Ngoài ra ta còn dùng định lí về số nghiệm của đa thức để chứng minh hai đa thức bằng nhau.. Tìm tắt cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại một đa thức bậc n, hệ số nguyên ƒ x uới hệ số
Trang 1ms As £ ^ 4 a ^ MOT SO BAI TOAN VE DA THUC MOT BIEN
Vi du 1 Cho hai da thite P (x) va Q(x) déu c6 nghiệm thực uà thỏa mãn
P(1+x+ Q(x?) =Q(1+2+P 0")
Chitng minh rang P(x) = Q(x)
Để so sánh đồng nhất thức, ta dựa vào định nghĩa sau:
Hai đa thức
f(x)
3 akx", g(x) =) bpx*
bằng nhau khi nà chỉ khi m =n từ ai = bị rồi mọi ¡ =1yn
Ngoài ra ta còn dùng định lí về số nghiệm của đa thức để chứng minh hai đa thức bằng nhau Cụ thể:
Cho hai đa thức P,Q € By có n = maxideg(P),deg(Q)) Nếu đa thức P&œ)~Q(œ)
có ít nhất n +1 nghiệm phân biệt thì Pœ) =Q@) vdi moi x
Lời giải Ta chứng minh tồn tại œ để P(œ)= (4)
Gọi a,b lần lượt là nghiệm P(z) và Q() Ta có
Pay’ = Qa)? <0 < P(by - Q(by”
Ma P(x)? Q(x) 1a ham lién tue nén tén tai e sao cho P(c)” = Q(c)”
Dat a =14+c+Q(c)?=1+c+P(c)* thi ta cd P(a)=Q(a)
Xét day (xn): x0 = @,xns1 = 1+2n+Qlan)’, ta có dãy (x„) là dãy tăng thực sự và đều là
Vi du 2 Xác định đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn
P((x+ 1)7%9) = (P(x) + 8x + 11 — (x + 1)?" va PO) =0
Lời giải Dễ thấy P (+) không là đa thức hằng
Dat Q(x) = P(x) +x, ta cd
Q((x+ 19792) = Q(x) + 2x4 1)1,
xo =@(0)=0
Xét day 86 (xn): 1, = + x_)28
'Ta có
Q ler) = Q ((1 + x0)"") = (Q(exo) + 2x0 + 192016 = 1 = x}
Gia sit Q (xn) = 22, ta có
2 “P5 = lay + 192019
Q6x¿) = (Gạ + ĐẺ9) = (Q(n) + 2xạ + 1016 = (xổ + 2x, + 1)” =
Do đó Q(x„) = xã với mọi n = 1,2, Ma day (xp) là dãy tăng thực sự nên ta có Q(z
Trang 2Vi du 3 Cho hai đa thức P(x), (+) có hệ số cao nhất bằng 1 uà thỏa mãn
Pữ@œ))=9(96))
Chitng minh rang P(x) = Q(x)
Lai gidi Dat R(x) =P (x)- Q(x), gia sử deg(R) =k, 0< <n—1
Ta có
PPR)— QQ) =P PH) -Q PO) +QPH)— QQ) = QP) -~ QQ) +R(P@) (A
Giả sử deg(P) = deg(Q)=n, deg(R)=k,0<k<n-1va
Q(x) =x" tana” 1+ tayxtao
nod P(x)" - Q(x)" =R(w) ( » Pov.aar | 4 nén da thite Q (P(x))—Q (Q(x)) c6 bac bang n?-n +k
Mặt khác đa thức R(P(@)) có bậc nk và nk < n*~n +k nên về trái của (1) có bậc bằng n2~n +Èk Nhưng về phải của (1) là đa thức không Điều này dẫn tới mâu thuẫn
Do đó deg(R) =0 hay R (+) =e
Khi dé P(x) =Q(x) +e nén P (P(x) = Q (Q(x) tré thanh
Q(Q(x) +0) +e =Q(Q(x))
Suy ra tồn tại vô số giá trị của y dé: Q(y +0) +e = Q(y) hay Q(x +e) +e = Q(x) vdi moi x 'Từ đây, suy ra c= 0 hay R(x) =0 Vx
Bai tap 1 (19/411) Cho hai da thiic hé 6 thue P(x) va Q(x) théa man
P(1+x+Q(x)+ Q(x) =Q(1+x+P(x)+P%x), YrER
Chitng minh rang néu phuong trinh P(x) = Q(x) c6 nghiệm thi P (x)= Q(x)
Ví dụ 4 Cho đa thức hé s6 thuc P(x) théa man P(sinx) = P (cosx) vdi moi x Chiing minh rằng tôn tại đa thức Q(x) hệ số thực sao cho
P(x) =Q(x4=2)
Các phương pháp thương sử dụng trong bài toán chứng minh tồn tại
Trang 3+ Phản chứng
* Quy nap
+ Xây dựng
Lời giải Vì cos(—x) = cosx và sin(—x) = — sinx nên ta có P(sinx) = P(—sinx)
Dẫn tới P(~x) = P(x) voi moi x hay P(x) = R(x)
Suy ra
R (cos*x) = R (sin?x) > R(1-x) = R(x)
Đặt T@œ) = RŒœ+ > > R@)=Tx- >, ta có:
hay
T(-x)=T (x)
Do d6 T(x) = S (x?) Vậy
P@œ=R(x a(x s]=S(*'~+°+1]=9t#= 2)
Oo
9 Tìm tắt cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại một đa thức bậc n, hệ số nguyên ƒ (x) uới hệ số khỏi đầu dương uà đa thức hệ số nguyên g(+) thỏa mãn
xf@)Ÿ + ƒœ) = (xŸ~ +) g()”
Bài tập 8 Cho đa thức P(x) thỏa mãn P(x) >0 Vx Chứng mình rằng tôn tại hai đa thức
A(x),B(x) sao cho
P(x) = A(x)? + Bex?
Bai tap 4 (An Độ TST 2015) Cho hai da thite /,g có hệ số nguyên và hệ số cao nhất là
số thực dương Biết deg(/) là số lẻ và
{ro aczÌ = tzA)lacz)
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên È sao cho g(z) = ƒ (x + È)
Bài tập ð Cho dãy vô hạn các số nguyên po,p,:::pn,-:: và một đa thức hệ số nguyên
P(x) théa man déng thời hai tính chất sau
i) m~n|pm — pạ Với mọi n >m >0
Trang 4ii) [pal <P(n) voi moi neN
Chứng minh rằng tồn tại đa thức hệ số nguyên Q() sao cho Q(n) = py Vi moi n EN
Vi dụ 5 (Slovenia MO 2014) Tim tát cả các đa thức hệ số thực P (+) thôa mãn
x2+x+1)P@)
vdi moi xER
Lời giải Nếu P(x) là đa thức hằng thì ta có P(x) =0
Xét deg(P) =n > 1, gid sit P(x) =
ajx' véi an #0
0 deg(P (P(x) =n, deg ((x? +x + 1)P(x)) =n +2
2
Suy ran? =n+2=n=2 Do đó P(x) =ax*+bx+c,a40
Đồng nhất hệ số ta tìm được a = b = 1,c = 0 Do vay P(x) =x" +x n
Ví dụ 6 (T9/416) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) thoa man
P(2)=12
lơ =+(x2+1)P(), VxeR
Lời giải Đặt deg¿P) = n Từ hệ thức P(x?) = x?
n=4
Từ (1, suy ra P(+)ix( + 1), suy ra P (x°)
Suy ra P()=ax2(x+ 1)(x— 1)
Do P(9) = 13 nên ta tìm được a =1
Vay P(x)=x*
(x? +1)P (x) (1) ta c6 3n =n +4, suy ra
va khi cho x = 1 ta dude P(1)=0
x4—x? la da thtte cần tìm
Vi du 7 Tim da thite Pe Z biét
Ta có P(x?) có hệ số bậc cao nhất bằng a„ và qirenr có hệ số của bậc cao nhất bằng
1 (an, 32
Ferran”
Do dé, tae
Ang? = a = m
Vì an €Z nên ø =0,1,9
n=05PW)=C, tac C= F006 =0,0=16
1 +)n=1>P() ax+b ax? +b = 7(2ax+by => b= 0,0 4= P(x) =4e
Z
Hn=2>Paas*+betesst thst +e= TF [ds +2be +e} b 0
Suy ra P(x) =x
Vay P(x) = 0,P(x) = 16,P(x) = 4x, P(x) =x? 1a cdc hàm cần tìm
Trang 5Ví dụ 8 Tìm đa thức P c Rị„ị biết
P(x?) = [P@)P
Lai gidi Ta thay néu P = C thi C =0 hoặc C =1
Xét P không là đa thức hẳng Khi đó, ta dat P(x) = 3, anx",a, #0, ai CR
So sánh hệ số cao nhất của hai đa thức P(x2) và re)? ta có a„ = 1
So sánh hệ số tự do của hai đa thức trên ta 6 ay =a? = ag = 0 hoặc ao = 1
+) aọ =1, ta có hệ số của x trong [P(x)l? bằng 2a¡
Còn P (xŸ) là đa thức bậc chẵn nên ta có 9ø =0 + a1 =0
Giả sử a¿ với 3 < < n— 1 là chỉ số thỏa a; # 0 và a¡ =0, Vi =2,8, ,k — 1
Khi d6 P(x)=x" + tagx* +1
Suy ra P(x?) =x?"+ +ajx”È + 1 và
[PP =(x2" + + ape! +1)
So sánh hệ số của xÈ trong hai da thức trên ta c6 2a, =0> a, =0
Do đó Pœ)=z” +1, ta thấy đa thức này không thỏa bài toán
+) ag = 0 > P(x) = x Q(x), Q(0) £0
Néu Q(x) khéng là đa thức hằng thi tit P(x”) =[P(+)Ÿ ta có Q(x”) = Q(x) = Q(x) không tồn
tai
Chú ý: Xét phương trình hàm đa thức
Nghiệm của phuong trinh (1) c6 mét sé tinh chat thú uị sau:
Tinh cht 1: Néu P,Q la hai nghiém cia (1) thi P.Q eting la nghiém ctia (I) Tit d6, suy
ra nếu P là nghiệm của (1) thì P" cũng là nghiệm của (1)
Tinh chat 2: Nếu deg(ƒ) + deg(g) = deg(h) uà thỏa mãn một trong hai tính chất sau
1) deg(ƒ) # deg(g)
ii) deg(ƒ) = deg(g) uà ar +a„ # 0 uối ar, a„ tương ứng là hệ số cao nhất của ƒ uà g thì uới mỗi số nguyên dương n,tồn tại nhiều nhất một đa thức P(z) bậc n thỏa mãn (1)
Vi dụ 9 Tìm đa thức Pe Rị„j thỏa mãn
P(x).P(2x?) = P(2x* +x)
Lời giải Ta thấy các điều kiện của định lí 2 đều thỏa mãn Bằng cách thử trực tiếp ta thấy :
+) Voi P(x)
+) Voi Pw
+6 thi ta khéng tim duge a,b
x2 +bx + thì ta tìm duge a
Trang 6
Suy ra P@œ) = (+ + 1" là nghiệm của phương trình đã cho Đo đó nếu P(+) là đa thức bậc
chan thi P(x) =(x? +1)"
Xét P(+)là đa thức bậc lẻ Ta chứng minh không tồn tại đa thức bậc lẻ thỏa phương trình
đã cho
That vay, nếu tồn tại đa thức như thế thì P(+) sẽ có ít nhất
nghiệm đó là ø Khi đó, ta xét dãy (xa) :xu = #,x„+1 = 2x3 +n với n < 0 Ta có P(x„) = 0 với
lột nghiệm thực, ta gọi
mọi n
+) Nếu ø >0 thì ta có dãy (x„) là dãy tăng thực sự, suy ra P(x) =0 có vô số nghiệm Điều
này vô lí
+) Nếu ø<0 thì dãy (x„) là dãy giảm thực sự nên ta cũng suy ra điều vô lí
Do dé a=0, suy ra P(x) =x” Q(x) voi Q(0) 4 0
'TThay vào phương trình ban đâu ta có
2x?! Q(x)Q(232) = (9x2 + 1)"Q(2x) + x)
Cho x=0 ta có @(0) = 0 (vô l0
Vi dụ 10 (HOM ngay 1, 2013) Tim da thitc P(x) hé s6 thute thỏa
P(x).P(x—3) = P(x?) Vee R
Lời giải + Néu P(x) =k, tit gia thiét ta co kK? =k oh =0,k=1
+ Xét deg(P) > 1 Goi a nghiém phtte ciia da thtte P(x)
Tit P(a®) = P(a).P(a-3) =0 nén a? cing 1a nghiém cia P(x)
Bằng quy nạp ta chứng minh được
đều là nghiệm của P()
Vì nghiệm của P(+) là hữu hạn nên
Mặt khée P((a+3)?) = Pa +3).P(a) = 0 nên ta cũng có được dãy
(œ+8)3,(a +8)?”, (ø +8)?”,
là nghiệm của P() Suy ra
'Tuy nhiên rằng không có số phức nào thỏa mãn đồng thời (1) và (2)
Vay P(x) =0, P(x)
Vi du 11 Tim tat cd cde da thie P(x) hé 86 thuc sao cho vdi moi a,b,c thoa a+b+c=0
thi
Trang 7Lồi giải Không mắt tính tổng quát, ta giả sử P (0) = 0
Trong (1), chọn ø =x,b =~z,e = 0 ta có
P(x*) +P (-x°) =0 = P(x) =-P(-x) vr
Trong (1), chon a= b = x,c = -2x ta 06
2P (x*) — P(8x°) = -3P (2x°) Hay
Gia sit P(x) = Ỷ apxÈ*, n > 1,a„ #0 So sánh hệ số x” trong (2) ta thu được: =
2an — ay.8" =—3.an.2" & 243.2" =8" =n =1
Vay P(x)=ax+b vdia,beR
a
Ví dụ 12 Tìm tất cả các đa thức ƒ(z) có hệ số nguyên và f(a)+ f(b) + f(c) chia hết cho
a+b + với mọi số nguyên a,b,e
Lời giải Với mọi số nguyên m,n ta có ƒứm)~ ƒ(n)‡m — n
Suy ra ƒ(a)~ ƒ (—(b +e)):a+b +e, mà ƒ(a)+ ƒ(È)+ ƒ(e)a+b+e
Nên ta có được ƒ(b) + ƒ(e)+ ƒ(~(b + e)jia + +e với mọi a,b,c
Cho alớn tùy ý ta có ƒ(b)+ ƒ()=~ƒ —(b +©))
Cho e=ö ta có 2ƒ(b)=—ƒ 80) (1) Gia sit f(x) =anx" + tax tao
So sánh hệ số của x" trong hai về của (1) ta được:
9a„b" = ~a„(—9)"b" = a =—(—9)" = n = 1
Hon nữa, cũng từ (1) ta có ƒ(0) =0 nên suy ra ƒ(+) =Èx,È € Z
Kiểm tra lại dễ thấy ƒ +) = kx, ke Z thỏa bài toán
Vậy ƒ(œ)=kx, ke Z là đa thức cần tìm
a
Ví dụ 18 (TST EGMO 2014) Gọi d(n) là ưóc nguyên tố nhỏ nhất của số nguyên n €
(0,—1,1) Xác định tắt cả các đa thức hệ số nguyên P(x) thỏa mãn
uới mọi số nguyên n > 2014 uà P (n) £ {0,~—1,1)
Lời giải Xét deg(P) =n >2 và p là số nguyên tố, ta có:
P(p+d(p))= p+d(P(p) © P(2p)= p +d (P(p)) Suy ra
P(2p) IP(3p)|< p+|P'
Trang 8Khi cho p — +oo thì V742) — 2" và VP(2) — 1 Điều này vô lí, do đó deg(P) < 1
+) deg(P) = 1 Đặt P(x) =ax + b, cho x= p ta có
2ap +b =p+d(P(p)) 2 (2a-1)p+b=d(ap +b)
Với p đủ lồn, ta có 2a~ 1>0 = ø > 1 Nhưng, khi đó
(3a~1)p+b>ap+b>d(ap+b)
Nên ta có ø = 1 và d(w)+ö = dứa + b) (3)
Nếu b >0, khi đó với ø = 2! ~ b ta có V7(8) > 3 > VP(8) =2 vô lí
Nếu b<0, ta chọn ø =2° ta có V7(8)< 1< 2< VP(8) vô lí
Do dé b =0 hay P(x)=x
+) deg(P) =0, ta có P(x)=C, C¢ {0,-1,1}
n
Bai tập 6 (VMO 2006) Hãy xác định tắt cả các đa thức P(w) uói hệ số thực, thoả mãn
hệ thức sau:
P(x?) +x(8P (x) +P(-x)) = (Pa) vdi mọi số thực x
Bai tap 7 (Hy Lap TST 2014) Tìm tát cả các đa thức hệ số thực P (x) thỏa mãn
P(x)’ + 8P(x)? = P (x3) -3P(-x) (1)
vdi moi xeR
Bai tap 8 (Hy Lap MO 2014) Tim tat ca cdc da thitc hé sé thuc P(x) théa man
(x? = 6x + 8)P(x) = (x? + 20)P(x-2) tới mọi x
Bài tập 9 Tìm đa thức hệ số nguyên P () thỏa mãn
vdi moi xR Trong dé P" (x) =P (P( P(x)))
Bai tap 10 Tim da thite hé sé thue P(x) thôa mãn
(P(a) + P(b))(P(©) + P(d)) = Plac + bd) + P(ad ~ be) @) vdi moi a,b,c,d ER
Bài tập 11 Cho đa thức P(@) = aux" +a,sx"”L+ +aix+ao có bậc n > 1 uà các hệ số không âm Biết P(4) =9,P 46) =8 uà P(8)=4 Xác định đa thúc P œ)
Bài tập 12 (T9/421) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(z) thỏa mãn
P?q@)—1=4P(x?~ 4x + 1)
Trang 9Bài tập 18 (Canada MO 2013) Tìm đa thức P(x) thỏa mãn đa thức
Œœ+1PŒœ~1)~œ~1)PGœ)
là đa thức hằng
Bài tập 14 Tìm tắt cả các đa thức hệ số thực P (+) thỏa mãn
với mọi a,b,e c thỏa mãn ab +be+ca =0
Bai tap 15 (TMO 2004) Tìm tắt cả các đa thức hệ số thực P(+) thỏa mãn
P(a~b)+P(b~e)+P(e=a)=8P(a+b+e) với mọi số thực a,b,e thỏa mãn ab + be + ca =0
Bài tập 16 (Albanian BMO TST 2009) Tìm các đa thức P(x) có bậc không vượt quá
n, các hệ số thực không âm và thỏa mãn
P(x) (2) <P với mọi x > 0
Bài tập 17 (Thái Lan MO 2014) Tìm tắt cả các đa thức hệ số nguyên P (z) sao cho
P(n)|2557" +213 x 2014,
với mọi œ €IN*
Bài tập 18 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :