Hinhhoc10-Chuong2

Toán 10 – Hình học – Chương 2 Tích vô hướng và ứng dụng Toán 10 – Hình học – Chương 2 Tích vô hướng và ứng dụng Vi Minh Toàn 1 CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A LÝ T[.]

CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

1: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A LÝ THUYẾT

I/ Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ (từ 0 0 đến 180 0 )

Với mỗi góc  (00  1800), ta xác định được duy nhất một

điểm M(x; y) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = 

Gọi (x, y) là toạ độ điểm M ta có:

_ Tung độ y của M là sin của góc , ký hiệu là sin

_ Hoành độ x của M là cos của góc , ký hiệu là cos

_ Tỉ số y

(x 0)

x  là tang của góc , ký hiệu là tan

_ Tỉ số x

(y 0)

y  là cotang của góc , ký hiệu là cot

Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng

giác của góc 

Suy ra:

• 00  900  sin ,cos ,tan ,cot     0

• 900  1800  sin 0; cos ,tan ,cot    0

• 00  1800  0 sin  1; 1 cos−    1

Ta có các tính chất sau:

sin = sin(1800 – )

cos = – cos(1800 – )

tan = – tan (1800 – )

cot = – cot(1800 – )

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

2

2 2

3 2

2

2 2

1 2

0

2

2 2

1 2

2

2

2

3

3

3

3

II/ Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a, b đều khác vectơ 0 Từ một điểm O bất kỳ,

vẽ OA =a, OB=b Góc  = AOB (với 00  1800 hay

0   ) là góc của a và b

Ký hiệu ( )a; b

Chú ý:

• Nếu a=0 hay b=0 thì ta xem góc giữa 2 vectơ là tuỳ ý từ 00 đến 1800

• Nếu  =00  a và b cùng hướng

180

 =  a và b ngược hướng

III/ Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa:

Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, ký hiệu là a.b Được

định nghĩa bằng tích độ dài của hai vectơ với cosin của góc giữa hai vctơ đó:

( )

a.b= a b cos a; b Như vậy OA.OB = OA.OB.cosAOB

Ta có:

• a2=a.a= a2

AB =AB

• 0.a a.0= =0 với mọi a

Chú ý: Nếu a=0 hay b=0 thì ta quy ước: a.b=0

b) Kết quả:

➢ ( )a; b =  và b cùng hướng: a.b a b0 a =

➢ ( )a; b =1800 và a b ngược hướng: a.b= −a b

a; b 90 a.b 0

➢ ( )a; b 900a.b 0

Điều kiện vuông góc:

( )a; b =900  ⊥ a b a.b= 0

c) Tính chất của tích vô hướng:

Với mọi vectơ a, b,c và số thực m, ta có:

➢ a.b=b.a (Tính giao hoán)

➢ a b c( )+ =a.b a.c+ (Tính phân phối đối với phép cộng)

➢ a b c( )− =a.b a.c− (Tính phân phối đối với phép trừ)

➢ ( )m.a b m a.b= ( ) (Tính kết hợp)

Từ các tính chất trên ta suy ra các hằng đẳng thức sau:

a b+ =a +2a.b b+

a b− =a −2a.b b+

• ( )( ) 2 2

a b a b+ − =a −b

d) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng:

Cho hai vectơ a (x;y)= và b (x';y')= Khi đó:

• a.b x.x' y.y'= +

a = x +y

x.x ' y.y ' cos a; b

x y x ' y '

+

= + + (với a0 và b0)

• Đặc biệt a b⊥ x.x' y.y' 0+ =

Hệ quả:

Cho hai điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) Khi đó độ dài của đoạn AB là:

AB= AB = x −x + y −y

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ – góc của hai vectơ

Phương pháp:

❖ Để tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có thể sử dụng:

• Định nghĩa, tính chất của tính vô hướng

• Định lý hình chiếu (2)

❖ Để tính góc giữa hai vectơ, ta sử dụng công thức:

cos a; b

a b

x.x ' y.y ' cos a; b

x y x ' y '

+

= + + (với a và b 00  )

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a, có đường cao AH và trọng tâm G Tính các tích vô hướng:

AB.AC; AH.BC; HA.AB; BG.AG; BH.CB; AB.GC; AB.HG; AB.BA; GC.BH

Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH Tính tích vô hướng sau:

a) AB.AC

b) AH.AC

c) AB AB AC( + )

d) AC AC AB( − )

e) (AB AC AC AB+ )( − )

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông góc tại C có CA = b Tính AB.CA

Ví dụ 4:

a) Cho a=1; b = và 2a 3b 72 − = Tính a.b

b) Cho a=1; b = và 2 ( ) 0

a; b =30 Tính (2a 3b 3a 2b− )( + )

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(1; 2)− và B( 3;1)−

a) Tính OA.OB

b) Tính góc AOB

Vấn đề 2: Tính độ dài của một đoạn thẳng

Phương pháp:

Ta thường sử dụng:

• Quy tắc biến đổi BC2 = 2 ( )2

BC = AC AB− tức là biến đổi phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính tích vô hướng

AB= AB = x −x + y −y (nếu đề bài có liên quan đến toạ độ)

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = a, 0

A = 60 Tính AB.AC Suy ra độ dài BC và độ dài trung tuyến AM

Ví dụ 7: Cho hai điểm A(4; 3) và B(2; 1)−

a) Tìm điểm N thuộc Oy sao cho N cách đều hai điểm A và B

b) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất

Vấn đề 3: Chứng minh sự vuông góc của hai vectơ, hai đường thẳng

Phương pháp:

• Muốn chứng minh hai vectơ AB và CD vuông góc với nhau, ta chứng minh AB.CD=0

• Muốn chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc nhau, ta tìm trên đường thẳng d1 vectơ a1 0

và trên đường d2 vectơ a2  sao cho 0 a a1 2 = 0

• Dùng biểu thức toạ độ (nếu đề bài có liên quan đến toạ độ):

Cho hai vectơ a (x;y)= và b (x';y')= Khi đó a b⊥ x.x' y.y' 0+ =

Ví dụ 8: Chứng minh rằng hai đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau

Ví dụ 9: Cho ba điểm A, B, M Gọi O là trung điểm của đoạn AB Chứng minh rằng

4MO =AB MA⊥ 

Ví dụ 10: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AO và BC

a) Tính AB.DO

b) Tính AB.ND

c) Tính BD.MN

d) Chứng minh rằng MD vuông góc MN

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC với A(10; 5); B(3; 2) và C(6; 5)− Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân tại B

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có A(5; 3); B(2; 1)− ; C( 1;5)−

a) Tính toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

b) Tính toạ độ chân đường cao vẽ từ A

Vấn đề 4: Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài

Phương pháp: Dùng các tính chất của tích vô hướng, định nghĩa, định lý hình chiếu, các quy tắc: ba điểm,

trung điểm, hình bình hành, trọng tâm và lưu ý 2 2

BC =BC

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC bất kỳ, gọi I là trung điểm của AB Chứng minh

2

2

Ví dụ 14: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ

a) Chứng minh rằng: AB.CD BC.AD CA.BD+ + = 0

b) Suy ra ba đường cao trong một tam giác bất kỳ đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm

Vấn đề 5: Tìm tập hợp điểm thoả một đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài

Phương pháp:

Loại 1: MA.v= trong đó A cố định, v là vectơ cố định 0

Khi đó tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với v

Loại 2: MA.MB=k (A, B là hai điểm cố định cho trước, k là số thực cho trước)

• Nếu k = 0: Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB

• Nếu k0: Gọi I là trung điểm của đoạn AB, đưa đẳng thức về dạng sau:

Như vậy tập hợp các điểm M là:

1 Đường tròn tâm I bán kính là IA2+ nếu k IA2+ k 0

2 Điểm I nếu IA2+ =k 0

3  nếu IA2+ k 0

Loại 3: 2 2 2

 +  +  = (với  ++   ; A, B, C cố định; k là số thực cho trước) 0

Gọi I là điểm cố định thoả:  + +  = IA IB IC 0

Ta có:

2

k IA IB IC

 +  +  =   +  +  = −  +  + 

−  +  + 

 +  + 

Như vậy, tập hợp điểm M là:

1 Đường tròn tâm I, bánh kính là h nếu h > 0

2 Điểm I nếu h = 0

3  nếu h < 0

Loại 4: MA.BC= (trong đó A, B, C là 3 điểm cố định, k là hằng số cho trước) k

M ' A '.BC k

 = (*) (trong đó M’ và A’ lần lượt là hình chiếu của M và A trên giá của BC)

Ta có A cố định và BC cố định nên A’ cũng cố định Do A’ cố định và k không đổi nên M’ cũng cố định Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng cố định d vuông góc với đường thẳng BC cố định và đi qua điểm M’ cố định xác định bởi (*)

Ví dụ 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

a) AM.AB=AB.AC

b) MA.MB MA.MC+ =0

c) (MA+MB AB) = 0

d) MA.MB=AB.AB

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a Tìm tập hợp các điểm M thoả CM.AB= −2a2

C BÀI TẬP

❖ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Tính tích vô hướng:

a=7; b= 2; a; b =45 Tính a.b

b) Cho a =2; b=3; a; b( )=1200 Tính a.b

c) Cho a =2 2; b 3a= Tính a.b

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a 3, M là trung điểm BC Biết rằng

2

a AM.BC

2

= Hãy tính

AB, AC

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD với AB = 3 , AD = 1 và 0

BAD = 30 a) Hãy tính AD.AB; BA.BC

b) Tính độ dài đường chéo AC và BD

c) Tính cos AC; BD ( )

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có tâm O và canh bằng a

a) Tính (AB AD AC+ )

b) Với M là trung điểm của AB Tính (MA+MB MC MD DB AD+ + )( + )

c) Biết 3

2

= Tính IC.ID

Bài 5: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c Tính theo a, b, c các tích vô hướng sau:

AB.BC; BC.CA; CA.AB

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 2; BC = 4; AC = 3

a) Tính AC.AB

b) Gọi I là trung điểm AB, J là điểm thoả 2

3

= Tính AI.AJ rồi suy ra độ dài đoạn IJ

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 2; AC = 3; 0

BAC = 120 Gọi AD là phân giác trong của tam giác a) Tính AD theo AB; AC

b) Suy ra độ dài đoạn AD

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a Gọi D là trung điểm của AC, M là điểm thoả 1

3

Chứng minh rằng BD vuông góc với AM

Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để:

a) Tam giác ABC vuông tại A là BA.BC=AB2

b) Trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là b2 + c2 = 5a2

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 2a; AC = a, góc A là 1200 Gọi M là trung điểm AC

a) Tính BC và BM

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC sao cho BN = x Tính AN theo BC; AC Suy ra giá trị của x để

AN vuông góc với BM

Bài 11: Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh rằng:

BC.AD CA.BE AB.CF+ + = 0

Bài 12: Cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng: 1( 2 2 2)

2

= + − Suy ra giá trị của A khi AB = 5; BC = 7; AC =

8

b) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng AB.AC=MA2−MB2

Bài 13: Cho điểm S nằm trong đường tròn (O) Từ S vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau cắt đường tròn

tại 4 điểm theo thứ tự A, B, C, D Chứng minh rằng trung tuyến kẻ từ S của tam giác SAC vuông góc BD

Bài 14: Cho đoạn AB có độ dài là 3a Tìm tập hợp các điểm M thoả:

a) MA.MB=AB2

b) MA2+2MB2=AB2

Bài 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

a) MA.MB=MA.MC

b) (MB MC 2MA+ − )(MA+MB MC+ )= 0

c) 2MA2+MA.MB=MC.MA

❖ TÍCH VÔ HƯỚNG TÍNH THEO TOẠ ĐỘ

Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau:

a) a (2; 3), b (6;4)= − = b) a= − −( 2; 2 3 , b) ( )= 3; 3

Bài 17: Cho a ( 3;4)= − và b (4;6)= Tính a.b; a b; 2a 3b−

Bài 18: Cho 2 vectơ ( ) (s 2t , 5s 4t+ − ) vuông góc với nhau Xác định góc ( )s; t , biết s= = t 1

Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(−2;1) Gọi B là điểm đối xứng của A qua gốc toạ độ O Tìm toạ

độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C

Bài 20: Cho A(−3;3) Gọi B là điểm đối xứng của A qua gốc toạ độ O

a) Tìm điểm C nằm trên trục hoành để tam giác ABC vuông tại A Suy ra tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

Bài 21: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;3); B(4;2)

a) Tìm toạ độ điểm D thuộc trục Ox sao cho DA = DB

b) Tính chu vi tam giác OAB

c) Chứng tỏ AO vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB

d) Tìm toạ độ của vectơ đơn vị cùng phương với AB

Bài 22: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho bốn điểm A(7; 3); B(8;4); C(1;5); D(0; 2)− − Chứng minh rằng ABCD là hình vuông

Bài 23: Cho tam giác ABC có A( 4;1); B(2;4); C(2; 2)− −

a) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

b) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của 3 điểm này

c) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC Chứng minh ABHC nội tiếp đường tròn

Bài 24: Trong mặt phẳng toạ độ cho 4 điểm A(2; 3); B( 1; 1)− − ; C(6; 0) và D(x; 3)−

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A

b) Tìm x để A, B, D thẳng hàng

c) Tìm điểm M thuộc Oy để tam giác ABM vuông tại M

d) Tìm điểm N(3; y – 1) sao cho N cách đều hai điểm A và B

2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

A LÝ THUYẾT

Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD bất kỳ:

a) Chứng minh rằng AB2 + CD2 = BC2 + AD2 + 22AC.DB

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau

Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số thực k Tìm tập hợp các điểm M thoả: MA.MB=k2

Bài toán 3: Cho hai vectơ OA; OB Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA Chứng minh rằng

OA.OB=OA.OB'

Chú ý:

• Vectơ OB' được gọi là hình chiếu của vectơ OB trên đường thẳng OA

• Công thức OA.OB=OA.OB' gọi là công thức hình chiếu

• Tổng quát định lý hình chiếu:

Định lý: Gọi C’ D’ lần lượt là hình chiếu của C và D lên trục chứa AB, ta có: AB.CD AB.C'D'=

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính các tích vô hướng sau:

a) AC AB AD( + )

b) (AB AC BC BD BA+ )( + + )

c) OA.AB (O là tâm hình vuông ABCD)

Bài toán 4: Cho đường tròn (O; R) và một điểm cố định Một đường thẳng (d) luôn thay đổi đi qua M, cắt

đường tròn tại hai điểm A và B Chứng minh rằng 2 2

MA.MB=MO −R

Chú ý: Giá trị không đổi MA.MB=MO2−R2 nói trong bài toán 4 được gọi là phương trình của điểm M đối với đường tròn (O)

Khi điểm M nằm ngoài đường tròn (O), MT là tiếp tuyến của đường tròn đó (T là tiếp điểm) thì

2

2

MA.MB=MT =MT

B BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 3a, AD = 2a, BC = 4,5a

a) Tính các tích vô hướng: AC.AB; AC.AD; AC.BD Suy ra góc (AC; BD )

b) Gọi M là trung điểm của AC Tính BM.BD , suy ra góc MBD

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M và N lần lượt là hai điểm thuộc nửa

đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I

a) Chứng minh rằng AI.AM=AI.AB và BI.BN=BI.BA

b) Hãy dùng kết quả của câu a) để tính AI.AM+BI.BN theo R

Bài 3: Cho tam giác ABC, H là trực tâm Gọi M là trung điểm BC Tính MH.MA theo BC = a

Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD, có đường cao AB, cạnh đáy AD = a, BC = 2a Hãy tính AB nếu biết:

a) AC.AB= a2

b) AC.BD= a2

c) IC.ID=a2 (với I là trung điểm của AB)

Bài 5: Cho tam giác ABC và 2 điểm M, M’ bất kỳ Gọi I và I’, H và H’, K và K’ lần lượt là hình chiếu của

M và M’ lên BC, CA, AB Chứng minh rằng BC.II ' CA.HH ' AB.KK '+ + =0

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC và D là hình chiếu của H trên AC, M là trung

điểm HD Chứng minh rằng AM vuông góc BD

Bài 7: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, AD = a, BC = 4a

a) Tính AC.BD, suy ra góc giữa AC và BD

b) Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động trên cạnh BC Dùng tích vô hướng để tính BJ sao cho

AJ vuông góc BI

c) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn MB2 = MA.MC

d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD Tìm tập hợp các kiểm K sao cho:

2

3KB =KB KA 2KB KI+ −

3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A LÝ THUYẾT

I/ Định lý Cosin trong tam giác

a) Định lý: Trong tam giác ABC với BC = a; CA = b; AB = c ta luôn có:

• a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA

• b 2 = a 2 + c 2 – 2cacosB

• c 2 = a 2 + b 2 – 2abcosC

b) Hệ quả:

• cosA b2 c2 a2

2bc

+ −

• cosB c2 a2 b2

2ca

+ −

• cosC a2 b2 c2

2ab

II/ Định lý Sin trong tam giác

a) Định lý: Với mọi tam giác ABC với BC = a; CA = b; AB = c, ta có:

2R sinA =sinB=sinC= Trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có:

• a=2Rsin A

• b=2R sin B

• c=2R sin C

• sinA a

2R

=

• sin B b

2R

=

• sinC c

2R

=

III/ Đinh lý trung tuyến

Cho 3 điểm A, B, C trong đó BC = a > 0 Gọi M là trung điểm BC, biết AM = ma Ta có:

2

a

a

2

? Câu hỏi: Chúng minh (1)

Từ kết quả trên ta suy ra các công thức sau, được gọi là công thức trung tuyến trong tam giác

Công thức trung tuyến:

Cho tam giác ABC Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh với BC = a;

CA = b; AB = c Ta có:

a

m

+

b

m

+

c

m

+