Tài liệu BÀI SOẠN GIẢI TÍCH 2012-2013 docx

Chương 1• Giới hạn của dãy số thực: Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ... TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HH CỦA HÀM SỐGỉa sử f và g là các hàm số có giới hạn hữu hạn khi x →x0 x  khô

Chương 1

• Giới hạn của dãy số thực:

Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ

ÁNH XẠ

1 Định nghĩa: Ánh xạ f từ X → Y là quy luật cho tương

ứng với mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất y Y∈

DÃY SỐ THỰC1.Định nghĩa: Dãy số thực là một ánh xạ từ tập N* vào tập hợp các số thực R.

DÃY SỐ HỘI TỤ1.Định nghĩa: Dãy số {xn} hội tụ về a  giá trị xn “rất gần” a

2 

CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN

1 Nếu dãy số {xn} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

2 Nếu limxn, limyn tồn tại thì

 lim(xn + yn) = limxn + limyn

y  limy

Ví dụ:

n 2

1 1 a) lim

2

Nếu dãy số xn có giới hạn vô hạn và xác định dấu, tức là xn

> 0 hoặc xn < 0 bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, thì ta viết tương ứng

2n + 1a) lim

n - 1

n n

n n

5 - 2b) lim

TIÊU CHUẨN BA DÃY KẸP

Dãy tăng hay giảm được gọi là dãy đơn điệu

Dãy {xn} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực c sao cho , bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao cho

n

x  c,  n

n

x  d, n 

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU

Ví dụ: Xét các dãy số sau

n

1 x

n



a) Dãy {xn} với b) Dãy {xn} với xn    1 n

c) Dãy {xn} với xn  n2 d) Dãy {xn} với

n n

1 Nếu dãy số {xn} tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ

2 Nếu dãy số {xn} giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ

Ví dụ: Dãy {xn} với

n n

Miền giá trị : Tf = { y = f(x) , với mọi x D∈ f }

Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất kỳ lấy

từ MXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương ứng của hàm số tại điểm x

HÀM SỐ NGƯỢCChú ý:

1 Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) là hai hàm ngược của nhau thì gₒf(a) = a và fₒg(b) = b

2 f : D→ D’ có hàm số ngược khi và chỉ khi phương trình

f(a) = b có nghiệm duy nhất a với mọi b Y.∈

3 Đồ thị của các hàm số ngược của nhau thì đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x (đường phân giác của góc phần tư thứ nhất)

y = f(x)

y = g(x) (a,b)

x-1 y

3



HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

1 Hàm lũy thừa và căn thức: y = xn và n N∈

2 Hàm mũ và hàm logarit: y = ax và y = logax 0 < a ≠ 1Đặc biệt a = e = 2,718… f(x) = ex ; logex = lnx

3 Hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược

HÀM SỐ SƠ CẤP

Hàm sơ cấp là hàm được lập từ các hàm số cơ bản

Ví dụ: Các hàm số sau hàm nào là hàm sơ cấp

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐĐịnh nghĩa

1 Giới hạn tại một điểm

2 Giới hạn phải – giới hạn trái

TÍNH CHẤT CỦA GIỚI (HH) CỦA HÀM SỐ

Gỉa sử f và g là các hàm số có giới hạn hữu hạn khi x →x0

x

 không tồn tại

GIỚI HẠN (VÔ CÙNG) CỦA HÀM SỐ





1 lim 1

CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH

Các dạng vô định 0 0 0

, , 0 , , 0 , , 10

x x

MỘT SỐ VCB TƯƠNG ĐƯƠNG

Tính chất 2: Giả sử α ~ α/ và β ~ β/ khi x →x0 Khi đó

/ /

sin3

x

x C

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂMĐịnh nghĩa 1: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu

Hàm số f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn

Định nghĩa 2: Liên tục một phía

Chú ý: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục tại mọi điểm thuộc

là liên tục phải tại x0 nếu

Định nghĩa 3: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi x (a; b)∈

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số

1a) y

x

 tại x0 = 0

x x<1c) y

x x

2 0

ĐIỂM GIÁN ĐOẠN CỦA HÀM SỐ

Gỉa sử f là hàm xác định trên tập D và x0 là một điểm cố

    x0 gọi là gián đoạn bỏ được

Bằng cách thay đổi giá trị thích hợp hàm f tại x0, hàm trở nên liên tục

ĐIỂM GIÁN ĐOẠN CỦA HÀM SỐ

2 0

CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤCTRÊN MỘT KHOẢNG

1 Tính bị chặn của hàm số liên tục trên khoảng đóng

+ f(x) bị chặn trên [a; b]

+ f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b]

đóng hoặc khoảng vô hạn thì chưa chắc đã bị chặn và

chưa chắc có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong khoảng đó

Ví dụ 4 1 Hàm số f(x)=1/x liên tục (0; 1) nhưng không

2 Hàm số g(x)=x liên tục và bị chặn (0; 1) nhưng không

2 Định lý về giá trị trung gian

f(a) ≠ f(b) thì với mọi d nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại c ∈ [a; b] sao cho f(c)=d

y

x0

Đặc biệt d = 0, ta có hệ quả sau

thuộc khoảng (a; b)

0

y

xb

a

f(a)f(b)

Ví dụ 5x Xét phương trình x6 + 5xx – 1 = 0

Ta thấy f(x) = x6 + 5xx – 1 là hàm liên tục trên R và f(0) = -1<0,f(1) = 5x>0, do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1)

c

CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤCTRÊN MỘT KHOẢNG

3 Định lý về sự tồn tại hàm ngược liên tục

ngặt (giảm ngặt) trên một khoảng X thì

+ Miền giá trị của hàm số y = f(x) là một khoảng Y;

+ Hàm số y = f(x) có hàm số ngược x = f-1(y);

+ Hàm ngược x = f-1(y) xác định, liên tục và đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trên khoảng Y

Ví dụ 6 Hàm số y= sinx liên tục và tăng ngặt trên    2 ; 2  

Miền giá trị của hàm số này là [-1; 1] Hàm ngược của nó là hàm số x = arcsiny, liên tục và tăng ngặt trên [-1; 1]

CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤCTRÊN MỘT KHOẢNG

ĐẠO HÀM

1 Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) Hàm số f(x) có

đạo hàm (khả vi) tại x0 (a, b) nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)∈

Nếu hàm số f(x) khả vi tại mọi điểm x (a, b)∈ thì ta nói f(x)

khả vi trong khoảng (a, b)

Hàm số f(x) có đạo hàm bên phải điểm x0 nếu tồn tại giới hạn

2 Các quy tắc tính đạo hàm

ĐẠO HÀM

a) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại x0 thì tại điểm đó:

 xsinx + cosx c) y

ĐẠO HÀM CẤP CAOĐịnh nghĩa

αxsinx1 / αxsinx1-1 // αxsinx1-2 αxsinx1-n

y x , y αxsinx1x , y αxsinx1 αxsinx1-1 x , , y αxsinx1 αxsinx1-1 αxsinx1-n+1 x

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ NGƯỢC

Giả sử f : [a, b] → [c, d] là một song ánh liên tục, g = f-1 : [c, d]

→ [a, b] là hàm số ngược của nó Nếu f có đạo hàm tại x0

f ' x



Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số

a) y = logax là hàm số ngược của x = ay , (0 < a ≠ 1)

Vì x’(y) = aylna, nên

F x,y

y x

F x,y



Ví dụ: Cho biểu thức x3 + y3 = 6xy Tính đạo hàm của y theo x

ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHO BỞI PHƯƠNG

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Định lý Rolle: Nếu hàm f liên tục trên [a,b], khả vi trong

Định lý Lagrange: Giả sử hàm f xác định và liên tục trên

sin 3 lim

1

x x

x e







2 2

lim x

x

x e

1 cos

x

x x f

CÔNG THỨC TAYLOR

Giả sử hàm f xác định trong [a, b] có đạo hàm hữu hạn cấp

n +1 trong (a, b) và giả sử x0 ∈ (a, b) Khi đó ta có công thức

khai triển Taylor của hàm f tại x0

f x

x - x R (x) n!

n n

n

n n

n

n n

CÔNG THỨC TAYLOR

Ví dụ:

thừa của (x – 1)

2 Xác định 3 số hạng đầu tiên trong khai triển

-2) Áp dụng tính gần đúng f(2,1).

Tập các nguyên hàm của hàm f được ký hiệu là  f(x)dx

và được gọi là tích phân bất định của hàm f

y

0

B A

i =1, …, n Khi đó, diện tích S được xấp xỉ bởi

S



Diện tích càng chính xác khi d càng nhỏ , nên một cách tự nhiên, ta có thể xem diện tích S là “giới hạn”

Với mỗi i = 1, 2, …, n, ta chọn ci ∈ [xi-1 , xi ], khi đó tổng

n

i i

Bước 2 Chọn ci ∈ [xi-1 , xi ] ở các vị trí đặc biệt, thông thường ta chọn ci = xi-1 , ci = xi hay

1

1

lim lim

i a

n i

2

2 1

)

dx c)

Chú ý: Trong một số trường hợp, ta lại thực hiện phép

đổi biến số x = φ(t) và ta được

0c) xsinxdx

b) xarctanxdx

1

-x 0

d) xe dx

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

2 Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn

a) với f(x) liên tục trên



1

2 0

dx g)

1 x 



0

2 1

dx h)

1 x

 

1

2 1

dx i)

2x + 4x + 10



 

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Các tiêu chuẩn hội tụ

Hệ quả 1 Cho f , g : (a, b] → R dương

1.

1

x

dx x







Hệ quả 2 Cho f , g : (a, +∞] → R dương

1 1.

f(x, y) được gọi là giá trị của f tại (x, y)

D = {(x, y)} R ∈ 2 được gọi là MXĐ của f

Tf = f(D) miền giá trị của f

ĐẠO HÀM RIÊNG

Cho tập mở D , hàm số f : D → R và X0(x0, y0) D ∈

Ví dụ: z = f(x, y) = x2y3 Tính đạo hàm riêng của f tại x0 = 1, y0 = 2.

VI PHÂN TOÀN PHẦN Định nghĩa: Giả sử f(x, y) là hàm hai biến xác định trên tập mở D  R2

Vi phân toàn phần của f ( vi phân cấp 1)

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2

Đạo hàm theo x

2

xx 2

f

f x

f

f y







VI PHÂN CẤP 2

Định nghĩa: Giả sử z = f(x, y) có đạo hàm riêng liên tục cấp một và cấp hai trên miền Khi đó vi phân cấp hai của hàm f là:

CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN

2

D

 Ta nói hàm f đạt cực tiểu địa phương tại

X0 nếu f(X0) ≤ f(X) với mọi X D khá gần X ∈ 0.

 Ta nói hàm f đạt cực đại địa phương tại X0nếu f(X) ≤ f(X0) với mọi X D khá gần X ∈ 0.

2 Cực trị không điều kiện (cực trị tự do)

Điều kiện cần: Nếu hàm f(x, y) đạt cực trị tại

X0(x0, y0) D và nếu f có đạo hàm riêng tại ∈

được gọi là điểm dừng

CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN

CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN Điều kiện đủ: Xét hàm z = f(x, y) với (x0, y0) là một điểm dừng

i) Khi ∆ > 0 , ta có hai trường hợp:

 Trường hợp A > 0 : (x0, y0) là điểm cực tiểu của hàm z = f(x, y).

 Trường hợp A < 0 : (x0, y0) là điểm cực đại của hàm z = f(x, y).

ii) Khi ∆ < 0, (x0, y0) không là cực trị địa phương của hàm z = f(x, y).

CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN

CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN

Cực trị có điều kiện của hàm z = f(x, y) là cực trị của hàm đạt được với điều kiện là các biến x và y liên hệ với nhau bởi phương trình φ(x, y) = 0 (phương trình ràng buộc)

Điều kiện cần của cực trị của hàm Lagrange

CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm

a) z  xy x   y với điều kiện x y   2 0 

b) z 6 – 4x – 3y  với điều kiện x2  y 1.2 

Các bước tìm gtln cũng như gtnn của hàm số z =

biên C như sau

i) Tìm tất cả các điểm dừng (a1, b1), (a2, b2)

… (am, bm) của z = f(x, y) trong miền Ω.

ii) Tìm tất cả các điểm dừng (c1, d1), (c2, d2) … (cm, dm) của z = f(x, y) với ràng buộc φ(x, y) = 0.

Khi đó M = max {f(a1, b1), …, f(am, bm), f(c1,

Bước 2 Xét hiệu ∆ = f(M) – f(M0 ), trong đó

M thuộc lân cận đủ bé của M0 và chịu ràng buộc φ(M) = 0

o Nếu ∆ > 0 thì M0 là điểm đạt cực tiểu.

o Nếu ∆ < 0 thì M0 là điểm đạt cực đại.

o Nếu ∆ đổi dấu thì M0 không phải là điểm

cực trị.

Ví dụ Tìm cực trị của hàm

z xy + 2x  với điều kiện 8 x  4 y  120

Xét hàm số u(x, y)  xy + 2x + (8x + 4y 120)  

Định nghĩa 1: Phương trình vi phân là 1 phương trình chứa

biến độc lập x, hàm cần tìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc

vi phân của hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân

Định nghĩa 2: Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong ptvp

được gọi là cấp của ptvp đó

Định nghĩa 3: Nghiệm hay tích phân của ptvp là mọi hàm số y = f (x)

mà khi thay vào pt sẽ biến phương trình thành đồng nhất thức

Ví dụ 1 : Phương trình: y’’ + y = 0 nhận các hàm số y = sin x, y

=cosx, y = 2cosx – sinx và tổng quát là hàm số có dạng:y = C1sinx +

C2 cosx là nghiệm của pt, với mọi hằng số C1 và C2

Ví dụ: y’ –x.y = 0; y’’ + x.y’ = sinx

Tổng quát: phương trình vi phân cấp n có dạng F(x,y,y’,…,y (n) )= 0

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng:

F(x, y, y’) = 0 (1)hay y’ = f(x, y) (2)

Nghiệm tổng quát – nghiệm riêng

a) Nghiệm tổng quát của phương trình phương trình (1)

hoặc (2) trong miền D là hàm y = φ(x, C) sao cho:

 Thỏa phương trình đã cho với mọi giá trị của hằng số C bất kỳ thuộc một tập nào đó

 Với mọi điều kiện ban đầu y(x0) = y0 sao cho (x0, y0) D ∈ chỉ có một giá trị duy nhất C0 thỏa điều kiện ban đầu

2R



b) Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho

C một giá trị bằng số nhất định được gọi là nghiệm riêng

Ta viết lại phương trình 2xdx + 2ydy = 0

Tích phân hai vế ta được tích phân tổng quát x2 + y2 = CVới C = 1 ta có tích phân riêng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

1 Phương trình có biến số phân ly

b) Phương trình biến số phân ly được

Phương trình có dạng: M1(x)M2(y)dy = N1(x)N2(y)dx

Chuyển về dạng tách biến bằng cách chia 2 vế phương trình cho M1(x).N2(y), do đó có thể làm mất các nghiệm

dạng

x = x0 nếu M1(x) = 0

y = y0 nếu N2(y) = 0

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

2 Một số phương trình đưa được về dạng có biến số phân ly

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

a) Phương trình thuần nhất

Phương trình vi phân y’ = f(x, y) được gọi là phương trình thuần nhất nếu hàm số f(x, y) ở vế phải là một hàm số thuần nhất bậc 0, tức là:

x 2y







PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng

y’ + p(x)y = q(x) (1)

trong đó p(x) , q(x) là các hàm số liên tục

 Trước hết ta giải phương trình thuần nhất y’ + p(x)y = 0

ta được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Ví dụ: Giải các phương trình sau

 

1 a) y ' y 1, x > 0, y 1 = 1

 

3

3y 2 d) y ' , y 1 = 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng: F(x, y, y’, y’’) = 0 (1)

hay y’’ = f(x, y, y’) (2)

Nghiệm tổng quát – nghiệm riêng

a) Nghiệm tổng quát của phương trình phương trìnhvi phân cấp 2 là hàm y = φ(x, C1, C2) sao cho:

 Thay vào phương trình ta có đẳng thức đúng

 Với mọi điều kiện ban đầu y(x0) = y0, y’(x0) = y’0, nếu tồn

tại làm cho thỏa điều kiện ban đầu

thì được gọi là nghiệm riêng thỏa đkbđ

b) Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C1,

C2 một giá trị bằng số nhất định được gọi là nghiệm riêng

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

1 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được

Là những phương trình thuộc một trong các dạng sau

y’’ = f(x) F(x, y’, y’’) = 0

F(y, y’, y’’) = 0

Để giải các phương trình này, ta đặt z = y’, rồi giải phương trình theo z

Ví dụ: Giải các phương trình sau

y 'a) y '' x

x

 2

b) y'' 1 x 2xy'  

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

2 Phương trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng

a) Phương trình thuần nhất

+ Dạng: ay’’ + by’ + cy = 0 (1) a, b, c (a ≠ 0) là các số thực

+ Nghiệm tổng quát

Phương trình đặc trưng: ak2 + bk + c = 0 (*)

Trường hợp 1: ∆ > 0, pt (*) có 2 nghiệm phân biệt k1, k2

Nghiệm tổng quát của pt (1): k x 1 k x 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Ví dụ: Giải các phương trình sau

a) y'' 2y' 8y 0   

b) y '' 4y ' 4y 0   

c) y'' 2y' 10y 0   

b) Phương trình không thuần nhất

+ Dạng: ay’’ + by’ + cy = f(x) (2) a, b, c (a ≠ 0) là các số thực

+ Nghiệm của pt (2) có dạng y(x) = y1(x) + y2(x)

Với y1(x) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1), y2(x) là nghiệm riêng của phương trình (2)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

+ Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (*) thì ta tìm nghiệm riêng (2) dưới dạng y x2    e Q xαxsinx1x n  

trong đó Qn(x) là đa thức tổng quát cùng bậc với Pn(x)

+ Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (*) thì ta tìm nghiệm riêng (2) dưới dạng y x2    xe Q xαxsinx1x n  

+ Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (*) thì ta tìm nghiệm riêng (2) dưới dạng y x2    x e Q x2 αxsinx1x n  

Ví dụ: Giải các phương trình sau

 Trường hợp 2: f x    eαxsinx1x   P x cosβx + Q x sinβxn   n    

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

trong đó Pn(x), Qn(x) là đa thức bậc n của x còn α, β là hai

Pn(x), Qn(x)

trong đó An(x), Bn(x) là các đa thức tổng quát cùng bậc với

Pn(x), Qn(x)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Ví dụ: Giải các phương trình sau

a) y'' y 3sinx  

-x

b) y '' + 2y ' + 5y e cos2x 