Chuyên-đề-bồi-dưỡng-HSG

tailieugiaovien edu vn 1 CHUYÊN ĐỀ 1 CĂN THỨC BẬC HAI À HẰNG ĐẲNG THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) AA 2 2) BAAB  ( với A  0 và B  0 ) 3) B A B A  ( với A  0 và B > 0 ) 4) BABA 2 (với B  0 ) 5) BABA[.]

CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI À HẰNG ĐẲNG THỨC

A  ( với B > 0 )

B A

B A C B A

B A C B A

9

7 2

25

11 1 2

1 5

3 

28 3 2

14 6

2

1 2

9.

15

1 2 60

1 20

2 6

4 2 5

5

4 4

5 20 2

1 5

1 2

3

1 1

1

2 3

1 1

1 4 2

a a

a

5)

b a

b a

b

b b a

b a b

a

b a

2

II RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài 1 Cho biểu thức: A =

1

1 1

x x

a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tính giá trị biểu thức A khi x =

4

9.c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1

13

x x

Bài 4 Cho biểu thức: P = 

a a a

a

a a

1

1 1

b/ So sánh giá trị của M với 1

b) Tính giá trị của P với a = 9

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

b Tính A với a = 4  15 10  6   4  15

) 1 (

2 : 1 2

2 1

2

a a

a

a a

a E

1 :

1

x x

Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại A(0;b)Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại B( -b/a;0)

a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)

4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Cho x = 0 => y = b => A (0;b)Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)

Vẽ đường thẳng AB ta được đồ thị hàm số y = ax + b5/ (d) đi qua A(xo; yo)  yo= axo + b

6/ Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox Khi đó:

 là góc nhọn khi a > 0, là góc tù khi a < 07/ (d) cắt (d’)  a  a’ (d) vuông góc (d’)  a a’ = -1

(d) trùng (d’)  (d)//(d’)

8/ (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là a  (d) đi qua A(a; 0)

9/ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ b  (d) đi qua B(0; b)

10/ Cách tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’): Giải phương trình HĐGĐ: ax + b = a’x + b’

Tìm được x Thay giá trị của x vào (d) hoặc (d’) ta tìm được y

=> A(x; y) là TĐGĐ của (d) và (d’)

2 Bài tập

Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10

a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến

c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9

e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1

g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất

Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để:

a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5

c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn

d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù

e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2

f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2

g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4

h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1

Bài 3: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

Bài 4 Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt)

Bài 5 Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phương trình đường thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).

Bài 6 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B4 ; 0 và C 1 ; 4

a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng

2 3

y x Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox

b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C Tính góc tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút)

c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 7

1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ?

2) Tìm toạ độ các giao điểm của đường thẳng y=-2x+3 với các trục Ox ,Oy

II VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax 2 VÀ (d): y = ax + b (a  0)

1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Hàm số y = ax 2 (a0):

Hàm số y = ax 2 (a  0) có những tính chất sau:

 Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.

 Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a  0):

 Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.

 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành 0 là điểm cao nhất của đồ thị.

Vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2 (a  0):

 Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).

 Dựa và bảng giá trị  vẽ (P).

2 Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax 2 (a0) và (D): y = ax + b:

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau  đưa về pt bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0.

 Giải pt hoành độ giao điểm:

+ Nếu  > 0  pt có 2 nghiệm phân biệt  (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

+ Nếu  = 0  pt có nghiệm kép  (D) và (P) tiếp xúc nhau.

+ Nếu  < 0  pt vô nghiệm  (D) và (P) không giao nhau.

3 Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax 2 (a0) và (D m ) theo tham số m:

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m ): cho 2 vế phải của 2 hàm số

 Lập  (hoặc  ' ) của pt hoành độ giao điểm.

 Biện luận:

+ (D m ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi  > 0  giải bất pt  tìm m.

+ (D m ) tiếp xúc (P) tại 1 điểm  = 0  giải pt  tìm m.

+ (D m ) và (P) không giao nhau khi  < 0  giải bất pt  tìm m.

a) (D m ) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) (D m ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

c) (D m ) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm

Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (D m ).

1 Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1 ) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.

2 Xác định giá trị của m để:

a) (D m ) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng 1

2

 b) (D m ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

c) (D m ) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm.

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).

3 Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.

Bài tập 4: Cho hàm số y = 3

2

 x 2 có đồ thị (P) và y = – 2x + 1

2 có đồ thị (D).

1 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.

2 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).

3 Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó

2 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).

3.Gọi A là điểm  (P) và B là điểm  (D) sao cho

Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).

1 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.

2 Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2

a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.

b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).

Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.

1 Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.

a) Viết phương trình đường thẳng (D).

b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.

Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).

1 Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.

2 Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –

2 Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).

3 CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.

Hay hệ Cho hệ phương trình: , 0 (d)

Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản

Bài 1: Giải các hệ phương trình

3 2 4

y x

y x

5 3 2

y x

y x

0 2 4 3

y x

y x

3 5 2

y x

y x

3 1

(

1 ) 3 1 ( 5

y x

y x

3 , 0 1 , 0 2 , 0

y x

y x

y x y x

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

x

xy y

x

4 ) 5 )(

5 4

(

6 ) 3 2 )(

2 3

4 ) ( 3 ) ( 2

y x y x

y x y x

1 (

54 ) 3 ( 4 ) 4 2 )(

3 2

(

x y y

x

y x y

1

2 4

27 5

3

5 2

x y y x

x y

x y

2 ( 2

1 2

1

50 2

1 ) 3 )(

2 ( 2

1

y x xy

xy y

x

xy y

x

) 1 )(

10 (

) 1 )(

20 (

Dạng 2 Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ và hệ phương trình chứa tham số :

12

1 1 1

y x

y x

3 2

4

3 2

1 2

2

x y y x

x y y x

5 1 2

4 4

2 1 3

y x

x

y x

3

13

2 2

2 2

y x

y x

2

16 2

3

y x

y x

Bài tập 2: Cho hệ phương trình

10 4

my x

m y

mx

(m là tham số)a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT

A LÝ THUYẾT

I-Cách giải phương trình bậc hai:

* Khái niệm :

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax 2 + bx + c = 0 trong đó a, b, c là các số thực và a  0.

1/ TQ Giải pt bậc hai khuyết c:

3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = 0 ( a  0)  = b 2 - 4ac

* Nếu  > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b -

* Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

*Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức

* Nếu  ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.

4/ Phương trình quy về phương trình bậc hai

a/ Phương trình trùng phương

a) Dạng tổng quát:

Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số, a 0

b) Cách giải:

 Loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t  0) từ

đó ta đưa đến một phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0

 Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t ( Nếu những giá trị tìm được của t thoả mãn t ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu)

b/ phương trình tích

0

A B





  



Cách giải: Để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 thường dùng phương pháp biến

đổi về phương trình tích ở đó vế trái là tích của nhân tử còn về phải bằng 0

c/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không)

- Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2 vế)

- Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phương trình chuyển vế: chuyển những hạng tử chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia)

- Thu gọn phương trình về dạng tổng quát đã học

- Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm được không thuộc vào tập xác định của phương trình)

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax 2  bx c 0(a 0)    có hai nghiệm : x1 1; x2 c

a

   

III: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)    0

2 Vô nghiệm   < 0

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0

5 Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0

6 Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0

9 Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S > 0

IV Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

V: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.

Bài 2: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2  8x 15 0  Không giải phương trình, hãy tính

Bài 3:Cho phương trình x2  2mx m   2 0 (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình

Tìm m để biểu thức M = 2 2

1 2 1 2

24 6



x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4:

Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số

1) Giải phương trình khi m = 1

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện 1 2

2 1

8 3

Bài 7: 2 điểm:Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 2

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức

a Giải phương trình đã cho khi m  – 2

b Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 12

Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)

1 Giải phương trình (*) với a = 1

2 Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*) Tìm giá trị của a để biểu thức:

1 ( 1 2)( 2 2) 2

x  x  x  x có giá trị nhỏ nhất

Bài 13.

Cho phương trình x 2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).

a) Giải phương trính (1) khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích)

Bài 14

Cho phương trình: x2  2(m 1)x 2m 0 (1) (với ẩn là x)

1) Giải phương trình (1) khi m=1

2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 Tìm giá trị của m để x1; x2là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12

Bài 15

1 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = 0 2 2 (1), trong đó m là tham số

a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để 2 2

1 2

x + x  20

2 Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R?

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y +

3 = 0

Bài 16 Cho hai phương trình: x2 x m 0 và x2mx 1 0

Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là

x = 1)

Câu 17 Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.

x mx  và x2 2x m  0( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1)

Bài 18: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0

a) Giải phương trình với m = - 5

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 19: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2

c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài 20:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0

a) Giải phương trình với m = - 2

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2

Bài 21: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m

Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x1 + x2

Bài 23: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22

Bài 24: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất

c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2

Bài 25: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0

a) Giải phương trình với m = 4

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 26: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trìnhm x2 - 2(m - 2)x + (m - 3) =

0 thoả mãn điều kiện 2 1

x x x x







Bài 28:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn

x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 29: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2

Bài 30: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ nhất

Bài 31: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

CHUYẤN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG

TRÈNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÈNH

A.Tóm tắt lí thuyết

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:

a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết.c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.

Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn,

hệ phương trình hay phương trình bậc hai

Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế

B Các Dạng toán

Dạng 1: Toán về quan hệ các số.

*Những kiến thức cần nhớ:

+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b   ( v íi 0<a 9; 0 b 9;a, b N)    

+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc 100a 10b c    ( v íi 0<a 9; 0 b,c 9;a, b, c N)    

Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50 Hỏi số đó là bao nhiêu?

Bài 2: Tổng hai số bằng 51 Tìm hai số đó biết rằng 2

5 số thứ nhất thì bằng 1

6 số thứ hai

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7 Nếu đổi

chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị

Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.

Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của số tạo bởi

chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó

Bài 6: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị Nếu tăng cả tử và

mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng 1

2 phân số đã cho Tìm phân số đó?

Bài 7: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9 Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì

số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó?

Bài 8: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85.

2 Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngược dòng 30 km Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian ngược dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngược dòng là 5 km/h

Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng?

3 Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 150 km Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút Tính vânl tốc của mỗi ô tô

4 Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10 phút Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông

5 Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B Tính vận tốc của mỗi xe?

6 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km Cùng lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A đến B Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng hết 15 giờ Trên đường ca nô ngược về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước?

7 Xe máy thứ nhất đi trên quảng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km.Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình?

8 Đoạn đường AB dài 180 km Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B

xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?

9 Một ô tô đi trên quảng đường dai 520 km Khi đi được 240 km thì ô tô tăng

vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đường còn lại T ính vận tốc ban đầu của ô

tô biết thời gian đi hết quảng đường là 8 giờ

Đáp án:

2 20 km/h

3 Vận tốc của ô tô thứ nhất 60 km/h Vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h

4 25 km/h

6 Vận tốc của ca nô là 15 km/h Vận tốc của dòng nước là 5 km/h

Dạng 3: Toán làm chung công việc

*Những kiến thức cần nhớ:

- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được 1

x công việc

- Xem toàn bộ công việc là 1

*Bài tập

1 Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc?

2 Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó?

3 Hai đội công nhân cùng đào một con mương Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?

4 Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít ậ mỗi binmhf

có một vòi nước chảy vào và dung lượng nước chảy trong một giờ là như nhau Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình nhưng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại

và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại Để hai bình cùng đầy một lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ.Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước

5 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ

nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

6 Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?

7 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

8 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian dự định

Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17%

Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã sản xuất được tất cả được 1162 sản

phẩm Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiêu?

9 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định

Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21% Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu

Kết quả:

1) Người thứ nhất làm một mình trong 54 giờ Người thứ hai làm một mình trong 27 giờ.2) Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ Tổ thứ hai làm một mình trong 15 giờ

3) Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày Đội thứ hai làm một mình trong 3 ngày.

4) Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 75 lít

Dạng 4: Toán có nội dung hình học

*Kiến thức cần nhớ:

- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài)

- Diện tích tam giác S 1x.y

2

 ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)

- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông)

Bài 3: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4 m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích không đổi?

Bài 4 : Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2

Bài 5: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m Hai cạnh góc vuông

hơn kém nhau 1m Tính các cạnh góc vuông của tam giác?

là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Kết quả:

Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% trong 1 năm

Bài tập tổng hợp

Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau Nếu

mỗi dãy bớt đi một ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế

Bài 2: Hai giá sách có 400 cuốn Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30

cuốn thì số sách ở giá thứ nhất bằng 3

5 số sách ở ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu của mỗi ngăn?

Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m

chiều rộng là 20 m thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên biên của thửa đất Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp?

Bài 4: Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán Số trứng của hai người

không bằng nhau nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng

” Người kia nói “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứmg của anh tôi chỉ bán được 62

3đồng thôi” Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?

x

a a



.100