Giáo án bồi dưỡng toán 10

Trang 1

CHUYEN DE BOI DƯỠNG TOÁN 10 TG:Phạm Ngọc Phượng

A Tính chất luỹ thừa bậc hai:

Ngay từ lớp 7 học sinh đã biết nhận xét về dẫu của một số có luỹ thừa chẵn nam

được tính chất của luỹ thừa bậc hai

«Bình phương hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm”

Dấu “=” xảy ra khi a = 0

Lớp 8 học sinh đã được làm quen với hằng đẳng thức:

(A - BỶ = Aˆ—-2AB + Bˆ

Nếu sử dụng tính chất (*) thì

Việc khai thác và sử dụng sáng tạo bất đăng thức (I) giúp học sinh rèn luyện tư

duy và hình thành phương pháp chứng minh cũng như cách thức để hình thành bất đắng thức mới từ bất đăng thức đã biết

Từ bất đắng thức (D):

(a-b)>0«>a?+b?>2ab—> |? 2

(a+b) L1 4ab (HD

ở cả 3 BĐT (J), (, (HI) dẫu “=” xảy ra khi a = b

B Khai thác tính chất luỹ thừa bậc hai

I/.Khai thac bat dang thire (1): (a — b)’> 0

Từ bắt đắng thức (J) ta có thê đôi biến đặt A = ay; B = bx khi đó (J) trở thành: (ay-bx)“>0 Va,b,x,y

Xx

Dau “=” xy ra khi ay = bx © › =—

y

Khai triển và biến đổi: a?vˆ — 2axby + b’x” >0

= a’y’ + b’x? > 2axby

= a’y’ + b’x? +a°x* + b’y’ > a’x? + 2axby + b’*y”

<> (a +b°)(x’ +y’) 2 (ax + by)”

Như vậy ta có bài toán:

1.Bai toan 1:

Chứng minh răng : (a” + b*)(x’ + y”) > (ax + by)

1

Trang 2

(Bất đắng thức Bunhiacôpxki cho 2 bộ số a, b, và x, y)

Để khắc sâu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ chứng minh bài toán bằng nhiều cách

- Phương pháp 1: Dung dinh nghia: A>B@ A-B>0

+ Lap higu A -B

+ Chứng tỏ A— B>0

+ Kết luận A > B

+ Cach 1: Xéthiéu: (a? +b*)(x* + y’) — (ax + by)’

= ax’ +a’y’ + b*x’ + b’y’ - a’x”- b’*y” — 2axby

= a?y? - 2axby + b^x?

= (ay-bx) >0 luôn đúng V a, b, x, y

Vay (a” + b*)(x* + y’) 2 (ax + by)’

Xx

Dau “=” xay ra khi “=”

by

- Phương pháp 2: Phép biến đỗi tương đương

+ Biến đối A >B © A¡ > Bị © A;> Bạ© © (*)

+ Vay A>B

+ Cach2:Tacé (a*+b’)(x’ + y’) > (ax + by)’

<> ax’ t+a’y’ + b’x?+ b’y’> a’x*+ 2aby + b’y’

& a’y’-2axby + b’x’ > 0

= (ay—bx)> 0 luôn đúng V a, b, x, y

Dau “=” xay ra khi “s.*

b y

Bắt đắng thức cuối cùng là đúng

Vậy (aˆ + b)(x” + y’) 2 (ax + by)”

- Phương pháp 3 : Sử dụng bất đăng thức đã biết

+ Cách 3: Tacó_ (ay- bx)” >0

= (a° + b°)(x’ +’) > (ax + by)’

- Phương pháp 4 : Phương pháp phản chứng

+ Giả sử có điêu trái với kêt luận

Trang 3

+ Suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc điều đã biết

+ Giả sử sai — kết luận đúng

+ Cách 4: Giả sử (a? + b?)(x? + y?) < (ax + by)’

c© a“y— 2aybx + bx”< 0

= (ay - bx)’ <0 Vély Vay (a° + b’)(x" + y’) 2 (ax + by)”

Bốn phương pháp trên thể hiện trong 4 cách giải bài toán 1 1a 4 phuong phap

thông thường để chứng minh bất đăng thức

Khai thác tiếp tục bất đẳng thức (1) ta có:

(ay - bx) >0

(az - cx)? >0 => (ay - bx)’ + (az - cx)’ + (cy - bz)’ >0 (cy - bz)’ >0

Khai triển, chuyển về cộng vào 2 về BĐT : aˆx” + by” + c”zˆ ta được:

a7x?+a?y7+a7z”+b“x”+bˆ?y7+b2z”+c7x”+cˆy”+c”z?>a?x?+bˆy”+c”z”+2axby+2axcz+2bycz

2.Bài toán 2 :

CMR : (aˆ + b” + c^2(x7 + yˆ +z”) > (ax + by +cz)”

( BĐT BunhlacôpxklI cho 2 bộ 3 s6 a, b, c va x, y, Z)

Giai Xét hiệu : (aˆ + b“ + ec2(x” + yˆ + Z) - (ax + by +z)’

=a7x”+a^y7+a7z”+bˆ°x”+bˆy“+bˆz”+c7x”+c^y7+c7z- a“x”- b’y*- cˆz”-2abxy-2acxz-2bcyz

=(aˆyˆ-2abxy+bˆx”)+(a7z”—2acxz+cˆx”)+(bˆz”-2bcyz+ cˆy”)

=(ay - bx)“+ (az - ex)“+ (cy - bz)” >0

Dấu “=” xảy ra khi 2_.5_£

x yp Z

Bằng cách làm tương tự ta có thê phát triển bài toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát:

(a7) + a2; + + a 2)(X”1 + x'; + + x”n) > (ayxy + a¿X; + + axa )Ÿ

A 2 - a a a

Dau “=” xay rakhi += = =—

xX, X x

Đề ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = l (x= 1 )

a

Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán:

3

Trang 4

3.Bài toán 3:

Cho ba số a, b, c là 3 số dương

Chứng minh răng: (a + b + c)( “+7 +2) >9

a c

Giai Theo bai toan 2 (BDT Bunhiacépxki):

(atb+o)( +7 +2 )2 (lab er)

11.1

©(a+b+c)(T—+—+—)>3/=9

abe

Dau “=” xảy ra khi a =b = c

Từ bất đăng thức (x+ y+ Z- ¬ - _>9

y

Đặta +b—X:b+e—Y:c+a —Zb được BĐT:

1 1 1

c©œ(-#Z+-? + ° +3)>9

b+c atc b+a 2

Bài toán tìm được:

4.Bài toán 4:

Cho a, b, c là 3 số dương CMR: -—“—+ bạ c v3

b+c a+c b+a 2

GIải

áp dụng bài toán 2 tacó:

(atb+c+b+c+a)( Pyty )\>(Va+b Tap OM ES = + Ve+a ———

©2(a+b+e)(—L-+-L+- lo

o> (4-42 -4+_© 43) 39

b+c atc b+a 2

Ta tiếp tục khai thác bài toán 4 theo 2 bước sau:

- Bước 1 : Nhân 2 về của (1) với a+b+c > 0

Trang 5

(a+b+e)\(—L + + Í >Š(@+b+e)

- Bước 2 : Khai triên rút gọn về trái sau đó chuyên về ta được:

2 b 2 4 co 2 sat b+e

b+c atc b+a- 2

a

Đây là nội dung cua bai toan 5

5.Bai toan 5 :

Cho a, b, c là 3 số dương

CMR: 2+ 4 ¢ + atbte

"b+c a+c b+a 2

Chứng minh bài toán 5 ta có thể dẫn từ bài toán 1 theo hướng khai thác để đi đến

kết quả Nhưng ta có thể giải độc lập như sau:

- Phương pháp I: ấp dụng bất đăng thức bài toán 2

CE) t£C 31 c—— (Vo +e )°+ (Va+e + (Va+b)7]

>(—2 b+ +—P— +c +——— Vat

a7 2 2

©2(a+b+e)( +? + )>(a+b+e#

b+c atc b+t+a

- Phương pháp 2: áp dụng bẫt đăng thức Cô sĩ

2

C4 b+a >e

Vậy -“—+ br 4 o> atbte (cộng theo vê 3 BĐT trên )

b+c c+a b+a -

Ta tiến hành khai thác bài toán 5 bằng cách:

+Trang bị thêm cho bài toán 5 diéu kién : abe = 1

+ áp dụng BĐT Cô sỉ cho 3 số dương :

a+b+ec>3Äabe = 3x1 =3

6.Bai toan 6:

Trang 6

Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn : abc = ]

CMR 2 +? 4 ¢ >3 (2)

Giai

Theo bai toan 5

Xem xét bài toán 6 ta nhận thấy:

+ Nếu đặt a=1:p=i.c=l =abc=_L =1

Khi đó : x+y=l+il= 2+9 — c(a+b)

Tương tự: y+z=a(b+c)

z + x= b(c + a)

Do đó BĐT (2) © a(b+c) Blatc) c(a+b) — 2 IV 3

7.Bài toán 7:

Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn : xyz = 1

xw+z) yÌ(z+x) w(xty)” 2

Giai

Taco : x+y = c(atb)

y+z = a(b+c)

Trang 7

Z+x = b(cta)

x(y+z) y(z+x) z(x+y) b+c c+a b+a 2

Như vậy từ tính chất về luỹ thừa bậc hai ta đã khai thác được chùm 7 bài toán từ

dễ đến khó hoặc rất khó mặt khác cũng rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh

1I/.Khai thác bắt đẳng thức II + oso

a

Dat › =x>0 thì BL + Ta có ngay bài toán:

a x

8 Bai toan 8:

Cho số dương x

Chứng minh rằng: x + 1> 2

XxX

Khai thác bài toán 8 ta thấy: x TS 1

Xx

Do đó nếu ta dùng 4 số dương a, b, c, d thoả mãn : abcd=1

Khi đó:ab=-L (cd=1)

d ab

c

Ta khám phá được bài toán mới:

9 Bài toán 9:

Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd=]

CMR: ab + cd > 2 (hoặc ac + bd > 2; ad + bc > 2)

(Chứng minh bắt đắng thức này chỉ cần đưa về bài toán 8 bằng cách dùng điều

kién abcd=1)

Lai co: a7 + b*>2ab 3c? +d? >2cd

Do dé : a? +b? +¢7 +d? > 2ab + 2cd

Lién két véi bai todn 9 ta cé: a2 +b? +c? +d’ > 2(ab + cđ) > 4

10 Bai toan 10:

Cho a, b, c, đ là 4 số dương thoả mãn abcd=1

CMR: : aˆ+ bˆ+c?+ >4

Tiếp tục liên kết bài toán 9 và 10 ta có:

11 Bai toan 11:

Trang 8

Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd=1

CMR: : a? + bˆ + c7? + dˆ + ab + cd + ac + bđ> 10

Gial

Tir diéu kién a b, c, d> 0 va abcd=1

Ta c6::ab = ; ad = i : ca = -—

Do do: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd)

=(cd+ +)+ (be + 1) + (bd + +) >2+2+2 =6 (Bài toán 9)

Ma a* + b* +c? + d?>4 (bai todn 10)

> a&+b?+c%?+d+ab+cdt+ac+bd> 10

Dau “=” xảy ra khi a=b =c = d

Vây từ bất đăng thức (II) ta khai thác thành 1 chùm 4 BĐT (8§-> 11)

II Khai thác bất đẳng thức II: (a + b)? > 4ab Va, b

Là bất đẳng thức đưa ra mối quan hệ của bình phương1tông với tích cuả chúng

Đề khai thác BDT (IID) ta thêm điều kiện a,b là 2 số đương

Chia 2 về của (II) cho ab(a + b) ta được:

a+b > > 4 c 1 _+> 1 4

12 Bai toan 12:

Cho a,b là 2 số dương

Chứng minh rằng: 1,1 > 4

a 5b a+b

Giai Xét hiệu 1,1_ 4 _ aa+j)+b(a+b)-4ab _ (a—b)2 >

Vậy "+ 2> 4

a b a+b

Dau “=” xay ra khi a=b

Khai thác bài toán 12 tương tự như cách khai thác bài toán 1

] 4

=

a+b

+ — c+đ >4

b

1 4

1

a

4

cta

Do đó nếu cộng theo về của 3 BĐT trên ta được:

+ ->

8

Trang 9

CHUYEN DE BOI DUONG TOAN 10

13 Bài toán l3:

Cho a, b, c là 3 số dương

CMR: + + < —(—+ —+

‘a+b bte c+a 2a eb

Giai Theo bài toán 12:

Lei a+b 4

<-(-+ -

4t 2

— + —

b+c

Pe Ly

Cộng theo về của 3 BĐT trên:

Dau “=” xay ra khi a=b=c

Khai thác bài toán 13 bằng cách :

+ Data=x+y; b=y+z;c=z+x

a x+y 4 °x y

^ x yer 1 1 1 _

+ Thêm điêu kiện : —+ — + — =4

x y Z

Ta hình thành bài toán 14 là một BĐT đã là một bài thi đại học khối A năm 2005 Điều

này càng chứng tỏ việc học sinh năm chắc kiên thức ngay từ lớp dưới là vô cùng quan

trọng

14 Bài toán 14:

Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: 1 +

x

_2x+y+z x+2y+z x+y+2z

(Đại học khối A — năm 2005)

TG:Pham Ngoc Phuong

*)

c

1 1

Trang 10

GIải

- Cách 1

2x+y+z (x+y)+(x+z) 4 x+y y+z l6 x py z 2

Tương tự:

x+2y+z l6 x y Zz Z

x+ty+2z 16 x y Zz Z

Céng theo vé 3 BDT trén:

2x+y+zZ x+2y+zZ x+y+2z 16 x yy 2

x y 2

2x+y+z x+2y+zZ x+y+2z

Dấu “=” xay ra Khi x=y=2= 7

- Cach 2:

2x+y+z 2x+(y+z) 4 2x y+z 8x 16 y Zz 8x l6y 16z

Tuong tu:

1 < 1.1, 1

x+2y+z 16x §y 16z

1 < t,t ,1

xty+2z 16x l6y 8z

Cộng theo về các BĐT:

1 + Ị + Ị < 1 1 + 1 + tye]

2xty+z x+2y+zZ x+y+2z 4x jy 2

Khai thác bài toán 14 bằng cách đặt vào tam giác ta có:

15 Bài toán 15:

Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi

CMR: ab + bc + ac < Pp

a+b+2c 2a+b+c c+2b+c 2

Giải

áp dụng bài toán 12

10

Trang 11

Ta có: ab— _„ ab < 1 4) + ab )

a+2b+c 4 b+a a+b

Cộng theo vê của 3 BĐT ta được:

—(at+bt+c)= —.2p= =

2p

Dấu “=” xảy ra khi Ä ABC đều có a = b =c = 3

Tiép tục khai thác bải toán trong tam giác về mối quan hệ giữa cạnh của tam giác và chu

VI cua no ta co:

16 Bai toan 16

Trong A ABC cé chu via+ b +c = 2p (a, b, c 1a d6 dai 3 canh )

CMR:_-L +! +! >x2(1+ 1+1)

Pa p-DB p-C a bee

Giải Nhận xét :p -a= “TT Ê - = ?†€~# >0(vìb+ec>a bất đẳng thức tam giác ) Tương tự: p-b>0;p-c>0

Mặt khác :p-a +p-b = 2p-a-b=c

p-b+p-c=a

p-c+tp-a=b

Do đó ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức bài toán 12 như sau:

"

p-b p-c a

p-c p-a_ b

Cộng theo về của bất đẳng thức ta có :

- >2 (+ +34 1)

p-a p-b p-c a 6b c

Dau “=' xảy ra khi Ä ABC đều

11

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	2,14 MB