CHỦ ĐỀ 1 CÔNG THỨC LŨY THỪA I KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1 Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ nguyên dương Cho và Khi đó (n thừa số a) Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho và Ta có Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương Chú ý và không có nghĩa 2 Căn bậc n Cho số thực b và số nguyên dương Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu Khi n lẻ, Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là Khi n chẵn và thì không tồn tại căn bậc.
Trang 1CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA
I KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên dương
Cho a∈¡ và *
n∈¥ Khi đó n
a =a a a a (n thừa số a).
Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0
Cho a∈¡ \ 0{ } và n∈¥ Ta có: * n 1 ; 0 1
n
a
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương
Chú ý: 0 và 0 0−n(n∈¥ không có nghĩa.*)
2 Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n≥2
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n =b
Khi n lẻ, b∈¡ : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b
Khi n chẵn và b<0 thì không tồn tại căn bậc n của số b.
Khi n chẵn và b=0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là 0 0 n = .
Khi n chẵn và b>0 có 2 căn bậc n của số thực b là n b và −n b
3 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho số thực a>0 và số hữu tỷ r m
n
= , trong đó m∈¢; n∈¥, n≥2 Khi đó r m n n m
a =a = a .
4 Lũy thừa với số mũ vô tỷ
Giả sử a là một số dương và α là một số vô tỷ và ( )r là một dãy số hữu tỷ sao cho lim n n r n α
→+∞ = Khi đó lim r n
II TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho hai số dương a; b và ; m n∈¡ Khi đó ta có các công thức sau.
1 a a m n =a m n+
m
a
3 ( )m n m n.
a =a
n
a = a = a
2 a b n n =( )ab n,n a b.n =n ab
n
n
= ÷ =
Tính chất 1: a0 =1(a≠0) và a1=a
Trang 2 Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 1;
> > ⇔ >
< < > ⇔ <
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a b> >0 thì 0
0
m
> ⇔ >
< ⇔ <
Ví dụ 1: Cho biểu thức P= x x.3 2 x3 , với x>0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A P x= 1312. B P x= 1324. C P x= 136 . D P x= 138 .
Lời giải
P= x x x = x x x = x x = x x = x =x Chọn A.
Ví dụ 2: Biết rằng 3 2 n
x x x =x với x>0 Tìm n.
3
3
n= D n=3
Lời giải
x x x =x x x =x x =x x =x + =x Chọn C.
Ví dụ 3: Cho biểu thức 3 2 3
.k
P= x x x , với x>0 Biết rằng P x= 2324, giá trị của k bằng:
Lời giải
Ta có: P= x x.3 2.k x3 =x2423 ⇒x x.3 2.k x3 =x2312 ⇔ 3 x2.k x3 =x1211
3
x x =x ⇔ x =x − ⇔x =x ⇔ =k Chọn D.
Ví dụ 4: Cho biểu thức ( )1 3
1 3
P
a
+
+
= , với a>0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a
a
Lời giải
P
a
+
Ví dụ 5: Cho biểu thức 3 4
m
P
= = ÷ với ; a b>0 Tìm m.
24
12
12
24
m= −
Trang 3Lời giải
Đặt x a b x 1
b a
−
= ⇒ = Khi đó 3 4 1 3 4 1 1 3 4 1 3 1 3 7 7
−
−
Do đó
7 24
24
Ví dụ 6: Cho biểu thức với
7 1
a b Q ab
= a b; >0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b
Lời giải
Ta có:
( )
a b a b a b
Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức Q= x x.3 2 6 x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ
Lời giải
Ta có: Q= x x.3 2 6 x = x x x .23 16 =x x56 16 =x Chọn C.
Ví dụ 8: Cho biểu thức 3 4 2 3
P= x x x với x>0 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A P x= 56. B P x= 23. C P x= 85. D P x= 34.
Lời giải
Ta có:
1 1
P x x x x x x x x x x
Chọn C.
Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức ( )
2
3
a a b b T
a b a b
= với a, b là hai số thực dương.
T =a b B 6 6
T =a b D 6 4
T =a b
Lời giải
2
6 4
a a b b a a b b a b
a b a b
Ví dụ 10: Biết rằng
2
2
9
a
b
x x
x = với x>1và a b+ =3 Tính giá trị của biểu thức P a b= −
Trang 4A P=1 B P=3 C P=2 D P=4.
Lời giải
2
1
3
a
x
a b b
x
a b x
>
−
Ví dụ 11: Cho ,x y>0 Biết rằng 4 3
3
x = và 2
3 2
1
y = Tính m n− .
Lời giải
Ta có:
1
4
1
6
Lại có:
3 2
6
y
−
−
Do đó: m n− = −2 Chọn D.
Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức ( ) (2018 )2019
5 2 6 5 2 6
A P= +5 2 6 B P= −5 2 6 C P= −10 4 6 D P= +10 4 6
Lời giải
Ta có: (5 2 6 5 2 6+ )( − ) =25 24 1− = .
Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức ( ) (2019 )2018
3 2 2 3 2 4
3 2 2 2+ . D (3 2 2+ ).
Lời giải
3 2 4− = 2 3 2 2− ⇒M = +3 2 2 2 3 2 2−
2
3 2 2 3 2 2+ − = −3 2 2 = − =9 8 1 nên ( ) (2018 )2018
3 2 2+ 3 2 2− =1
3 2 2 2
Ví dụ 14: Cho 2x =5 Giá trị của biểu thức T =4x+ 1+22 −x bằng:
A 504
104
104
504
25 .
Lời giải
Trang 5Ví dụ 15: Cho 4x+4−x=34 Tính giá trị của biểu thức 2 21 13
T
−
=
4
11
11
T = −
13
T =
Lời giải
4x+4−x =34⇔2 x+ +2 2− x =36⇔ 2x+2−x =36⇔2x+2−x =6 (Do 2x+2−x >0) Khi đó: T =1 2 2(6 3−x 2−x) =1 2.63 =11−3
−
Ví dụ 16: Cho hàm số f x( ) =9x9x3
+ , với ,a b∈¡ và a b+ =1 Tính T = f a( )+ f b( )
Lời giải
9
1
9
9
a
T = f a + f b = f a + f − =a + − − = +
1
Tổng quát: Cho hàm số ( ) x x
a
f x
= + ta có f x( ) + f (1− =x) 1
Ví dụ 17: Cho hàm số f x( ) = 4x4x2
+
S = f + f + + f + f
3
2
S=
Lời giải
Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số ( ) x x
a
f x
= + ta có f x( ) + f (1− =x) 1
S=f + f + f + f + +f + f + f
1 1 1 1 1002
f
= + + + + = + = Chọn B.
Q
Lời giải
Trang 6Ta có: ( ) (2 )2
x+ + x− + x+ − x− = x+ x − + x− x − = x
Và ( x+ −1 x−1 1) ( x+ +1 x− = + − + =1) x 1 x 1 2
2
Q
Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức
4
T
A T = 4 a B T =4b C T = 4 a+4b D T = −4b
Lời giải
Ví dụ 20: Cho a, b là hai số thực khác 0 Biết rằng 2 4 ( ) 2
3 10 3
1
625 125
a ab
a
b .
A 76
4
76
3 .
Lời giải
2 2
3
1
125
a ab
+
÷
3
, 0
21
b
≠
6 3 3 3
9 9 14,
a b
−
−
a
b là phân số tối giản) Tính P ab=
Lời giải
9x+9−x= 3x+3−x − =2 14⇒ +3x 3−x =4
45
Trang 7BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho 0< ≠a 1 và biểu thức a a được viết dưới dạng 3 a Tìm n n
A 11
6
3
3
6
n=
Câu 2: Cho biết Q= a2.3a4 với a>0, a≠1 Khẳng định nào đúng?
A Q a= 53. B Q a= 73. C Q a= 74. D Q a= 116 .
Câu 3: Cho 0< ≠a 1 Rút gọn ( )3 4
3
a P
a a
P a= B P a= 172 . C
23 2
7 2
P a= .
Câu 4: Rút gọn biểu thức với
1
6 3
x x x P
x
= với x>0
A P x= 54. B P x= 11260 . C P x= 1318. D P x= 21160 .
Câu 5: Với x>0, hãy rút gọn biểu thức P= x x x x x x: 169 .
A P x= 325 . B
13 32
9 48
1 32
P x= .
Câu 6: Biết
2
2
16
a
b
x
x
x = với x>1 và a b+ =2 Tính giá trị của biểu thức M = −a b
Câu 7: Cho ,a b>0, viết a23 a về dạng a và x 3b b b về dạng b Tính y T =6x+12y
12
6
T =
Câu 8: Giá trị của biểu thức ( ) (2016 )2016
3− 3
Câu 9: Cho a là một số dương, biểu thức a23 a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
7 6
4 3
6 7
a
Câu 10: Viết biểu thức Q= x x x.3 6 5 với x>0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
A Q x= 23. B
5 3
5 2
7 3
Q x= .
Câu 11: Cho số thực a dương Rút gọn biểu thức 5 4 3
P= a a a a .
Trang 8A P a= 141 . B P a= 1201 . C P a= 1140. D P a= 1360.
Câu 12: Viết biểu thức A= a a a a: 116 với a>0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
A A a= 4421. B A a= −121 . C A a= 2324. D A a= −2324.
Câu 13: Biết 5 3
m
b a a
a b b
= ÷ với a, b là các số thực dương Tìm m.
15
15
5
15
m= −
5 3
a a a
a
= > dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Câu 15: Cho a, b là hai số thực dương Thu gọn biểu thức
a b T
ab
−
A T a2
b
a
b
=
Câu 16: Với a>0 thì biểu thức
( )
7 1 2 7
2 2
2 2
a a P
a
+
−
= được rút gọn là:
Câu 17: Cho x>0,y>0 Viết biểu thức x45.6 x5 x =x m và
4 5 6
y y y = y Tính m n− .
A 11
8 5
6
5.
Câu 18: Cho 5x =2 Tính A=25x+52−x
A 13
2
2
2
A= D A=29
6 3 3 3
9 9 14,
a b
−
−
a
b là phân số tối giản) Tính P ab=
Câu 20: Cho a, b là các số thực thỏa 3.2 a +2b =7 2 và 5.2a−2b =9 2 Tính S a b= +
Câu 21: Cho hàm số f x( ) = 2x2x2
f + f + + f + f
A 59
19
28
3 .
Trang 9Câu 22: Giá trị của biểu thức ( ) (2018 )2018
A ( )1009
3
3
3
16 2 8+
Câu 23: Viết biểu thức 5 3 2 5 3( )
P= x x x x> dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
A P x= 6130. B
117 30
113 30
83 30
P x= .
Trang 10LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:
a a a a a a
= ÷ = ÷ =
Câu 2:
Q a a a a
= ÷ = ÷ =
Câu 3:
7 2
a
a
−
Câu 4:
5
4
x x x x
x x x x = x x x x = x x x
Câu 6: x16 =x a2−b2 =x2(a b− ) ⇒ − =a b 8 Chọn C.
Câu 7:
3
a a a a x b b b b b b b b
Chọn C.
Câu 8: ( )( ) 2016 ( )2016
1008
Câu 9: a23 a a a= 23 12 =a76 Chọn B.
Câu 10: Q x x x= 12 .13 56 =x53 Chọn B.
4 5
P a a a a a a a a a
Chọn C.
Câu 12:
A a a a a a a a a a a a−
Chọn D.
Câu 13: Ta có
5
3
2
15
m
m
= ÷ ÷= = ⇒ = −
Câu 14: Ta có
4 5
5 5
6
a a a
a
Trang 11Câu 15:
b
−
Câu 16:
3 5 2
a
a−
= = Chọn A.
Câu 18: ( )2 25 33
5
x x
b
Câu 20: Ta có:
3
1
2
a
b
a b
=
=
Chọn B.
a b f a f b
+ +
Lưu ý: 1 19 2 ( )0 ( )1 9.1 59
10 10+ = ⇒ =P f + f + = 6 Chọn A.
Câu 22: ( ) (2018 )2018 2018
Câu 23: P x x x= 52 .23 35 =x11330 Chọn C.