tiểu luận đề tài : quy hoạch tuyến tính

Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những quyết định quan trọng đê đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh và nguy hiêm...Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính đê có được phương án tối ưu cần thiết. Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sựcó hiệu quảđê giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡlớn trong thực tếmà ta thường gặp, như đếvận chuyển hàng hóa đầy đủnhưng có tong chi phí là nhởnhất đây chính là bài toán vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kếhoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và sản phẩm đê thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất... Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng đê xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳbài toán phức tạp nào trong thực tế, chỉcần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữnhờviệc lập trình trên máy tính ta có thê giải quy hoạch tuyến tính một cách dê dàng nhanh chóng và chính xác. Nhưvậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quảkinh tếrất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách. 2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu. Trong thực tếta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong sốnhững quyết định quan trọng đê đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủlà một kẻthông minh và nguy hiêm...Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính đê có được phương án tối ưu cần thiết. Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sựcó hiệu quảđê giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡlớn trong thực tếmà ta thường gặp, như đếvận chuyển hàng hóa đầy đủnhưng có tong chi phí là nhởnhất đây chính là bài toán vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kếhoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và sản phẩm đê thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất... Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng đê xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳbài toán phức tạp nào trong thực tế, chỉcần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữnhờviệc lập trình trên máy tính ta có thê giải quy hoạch tuyến tính một cách dê dàng nhanh chóng và chính xác. Nhưvậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quảkinh tếrất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách. 2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.

, Bộ CÔNG THƯƠNG

Bộ MÔN QUY HOẠCH TUYÉN TÍNH

TIẺU LUẬN

ĨHUÍ TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HÒ CHÍ MINH

HO CHI UNH UMVBBITY Cf INDLSTSY

KHOA KHOA HỌC cơ BẢN

■d\

Viện Công nghệ Sinh học - Thực phẩm

TP HCM, ngày 25 tháng 4 năm 2009

ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính đê có được phương án tối ưu cần thiết

Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự có hiệu quả

đê giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà ta thường gặp, như đế vận chuyển hàng hóa đầy đủ nhưng có tong chi phí là nhở nhất

- đây chính là bài toán vận tải Hoặc trong kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất đối với

các nguyên liệu và sản phẩm đê thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất

Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng đê xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạp nào trong thực

tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờ việc lập trình trên máy tính ta có thê giải quy hoạch tuyến tính một cách dê dàng nhanh chóng và chính xác Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách

2 Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu là vấn đề được quan tâm nhất và các ràng buộc là các yêu cầu ,điều kiện của kế hoạch đặt ra, đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tiiyến tính Các bước đê nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điên hình là:

■ Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu

7=1 Với hệ ràng buộc:

(3)

m

■ Xây dựng các thuật toán đê giải bài toán trên các lập trình máy tính

■ Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần

■ Áp dụng đê giải các bài toán thực tế

CHƯƠNG 1:

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH

A LÝ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA

Bài toán quy hoạch tuyến tính (qhtt) tổng quát có dạng:

Tìm Xj, j=l,2, ,n sao cho: f=Vớjc -»min(max) (1)

(1) được gọi là hàm mục tiêu, nó có thể là cực tiểu (min) hay cực đại (max)

(2) được gọi là các ràng buộc chung hay ràng buộc hàm, nó có thế có dạng bất đẳng

thức (< hay >) hoặc có dạng đang thức (=)

(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến), nó có thể không âm (>0), không dương (<0) hay tùy ý.

Như vậy, bài toán QHTT là bài toán có các biêu thức xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc chung đều ở dạng tuyến tính

Véctơ x=(Xị, x 2 , ,x n ) được gọi là phưong án (pa) hay lời giải chấp nhận được của

bài toán QHTT nếu nó thoa mãn hệ ràng buộc của bài toán

Phương án x*=(x,\j^, ,j^) r được gọi là phương án tối ưu (patir) hay lời giải tối ưu, nghiêm tối ưu của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất

■ Lập mô hình toán học thật chính xác

Tức là: f(x*)=XC,*; f(x) = Ỵ J C J X J là giá trị hàm mục tiêu tại phương án

x=(xl 5x2, ,xn)T bất kỳ (Dấu < ứng với bài toán cực tiểu Dấu > ứng với bài toán cực đại)

Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nêu có)

Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau riếu chúng có chung tập hợp các phương án tối ưu

Mệnh đề: (Quan hệ giữa bài toán cực đại và bài toán cực tiểu)

2 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYÉN TÍNH

2 BIÉN

Bài toán có dạng: tìm x=(xi,x2)t sao cho f(x)=cix1+c2x2“^ min (max)

Với hệ ràng buộc: ailx1+ai 2x2>bi, i=l,2, ,m Chú ý:

- Ràng buộc chung có dạng: a<b, ta đưa về dạng tương đương là: -a>-b

- Ràng buộc chung có dạng: a = b thì tương đương với: a>b và -a>-b

- Còn các ràng buộc biến có thê xem là các trường hợp riêng của các ràng buộc chung

Như vậy, hệ ràng buộc của bài toán QHTT có 2 biến luôn luôn có thê giả thiết là có dạng: a¡iXi+ai 2X2>b¡; i=l, 2 , m

n

Với hệ ràng buộc: ^a.ịXị = bị, i=l,2, ,m

Trong thực hành, đê xác định nửa mp nào ứng với bất phương trình: aj|Xi+a i2X2 >bị Ta thường lấy một điêm đặc biệt như (0,0); (0,1); (1,0); thay vào bất phương tình, nếu nó thỏa mãn thì nửa mp chứa điểm đặc biệt đó là nửa mp phải tìm; còn nếu nó không thỏa mãn thì nửa mp phải tìm là nửa mp không chứa điêm đặc biệt đó

Các điêm thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán là các điêm thuộc miền giao của các nửa

mp xác định các bất phương trình tương ứng, nó tạo nên một hình đa giác lồi có the bị giới nội hay không bị giới nội; hoặc miền giao là rồng ứng với trường hợp hệ ràng buộc không tương thích Trường hợp miễn phương án X không rỗng ta thực hiện tiếp bước sau

2.2 Xác định phưong án tối ưu Một điểm X=(X|,X2 ) T bất kỳ nằm trong mp tọa độ

sẽ cho ta giá trị hàm mục tiêu là: C|X1+C2X2 =f

Tập hợp tất cả các điếm có cùng giá trị hàm mục tiêu là f hình thành nên một

đường thẳng vuông góc với véctơ oc với C=(ci,c2)t Đường thẳng này được gọi là đường thẳng mục tiêu có mức là f

Đặc điểm của các đường thẳng mục tiêu là: nếu tịnh tiến đường thăng mục tiêu theo cùng hưởng vectơ oc thì giá trị hàm mục tiêu sẽ tăng lên cỏn nếu tịnh tiến theo hưởng ngược với vectơ oc thì giả trị hàm mục tiêu sẽ giảm đi

3 CÁCH ĐƯA BÀI TOÁN QHTT BÁT KỲ VÈ DẠNG CHÍNH TÁC Bài toán

qhtt dạng chỉnh tăc là bài toán qhtt cỏ tất cả các ràng buộc chung đều ở dạng đăng thức và tất

cả các biến đều không âm

n 

Tức là bài toán có dạng: f=^c -Xj-» min (max)

❖Trường hợp biến có điều kiện < 0 (hay tùy ý) thì ta thay biến đó bằng “đối” của biến không âm (hay bằng hiệu của biến không âm)

Ket luận: Mọi bài toán qhtt đều đưa được về dạng chính tắc và việc giải bài toán qhtt

đã cho tương đương với việc giải bài toán qhtt dạng chính tắc tương ứng với nó, theo nghĩa là

nếu bài toán dạng chính tắc có patư thì từ đó suy ra được patư của bài toán ban đầu, còn nếu

bài toán dạng chính tắc không có phương án tối ưu thì bài toán ban đầu cũng không có patư Nói cách khác: Bài toán ban đầu có patư khi và chỉ khi bài toán dạng chỉnh tắc tương úvg với

nó có patư

Như vậy ta chỉ cần tìm cách giải bài toán qhtt dạng chính tắc

4 PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN NGHIỆM cơ BẢN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÉN TÍNH

Trong đó: ai0 =bj, i=l,2, ,m

Phép khử Gauss -Jordan (gọi tắt là phép khử) với phần tử trục (Phần tử giải; Phần

tử chủ yếu) là arv^0 (Dòng r được gọi là dòng xoay, cột V được gọi là cột xoav) cho bảng

mới tương đương với bảng cũ, theo nghĩa là 2 hệ thống tương ứng với 2 bảng là tương

đương với nhau

Quy tắc thực hiện:

Các phần tử trên dòng xoay đều chia cho phần tử trục

- Các phần tử còn lại trên cột xoay đều biến thành 0

- Các phần tử khác tính theo qui tắc đường chéo hình chữ nhật rồi chia cho

Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính: Lần lượt thực hiện các phép khử

Gauss-Jordan với các phần tử trục nằm trên các dòng khác nhau, bảng cuối cùng sẽ cho ta lời giải

của hệ phương trình (không chọn phần tử trục nằm trên cột b)

Lưu ý:

- Trong trường hợp có nhiều phần tử có thê được chọn làm phần tử trục, ta nên

chọn phần tử sao cho dễ thực hiện phép chia nhất

- Trên dòng xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì cột tương ứng (tức là cột có phần tử =0

này) được giữ nguyên giá trị

- Trên cột xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì dòng tương ứng (tức là dòng có phấn tử

=0 này) được giữ nguyên giá trị

4.2 Nghiệm cơ sở của hệ phưong trình tuyến tính

Nghiêm cơ sở (nghiệm cơ bản) của 1 hệ phương trình tuyến tính là nghiệm nhận được

từ dạng nghiệm tống quát khi có các biến tự do nhận giá trị 0

Biến cơ sở (biến cơ bản) ứng với một phương trình là biến có hệ số là 1 ở phương trình

đó và có hệ số là 0 ở các phương tình còn lại (nói cách khác: các hệ số tương ứng với biến cơ

sở tạo nên các vectơ đơn vị)

Các biến không có đặc điểm trên được gọi là các biến phi cơ sở

Trong dạng nghiệm tổng quát, các biến cơ sở đóng vai trò là các biến phụ thuộc còn các biến phi cơ sở là các biến tự do.

Nhận xét: khi thực hiện phép khử với 1 phần tử trục thì biến ở cột xoay sẽ trở thành biến cơ sớ tương ứng với dòng xoay

Ta thấy một nghiệm cơ sở tương ứng với một dạng nghiệm tông quát, mà các dạng nghiệm tổng quát khác nhau là do hệ các biến tự do (hay hệ các biến cơ sở) là khác nhau Do

đó để tìm tất cả nghiệm cơ sở ta đưa vào bảng tính cột XB chứa các biến cơ sở tương ứng với mỗi phương trình và tiến hành thực hiện các phép khử với các phần tử trục được chọn sao cho thu được các hệ biến cơ sở khác nhau

Nghiệm cơ sở tương ứng với mồi bảng sẽ được xác định bằng các cho các biến cơ sở nhận giá trị tương ứng ở cột b, các biến không nằm trong hệ biến cơ sở nhận giá trị 0

- Nghiệm cơ sở suy biến là nghiệm cơ sở tương ứng với nó nhiều hơn 1 hệ biến cơ sở.

- Nghiệm cơ sở không suy biến là nghiệm cơ sở có tương ứng với nó đúng 1 hệ biến

cơ sở

Pacb (phương án cơ sở; phương án cơ bản) của bài toán qhtt dạng chính tắc là phương

án đồng thời là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung

Nói cách khác, pacb là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung có thỏa điều kiện về dấu của các biến

- Pacb không suy biến là pacb có tương ứng với nó đúng một hệ biến cơ

- Pacb suy biến là pacb có tương ứng với nó nhiều hơn một hệ biến cơ sở

Do số nghiệm cơ sở của một hệ phương trình tiiyến tính là hữu hạng nên số

6 Cơ SỞ GIẢI TÍCH LỒI

thuộc nó thì cả đoạn thăng nôi 2 điêm cũng thuộc tập hợp đó

Định nghĩa: Điêm cực biên của một tập lồi X là điêm thuộc X, nhưngkhông phải là điêm trong của bất cứ đoạn thắng nào nằm trong X

Đỉnh của 1 tập lồi X là điêm thuộc X và tồn tại 1 siêu phang sao cho X nằm hoàn toàn

về 1 phía của nó và siêu phang cắt X chỉ tại điểm đó

Lưu ý: phương trình đoạn thẳng có thê viết dưới dạng: x=x°+az, V (Xe [a,,a2]

Đây là đoạn thẳng nằm trên đường thẳng đi qua điểm x° và có vectơ chỉ phương là z

7 CẮC ĐỊNH LÝ

chính tắt là pacb khi và chỉ khi hệ véctơ cột tương ứng với các thành phần dương (>0) là độc lập tuyến tính

❖ Định lý 2 (Điều kiện tồn tại pacb): Bài toán qhtt dạng chính tắc nếu có pa thì sẽ có pacb

cực biên (đỉnh) của tập phương án

Tức là pa X được biểu diễn dưới dạng tô hợp lồi của các pacb cộng với tổ hợp không âm của các vectơ chỉ phương các cạnh vô hạn

❖ Định lý 5 (điều kiện tồn tại pacb): bài toán qhtt có patư khi và chỉ khi nó có phương

án và hàm mục tiêu bị chặn dưới đối với bài toán cực tiểu (hay bị chặn trên đối với bài toán cực đại) trên tập phương án

Neu bài toán qhtt dạng chính tắc có patư thì sẽ có 1 pacb là patư

B BÀI TẬP

1 Lập mô hình toán học các bài toán sau:

a Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng 2 loại tàu 100 mã lực và 50 mã lực Trong xí nghiệp có 3 loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch Thợ rèn có 2000 công, thợ sắt có 3000 công, thợ mộc có 1500 công Định mức lao động của mồi loại tàu được cho trong bản:

nhất?

Điều kiện: <

(công/sản phâm) Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt tổng số mã lực cao

b Một xí nghiệp có thê sử dụng tối đa 510 giờ máy cán,

360 giờ máy tiện, 150 giờ máy mài đê chế tạo 3 loại sản phẩm A, B, c

Đê chế tạo một đon vị sản phâm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; 1 đơn vị sản phâm B cần

3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; 1 đơn vị sản phấm c cần 5 giờ máy cán 3 giờ máy tiện, 2

giờ máy mài Mồi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mồi sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng,

Điều kiện:

Gọi Xị, x2, x3 là số đơn vị sản phẩm loại A, B, c f(x)= 48xi+16x 2 +27x 3 -> max 9x, + 3 X 2 + 5 X 3 <510 5x, +4 X 2 +3 X 3 < 360 3x, + 2 X 3 < 150

Xj >0,j = 1,2,3

c Một xí nghiệp điện cơ sản xuất quạt điện các loại, cần cắt từ một tấm tôn các

cánh quạt điện theo 3 kiêu A, B, c Có 6 mẫu cắt khác nhau theo bảng sau:

Chỉ tiêu sản lượng sản phâm của xí nghiệp phải hoàn thành ít nhất 4000 cánh quạt

kiêu A, 5000 cánh quạt kiêu B, 3000 cánh quạt kiểu c Hỏi xí nghiệp có phương án cắt

như thế nào để có phế liệu ít nhất?

d Cần vận chuyển 1 loại hàng hóa từ 3 xí nghiệp Al, A2, A3 đến các cửa hàng

Bl, B2, B3, B4 lượng hàng có ở mỗi xí nghiệp và chi phí vận chuyên 1 đơn vị hàng được cho ở bảng sau:

3 công đoạn cắt, may, hoàn chỉnh như sau:

Điều kiện: <

m

Năng lực tối đa của các bộ phận như sau:

Bộ phận cắt: 1250 giờ công Bộ phận may: 1650 giờ công Bộ phận hoàn chỉnh: 540 giờ công Tối thiểu mồi loại phải sản xuất 200 sản phẩm Hãy tính kế hoạch sản xuất mồi loại sản phẩm bao nhiêu đê đạt tông giá trị sản phẩm lớn nhất và vẫn đảm bảo các điều kiện về năng lực sản phẩm và qui định số lượng sản phẩn tối thiểu

4

Gọi X|, x 2 , x3 là sổ lượng máy thu hình TV, Stereo, loa thùng ■=> f(x) = 75x! +

50x 2 + 35x3 -> max Điều kiện:

4 x , + 2 x2 - x3 < 1 5 5 x , +

2 x2 - x3= 1 0 - 3 x j - 6x2+ 2 x3 > 2 5 X, > 0,x 3 >

4 Cho bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chỉnh tắc:

f(x) = 2xj + x 2 - x 3 + x 4 -ỳ max 6

X ị + x 2 + 2 x ì + x 4 X ị + x 2 + x 4 = 2 X ị - 2 X 2 + X ì = 4

X J> 0 , 7 = 1 , 2 , 3

a Hãy chỉ rồ ỉ phương án của bài toán

b Xác định tập phương án của bài toán

Điều kiện:

Giải

Điều kiện: <

Điêm cực biên của miên này là A( 15/7,12/7); B( 10/3,-2/3); C(0,1)

6 Dùng phương pháp hình học giải các qui hoạch tuyến tính 2 biến sau:

a F(x) = - X ị + x 2 -ỳ inax

Xị + x 2 < 1 3xj + 2 X 2 < 6 3Xị

+ x 2 < 9 X > 0, x 2 > 0

Miền ràng buộc: OAB Phương

án tối ưu: A(0,1) Trị tối ưu: fmax=l

 33/2

Miền ràng buộc: ABCD

Phương án tối ưu: B (4,2) Trị

tối ưu: fmin= -10

a Điều kiện: <

10

b Điều kiện:

m

7 Tỉm các phirong án cực biên không suy biến của bài toán qui hoạch tuyến

tính với điều kiện ràng buộc sau đây:

Xét hệ { Ai,A2} độc lập tuyến tính và Xi, x2 > 0 ->x2 là phương án cực

Xét hệ {Aị,A2} độc lập tiiyến tính và Xj, x2 > 0 ->x3 là phương án cực biên không suy biến

8 Cho bài toán: J'(x) = X / + 6 X ị - 5x4 min (P)

X ị + 2 * 3 + 3 X 4 = 5 x 2 - x ì + 2x 4 = 8

Điều kiện: <

< x ì , x 2 , x ì ,x A > 0

a Liệt kê tất cả các phương án của (P)

b Chứng tỏ (P) cỏ phương án toi ưu Từ đỏ chi ra phương án cực biên toi

Vậy hàm mục tiêu bị chặn dưới, tập phương án không rồng, do đó bài tóan

có phương án tối ưu Vậy sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu

Từ các phương án cực biên trên, ta có:

1 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH:

Xét bài toán QHTT sau:

(2) 

Trong đó A là ma trận cấp mxn, b€i?mvàx6iìn

Giả thiết: m < n, rank(A) = m và bài toán không suy biến

Ký hiệu bài toán (1) - (3) là bài toán ( D,f ), trong đó D là miền ràng buộc

biên Xo nào đó của bài toán

Kiêm tra X o có tối un không (so sánh giá trị hàm mục tiêu tại X o đó và giá trị hà mục tiêu tại các đỉnh kế với nó

X o thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu hoặc phát hiện bài toán không có phương án tối ưu: dừng thuật toán

Trái lại, phương pháp sẽ tìm một phương án cực biên mới tốt hơn (giá trị ham mục tiêu nhỏ hơn) mà nó là một đỉnh kề của đỉnh trước đó Trở lại bước kiểm tra tối ưu

❖ Thuật toán đơn hình giải bài tập ( D,f):

Bước 2: (kiêm tra tôi Uĩi)

Nếu z m+1 k < 0, V/ = 1,2, ,71, thì Xo là phương án tối ưu: dừng thuật toán Trái lại, chuyển sang bước 3

Bước 3: (Kiêm tra bài toán không cỏ phương án tối ưu)

Nếu 3k: 1 < k < n sao cho z m+lk > 0 và z ik < 0 , Vỉ = 1, 2,m Thì bài toán đã cho không có

phương án tối ưu và hàm mục tiêu giảm vô hàn trong miền ràng buộc: dừng thuật toán

Trái lại chuyên sang bước 4

Bước 4: (Xây dựng phương án cực biên mới)

> Chọn vectơ đưa vào cơ sở:

Chọn s thỏa mãn: zm+1 s = max{z m + l k : z rr+l k > o)

Đưa vectơ As vào cơ sở

> Xác định vectơ loại khỏi cơ sở:

Nhận xét: Với giả thiết bài toán không suy biến thì thuật toán giải nêu trên phải dừng sau một

số hữu hạn bước lặp, bởi vì mồi lần thực hiện bước 4 ta nhận được phương án cực biên mới tốt hơn phương án cực biên trước đó và số phương án cực biên của bài toán là hữu hạn

2 CÁCH TÌM PHƯƠNG ÁN cục BIÊN VÀ co SỞ BAN ĐẦU Xét bài toán QHTT

dạng chính tắc ( D,f): 

OLị-ix-L + a i2 x 2 + + a in x n = bị, i = 1,2, , m (5)

Không giảm tông quát, ta có thê xem như mọi b l > 0

2.1 Trường hợp ma trận hệ số A của (5) có chứa ma trận đơn vị I cấp m

Hệ m vectơ [Aj,j c /} tương ứng với m cột của I là cơ sở của phương án cực biên x°

Cách xác định X o :

Cho ứng với các cột Aj nằm ngoài I bằng 0 Từ (5) Xj ứng với cột

,4/nằm trong I: ẩn cơ sở

ràng buộc chính chứa ma trận đơn vị cấp m s Định lý:

Neu bài toán (M) không có phương án tối ưu hoặc có một phương án tối ưu mà trong đó có ít nhất một an giả dương thì (D,f) vô nghiệm

Neu bài toán (M) có phương án tối ưu

X M = (*1’ -> x n> °' - '°) thì Xtf = (xlt , xn) là phương án tối ưu của bài toán ( D,f )

Do đó có thê giải bài toán (M) thay cho giải bài toán ( D,f )

Ma trận hệ sổ ràng buộc có chứa ma trận đơn vị I2 ứng với cột 4 và cột 5

Vậyxỡ = (0,0,0,12,10) là phương án cực biên với cơ sở tương ứng là

{A 4 ,A 5 \

Chú ỷ :

Neu ma trận A của bài toán ( D, f) có chứa k vectơ cột đơn vị khác

nhau ( k < m )thì ta cần đưa m - k biến giả vào bài toán (M)

Trong bài toán (M), do hàm mục tiêu F phụ thuộc tuyến tính vào M nên các ước lượng của các biến cũng phụ thuộc tuyến tính vào M : f = a Q +/?0M

A k = a k + p k M Ợ c = 1,2 ,n + m )

Quy tắc xét dấu và ước lượng A k như sau :

> 0 nếu /?k > 0 ( oc k bất kỳ) hoặc p h =0, a k > 0 (k = 1,2, , 71 + m)

A L > Aj nếu /?t > pj ( a l vầ ữj bất kỳ) hoặc Pi = ,

Lập bảng dơn hình cho bài toán :

Vậy phương án tối ưu X* = ( 5/2, 5/2, 5/2 ) cơ sở ị A/, A 2 , Aj} jmin =-35/2 •S

Ghi chú :

Trường hợp bài toán có dạng f GO =< c, X >-* max với X6 D Ta có thê chuyên sang bài toán - /(%) -> min với X 6 D Kiểm tra tối ưu : Nếu z n+1J — A;> 0 thì JC° là phương án tối ưu Kiêm tra tnrờng hợp không có phương án tối ưu :

Nếu 3k: A k < 0 và z k < 0 (vi) thì bài toán không có phương án tối ưu

Xây dựng phương án cực biên mới A k < c đến 3i: z k > 0 thì lập phương án cực biên mới Chọn vectơ đưa vào cơ sở, chọn s thoa mãn Aj= min{A k : A U < 0 )

ã

Các tính toán còn lại như bài toán min

> Ví dụ 3:

Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT sau : f

= —x í + x 2 - 2*3 -» max Điều kiện :

2x 2 + x 2 + x 3 >6 2x í +

2x* — x 2 = 4 Xj >0 0

=1, 2,3) Cách 1: Giải trực tiếp bài toán max

Đưa vào phương trình hàm mục tiêu 2 ấn giả x 6 , x 7 ta có bài toán (M) F =

- X 1 + x 2 + 2 X 3 — M X 6 — Mx 7 - > max Điều kiện :

Cách 2 : Chuyên dạng bài toán từ f -» max thành —/ -> min Ta giải bài toán

với các điều kiện tương tự cách 1 với hàm mục tiêu —f = x 1 — x 2 — 'Zx 2 +

M X 6 + M x 7 -»min Lập bảng đơn hình cho bài toán

Vậy phương án tối ưu : x*= ( 2/5, 14/5, 12/5 ) -/min = -36/5 f max = 36/5

B BÀI TẬP

1 Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán sau:

a) f = -50 X] - 60x 2 -*min

x Ị + 2 X 2 < 8 x l + x 2 < 5 9x, + 4x 2 <36 jCj > 0;x 2 > 0

ớ bảng đon hình cuối ta có A| không phải là cơ sở nhưng A| = 0 ■=> Bài toán có vô số phương án tối ưu và fmin = -1

2 Dùng phương pháp phạt giải các bài toán sau:

a f = - X| - 2x2 - 3x3 + x4 min Điều kiện: