó và gia tốc dài của một điểm bất kỳ trên nó

- Hoặc gia tốc dài của hai điểm trên khâu

Để giải bài tính gia tốc trước hết phải giải xong bài tính vị trí và vận tốc, do đó khi giải bài tính gia tốc tất cả các đại lượng , , ,l i  i i l iđều đã biết

1 Phương trình vectơ gia tốc

Lấy đạo hàm theo t các hạng thức vế trái của (2.24) ta được:

3 1

( i i i i i) 0

i

d

l n l e

=

Đặt:

, i

i

i i

dl

d

l

dn

e

dt



= −

Do đó từ phương trình trên ta suy ra:

3 2 1

i

l e l n l n l e

=

Trong đó:

- (−i i i2l e ) là véctơ gia tốc pháp tuyến hướng tâm

- (i i l n i) là vectơ gia tốc tiếp tuyến

- (2i i i l n) là véctơ gia tốc Côriôlít

- (l e ) gia tốc tương đối giữa hai điểm khác khâu và hiện thời trùng nhau i i

Sau khi giải bài tính vị trí và bài tính vận tốc thì các đại lượng sau đây trong phương trình (2.34)

đã biết:

- Các véctơ e n i, i

- Các đại lượng i,l i

Trong sáu đại lượng còn lại có mặt trong phương trình (2.34) (i,l i i( =1, 2, 3)) chỉ có ba đại lượng khác không, trong đó  đã cho Do đó phương trình (2.34) chỉ có hai ẩn và như vậy có 1 nghiệm xác định

2 Các phương trình hình chiếu của gia tốc

Để có được phương trình hình chiếu của gia tốc trong một hệ tọa độ Oxy gắn liền với giá của

cơ cấu, ta hãy lần lượt lấy tích vô hướng vế trái của (2.34) với e0 và n0 ta được

3 2 1 3 2 1

i

i

=

=









Sau khi giải hệ phương trình (2.35) ta xác định được giá trị của hai đại lượng ,l i i với hai giá trị này và giá trị của ,l i i đã cho trong giả thiết ta có thể suy ra trong mỗi khâu gia tốc dài của hai điểm hoặc gia tốc góc của nó và gia tốc dài của một điểm thuộc nó, tức là bài tính vận tốc đã giải xong

2.4.3.2 Xét ví dụ cơ cấu tay quay – con trượt

Các đại lượng biến thiên của đa giác lược đồ động trong trường hợp này là:  1, 2, l3 do đó các phương trình (2.35) có dạng:





Các ẩn của bài tính là 2, l3vì vậy ta viết lại phương trình trên như sau:





Các nghiệm của phương trình này là:

1 2 0

 = 

2 3

l = 

Với:

0

−

1

cos sin

b b





−

2 1 2

2 2

sin cos

b b





Trong đó:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 1 1 1 2 2 2



Các biểu thức (3) và (4) của các nghiệm chỉ có nghĩa khi

0 l2cos( 2 3) 0

Nếu khâu 1 quay toàn vòng trong suốt quá trình chuyển động của cơ cấu thì không bao giờ cạnh

2

l vuông góc với cạnh l3, do đó 2 3

2

k

 −  và điều kiện (9) luôn được thoả mãn

2.4.3.3 Gia tốc của điểm bất kỳ trên khâu

Giả sử Z i là điểm bất kỳ trên khâu i của cơ cấu

Ta có:

1

i

i i

i ig

k

−

=

Với: ig = i 1 khi gốc l Z itrùng với gốc l i

ig = i 0 khi gốc l Z itrùng với mútl i

Lấy đạo hàm 2 lần theo t biểu thức trên ta được:

1

i

i i

i ig

k

−

=

Vì O là đỉnh cố định của đa giác lược đồ động trong hệ tọa độ gắn liền với giá nên: véctơ trong

vế trái của (3.37) là gia tốc của điểm Z i trên khâu i

Gọi gia tốc này là

i Z

a , ta có:

1

i

i ig

k

−

=

Vì góc ( , )

i

 = và chiều dài

i Z

l đều bằng hằng nên ta có:

d

Thay (2.39) vào (2.38) ta được:

2

2 1

i

i ig

k

d

=

Hay:

2

Với

i

i ig

a− là vectơ gia tốc của điểm trên khâu i hiện thời trùng với đỉnh (i−ig i) của đa giác véctơ lược đồ động