Tạp chí Toán học tuổi thơ 2 kỳ số 179

TTT2 so 179 in phim pdf

*

7

= bt]

79) | 179

NĂM HỌC 2017 - 2018

Giá: 10000đ

Những nhân vật, những tác giả của Toán Tuổi thơ

ane bao VU KIM THUY

ThS Vũ Kim Thủy sinh ngày 06.05.1956, qué

tại Nam Quan (nay thuộc Nam Lợi), Nam Trực,

Nam Định Đạt giải Nhất học sinh giỏi Thành phố các năm lớp 1, 2, 4, 7 (cuối cấp 2), giải Nhì tỉnh Nam Hà năm lớp 4 (cuối cấp 1), tham gia đội

tuyển của tỉnh thi học sinh giỏi miền Bắc năm lớp

7 khi học các trường Ngô Gia Tự, Trần Quốc

Toản, Trần Đăng Ninh, TP Nam Định Sau khi

nhập học trường cấp 3 Lê Hồng Phong, Nam Định

được gọi vào lớp 8 Toán đặc biệt (nay gọi là

Chuyên Toán) dành cho các tỉnh từ Nam Hà đến

Vĩnh Linh đặt tại ĐHSP Vinh Học ĐHSP Hà Nội

và 4.1975 nhập ngũ trong đợt tổng động viên, phục vụ tại Trung đoàn Z171, Tổng cục Kỹ thuật,

đóng quân tại Quảng Bình, sau đó về học tiếp đại

học Dạy học tại Trung học Sư phạm 10+2 Vĩnh

Phú, Bổ túc Dân chính Sóc Sơn, Hà Nội Từ 23.4.1991 làm biên tập viên báo Toán học và Tuổi trẻ, Viện Khoa học Việt Nam và tir 12.1991 THTT thuộc NXB Giáo dục Dự Hội nghị Nhà

văn trẻ 1994 Bảo vệ luận văn Thạc sĩ (đề tài Lý thuyết biểu diễn thứ cấp của các mô

đun trên vành giao hoán) chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số tại Viện Toán học Việt

Nam năm 1998 Tham gia khóa học tại Trung tâm Toán học Vùng của ASEAN (SEAMEO

RECSAM) tại Malaysia Từ 2000 đến 2002 là Thường trực Hội đồng biên tập Toán Tuổi thơ Thư kí Tòa soạn Toán học và Tuổi trẻ từ 2004 đến 2007 Phó Tổng biên tập Toán

Tuổi thơ từ 2007, từ 2008 là Phó Tổng biên tập phụ trách tạp chí và 15.5.2010 là Tổng biên tập Toán Tuổi thơ đến 1.1.2018 thì nghỉ hưu

Là tác giả của Từ điển Toán học Phổ thông Anh-Việt, Việt-Anh, đồng tác giả 4 cuốn

sách toán, 2 cuốn tuyển tập toán Đăng gần 2300 bài báo trên 50 tờ báo, tạp chí, trong

đó 500 bài đăng trên Lao động, Tiền Phong, Thanh Niên, Thiếu niên Tiền phong, Giáo dục & Thời đại, Nhân dân, Văn nghệ, Pháp luật, Tuổi trẻ, Hà Nội mới, với 86 bút danh

Các bài thơ thường kí bút danh Bính Nam Hà, Vũ Đô Quan, VKT, Ủy viên Ban chấp

hành Hội Toán học Hà Nội từ 2003, Phó Tổng thư kí Ban chấp hành Hội từ 2009 Chủ

nhiệm Câu lạc bộ toán trên VTV (Các chương trình Dễ hay Khó, CLB toán, Tư vấn ôn thi đại học) từ 1996 đến nay Đào tạo được hàng trăm học sinh giành được học bổng ASEAN, A* Star học ở Singapore và du học Mỹ, Anh, Úc, Nhật, Giải thưởng thơ của báo Thiếu niên Tiền phong và Hội Nhà văn tổ chức 2002 Tham gia chấm thi học sinh

giỏi Quốc gia lớp 9, chấm thi Toán Quốc tế 2007, Tham gia dẫn đoàn VN thi Olympic Khoa học Quốc tế lần thứ nhất tại Indonesia Phó ban tổ chức cuộc thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng và Singapore mở rộng từ 2004 Cố vấn chương trình Thần đồng Đất Việt

trên VTC, Trưởng ban tổ chức cuộc thi Phát hiện Trí tuệ Việt lần thứ nhất 2009

ThS Vũ Kim Thủy là tác giả của Cuộc thi Olympic Toán Tuổi thơ với 2 vòng thi: Cá

nhân, Tiếp sức đồng đội và Cuộc thi Câu lạc bộ Toán Tuổi thơ với 3 vòng thi Toán bằng

tiếng Anh: Cá nhân, Tiếp sức Toán và Du lịch Toán học trên toàn quốc duy trì suốt 10

năm qua

: = Children's

loan tuditho = ” TRUNG HỌC CƠ SỞ Fun Maths J our nal

NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM - BO GIAO DUC VA DAO TAO

HOI DONG BIEN TAP

Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh,

quận Thanh Xuân, Hà Nội

Điện thoại: 024.35682701 - Fax: 024.35682702

Email (Ban biên tap): bbttoantuoitho@gmail.com

Email (Tri su - Phát hành): tapchitoantuoitho@gmail.com

Website: http://www.toantuoitho.vn

DAI DIEN TAI MIEN NAM

NGUYEN VIET XUAN

391/150 Tran Hung Dao, P Cau Kho, Q.1, TP HCM

ĐT: 028.66821199, DĐ: 0973 308199

Trị sự - Phát hành:

TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, VŨ ANH THƯ,

NGUYEN HUYEN THANH, NGUYEN THI HAI ANH

Ki thuat vi tinh: DO TRUNG KIEN

Mĩ thuật: Họa sĩ TÚ AN

CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN Chủ tịch Hội đồng Thành viên NXBED Việt Nam:

NGUYEN DUC THAI

Tổng Biám đốc NXBŒD Việt Nam:

một tam giác

Tạ Thập

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Nguyễn Hạ Hà Uyên Học ra sao? Giải toán thế nào?

Số chính phương

Mai Van Nam

63 ô cửa Nơi mùa xuân đến sớm Đông Nguyễn

Nhìn ra thế giới

Đề thi Toán quốc tế Philipine [TMO 2017

Phùng Kim Dung, Cai Việt Long

Phá án cùng thám tử Sêlôccôc

Món quà của thám tử

Nguyễn Thị Phương Dung Toán học & đời sống Tr 14 Cái thớt của bố

Chu Cẩm Thơ

Compa vui tính Chao 2018!

Phạm Tuấn Khải

Học Toán bằng tiếng Anh

Introduction to Cartesian Coordinates

Dương Thu Trang, Đỗ Đức Thành

ba góc của một tam giác:

- Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°

- Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ

nhau

- Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai

góc trong không kề với nó

Dạng 1 Tính số đo góc

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có A =80° Các tia

phân giác của các góc ABC và ACB cắt nhau tại I

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại A vẽ AH

vuông góc với BC tại H Tia phân giác của góc

HAC cắt CH tại D Vẽ tia Ax là tia đối của tia AC

Chứng minh rằng

a) BAH = C:

c) xAH và B bù nhau b) BAD = BDA;

GÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP VỀ TONG BA GOC CUA MOT TAM GIAC

TA THAP (TP Hồ Chí Minh)

Lời giải

B H D C a) Ta có BAH+B = 90° (Vì AHAB vuông tại H) Mat khac C +B = 90° (Vi AABC vuông tại A)

Do đó BAH =C

b) Ta cé BAD + DAC = 90°(= BAC)

Mat khac BDA+HAD =90°(Vi AHAD vuông tại H)

Theo gia thiét HAD =DAC

Vì mỗi góc ngoài của tam giác đều lớn hơn góc

trong không kề với nó nên ta có

BMC > MDC > BAC

@)

c) |x| = -0,4 < 0 nên không tồn tại x thỏa mãn

3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

e Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta làm

như sau:

- Chứng minh với bất kì giá trị của biến thì A > m,

với m là hằng số

- Chỉ ra tồn tại giá trị của biến để A = m

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m

e Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta làm

như sau:

- Chứng minh với bất kì giá trị của biến thì A < n,

với n là hằng số

- Chỉ ra tồn tại giá trị của biến để A = n

- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là n

e Chú ý |A| = |_-A| > 0; |A| > A với giá trị bất kì của

Vậy MinB = 0,4 đạt được khi 6,8 < x < 7,2

DU GIA TRI TUYỆT DOI CUA

MỘT SỐ HUU Ti

NGUYEN HA HA UYEN (TP Hồ Chí Minh)

Dấu đẳng thức xảy ra khi 2x -3 =0c©x= -

Vậy MaxA = S đạt được khi x = -

4 Tìm x trong biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Số chính phương là số viết được dưới dạng bình

phương của một số tự nhiên

- Số chính phương chia cho 3 chỉ có số dư 0 hoặc 1

- Số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1

- Số chính phương lễ chia cho 8 thì có số dư 1

- Số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1

hoặc 4

- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì

chia hét cho p’

2 Chứng minh tính chất của số chính phương

Bài toán 1 Chứng minh rằng một số chính

phương chia cho 4 thì có số dư là 0 hoặc 1

Lời giải Gọi số chính phương có dạng nˆ (n e Ñ)

Bài toán 3 Chứng minh rằng mˆ + n? không là số

chính phương với mọi số nguyên lễ m, n

Lời giải Vì m, n là các số nguyên lễ nên mể, n là

các số chính phương lẻ

Suy ra mZ, nˆ chia cho 4 đều có số dư là 1

Do đó mÊ + n chia cho 4 có số dư là 2

Suy ra m + n chia hết cho 2 và không hết cho 4 Vậy mỶ + n” không là số chính phương

4 Tìm điều kiện để một số hay một biểu thức

là số chính phương

® Chúý: Với m, Ac Z thì:

+ Nếu m2 < A<(m+2)Ê thì A=(m+ 1

+ Néu m? <A <(m+1)* thì A không là số chính

= An* +n? 414 4n? — 4n? —2n+3n? +2n+3

> 4n* +n? +14 4n? - 4n? -2n= (2n? +n-1)?, Suy ra (2n? +n— 12 <4A< (2n? + n)?

Do đó 4A không là số chính phương, từ đó A cũng không là số chính phương

Vậy n = 2

® Nếu |

4)

Bài toán 6 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao

cho n + 1; 6n + 1 và 20n + 1 đều là số chính phương

Lời giải ® Nếu n = 3k + 1 (n c Ñ) thì n+ 1 = 3k + 2

chia cho 3 dư 2 nên n + 1 không là số chính

số này không là số chính phương (mâu thuẫn với

đề bài) Do đó mệnh đề b là sai và a và c là hai

Bài toán 8 Tìm số chính phương có bốn chữ số

biết răng khi tăng thêm vào mỗi chữ số 1 đơn vị thì

số mới được tạo thành cũng là số chính phương

Lời giải Gọi số chính phương có bốn chữ số cần

Thử lại ta có 2025 = 45^ và 3136 = 56

Vậy số cần tìm là 2025

Bài toán 9 Từ 1 đến 1000000 có bao nhiêu số tự

nhiên a vừa là bình phương của một số tự nhiên x

vừa là lập phương của một số tự nhiên y (với x z y)?

Lời giải Theo đề bài ta có a = x2 = yŸ hay x’ = y.y’,

LTS: Từ số 1⁄9 của năm học 2017 - 2018, Toán

&( Tuổi thơ mỏ chuyên mục 63 ô cửa để nói về đất

nước, con người Việt Nam Hiểu để thêm yêu đất nước và phấn đấu lớn lên xây dựng non sông gấm vóc ngày càng tươi đẹp hơn

ĐÔNG NGUYỄN Làng hoa Sa Đéc (thành phố Sa Đéc, tỉnh

Đồng Tháp) thường được ví von là Nơi mùa

xuân đến sớm nhất của đồng bằng sông

Cửu Long Vì sao ư? Vì cứ vào dịp cuối năm

âm lịch, khi sắc xuân chưa về trên vùng đất

rộng lớn này, thì ở đây muôn hoa đã khoe

hương tỏa sắc để chuẩn bị “lên đường”, mang

hơi thở mùa xuân đến Sài Gòn và rất nhiều

tỉnh lân cận

Tương truyền, ngày xưa có cô con gái chúa

đất rất xinh đẹp, nết na, tên là Psardek Nàng

yêu thương một chàng trai nghèo nên bị gia

đình ngăn cản Chúa đất đã ám hại chàng trai

khiến nàng vô cùng đau khổ Rồi nàng ởi tu

Sau khi chúa đất qua đời, nàng dùng tài sản

gia đình để làm việc thiện, tu bổ đường sá,

xây cất chợ búa Từ đó, vùng đất này được

gọi theo tên Psardek của nàng, rồi lâu dần

mọi người đọc chệch thành Sa Đéc

Nghề trồng hoa ở Sa Đéc đã có từ hơn 100

năm nay Ban đầu, chỉ một số người dân vùng

Tân Quy Đông làm nghề này với mục đích

chính là trang trí và biếu nhau vào dịp Tết

Dần dần, số người trồng hoa tăng lên và mục

đích cũng chuyển sang mua bán Ngày nay,

làng hoa Sa Đéc đã phát triển thành khu vực

rất rộng lớn với khoảng 2000 loài hoa đang

được nuôi trồng, chăm sóc Hoa và cây cảnh

Sa Đéc đã và đang “có mặt" ở rất nhiều nơi,

từ trong nước đến ngoài nước, đem hương sắc

mùa xuân của vùng châu thổ Tây Nam Bộ

đến với mọi vùng miền

Nét độc đáo của làng hoa Sa Đéc, khác hẳn với những làng hoa khác, là hoa được trồng

chủ yếu trên giàn cao Những khóm hoa được

trồng trong giỏ tre và giỏ được đặt trên giàn

để tránh ngập nước Khi triều cường, người trồng hoa phải chèo thuyền đi chăm sóc hoặc thu hoạch hoa Đây cũng chính là nét đặc

trưng của vùng sông nước miền Tây

Nhờ áp dụng các tiến bộ khoa học kĩ thuật

nên giờ đây những người trồng hoa ở Sa Đéc

đã “hoá phép” cho hoa nở rộ suốt 4 mùa Tuy nhiên, những ngày giáp Tết cuối năm vẫn

luôn là quãng thời gian rực rỡ nhất, ngào ngạt

nhất, tràn ngập hương sắc mùa xuân nhất

Con diều biếc tuổi thơ

Nuôi ước mơ nho nhỏ

Sợi dây là ngọn gió

Nối hai bờ thực hư

Mây trắng gọi ta về

Với cánh diều mơ mộng

Trời xanh xào xạc nắng

Tươi thắm tình thanh tân +

Những chiều tím hoàng hôn TA

Cánh diều còn no gió `

Sáo ngân hay lời mẹ

Xao xuyến gọi mùa xuân

Triền đê cỏ lên xanh

Thầm nghe con diều biếc

Bay cao, cao bát ngát

Như mây trắng khoảng trời

Khi mặt đất nối dài

Cho cánh diều cao mãi

Tuổi thơ là hoa trái

Thơm ngát trời quê hương

Cúc vàng, đồi chè xanh

Bức tranh tự nhiên vẽ

Điểm tô những nụ cười

Muôn người dưới xuôi tới

Xuân tưng bừng đường hoa Tết sum họp cả nhà

Tết bên hoa xuân mới Thưởng hoa bên đồng nội

Khác hoa trong phòng nha

Ông bà vui bên cháu

Con vui cùng mẹ cha Sáu người cùng hoa lá

Xuân ở lại trong ta

Pà Cò, 31.1.2017

DE THI TOAN QUỐC TẾ PHILIPINE ITMO 2017

ThS PHUNG KIM DUNG (GV THPT Ha N6i- Amsterdam, Q Cau Gấy, Hà Nội)

ThS CAI VIỆT LONG (GV THCS Ngô Sĩ Liên, Q Hoàn Kiếm, Hà Nội)

Sưu tầm, dịch và giới thiệu

4 Biết rằng mỗi chữ cái D, A, V, O, M, T, H và S

đại diện cho các chữ số khác nhau từ 0 đến 9, sao

cho DAVAO và MATHS là các số có 5 chữ số

thỏa mãn:

+DAVAO

DAVAO MATHS

Tính tổng của tất cả các giá trị có thể của T

2 Cho tứ giác ABCD thỏa man ZADC = ZABC

=90° và AD = DC như hình vẽ Biết diện tích tứ

giác ABCD là 196 cm^, hãy tính khoảng cách từ

D đến AB, theo cm

D

C

3 Hãy nối mỗi chữ cai ở trong ô vuông nhỏ ở trên

với những chữ cái y hệt ở trong ô vuông nhỏ ở

dưới sao cho không có đường nào cắt nhau, và

không có đường nào đi ra khỏi biên của hình

5 Hãy tô đậm các đoạn thẳng theo các đường

chấm chấm để tạo thành các hình sao cho mỗi

vòng tròn nhỏ là tâm đối xứng của hình đó (mỗi

hình khi quay 180” xung quanh tâm vòng tròn

nhỏ ta vẫn được hình ban đầu) Một ví dụ về cách

tô được miêu tả như dưới đây:

Hãy hoàn thành cách tô nói trên vào ba hình dưới đây:

6 Cho ba số gồm 3 chữ số ABC, BCD và CDE

(các chữ cái khác nhau đại diện cho các chữ số khác nhau) sao cho ABC +BCD + CDE = 2017

Tìm hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất có thể của số ABCDE

7 Andy muốn đặt một số đồng xu (có thể không

đặt đồng xu nào) vào mỗi hình vuông đơn vị của một bảng 3 x 3 ô vuông, sao cho tổng số đồng xu trên mỗi bảng con 2 x 2 ô vuông là một số nguyên

tố và tất cả các số nguyên tố này phải khác nhau Hỏi Andy cần đặt vào bảng trên ít nhất bao nhiêu đồng xu? Hãy chỉ ra một ví dụ

8 Cho tam giác ABC D là trung điểm của BC và

E nằm trên AC sao cho AE : EC = 3 : 2 Giả sử

F là một điểm nằm trên AB sao cho diện tích tam

giác DEF gap 3 lần diện tích tam giac BDF, tinh ti

NGÔ VĂN MINH

(GV THCS Archimedes Academy, Hà Nội, Sưu tầm và giới thiệu)

43 Biết a và b là các số nguyên thỏa mãn

a+D=8,b+= =4 Hỏi giá trị của tổng a + b

a bằng bao nhiêu?

44 Biết 2(n + 1) — (n + 2) = n Tính giá trị của biểu

x22+_2 x23+ +— l „zI5

45 Tìm giá trị của a (kết quả có thể để dưới dạng

lũy thừa) khi chia đa thức x”"!Š + x2 + 2 x 370%

cho đa thức x? + x - 6 với đa thức dư là ax + b

46 Ban tổ chức IMC cần sắp xếp phương tiện di

chuyển cho các đại biểu của một quốc gia, trong

đó một chiếc xe buýt mini chở được ít hơn một nửa

sé ) Nguoi mà một chiếc xe buýt chuyên dụng CÓ

thể chở Biết rằng một chiếc xe buýt chuyên dụng

và một chiếc xe buýt mini có thể chở 60 người Một

chiếc xe buýt chuyên dụng và 2 chiếc xe buýt mini

chỉ có thể chở s số đại biểu Nếu ban tổ chức sắp

xếp 7 xe buýt (chuyên dụng và mini) thì sẽ vừa đủ

chỗ ngồi cho các đại biểu Hỏi quốc gia đó có bao

nhiêu đại biểu?

Ngoại trừ ví dụ kể trên, hãy liệt kê hết các bộ

| số thỏa mãn điều kiện bài toán

40 Hình vẽ dưới đây biểu diễn một phần của

š bán đảo Ban căng Hỏi có bao nhiêu cách ta

có thể tô màu mỗi miền bởi một trong bốn

' màu, sao cho mỗi hai miền kề nhau được tô

bởi những màu khác nhau?

đồng hồ tạo ra các điểm dừng cứ sau mỗi bước

bằng 1 đơn vị như trong hình vẽ Nó xuất phát từ

điểm Pạ(0; 0), sau đó đi đến P,(-1; 0), P;(—1; 1), P,(0; 1), P,(1; 1), Hãy liệt kê tọa độ của 4 điểm

P.(X,, Yn) đầu tiên trên đường xoắn ốc sao cho [Xal + ly,| = 2015 và tìm các giá trị tương ứng của n

Hình vẽ bên là một ví

dụ Khi k = 3, giá trị nhỏ

nhất của N là 4 Hỏi khi

k= 5 giá trị nhổ nhất

của N là bao nhiêu? Vẽ

hình minh họa cho kết quả đạt được

@)

MOT SO BAI TOAN TRONG Ki THỊ TÌM KIẾM TAI NANG TOAN HOC TRE VIET NAM (MYTS)

PHAM VAN THUAN

(Trung tam Toan va Khoa hoc Hexagon)

Ki thi Tim kiếm Tài năng Toán học trễ (MYTS) do

Hội Toán học Việt Nam tổ chức hàng năm Năm

2017 đã có hơn 5000 thí sinh dự thi Kì thí có hai

vòng thi chính, chia thành bảy khối lớp từ lớp 4 đến

lớp 10

Vòng thi thứ nhất thực hiện theo hình thức viết đáp

số, không cần giải thích Đề thi có 24 câu hỏi, ỗ

mỗi khối lớp Mức độ câu hỏi từ dễ đến khó, với

dụng ý cho thí sinh tiếp xúc với những câu hỏi mới

mẻ và các bài toán đa dạng Khoảng 25% tổng số

thí sinh dự thi có kết quả tốt nhất được mời tham

gia Vòng thi thứ hai, tập trung tại Hà Nội và TP Hồ

Chí Minh

Vòng thi thứ hai thực hiện theo hình thức làm bài tự

luận, yêu cầu thí sinh giải thích, trình bày lời giải

Đề thi gồm 06 câu hỏi, thời gian làm bài 120 phút

Kì thi MYTS 2018 sẽ được tổ chức vào đầu tháng

3/2018

Dưới đây, chúng tôi xin giới thiệu đề thí và lời

giải kì thi MYTS cho khối lớp 9, năm 2017

Bài toán 1 Cho bốn số thực (không nhất thiết

phân biệt) có tống bằng 172, đồng thời tổng hai số

tùy ý trong bốn số luôn không âm Gọi a là số nhỏ

nhất trong bốn số, tìm giá trị nhỏ nhất của a

Lời giải Gọi bốn số đã cho là a, b, c, d với a là số

nhỏ nhất Từ giả thiết ta có a + b>0,a+c>0,a+

Bài toán 2 Cho f(x) = x° - x? - 5xỶ - x? — x — 1 và

g(x) = x? — x? — 5x — 1 Biét rang phuong trình g(x)

= 0 có ba nghiệm phân biệt a, b, c Tìm giá trị của

f(a) + f(b) + f(c)

Lời giải Chú ý rằng f(x) = xŠ — x — 5x — x2 — x — †

= X?(X - X— 5X — 1) —X- 1

Suy ra f(a) = —a - 1; f(b) = —b — 1; f(c) =—c - 1

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được

Bài toán 3 Tìm tất cả các cặp số (p, n) trong đó p

là số nguyên tố, n là số nguyên dương sao cho

p"+ 144 là một số chính phương

Lời giải Ta có p" + 144 = m°

hay p"= (m + 12)(m - 12)

Suy ra m + 12 = p°, m - 12 = p°, với các số nguyên

không âm a, b nào đó, a > b, a + b = n

Từ đó ta có p°(p2~° — 1) = 24 (1) Như vậy, hoặc b = 0, hoặc số nguyên tố p là ước

của 24, nên p chỉ có thể nhận giá trị 2 hoặc 3

Bài toán 4 Hình vẽ bên là một hình tháp gồm 21

ô vuông Bạn Hồng Hà điền vào mỗi ô một số tự nhiên sao cho không kể các ô trong hàng dưới cùng thì số ghi trong mỗi ô bằng tổng hai số ghi

trong hai ô liên dưới nó

Hỏi bạn Hồng Hà có thể viết được ít nhất là bao

nhiêu số CHĂN ở trong hình tháp? Tại sao?

Lời giải Ta xét sáu hình tháp nhỏ rời nhau, mỗi

hình gồm 3 ô vuông (A, B, G), (C, D, 1), (E, F, K),

Hình tháp lớn được cấu thành từ sáu hình tháp nhỏ

này và ba ô R, H, J Vì mỗi hình tháp nhỏ chứa ít

nhất một số chan nên hình tháp lớn chứa ít nhất 6

số chắn

Hơn nữa, R+ H+J=M+O+H+J=H+2l+J+

H+J=2(1B+C+D+E+C+D)

Suy ra R + H + J là số chẵn, tức là trong ba ô R, H,

J phải có ít nhất một số chan nữa Chứng tỏ hình

tháp lớn chứa ít nhất 7 số chẵn Bây giờ ta chỉ ra

một cách điền

22

Bài toán 5 Có 100 vận động viên tham gia một

giải thi đấu bóng bàn theo thể thức loại trực tiếp,

nghĩa là vận động viên thua sẽ bị loại ngay (không

có trận đấu hòa) Theo thể lệ cuộc thi, hai vận

động viên chỉ có thể được thi đấu với nhau nếu

chênh lệch giữa số trận đã thi đấu của họ không

quá 1 Biết rằng cuối cùng, chỉ còn lại đúng một

người vô địch, tất cả vận động viên khác đều đã bị

loại Hỏi nhà vô địch có thể thắng nhiều hơn 9 trận

được không? Tại sao?

Lời giải Gọi a, là số người ít nhất tham gia thi đấu

theo thể thức trên để người còn lại cuối cùng thắng

đúng k trận

e Nhận xét 1: a, la dãy tăng theo k

e Nhận xét 2: a; = 2, a; = 3

e Nhận xét 3: Khi k = 3, trước trận thứ 3, người

cuối cùng đã thắng 2 trận và phải đấu với người có

ít nhất 1 trận thắng

Kết hợp với nhận xét 1 suy ra a; > a; + a; = 5 Lập luận tương tự ta có a¿ > a; + a;> 5 + 3= 8;

a; > a; + aa> 8 +5 = 13; aa > 89; a:s > 14A

Do đó để có người thắng 10 trận thì phải có ít nhất

144 người tham gia thi đấu Vì vậy thí sinh cuối cùng không thể thắng nhiều hơn 9 trận được Bài toán 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) như hình vẽ Điểm D nằm trên cung BC không chứa A của đường tròn (O) Gọi E, F lần lượt là hai điểm trên cạnh AB, AC sao cho BD = BE

và CD = CF Gọi G là trung điểm của EF Chứng minh rằng BG vuông góc với GC

BE = BJ va CF = CJ suy ra GB, GC [an luot la

đường trung trực của E va Fu

Mà IE vuông góc với JF nên GB vuông góc với GC

a)

NGUYEN TH] PHUONG DUNG

a hen từ trước nên hôm đó, thám

tử Sêlôccôc tới nhà cô Mai chơi

Cô Mai là chị em họ với thám tử

Cô vừa chuyển về nhà mới nên muốn mời

thám tử đến thăm nhà

Khoảng 8 giờ tối, thám tử tới nơi Thấy Hà,

cháu gái cô Mai đang say sưa đọc cuốn sách

về các loài hoa, thám tử liền hỏi:

- Hà này, cháu thích loài hoa nào nhất?

- Dạ, hoa thược dược a

mượn cô bé một tờ giấy và cái bút,

viết vào đó hai dòng chữ Rồi thám

tử nói tiếp:

- Bác có một món quà dành

cho cháu, nhưng trước hết

cháu phải giải được câu đố

của bác đã Giải được câu

đố, cháu sẽ tìm thấy vị trí đặt món quà Món

quà này chắc hẳn cháu sẽ thích lắm đấy

Nói rồi, thám tử đưa ra một tờ giấy được ghi

câu đố:

Ban ngày ngẩng mặt cười tươi

Ban đêm đầu cúi, chẳng cười, lặng im

- Có thể cho bác biết lí do vì sao không?

- Vì nó tượng trưng cho sự tử tế, vui

Chuyện trò một lát, thám tử Sêlôccôc

ry |

Hà cầm tờ giấy rồi suy nghĩ nhưng nghĩ mãi

không ra Cô bé đi ra ngoài phòng khách thì

thấy tường treo một bức tranh vẽ rất nhiều

loài hoa: hoa huệ, hoa quỳnh, hoa sen, hoa

dạ hương, Rồi chợt nhớ ra điều gì đó, Hà lật giở lại cuốn sách Cô bé reo lên rồi đi ra vườn, đứng trước một chậu hoa Cô bé lấy

12

ASGETED crr2 sé 176+177)

Net tudi sing

mua lank

Bộ phim Đảo Đầu lâu (tên gốc tiếng Anh:

Kong: Skull Island) la mot phim quái vật

của Mỹ năm 2017 do Jordan Vogt-Roberts

đạo diễn Phim bắt đầu được khởi quay vào

ngày 19 tháng 10 năm 2015 tại Hawaii Năm

2016, Việt Nam được chọn làm phim với bối

cảnh chính là một thung lũng rộng 2 ha ở

trong lòng quần thể di sản thế giới Tràng An

(Ninh Bình) Có 5 danh thắng thuộc 3 tỉnh

phía Bắc Việt Nam được ghi hình để làm

phim là: Tràng An, Vân Long, Tam Cốc

(Ninh Bình); vịnh Hạ Long (Quảng Ninh) và

Phong Nha (Quảng Bình)

Thế mà anh chàng Bình, con trai bà giúp

việc lại cho rằng: “Trên màn ảnh rộng, biển

đảo Nha Trang hiện ra vô cùng quyến rũ!”

Thám tử Sêlôccôc đã nhanh chóng phát hiện

ra sơ hở này và nghi ngờ anh ta chính là thủ

phạm lấy trộm chiếc nhẫn kim cương

LE THANH TÚ (Đại kiện tướng Quốc t6)

Phần thưởng sẽ được gửi tới các

thám tử sau: Nguyễn Đức Bảo Chau, 7A2, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh; Vũ Duy Linh, 8A6, THCS Hồng

Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng; Hoàng Ngọc

Quân, 9A4, THCS Nguyễn Đức Cảnh, Thái

Thụy, Thái Bình; Vũ Huyền Trang, 8H,

THCS Văn Lang, Việt Trì Phú Thọ; Trần

Khánh Huyền, 7D, THCS Đặng Thai Mai,

trấn Gia Bình, Bắc

Hưng Yên; Nguyễn Tuấn

Minh, 8A1, THCS Nam Hà, Kiến An, Phòng; Vũ Thu Hiền, 7A, THCS Đào Sư

Tích, Trực Ninh, Nam Định; Nguyễn Minh

Châu, 7A1, THCS Chất lượng cao Mai Sơn, Mai Sơn, Sơn La; Nguyễn Yến Nhi, 8F,

THCS Tran Mai Ninh, TP Thanh Hóa,

Thanh Hóa; Nguyễn Khánh Huyền, 9B,

THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An

CAI THOT CUA BO

PGS TS CHU CAM THO (Nha sáng lập và Giám đốc Nghiên cứu và Phát triển POMath)

việc chặt thịt gà là của bố hay sao ấy Tít

nhớ, hồi Tít 4 tuổi, bố bảo khi Tít lớn sẽ là

người đàn ông của gia đình, khi ấy sẽ được

làm việc giống bố Nay Tít học lớp 4 rồi, Tít

cũng đã bê được cái thớt gỗ nghiến của bố

rồi mà Tít cũng đã được làm việc này đâu!!!

Thấy Tít buồn, bố bày trò giúp Tít có việc để

làm Bố hỏi Tít: Thớt này có hình gì? Tít thấy

* Lon bia của bố

* Miệng của cái ấm

* Miệng của cái nồi

* Cái bánh xe đạp của Tít

Bố lại cho Tít cái thước dây Bố bảo Tít đo

vòng quanh những vật ấy, rồi lại đo chỗ rộng

nhất của những hình tròn ấy xem sao

Cái thớt: đo vòng quanh được 80 cm, chỗ rộng nhất là 26 cm

Cái nồi: đo vòng quanh được 51 cm,

đó đấy

Bố nói, số đo vòng quanh là chu vi hình tròn,

chỗ rộng nhất là đường kính Từ ngàn xưa, các cụ đã biết chu vi gần gấp ba lần đường kính Còn sau này, các nhà toán học thì biết

đó là số Pi Có nhiều điều kì bí về số Pi đấy Người ta thường lấy giá trị gần đúng của số

Pi là 3,14

Các bạn thấy thử nghiệm của Tít và bố có

thú vị không? Các bạn hãy thử nghiệm với

đồ vật có hình tròn trong nhà mình nhé

giải nhé!

Ä¿€Í§ [` (rrra số 176177)

KE DUONG PHAN GIAC CUA MOT GOC

Để dựng hình ta dựa vào tính chất: Ba đường phan

giác trong của một tam giác thì đồng quy; một đường

phân giác trong và hai đường phân giác ngoài tại hai

đỉnh còn lại của một tam giác thì đồng quy

* Cách 1 e Dựng hình Kẻ đường thẳng d cắt a

tại C và cắt b tại D (hình 1)

Vẽ đường tròn tâm C cắt a tại E, F và cắt CD tại P

Vẽ các đường tròn tâm E bán kính EC, đường tròn

tâm F bán kính FC và đường tròn tâm P bán kính

PC Đường tròn (P) cắt đường tròn (E) tại T (khác

C) va cắt đường tròn (F) tại V (khác C)

Vẽ đường tròn tâm D cắt b tại M, N và cắt CD tại

Q sao cho E và M cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ

CD Vẽ các đường tròn tâm M bán kính MD, đường

tròn tâm N bán kính ND và đường tròn tâm Q bán

kính QD Đường tròn (Q) cắt đường tròn (M) tại X

(khác D) và cắt đường tròn (N) tại Y (khác D)

Kẻ CT và DX, chúng cắt nhau tại H Kẻ CV và DY,

chúng cắt nhau tại K Kẻ KH thì KH chứa đường

phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng a và b

e Chứng minh Giả sử A là giao điểm của a và b

Trong tam giác ACD thì theo cách dựng hình, CT

và DX tương ứng là phân giác của góc ACD và

ADC nên H nằm trên đường phân giác của góc

CAD Tương tự, theo cách dựng hình, CV và DY

tương ứng là phân giác của góc FCD và NDC nên

cazm CHAO 2018!

Bài toán Cho phương trình Vx +7 —V/x-82 = x-2017

Hồng nói phương trình đã cho có một nghiệm Hà biến

đổi mãi mà chưa tìm ra cách giải Các bạn giúp Hà tìm lời

PHẠM TUẤN KHẢI (Hà Nội)

K nằm trên đường phân giác của góc CAD Trong

hai điểm H, K thì một điểm là giao điểm của hai đường phân giác trong, còn điểm kia là giao điểm

của hai đường phân giác ngoài, do đó đường

thẳng HK di qua giao điểm A của a và b

Chú ý rằng nếu hai đường thẳng a và b khá gần

nhau thì chọn các đường tròn (C) và (D) đều có bán kính bằng CD, lúc đó số thao tác dựng hình sẽ

ít hơn (hình 2) 3

Nhận xét Sau khi tìm được một điểm H nam trên

đường phân giác của góc CAD có nhiều cách

dựng đường phân giác đó Chẳng hạn:

* Cách 2 Dựng đường tròn tâm H cắt hai đường thẳng a và b tại A và B rồi tìm trung điểm của AB là

K thì HK là đường phân giác của góc tạo bởi a và b

* Cách 3 Dựng hình bình hành CDTF (các điểm

C, D, F, N như ở hình 1), dựng tia phân giác Dx

của góc NDT, kể đường thẳng Hy // Dx thì Hy là

đường phân giác của góc tạo bởi a và b

xxo—~ Các bạn Ngô Thi Hải Yến, 8A1, THCS

Bộ lúc tí Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê

Minh Quỳnh Anh, 8F, THCS Trần Mai

Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa đã giải đúng,

được nhận phần thưởng kì này

ANH COMPA

48)