Tài liệu chủ đề dãy số

Chú ý: + Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘’ + Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi u1 ; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u1.. [r]

n u n



Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u u u1, , , , , ,2 3 un , trong đó un  u n  hoặc viết tắt là

  un , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

2) Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M  { 1,2,3 , ., m } với m   * được gọi là một dãy số hữu hạn

3) Dãy số tăng và dãy số giảm

+) Dãy số   un được gọi là tăng nếu un1  un,   n  *

+) Dãy số   un được gọi là giảm nếu un1 un,   n  *

4)Dãy số bị chặn

+) Dãy số   un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un  M ,   n  *

+) Dãy số   un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un  m n ,    *

+) Dãy số   un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số M, m sao cho m u  n  M ,   n  *

 Các dấu " =" nêu trên không nhất thiết phải xảy ra

II PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số

Dự đoán công thức un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp?

Trang 3

Ví dụ 3 Cho dãy số   un xác định bởi công thức

1

2 1

+) Ta cần chứng minh   * với n k   1, tức cần chứng minh uk4  uk1

 Dạng 2 Xét tính đơn điệu của dãy số

Phương pháp giải:

• Dãy số (un) được gọi là tăng nếu unun l ; n N*

• Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un un l ; n N* Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của một dãy số

■ Phương pháp 1: Xét hiệu H u n1un

+) Nếu H > 0 thì dãy số đã cho là dãy tăng

+) Nếu H < 0 thì dãy số đã cho là dãy giảm

■ Phương pháp 2: Nếu un  thì ta lập tỉ số 0 n 1

n

uTu





+) Nếu T  1 un1un dãy số đã cho là dãy tăng

+) Nếu T  1 un1un dãy số đã cho là dãy giảm

   dãy số đã cho là dãy số giảm

Ví dụ 2 Xét tính đơn điệu của dãy số sau:

Vậy un1 un   0   un là dãy số giảm

Ví dụ 3 Xét tính đơn điệu của dãy số sau:





Lời giải:

Vậy dãy số   un là dãy số tăng

Ví dụ 4 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

Trang 6

 1

Ví dụ 7 Xét tính tăng - giảm của dãy số   un với 3 1

2

n

u   Lời giải:

 Lời giải:

Do đó u1  u2 và u2  u3   un  un1    un không tăng và cũng không giảm

Ví dụ 10 Xét tính tăng - giảm của dãy số   un với un  n  n  1





a) là dãy số tăng

• Dãy số (un) được gọi bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho unM;n N *.

• Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho unm n N;  *

• Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu tồn tại một số M và m sao cho m u n M;n N *

Chú ý:

+) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘ ’

+) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởiu ; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi 1 u 1

Ví dụ 1 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:





Lời giải:

a) Viết lại un dưới dạng:



Trang 9

Với

0

1 2

1 0

a) Với

0

1 2

1 0

n u n





Lời giải:

a) Với n   0 u0     1 n N*: 2 n2   1 0nên un  0

do đó: un   1  n

Xét

2 1

n n

 



 a) Tính 6 số hạng dầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số

b) Tính u2n và u2n1 Chứng minh rằng 0 3 4

n

nun





nun

u  Vậy dãy đã cho bị chặn

Nhận thấy un1un  0 un1un, do đó, dãy số un giảm

 Viết lại u dưới dạng n 1 2 1  



Trang 13

Với

0 1 2

10

0142

Suy ra dãy tăng Mà un và 8 u1 0 un  Suy ra dãy bị chặn dưới 0

Vậy dãy tăng và bị chặn

Ví dụ 12 Chứng minh rằng dãy số

1 1

121

n n n

uuuu

b) Chứng minh rằng dãy số bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 3

2Lời giải:

(1 2)

22

Như vậy, nếu tồn tại un  thì suy ra 2 un1 , từ đó cũng suy ra được 2 un2,un3u u2, 1 vô lý 2

Do u1 2 2. Nên điều giả sử là sai

Suy ra un1un, nên đây là dãy tăng

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2

Ví dụ 14 Cho dãy số  un xác đinh bởi u1 và 1 un1un   7; n 1

a) Tính u u2, 4 và u6

b) Chứng minh rằng: un 7n   6; n 1

Lời giải:

a) u2   u1 7 8,u4 u3 7 u2   7 7 8 14 22, u6 u5 7 u4  7 7 22 14 36 

u      Chứng minh rằng n  u là một n

dãy không đổi

Lời giải:

4

k k

u

n k u     Với n k  thì 1 2

1 2

2

k k

Do đó dãy không đổi với mọi số tự nhiên n

Ví dụ 18 Cho dãy số  u xác định bởi n 1

1

13

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Ví dụ 19 Cho dãy số  un xác định bởi công thức 1

1

66

Ví dụ 20 Cho dãy số ( un ) xác định bởi ( 1)

n n

nu

n

 



 a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số

         nên dãy bị chặn dưới bởi 0

Quan sát thấy dãy không tăng không giảm

1

n

nun

3

n

nun

n

u   n Mệnh đề nào sau đây sai?

A u1  2 B u2 4 C u3  6 D u4  8

Trang 18

Câu 6 Cho dãy số   un , biết ( 1)n 2

n

nu

21( 1)3

322

n n

uu

2 1 3 n 1

n

u    D u2n132n1Câu 12 Cho dãy số   un , biết 5n 1

1 5.5n n

u   

Câu 13 Cho dãy số   un , biết

2 3

11

n n

nun

11

n n

11

n n

nu

2

n n

nu

n



     D

2 5 1

2

n n

nu

n



     Câu 14 Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ; 1 2 3 4

2 3 4 5 có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?





Câu 15 Dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1    có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?

A un 1 B un  1 C un   1 n D   1

1 n

n

u    Câu 16 Dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2; 4;6;  Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây?

n

n

uu

n

 

Câu 22 Cho dãy số  un , được xác định 1

2 1

1( 1) n

Trang 20

Câu 24 Cho dãy số  an , được xác định

1 1

31

A 1;1;1;1;1;1; B 1; 1 1; ; 1 1;

2 4 8 16

  C 1;3;5;7;9; D 1; ; ; ;1 1 1 1 ;

2 4 8 16  Câu 26 Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?





Câu 27 Trong các dãy số  un cho bởi số hạng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng?





2 n

u      Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số  u bị chặn trên và không bi chặn dưới B Dãy số n  u bị chặn dưới và không bị chặn trên n

C Dãy số  u bị chặn n D Dãy số  u không bị chặn n

Câu 38 Cho dãy số  un , với 1 1 1 , 1;2;3

 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số  u bị chặn trên và không bi chặn dưới B Dãy số n  u bị chặn dưới và không bị chặn trên.n

C Dãy số  u bị chặn n D Dãy số  u không bị chặn n

Câu 39 Cho dãy số  un , với 12 12 12, 2;3;4;

n

n

      Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số  u bị chặn trên và không bi chặn dưới B Dãy số n  u bị chặn dưới và không bị chặn trên.n

C Dãy số  u bị chặn n D Dãy số  u không bị chặn n

Câu 40 Trong các dãy số ( un ) sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?



Câu 41 Trong các dãy số ( un ) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào bị chặn?

 Khằng định nào sau đây là đúng?

A Số hạng thứ n của dãy là 1 1 sin

C Dãy số  u là một dãy số tăng n D Dãy số  u không tăng không giảm n

Câu 44 Cho dãy số  un , với ( 1) n

n

u   Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số  u là dãy số tăng n B Dãy số  u là dãy số giảm n

C Dãy số  u là dãy số bị chặn n D Dãy số  u là dãy số không bị chặn n

Câu 45 Cho dãy số ( un ) với ( 5)n

n

uu





Câu 51 Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn





n n

un

u   Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

A Bị chặn B Dãy số tăng C Dãy số giảm D Không bị chặn Câu 60 Cho dãy số có công thức tổng quát là 2n

n



n n

1 3, n1 n ,

u   u  u   n n  Tìm số hạng thứ 2019

A 2037168 B 2037171 C 2037176 D 2035158

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN

11-B 12-B 13-A 14-C 15-C 16-D 17-C 18-B 19-A 20-C

21-C 22-D 23-B 24-B 25-C 26-D 27-C 28-A 29-C 30-D

31-C 32-B 33-C 34-C 35-C 36-A 37-D 38-C 39-C 40-D

41-A 42-D 43-B 44-C 45-A 46-D 47-B 48-A 49-A 50-D

51-A 52-D 53-A 54-B 55-C 56-C 57-C 58-A 59-A 60-D

u   Chọn A

Câu 2: Ba số hạng đầu tiên của dãy là 1 11 1, 2 22 2 1

Câu 3: Ba số hạng đầu tiên của dãy là u1 1,u2  u1 3 2,u3u2  3 5 Chọn A

   Chọn A

2 1 3 n 3 3 n n n

u      Chọn B

Trang 25

Câu 12: Ta có 1 1

1 5n 5 n n

1

2

2.2 22

n n

u

uqn

Trang 26

1 1

n

n n

n

u

uu

 Xét đáp án A Vì 2n là dãy dương và tăng nên 1

2n là dãy giảm nên A đúng

3

n

un

  với mọi n nên bị chặn trên bởi 1 Chọn C 

Trang 28

Nên dãy  u bị chặn trên, do đó dãy n  u bị chặn Chọn C n

Câu 39: Ta có un  0  un bị chặn dưới bởi 0

u   là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm  A, B sai

Tập giá trị của dãy ( 1)n

2un nên dãy số

1

n

nun



 là dãy số bị chặn Chọn D

2 2

2.22

u      Chọn D

Câu 61: Ta có un12unun1 3 un1un  unun1 3

Đặt vn un1 ta có: un 1

1 1

Câu 64: Theo giả thiết bài toán, ta có: