Bài báo đưa ra những khái niệm cơ bản về đồ hình tổng quát và chứng minh rằng lớp các ngôn ngữ được xác định bởi đồ hình tổng quát trùng với lớp các ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm cấu t
Trang 1Tap chi Tin hoc và Điều khiển học, T.21, S.4 (2005), 301-311
ĐỒ HÌNH TỔNG QUÁT VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI VĂN PHẠM CẤU TRÚC - CÂU
NGUYÊN THỂ BÌNH
Dai hoc Dén lap Hai Phong
Abstract This article gives the basic concepts of general diagram and proves that the family of languages defined by general diagram coincides with the family of languages generated by phrase-
structure grammar
Tóm tắt Bài báo đưa ra những khái niệm cơ bản về đồ hình tổng quát và chứng minh rằng lớp các ngôn ngữ được xác định bởi đồ hình tổng quát trùng với lớp các ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm cấu trúc - cầu
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngôn ngữ hình thức và ôtômat là cơ sở quan trọng của tin học, một ngành khoa học và công nghệ đang phát triển mạnh mẽ theo nhiều hướng khác nhau [1-11] Một trong những hướng phát triển đó là xây dựng mô hình đồ hình, thiết lập mối quan hệ đồ hình với văn phạm chính quy được đưa ra trong [11], tiép tục được nghiên cứu trong [5,6] và mở rộng khái niệm đồ hình thành œ - sơ đồ sinh, làm công cụ sinh ra lớp œ - ngôn ngữ chính quy, xác định độ phức tạp đoán nhận của ôtômat hữu hạn đối với lớp œ - ngôn ngữ chính quy đó được đưa ra trong [7, 8|
Bài báo này phát triển khái niệm đồ hình theo hướng tổng quát hóa như mở rộng khái niệm đồ hình thành đồ hình tổng quát, phân loại đồ hình tổng quát, thiết lập mối quan hệ
đồ hình tổng quát với văn phạm cấu trúc - câu và chứng minh rằng lớp các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát trùng với lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các văn pham cấu trúc - câu
2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1 Văn phạm và ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm cấu trúc - câu ( [1,6,8, !1]) Định nghĩa 1 Văn phạm cấu trúc - câu, hay gọn hơn văn phạm, là một bộ bốn:
G = (N,™, P,o), trong do:
N 1a tập hữu hạn các ký hiệu không kết thúc và được gọi là bảng chữ cái phụ,
> là tập hữu hạn các ký hiệu kết thúc và được gọi là bảng chữ cái chính,
NoO>d=9,
NU}= V là tập hỗn hợp hay là bảng chữ cái đầy đủ,
ơcC€ N là ký hiệu ban đầu,
Trang 2P là tập hữu hạn các quy tắc có dạng sau:
œ@ >tvới,€ V* và >ø V
Bước dẫn trong văn phạm Œ trên V* được xác định bởi quan hệ hai ngôi >:
a= Ø8 với œ= €ựn; Ø8 — €Ụn; @ —> Ủ CD; a,0,6,n,tj € VŠ
Còn =>” và =* là bao đóng truyền ứng và bao đóng phản xạ truyền ứng của >
Định nghĩa 2 Ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm cấu trúc - câu Œ là tập:
L(G) = {w € S*|o =* wh
Dinh nghĩa 3 Giả sử Ở là lớp các văn phạm
Lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các văn phạm thuộc Ở là tập:
L(G) = {L(G)|G € G}
Trên cơ sở định nghĩa văn phạm cấu trúc - câu, N Chomsky đã đưa ra sự phân loại van phạm như sau:
Văn phạm loại 0
Văn pham cấu trúc - câu được gọi là văn pham loại 0, nếu mọi quy tắc trong P đều có đạng @ — với ¿,t € V* và không có sự hạn chế và ràng buộc nào
Văn phạm loại 0 còn được gọi là văn phạm ngữ cấu
Ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm loại 0 được gọi là ngôn ngữ ngữ cấu
Lớp các văn phạm loại o, ký hiệu bởi đ„, được là tập các văn phạm loại 0
Lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các văn phạm loại 0, được ký hiệu bởi £(đ,), là tập các ngôn ngữ ngữ cấu
Văn phạm loại 1
Văn pham cấu trúc - câu được gọi là văn pham loại 1, nếu mọi quy tắc trong P đều có
dang @ — với |ự| < lú|¡ ø, € V”
Văn phạm loại 1 còn được gọi là văn phạm cảm ngữ cảnh
Ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm loại 1 được gọi là ngôn ngữ cảm ngữ cảnh
Lớp các văn phạm loại 1, ký hiệu bởi G1, la tap cdc van pham loại 1
Lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các văn phạm loại 1, được ký hiệu bởi £(G), là tập các ngôn ngữ cảm ngữ cảnh
Văn phạm loại 2
Văn pham cấu trúc - câu được gọi là văn pham loại 2, nếu mọi quy tắc trong P đều có đạng A —> œ với AÁ€ N,œc VT
Văn phạm loại 2 còn được gọi là văn phạm phi ngữ cảnh
Ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm loại 2 được gọi là ngôn ngữ phi ngữ cảnh
Lớp các văn phạm loại 2, được ký hiệu bởi đa, là tập các văn phạm loại 2
Lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các văn phạm loại 2, được ký hiệu bởi £(đ;), là tập các ngôn ngữ phi ngữ cảnh
Trang 3DO HINH TONG QUAT VA MOI QUAN HE 303
Van pham loai 3
Văn phạm cấu trúc - câu được gọi là văn phạm loại 3, nếu mọi quy tắc trong P thuộc một trong hai dạng sau:
i) A> aB, ii) A> a, véi A,BEN,ae®
Van phạm loại 3 còn được gọi là văn phạm chính quy
Ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm loại 3 được gọi là ngôn ngữ chính quy
Lớp các văn phạm loại 3, được ký hiệu bởi Ớa, là tập các văn phạm loại 3
Lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các văn phạm loại 3, được ký hiệu bởi £(Ga), là tập các ngôn ngữ chính quy
Lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các văn phạm tương ứng với sự phân loại trên thỏa mãn bao hàm thức sau:
L(G3) C £(đa) C £(đG) C £(6,)
2.2 Sự tương đương giữa các ôtômat và các văn phạm cấu trúc - câu (|4,9, 10, 11]) Định nghĩa 4 Ta nói rằng ôtômat 4 và văn phạm Œ là tương đương nếu L(4) = L(G)
Định lý 1
i) Dot véi mdy Turing bất kỳ luôn vâu dựng được ăn phạm ngữ cấu tương đương tới
nó
H) Đối oới ăn phạm ngữ cấu bất kỳ luôn vâu dựng được máu Turing tương đương tới
⁄
no
Dinh ly 2
1) Đối oới ôtômat tuyến tính giới nội bất kỳ luôn âu dựng được ăn phạm cảm ngữ cảnh tương đương uớt nó
ii) Dot uới van pham cảm ngữ cảnh bất kỳ luôn sâu dựng được ôtômat tuyến tính giới nội tương đương ớt nó
Định lý 3
1) Đối tới ôtômat dấu xuống bất kỳ luôn xâu dựng được ăn phạm phì ngữ cảnh tương đương ớt nó
1) Đối uới uăn phạm phí ngữ cảnh bất kỳ luôn xâu dựng dược ôtômat dấu xuống tương đương ớt nó
Định lý 4
1) Đối uới ôtômal hữu hạn bất kỳ luôn sâu dựng được ăn phạm chính quụ tương đương tới nó
ii) Đối uới uăn phạm chính quụ bất kỳ luôn xâu dựng dược ôtômat hữu hạn tương đương vei No
Từ các định lý trên và từ sự phân loại văn phạm, sự phần lớp ôtômat [4] ta có định lý sau:
Dinh lý 5 Lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các ăn phạm logi ¿ trùng oới lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi các ôtômat loại ¿ uới ¿ = 0,1,2,3
Trang 43 DO HINH TONG QUAT VA NGÔN NGỮ ĐƯỢC XÁC ĐỊNH BỞI ĐỒ HÌNH TỐNG QUÁT
Định nghĩa 5 Đồ hình tổng quát, hay gọn hơn, đồ hình là một bộ mười:
D= (UN, dN 3T; 3m) W, V, 1, H, vo, vp), trong đó:
1) Uy, Uy 1a cdc tap hiru hạn các ký hiệu không kết thúc và có quan hệ như sau:
Đối với mỗi A4 € 3» luôn xác định được A4 € 3„/ sao cho Á— 4 = e, ngược lại, đối với mỗi 4 € Đ„„ luôn xác định được A4 € 3w sao cho AT ÁA= £ và )wy f3 „y = Ú
2) 3m, S„ là các tập hữu hạn các ký hiệu kết thúc và có quan hệ như sau:
Đối với mỗi a € 3+ luôn xác định được a— € 3 sao cho ø_ø = £, ngược lại đối với mỗi a” € Yip luôn xác định được a € Mp sao choa~a=« và
“Urn up =O, 1 3z = 03 03p = ›
Ư = 3y U 3r là tập hỗn hợp các ký hiệu cia Nay va Vy,
Ư— =3 yU 3 là tập hồn hợp các ký hiệu của 3J„y và 3,
Ủy là tập con hữu hạn của *
3) W là tập con hữu hạn của (U)*(U—)* và được gọi là tập các xâu ghép tiếp
4) V là tập các đỉnh
5) E là tập các cung
6) H={f,g,h, hn, hr, hv, hp} la tap cdc phép ánh xa va dong cấu được xác định như sau: 6.1) f lA 4nh xa tir tap (U UU )* vao tap (U UU )*
6.2) g la Anh xa tir tap (U UU )* vao tap cdc tap con hitu han cia (U UU )* va c6 tinh chất sau: ø(£) = va e € g(w) khi va chi khiw =e
6.3) h la song Anh tir tap U* vao tap (U~)* va cé tinh chat sau: doi véi mdi w € * luôn xác dinh diroc h(w) = w~ € (U~)*, sao cho ww = £,
h~! là ánh xạ ngược của h và có tính chất sau: đối với mỗi œ—~ € (U_)* luén xdc định duoc h7!(w7) = w € U*, sao cho ww = £,
6.4) hy la phép dong cau trén tap (Ly UN), UNp UN Z)*, sao cho
hy(a) = ‘: với mọi œ € (4ì ~U =);
a với mọi ø € (3y U 3)
6.5) hạ là phép đồng cấu trên tập (3w J3» U 3U 3-)*, sao cho
œ với mọi œ€ (33 ~U‡£)}, hy(a) = £ với mọi œ€ (5w Uy 3„)Š Mo —
6.6) hy la song ánh từ tập W vào tập Ủy và được gọi là hàm gán nhãn đỉnh, h~!V là ánh xạ ngược của hự
6.7) hg la song anh từ tập vào tập W và được gọi là hàm gan nhãn cung, h1 là ánh xạ ngược của hy
Trang 5PDO HINH TONG QUAT VA MOI QUAN HE 305
7) v9 € V 1a dinh ban dau véi nhan hy(v) = op
8) vy € V la dinh két thic véi nhãn hự(ør) = K và thỏa mãn điều kiện ?€ — £
Để hình thức hóa việc hoạt động của đồ hình tổng quát 2—~ ta có khái niệm phần ghi nhớ
Phần ghi nhớđược ký hiệu bởi 6, là một xâu thuộc (ƑU)* và được ghi tại các đỉnh
của đồ hình tổng quát (ta quy ước phần đầu của ¿ được bố trí trên băng làm việc Ep 6
bên phải còn phần cuối của được bố trí trên băng làm việc =p ở bên trái)
Phần ghi nhớ được gọi là phần ghi nhớ rút gọn nếu sau khi biến đổi trên băng làm việc
=p phần ghi nhớ đó chỉ gồm các ký hiệu thuộc tap U
Giả sử tại đỉnh ò € V của đồ hình tổng quát D ta có:
— *ỢÙ:
to =@ = 0h):
hy(v) = 9 € g(u)
Khi đó tại đỉnh zˆ € V, phần ghi nhớ và nhãn của đỉnh v’ duoc xac dinh nhu sau:
w= f(u,w) = flagy, ve) = ape @ụ 3 bu, hự(0) = ý € g(H)
Cung e với nhãn + nối từ đỉnh œ với phần ghi nhớ ¿ tới đỉnh œˆ với phần ghi nhớ được
biếu diễn như sau:
và duoc viet bdi (v, w)w(v’, w’)
Đường II do dai n trong đồ hình tổng quát D di tir dinh vp véi phan ghi nhé po téi dinh
Un V6i phan ghi nhé p,, 1a day liên tiếp các cung €1, €2, ., 6, sao cho đỉnh cuối cia cung e; 1a
đỉnh đầu của cung e;4; voi l <i<n-1
Nhãn À của đường II trong đồ hình tổng quát được xác định bởi
hp(©1€©a €y) — 0102 tUy
Độ dài của đường II được ký hiệu bởi |HỈ
Đường II trong đồ hình tổng quát được biểu diễn như sau:
Họ Ly hạ H; at Le,
trong đó:
tị — 10 — UIWg:
tu — vip; vớI 2 Š ? S1,
ko — Wo,
ta — ƒ(H—1, 0v) = fai, 2@¿ ) với 1 <i <n,
Trang 6hy (vo) = hwo ) = wo € g(Ho),
hy (ui) —= h (4) = vist € g(a) VIL <i<n-l,
hy (Un) = Prti € g(Hn),
và được viết bởi (0o, “o)À(0„, “„) với nhãn À = wywe Wp
Khi đó — (u;_ 1, 6;) là phần ghi nhớ với 1 < ¿ <ø — 1 có thể được xác định như sau:
Li = O(wo, wi, , wi) Vi 1 <i <n—1,n lA dod dai cha duéng I trong đồ hình tổng quát D,@" là hàm được xác định trên tich Décac (U UU )* x W x x W (n lần) và thỏa mãn các điều kiện sau:
O'(w) =w veiw €(UUU)*, O'(w, wy, ., wi) = f(O Mw, wi, ., Wi_1), wi) Voiw € (UUU)*,wp EW, 1<ic<n
Đường trong đồ hình tổng quát D được gọi là đường đơn nếu đường đó đi qua mỗi cung không quá một lần
Đường trong đồ hình tổng quát 2 được gọi là chu trình nếu đường đó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh
Chu trình trong đồ hình tổng quát 2 được gọi là chu trình đơn nếu chu trình đó đi qua mỗi cung không quá một lần
Đường TT trong đồ hình tổng quát D được gọi là đường đầy đủ với nhãn À nếu đường đó
đi từ đỉnh ban đầu øọ với phần ghi nhớ ban dau øo tới đỉnh kết thúc vy vi phan ghi nhớ kết thúc wy và được viết như sau:
(vo, Mo)A(vs, Lf),
trong đó:
Họ — ỚD,
tạ — Ÿ(đp,1ị, tị) với 1 S2 <n — 1,
tự — Ú?(Øp, tị, , tạ)
Dãy Mp = (Họ, tỊ, , "ạ) được gọi là dãy ghi nhớ trong đồ hình tổng quát với độ dài
|Mp| =i, 1<i<n-l
Day ghi nhé Mp duoc goi la day ghi nhớ kết thúc nếu phần ghi nhớ kết thúc, ký hiệu boi wp, théa man các điều kiện sau:
hn (tp) =€,
hr(up) € Up
Day ghi nhé Mp được gọi là dãy ghi nhé day du néu wo = op, hn(uy) = £ và
hr(uf) € Lip
Khi dé Mp = (uo, f1,-.-, wf) 1a day ghi nhé day đủ của đường đầy đủ II trong đồ hình tổng quát D với phần ghi nhớ kết thúc wy cd tinh chat sau:
hn (tp) =€,
hr(Mr) = œ € 3T.
Trang 7DO HINH TONG QUAT VA MOI QUAN HE 307
Day Mp = (Mo, tì, , Mn) được gọi là day ghi nhớ rút gọn trong đồ hình tổng quát nếu /; là phần ghi nhớ rút gon v6i0 <i <n
Day ghi nhé Mp duoc goi la day ghi nhớ kết thúc rút gọn nếu Äp là dãy ghi nhớ rút gọn với phần ghi nhớ kết thúc uy € 3Š
Day ghi nhé Mp duoc gọi là dãy ghi nhớ đầy đủ rút gọn nếu ÄA⁄p là dãy ghi nhớ rút gọn với to — Øp Và Mr € 3P
Khi dé Mp = (po, p11, ., wp) 1a day ghi nhé đầy đủ rút gọn của đường đầy du II trong
do hinh tong quat D cé tinh chat sau:
ạ € Un U 3T)"
tự — WwW © Up
Như vậy œ là xâu được xác định bởi đường đầy đủ II trong đồ hình tổng quát D Nhận xét 1
- Do En, Uy, Ur, Up, Uv, W là các tập hữu hạn nên tập các đỉnh W và tập các cung #7 cũng là hữu hạn Vì vậy đồ hình tổng quát 2 được xem như là đồ thị hữu hạn có hướng được gán nhãn và tại các đỉnh có các phần ghi nhớ
- Đường đầy đủ II trong đồ hình tổng quát D với nhãn A duoc cấu thành từ đường đầy
đủ đơn và các chu trình đơn (nếu có)
- Phần ghi nhớ kết thúc ø¿ trong dãy ghi nhớ đầy đủ rút gọn Ä/p là xâu gồm các ký hiệu kết thúc và xem như là xâu được xác định bởi đường đầy đủ trong đồ hình tổng quát D Định nghĩa 6 Ngôn ngữ được xác định bởi đồ hình tổng quát 7? là tập:
L(D) = {w € te — hr(uy), hw (up) — ; (0o; Họ)À(0£, Hự)}:
4 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA ĐỒ HÌNH TỔNG QUÁT
VÀ VĂN PHẠM CẤU TRÚC - CÂU
Bổ đề 1 Đối uới đồ hình tổng quát D luôn tổn tại uăn phạm cấu trúc - câu Œ, sao cho L(G) = L(D)
Chitng minh Gia stt D = (Un, “yy, Ur, Up, W, V, Ey H, vo, vg) 1a dO hinh tong quat
Văn phạm cấu trúc - cau G = (N,3, P,ø) được xác định như sau:
N=Xn,
“= hr,
Ø =ơp,ơp là nhãn của đỉnh ban đầu vp,
P là tập các quy tắc có dạng sau:
p=h (eo ) => =— Ú với tủ = œ@— €W,
Ta can chitng minh L(G) = L(D)
Truéc tién ta can chttng minh bao ham thite L(D) C L(G)
Xét xâu bất kỳ khác rỗng œ € L(D)
Do w € L(D) nén ton tại đường đầy đủ II trong đồ hình tổng quát với nhãn À —= W1W2 Wpy va day ghi nhé đầy du rit gon Mp = (uo, tị, , ty), sao cho pf = w
Trang 8Đường đầy đủ II trong đồ hình tổng quát được biểu diễn như sau:
Vo Ww vy W) Y2 Y, Viel Wi Vn
Họ Hị LL, Hị Hoy Hạ
trong đó:
tị — Việt — UiØp,
tu — ¡@, VỚI 2 SŠ? Šn,
tio = (oD) = op,
i; =O (op, wi, ,wi) Voil <i<n-l,
Mt = (en, A);
hy (vo) = h-"(ap) = oD € g(t),
hy (vi) = (ei) = = Ø¡‡i © g(t) VOI 1 <S?¿<n — ],
hy (vy) = K và thỏa mãn điều kiện # — «
Khi đó ta có:
Ø =Øp,
Đìị = h "(đ—) ¬ tị =ø —ỤI,
Di =h (0) — Úi = ir Vi với 2 Š Ì Šm,
(œ0 — Họ — ØD — oO,
(@¿ — Hạ VỚI Ì S2? <mn— Ì,
Wn — Mf,
va dan xuat day du B = (wo,w, ,W,) trong van pham cau tric - cau G véi xau két thúc
= pop —w Suy raw € L(G) Vay L(D) C L(G)
Ngược lại, ta cần chứng mình bao hàm thite L(G) C L(D)
Xét xâu bất kỳ khác rỗng œ € L(G) Dow € L(G) nén ton tai day cdc quy tac pj, pa, ., Pn
và dẫn xuất đầy đủ ÖỞ = (œ0, œ, ,œ„) trong văn phạm cấu trúc - câu G sao cho wy, = w,
trong đó:
(0 —= Ø,
Đì — Ø — wh,
Đị — @¡ —> Ú¡ VỚI 2 S ? S n
Khi đó ta có:
Øb =Ø,
wi = vih(op) = Yep;
wi = wih(¢:) = wig; voi2<i<cn,
Họ — 0 — Ø —=Øp,
Hạ — (¿ VỚI | S ? Sm — Ì,
Mf — Wn;
vo =h !V(op) voi op € g(0o),
v5 = AV (piv) voi pins € g(t), LS ign,
vp =h'V(K) va théa man diéu kién K = «,
Trang 9PDO HINH TONG QUAT VA MOI QUAN HE 309
va duong day du II trong đồ hình tổng quát với nhãn À — +01a +0„ được biểu diễn như
Sau:
Suy ra dãy ghi nhớ đầy đủ rút gọn Äfp = (Họ, tì, , 6y) của đường đầy đủ II với phần ghi nhớ két thiic py = wp = w € L(D) Vay L(G) C L(D) Két luan L(G) = L(D) Bổ đề đã
Bổ đề 2 Đối tới uăn phạm cấu trúc - câu Œ luôn tổn tai đồ hành tổng quát D, sao cho
L(D) = L(G)
Chứng minh Chứng mình L(D) = L(G) tương tự như ở bổ đề trên Từ Bổ đề 1 và Bổ đề
Định lý 6 Lớp các ngôn ngữ dược xác tịnh bởi các đồ hành tổng quát trùng oới lớp các ngôn ngữ dược sinh bởi các ăn phạm cấu trúc - câu
Nhận xét 2
- Nhãn của đỉnh ban đầu trong đồ hình tổng quát là ký hiệu ban đầu của văn phạm cấu trúc - câu và nhãn của các đỉnh trong đồ hình tổng quát chính là vế trái của các quy tắc trong văn phạm cấu trúc - câu
- Dãy ghi nhớ đầy đủ rút gọn trong đồ hình tổng quát chính là dẫn xuất đầy đủ trong
văn phạm cấu trúc - câu
- Tập các đường đầy đủ trong đồ hình tổng quát và tập các dẫn xuất đầy đủ trong văn
phạm cấu trúc - câu tương ứng có sự tương ứng 1-1
5 SỰ PHÂN LOẠI ĐỒ HÌNH TỔNG QUÁT
Trên cơ sở định nghĩa đồ hình tổng quát và dựa trên đặc điểm của tập các xâu ghép tiếp
ta có thể phân đồ hình tổng quát thành bốn loại:
Đồ hình tổng quát loại 0
Đồ hình tổng quát 2 được gọi là đồ hình tổng quát loại 0, nếu mỗi xâu ghép tiếp có dạng œ— và không có sự hạn chế, ràng buộc nào
Lớp các đồ hình tổng quát loại 0, được ký hiệu bởi 7, là tập các đồ hình tổng quát loại
Lớp các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 0, được ký hiệu bởi L(Dp), la tap các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 0
Đồ hình tổng quát loại 1
Đồ hình tổng quát 2 được gọi là đồ hình tổng quát loại 1, nếu mỗi xâu ghép tiếp có dạng
ve voile |<Whe €(U”)*, € U”
Lớp các đồ hình tổng quát loại 1, được ký hiệu bởi 7? là tập các đồ hình tổng quát loại
Trang 10Lớp các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 1, ký hiệu bởi £(7) là tập các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 1
Đồ hình tổng quát loại 2
Đồ hình tổng quát D được gọi là đồ hình tổng quát loại 2, nếu mỗi xâu ghép tiếp có dạng œAˆ với AW € My vaa € U*.~
Lớp các đồ hình tổng quát loại 2, được ký hiệu bởi 7s là tập các đồ hình tổng quát loại
Lớp các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 2, ký hiệu bởi £(Ø2) là tập các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 2
Đồ hình tổng quát loại 3
Đồ hình tổng quát được gọi là đồ hình tổng quát loại 3, nếu mỗi xâu ghép tiếp có một trong hai dạng sau:
i) aBA,
ii) aA’,
voi AW edi, BE Uy vaa € Uy
Lớp các đồ hình tong quát loại 3, được ký hiệu bởi 72s là tập các đồ hình tổng quát loại
Lớp các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 3, được ký hiệu bởi £(D3)
là tập các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát loại 3
Lớp các ngôn ngữ được xác định bởi các đồ hình tổng quát tương ứng với sự phân loại trên thỏa mãn bao hàm thức sau:
L£(D3) C £¿('2) Cc £(11) Cc L(Do)
Dựa trên định nghĩa văn phạm cấu trúc - câu, đồ hình tổng quát và từ sự phân loại văn phạm cấu trúc - câu, sự phân loại đồ hình tổng quát, ta có nhận xét sau:
Nhận xét 3
Đặc điểm của tập các xâu ghép tiếp trong các đồ hình tổng quát loại 0, đồ hình tổng quát loại 1, đồ hình tổng quát loại 2, đồ hình tổng quát loại 3 giống đặc diểm của tập các quy tắc trong các văn phạm loại 0, văn phạm loại 1, văn phạm loại 2, vấn phạm loại 3 và sự phân loại đồ hình tổng quát hoàn toàn giống sự phan loai van pham duoc dira ra béi N Chomsky
Từ Nhận xét 3 và Định lý 6 hiển nhiên ta có định lý sau:
Định lý 7 Lớp các ngôn ngữ dược ác định bởi các đồ hành tống quát loại ¿ trùng oới lớp các ngôn ngữ được sinh bởi các »ến phạm loại ¿ ới ¿ = 0,1,2,3
Định lý 8 Cac khang định sau đâu là tương đương:
(1) £¿ = £(đ,) là lớp các ngôn ngữ dược sinh bởi cdc van pham loai ?;
(2) £¡ = £A,) là lớp các ngôn ngữ được doán nhận bởi các 6témat loại ?;
(3) Ø¡ = £(Ð,) là lớp các ngôn ngữ được ác định bởi các đồ hành tổng quát loại ¡ tới
¿=0,1,2,3
Chúng mình
() Từ Định lý ð ta có: (2) được suy ra từ (1) và ngược lại (1) được suy ra từ (2)