Root locus controller design

Root Locus Controller Design CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ ROOT LOCUS Trong lý thuyết điều khiển và lý thuyết ổn định, phân tích quỹ đạo nghiệm số là một phương pháp đồ họa để kiểm tra cách thức các nghiệm của một hệ thống thay đổi với các biến thiên của một tham số hệ thống xác định, thường là một độ lợi trong một hệ thống hồi tiếp Đây là kỹ thuật được sử dụng như mộttiêu chuẩn ổn định trong cáchệ thống điều khiển được phát triển bởi Walter R Evans, có thể xác định được sự ổn định của hệ thống Quỹ đạo.

Root Locus Controller Design

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ ROOT LOCUS

Trong lý thuyết điều khiển và lý thuyết ổn định, phân tích quỹ đạo nghiệm số là một phương pháp đồ họa để kiểm tra cách thức các nghiệm của một hệ thống thay đổi với các biến thiên của một tham số hệ thống xác định, thường là một độ lợi trong một hệ thống hồi tiếp

Đây là kỹ thuật được sử dụng như mộttiêu chuẩn ổn định trong cáchệ thống điều

khiển được phát triển bởi Walter R Evans, có thể xác định được sự ổn định của hệ thống.Quỹ đạo nghiệm số sẽ vẽ các cực của hàm truyền vòng kín trong mặt phẳng phức S như là một hàm của tham số độ lợi (xem biểu đồ cực-zero)

1. Closed – Loop Poles

Quỹ tích gốc của một hàm truyền (vòng hở) là một đồ thị của các vị trí (quỹ tích) của tất cả các cực của vòng kín có thể có với một số tham số, thường là một độ lợi tỷ lệ , thay đổi giữa 0 và

Hình bên dưới cho thấy một kiến trúc phản hồi hợp nhất, nhưng quy trình này giống hệt nhau đối với bất kỳ hàm truyền vòng hở nào , ngay cả khi một số phần tử của hàm truyền vòng hở nằm trong đường phản hồi

Ta có hàm truyền vòng kín là:

Từ hàm truyền trên ta suy ra được cực của vòng kín là:

Nếu ta viết :

Thì phương trình đặc trưng sẽ là:

Gọi n là bậc của và m là bậc của (bậc của đa thức tương ứng với lũy thừa cao nhất của s)

Chúng ta sẽ xem xét tất cả các giá trị tích cực của K Trong giới hạn , các cực của hệ thống vòng kín là nghiệm của (các cực của ) Trong giới hạn , các cực của hệ thống vòng kín

là nghiệm của (các số không của )

Vì quỹ tích gốc bao gồm vị trí của tất cả các cực vòng kín có thể có, quỹ tích gốc giúp chúng ta chọn giá trị của độ lợi K để đạt được loại hiệu suất mà chúng ta mong muốn Nếu bất kỳ cực nào được chọn nằm trên mặt phẳng phức nửa bên phải, hệ thống vòng kín sẽ không ổn định

Các cực gần với trục tưởng tượng nhất có ảnh hưởng lớn nhất đến phản ứng vòng kín, vì vậy ngay cả khi một hệ thống có ba hoặc bốn cực, nó vẫn có thể hoạt động tương tự như hệ thống bậc hai hoặc bậc một, tùy thuộc vào (các) vị trí của (các) cực ưu thế

2. Plotting the Root Locus of a Transfer Function

Ta xét một ví dụ của vòng hở có hàm truyền:

Code matlab

s = tf( 's' );

sys = K*(s + 7)/(s*(s + 5)*(s + 15)*(s + 20))

rlocus(sys)

axis([-22 3 -15 15])

Kết quả quỹ đạo nghiệm số

3. Choosing a Value of K from the Root Locus

Biểu đồ trên cho thấy tất cả các vị trí cực vòng kín có thể có đối với bộ điều khiển tỷ lệ thuần túy

Trong trường hợp này, không phải tất cả các vị trí cột vòng kín này đều cho thấy

sự thỏa mãn các tiêu chí thiết kế của chúng ta

Để xác định phần nào của quỹ tích có thể chấp nhận được, chúng ta có thể sử dụng lệnh sgrid (zeta, wn) để vẽ các đường có tỷ số tắt dần và tần số tự nhiên không đổi Hai đối số của nó là tỷ lệ tắt dần ( ) và tần số tự nhiên ( ) [đây có thể là các vectơ nếu bạn muốn xem xét phạm vi giá trị có thể chấp nhận được]

Trong bài toán của chúng ta, chúng ta cần độ vọt lố nhỏ hơn 5% (có nghĩa là tỷ

số giảm chấn lớn hơn 0,7) và thời gian tăng là 1 giây (có nghĩa là tần số tự nhiên lớn hơn 1,8)

Dựa vào biểu đồ quỹ đạo nghiệm số ở trên ta có:hai đường chấm ở một góc 45 độ cho biết các vị trí cực với = 0,7; ở giữa các đường này, các cực sẽ có > 0,7 và bên ngoài các đường này <0,7 Hình bán nguyệt chỉ các vị trí cực có tần số riêng =

1,8; bên trong hình tròn, <1,8 và bên ngoài hình tròn > 1,8

Quay trở lại vấn đề của chúng ta, để làm cho độ vọt lố nhỏ hơn 5%, các cực phải nằm giữa hai đường chấm góc và để làm cho thời gian tăng ngắn hơn 1 giây, các cực phải nằm ngoài hình bán nguyệt có chấm Vì vậy, bây giờ chúng ta biết phần nào của quỹ tích gốc, những vị trí cực vòng kín có thể có, thỏa mãn các yêu cầu đã cho Tất cả các cực ở vị trí này đều nằm trong nửa mặt phẳng bên trái nên hệ thống vòng kín sẽ ổn định

Từ biểu đồ trên, chúng ta thấy rằng có một phần quỹ tích gốc bên trong vùng mong muốn Do đó, trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần một bộ điều khiển tỷ lệ để

di chuyển các cực đến vùng mong muốn Bạn có thể sử dụng lệnh rlocfind trong MATLAB để chọn các cực mong muốn trên quỹ tích:

Code matlab

>> s = tf('s');

sys = (s + 7)/(s*(s + 5)*(s + 15)*(s + 20));

rlocus(sys);

axis([-22 3 -15 15]);

>> zeta = 0.7;

wn = 1.8;

sgrid(zeta,wn)

>> [k,poles] = rlocfind(sys)

Kết quả quỹ đạo nghiệm số :

Nhận xét:

Lúc này ta sẽ thấy trên màn hình có dấu hình chữ thập, hình chữ thập này sẽ giúp chúng

ta chọn được giá trị của K bất kỳ mà chúng ta muốn và kết quả sẽ được hiển thị ở command window Sau khi chọn được giá trị K MATLAB sẽ giúp chúng ta tính toán giá trị của các cực dựa trên hệ số K chúng ta đã chọn

Kết quả tính toán các cực:

Lưu ý:

Quỹ tích gốc có thể có nhiều nhánh, khi bạn chọn một cực, bạn cũng xác định vị trí của các cực vòng kín khác, tất cả đều cho cùng một giá trị tương ứng của K Hãy nhớ rằng các cực này cũng sẽ ảnh hưởng đến phản ứng Từ biểu đồ trên, chúng ta thấy rằng trong số bốn cực được chọn (được biểu thị bằng dấu "+"), hai cực gần với trục tưởng tượng nhất nằm trong vùng mong muốn của chúng ta Vì các cực này có xu hướng chi phối phản ứng, chúng tôi tin tưởng rằng các yêu cầu mong muốn sẽ được đáp ứng cho một bộ điều khiển tỷ lệ với giá trị này K

4. Closed-Loop Response

Để xác minh phản hồi bước, bạn cần biết chức năng chuyển vòng kín Bạn có thể tính toán điều này bằng cách sử dụng các quy tắc rút gọn sơ đồ khối hoặc đểMATLAB làm điều đó cho bạn

Code matlab

K = 350;

sys_cl = feedback(K*sys,1) step(sys_cl)

Kết quả hàm truyền:

Kết quả đáp ứng :

Nhận xét:

Phản hồi này có thời gian vượt quá ít hơn 5% và thời gian tăng ít hơn 1 giây

5. Using Control System Designer for Root Locus Design

Một cách khác để hoàn thành những gì đã làm ở trên là sử dụng công Control System Designer trong MATLAB Sử dụng mô hình tương tự như trên, trước tiên chúng ta xác định nhà máy

controlSystemDesigner có chức năng có thể được sử dụng để phân tích và thiết

kế Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ tập trung vào việc sử dụng quỹ tích gốc làm phương pháp thiết kế để cải thiện phản ứng bước của hệ thống vòng kín

Code matlab:

>> s = tf('s');

plant = (s + 7)/(s*(s + 5)*(s + 15)*(s + 20));

controlSystemDesigner(plant)

Tại đây, chúng ta có thể thấy biểu đồ quỹ đạo gốc, cùng với biểu đồ Bode vòng

mở và biểu đồ phản ứng bước vòng kín cho nhà máy đã cho trong phản hồi thống nhất với bộ điều khiển mặc định của

Kết quả chạy công cụ:

Bước tiếp theo là thêm các yêu cầu thiết kế vào biểu đồ Root Locus

Điều này được thực hiện trực tiếp trên miền bằng cách nhấp chuột phải và chọn

Design Requirements/New

Xuất hiện hộp thoại:

Tại đây, chúng ta sẽ đặt các yêu cầu thiết kế về tỷ số tắt dần và tần số tự nhiên như

đã thực hiện trước đó với lệnh sgrid Nhớ lại rằng ranh giới của các yêu cầu của chúng ta

gọi = 0,7 và = 1,8 Đặt chúng trong các yêu cầu thiết kế Trên biểu đồ, bất kỳ vùng nào vẫn còn màu trắng là vùng có thể chấp nhận được đối với các cực vòng kín

Phóng to Vị trí gốc bằng cách nhấp chuột phải vào trục và chọn Properties, sau đó

là nhãn Limits Thay đổi giới hạn trục thực thành -25 đến 5 và giới hạn trục ảo thành -2,5

đến 2,5

Ta có kết quả: