THCS ARCHIMEDES ACADEMY TỔ TOÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 06 Toán 9 (Năm học 2017 – 2018) Ngày thi 21 – 4 – 2018 Thời gian 120 phút Câu I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = 7x x và B = 2 1 2 3 93 3 x x x x xx x (với x > 0; x ≠ 9) 1 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 2 Rút gọn biểu thức B 3 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A + 1 B Câu II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình Một ô tô đi từ A đến B dài 260km, sau khi ô tô đi được 120km với vận tốc.
Trang 1THCS ARCHIMEDES ACADEMY
TỔ TOÁN
ĐỀ THI THỬ LẦN 06 Toán 9 (Năm học 2017 – 2018) Ngày thi: 21 – 4 – 2018 Thời gian: 120 phút Câu I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức
A = x 7
x
9
x
(với x > 0; x ≠ 9)
1 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16
2 Rút gọn biểu thức B
3 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A + 1
B
Câu II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình
Một ô tô đi từ A đến B dài 260km, sau khi ô tô đi được 120km với vận tốc dự định thì tăng vận tốc thêm 10km/h trên đoạn đường còn lại Tính vận tốc dự định của ô tô, biết xe đến B sớm hơn thời gian dự định 20 phút
Câu III (2,0 điểm) 1 Cho hệ phương trình 2 3
1
x my
(m là tham số) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) sao cho x, y là các số nguyên
2 Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –2mx – 4m (m là tham số)
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Giả sử x1, x2 là hoành độ của A và B Tìm m để |x1| + |x2| = 3
Câu IV (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính BC
(AB > AC) Từ A kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt tia BC tại M Kẻ dây AD vuông góc với BC tại H
1 Chứng minh rằng: Tứ giác AMDO nội tiếp
2 Giả sử ABC = 300 Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AC và cung AC nhỏ theo R
3 Kẻ AN vuông góc với BD (N thuộc BD), gọi E là trung điểm của AN, F là giao điểm thứ hai của BE với (O), P là giao điểm của AN và BC, Q là giao điểm của AF và BC
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp
b) Chứng minh BH2 = BP.BQ
4 Từ F kẻ đường thẳng song song với BC cắt AD và AM lần lượt tại I và K Chứng minh rằng: F là trung điểm của IK
Câu V (0,5 điểm) Cho hai số thực dương x, y Thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + 2xy – 2y2 + 2y + 2019
… ……….……….Hết……….………
Trang 2Hướng dẫn chấm môn Toán 9
Đề thi thử lần 06 (21-04-18)
I
2đ
1
0,5đ
Ta có x = 16 (thỏa mãn điều kiện) Thay vào biểu thức A ta được
A = 16 7 23
4 16
0,25
0,25
2
1,0đ
Rút gọn B Với x > 0, x ≠ 9
=
x x x x x x
x x
=
3
3
x
x x
0,5
0,25
0,25
3
0,5đ
Ta có P = A + 1
B =
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương x và 4, ta được
x 4 2 x.4 4 x
P ≥ 5 x
x = 5 Dấu “=” xảy ra x = 4 (TM)
Vậy Pmin = 5 x = 4
0,25
0,25
II
2,0đ
Đổi 20 phút = 1
3 (h) Gọi vận tốc ban đầu của xe ô tô là x (x > 0, đ/vị: km/h) 0,25 Thời gian xe đi hết quãng đường AB với vận tốc ban đầu là 260
x (h) 0,25 Thời gian xe đi 120km với vận tốc ban đầu là 120
Vận tốc sau khi tăng là x + 10 (km/h) 0,25 Thời gian xe đi 140km với vận tốc tăng là 140
x (h)
0,25
Vì xe B đến sớm hơn 20 phút, nên ta có phương trình
260 1 120 140
140 140 1
10 3
x x
0,25
60 (TM) 2
10 4200 0
70 (Loai)
x
x
Vậy vận tốc ban đầu của xe ô tô là 60 km/h 0,25
Trang 3III 1 Tìm điều kiện của m … 1,0
Hệ phương trình (1) 2 3 (1)
1 (2)
x my
Từ (1) và (2), ta có (2 – m)y = 2 (3)
0,25
Để hệ (I) có nghiệm duy nhất thì (3) có nghiệm duy nhất
Khi đó y = 2
2 m Thay y vào (1), ta có x = 2 3
2
m m
Vậy khi m ≠ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
2 3 2 2 2
m x
m y
m
0,25
Ta có
2
3 2
2 2 2
x
m y
m
Suy ra m để x và y thì
2
2 - m U(2)= ±1; ±2
2 - m
Vậy nghiệm m 0; 1; 3; 4 thỏa mãn yêu cầu bài ra 0,25
Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 + 2mx + 4m = 0 (1)
Ta có ’ = m(m – 4)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
0,25
Vậy 4
0
m m
thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
0,25
2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt … 0,5
Với x1, x2 là hai hoành độ của A và B
Theo định lý Vi-ét ta có:
2
1 2 4
1 2
x x m
x x m
Trang 4Ta có |x1| + |x2| = 3 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2|x1x2| = 9
+) Với m < 0 thì (*) 4m2 – 16m – 9 = 0
1
m = - (chon) 2
m = 4,5 (loai)
+) Với m > 4 thì (*) 4m2 – 9 = 0
3
m =
2 (KTMDK) 3
m = -2
Vậy m = 1
2
3,5đ
0,25
1
0,75đ
Ta có AOD cân tại O (vì OA = OD = R)
OH là trung trực của AD (định lý)
OAM90 (tính chất tiếp tuyến) Trong AOD cân, đường cao OH là phân giác
AOM = DOM Xét OAM và DOM
Có OA = OD = R, AOM = DOM (cmt), OM chung
OAM và DOM (c – g – c)
OAM = ODM 90 Xét tứ giác OAMD có
OAM + ODM 180
Mà hai góc OAM, ODM ở vị trí đối nhau
t.g OAMD nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)
0,25
0,25 0,25
2
1,0đ
Ta có AOC = 2.ABC 60 (hệ quả góc nội tiếp) Diện tích của hình quạt AOC là
2
S = πR =
0,25
Trang 5Diện tích tam giác AOC là: S2 = R2 3
4 Diện tích hình viên phân
S = S1 – S2 = πR2 - R2 3 = R2 2π - 3 3
0,25
0,25
0,25
3
a)
0,5đ
Ta có EH là đường trung bình của AND (định nghĩa)
EH // ND EHA = BDA (đồng vị) Xét (O) có BDA = BFA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )
EHA = EFA =BDA Xét tứ giác AEHF có EHA = EFA (cmt)
Mà hai góc này ở vị trí kề nhau cùng nhìn cạnh AE
AEHF nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)
0,25
0,25
Xét BEH và BHF có
EBH chung
BHE = BFE (cùng phụ với AHE = AFE )
BEH BHF (g – g)
BH = BE.BF (*)
Ta lại có AEF = BEN (hai góc đối đỉnh) (1) AEF = AHF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF) (2) AHF = AQH (cùng phụ với góc FHQ) (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra BEP = BQF Xét BPE và BFQ có
EBP chung
BEP = BQF (cmt)
BEP BQF (g – g)
BE = BP BE.BF = BP.BQ
Từ (*) và (**), suy ra BH2 = BP.BQ
0,25
0,25
4
0,5đ
Vì IK // BC (gt) AIF = 90 o Xét AIF và BNE có
AIF = BNE = 90
IAF = EBN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DF)
AIF BNE (g – g)
IF = AI
NE BN (4) Xét IAK và NBA có
AIK = ANB = 90
IAK = ABD (=1
2 sđ
AD )
IAK NBA (g – g)
AI = IK
BN NA (5)
0,25
Trang 6Từ (4) và (5) IF = IK IF = NE
Mà NE = 1 IF = 1 IK = 2IF
NA 2 IK 2
V
0,5đ
Từ giả thiết suy ra
b c
a a ,
b2 = 69 – 2a2 – c2 ≤ 69 – 2.22 – 52 = 36 b ≤ 6,
c2 = 69 – 2a2 – b2 ≤ 69 – 2.22 – 52 = 36 c ≤ 6,
Từ đó, ta có (a – 4)(a – 2) ≤ 0 a2 ≤ 6a – 8 2a2 ≤ 12a – 16, (b – 6)(b – 5) ≤ 0 b2 ≤ 11b – 30
(c – 6)(c – 5) ≤ 0 c2 ≤ 11c – 30 Suy ra
69 = 2a2 + b2 + c2 ≤ 12a + 11b + 11c – 76 = (12a + 13b + 11c) – 2b – 76
= (12a + 13b + 11c) – 10 – 76 = P – 86
Từ đó, ta có P ≥ 155
Dấu “=” xảy ra a = 2, b = 5, c = 6 Vậy GTNN của P là 155 a = 2, b = 5, c = 6
0,25
0,25
Lưu ý:
- Điểm toàn bài để lẻ đến 0,25 điểm
- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài 4, thí sinh vẽ hình sai trong phạm vi của câu nào thì không tính điểm của câu đó
