Tổ chức EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Chuyên san EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp HCM 1 Đề thi Vi tích phân A2 Bộ đề này được thực hiện dựa trên chương.
Trang 1
1
Đề thi Vi tích phân A2
Bộ đề này được thực hiện dựa trên chương trình hợp tác giữa tổ chức EXP và Toantin.org, cả hai đều thuộc khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp.HCM
Mọi góp ý về đề thi xin gửi về email:
thienquocdongphuc@gmail.com
Cảm ơn các bạn
Trang 2
2
Câu 1: Cho
a) Hàm 𝑓 có liên tục tại (0; 1) không?
b) Hàm 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 1) không, tính 𝑓′(0; 1)(ℎ; 𝑘)?
Câu 2: Các giới hạn sau có tồn tại không, tính giới hạn nếu có:
a) lim
(𝑥; 𝑦)→(0; 0)
b) lim
(𝑥; 𝑦)→(0; 0)(𝑥 + 𝑦) cos1
𝑥
Câu 3: Chứng minh
𝑛4 +∞
𝑛=1 hội tụ đều trên ℝ
Câu 4: Tìm cực trị địa phương của 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥3 − 6𝑥𝑦 + 8𝑦3+ 2
Trang 3
3
Câu 1:
𝑓(𝑥; 𝑦) = {
a) Cho 𝑚 = 1 Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 0) không?
b) Cho 𝑚 > 2 Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 0) không?
Câu 2: Cho 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ
2− 3𝑦2
a) Hỏi 𝑓 có liên tục tại (0; 0) không?
b) Tính 𝜕𝑓
Trang 4
4
Câu 1:
a) Tính ∇𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥𝑦3
b) Cho 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 ; 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) Chứng minh
2
𝑟2(𝜕𝑧
2
2
2
Câu 2: Chứng minh rằng hàm số
𝑓(𝑥; 𝑦) = {
Câu 3: Cho 𝑓(𝑥; 𝑦) = cos𝑥
2cos𝑦
xung quanh (𝜋; 𝜋) ≈ (3.14; 3.14) và tính giá trị gần đúng của 𝑓(3.13; 3.15)
Trang 5
5
Câu 1:
+∞
𝑛=1
Chứng minh chuỗi số trên hội tụ và tính giá trị của nó
Câu 2:
Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau
a) ∑ 𝑛
2+ 1
+∞
𝑛=1
𝑛 2
+∞
𝑛=1
𝑛2 +∞
𝑛=1
𝑛 + 1
+∞
𝑛=1
Câu 3:
+∞
𝑛=1
hội tụ
a) Chứng minh rằng: nếu 𝑝 > 1 thì chuỗi ∑ 𝑎𝑛𝑝
+∞
𝑛=1
hội tụ
b) Cho 𝑝 ∈ (0; 1), hãy tìm một ví dụ để thấy ∑ 𝑎𝑛𝑝
+∞
𝑛=1
có thể phân kỳ
Trang 6
6
Câu 1:
Giả sử ta đang đi trên một ngọn núi Đặt hệ tọa độ mà trục 𝑥 chỉ hướng Đông, trục 𝑦 chỉ hướng Bắc,
và trục 𝑧 chỉ hướng ra khỏi mặt đất Độ cao của ngọn núi được cho bởi
Ta đang ở tại điểm 𝑥 = 1; 𝑦 = 0
(a) Nếu ta đi theo hướng Nam thì sẽ đi lên cao hơn hay xuống thấy hơn?
(b) Nếu ta đi theo hướng Tây Bắc thì sẽ thi lên cao hơn hay xuống thấp hơn?
(c) Muốn đi xướng nhanh nhất thì nên đi theo hướng nào?
Câu 2: Cho 𝑓; 𝑔; ℎ là các hàm khả vi liên tục Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦); 𝑥 = 𝑔(𝑡); 𝑦 = ℎ(𝑡);
Câu 3: Cho 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ Giả sử 𝐷𝑓 = 0
(a) Nếu 𝐷 = ℝ2, chứng tỏ 𝑓 là hàm hằng
(b) Nếu 𝐷 không bằng ℝ2 thì có nhất thiết 𝑓 là hàm hằng không?
Trang 7
7
Câu 1:
Cho hàm
Với các giá trị khác nhau của 𝑚 > 0, hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet tại (0; 0) không?
Câu 2: Cho 𝐹 ∶ ℝ2 → ℝ thỏa
𝜕2𝑢
2𝑢
2𝐹
2𝐹
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
𝑛
∞
𝑛=1
Chứng minh chuỗi hàm này hội tụ đều trên (−∞; −𝑐] với 𝑐 > 1
Trang 8
8
Câu 1:
và khả vi trên 𝐷 Chứng minh rằng
a) ∇ × (𝑢𝐹) = 𝑢(∇ × 𝐹) − 𝐹 × ∇𝑢
b) ∇ (𝐸 × 𝐹) = 𝐹 (∇ × 𝐸) − 𝐸 (∇ × 𝐹)
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
trên miền 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥 + 𝑦 ≤ 1
Câu 3:Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau
a) ∑sin(2𝑛 + 1)𝑥
√2𝑛 + 1
∞
𝑛=0
với 𝑥 ∈ ℝ,
b) ∑ 1
𝑛 ln2(𝑛)
∞
𝑛=2
Câu 4: Cho dãy hàm 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑛2𝑥(1 − 𝑥2)𝑛; 𝑥 ∈ [0; 1] Chứng tỏ rằng 𝑓𝑛(𝑥) hội tụ từng điểm về hàm 0 khi 𝑛 tiến đến vô cùng Tính lim
𝑛→∞∫ 𝑓01 𝑛(𝑥)𝑑𝑥
Câu hỏi điểm cộng: Hỏi dãy hàm (𝑓𝑛) có hội tụ đều về hàm 0 hay không? Giải thích tại sao?
Trang 9
9
Câu 1:
a) Tính vi phân toàn phần của hàm số 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥√𝑥3 + 𝑦3 tại điểm 𝑀(1; 2)
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong (𝐸) ∶ 𝑧 = 𝑥 ln(2𝑥 + 𝑦) tại điểm
𝑀(1; −1; 0)
Câu 2:
2
2
2
2 ]
Câu 3:Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) là hàm ẩn xác định bởi hệ thức 𝑧 + 𝑥𝑒
𝑧
a) Áp dụng định lý hàm ẩn để tính 𝜕𝑧
b) Áp dụng kết quả trên, hãy tính gần đúng gía trị 𝑓(0.01; 0.99)
Câu 4:
a) Tìm cực trị địa phương của 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦2 trên miền 𝑥2 + 4𝑦2 < 4
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦2 với điều kiện 𝑥2+ 4𝑦2 = 4 c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦2 với điều kiện 𝑥2+ 4𝑦2 ≤ 4
Câu 5: Cho hàm số 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ xác định như sau
𝑓(𝑥; 𝑦) = {
𝑥 sin 𝑦
a) Chứng minh hàm số trên liên tục tại 𝐴(0; 0)
b) Tính các đạo hàm riêng phần cấp 1 của 𝑓 tại 𝐴(0; 0)
c) Hàm số trên có khả vi Fréchet tại 𝐴(0; 0)? Hãy giải thích
Trang 10
10
Câu 1: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a)
+∞
𝑛=1 b)
+∞
𝑛=1
Câu 2: Xét hàm số
𝑒𝑥 2 𝑦+ 𝑦4 Tìm miền xác định của hàm số Hàm số này có liên tục trên miền xác định hay không? Có khả vi hay không?
Câu 3:Xét hàm 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 3𝑥3𝑦 − 3𝑦2𝑧 tại điểm 𝑃 = (1; 2; −1) Tìm đạo hàm theo hướng của 𝑓 theo hướng của 𝑃 tới điểm 𝑄 = (3; −1; 5) Theo hướng này thì giá trị của hàm 𝑓 là tăng hay giảm? Chú ý vector theo hướng có chiều dài bằng 1
Câu 4: Cho 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ là một hàm khả vi liên tục theo biến (𝑥; 𝑦) Đặt
Câu 5: Tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm
Câu 6: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥3 Hãy phác họa đồ thị của hàm này Phương pháp dùng ma trận
Hesse có cho kết luận về cực trị địa phương của hàm này hay không? Vì sao?